Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Бухучет и аудит arrow Прогнозирование и планирование в условиях рынка

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

В последние десятилетия в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой одновременных уравнений, называемых также структурными уравнениями. Так, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

Методика расчета показателя УСР изложена в параграфе 4.2.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Так, возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (у) рассматривается как функция одного и того же набора факторов (х):

(5.48)

ухиххпх2 + ... + аХпхп + ?х у2а 2 ]Хі + а 22^2 +... + а2пхп + ?2,

Ут = V + я,„2*2 + • • • + V,, + ?,„•

Набор факторов х в каждом уравнении может варьироватся. Так, модель вида

Т, =/(*,, У2 ~ f{Xl’ УЪ~ I (*2 ’ Т4=/(* з>

х2,

  • *3,
  • *3,
  • *4,
  • •^3 ? ^4 5 *^5
  • *5);
  • *5).

);

(5.49)

также является системой независимых уравнений, но в ней набор факторов видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение /-критерия или частного /’-критерия для данного фактора).

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, то в уравнениях присутствует свободный член а0. Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, то в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки. В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах примет вид

У У 2

1^3

У- =

я01х, пху + я12х213х3 + я14х4 + є,;

@02^2 ^2Л ^22^2 ^23*^3 ^4*^4 ^2 ’

а03х3 + ад + сіур^2 ^34*^4 ^з*

(5.50)

Однако если зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений

У = «] 1*1 + Я,2*2 + • • • + «1 Л + е1;

У2 = Ь + «21*1 + «22*2 + • • • + «2 Л + Ч>

< Уз = Ал у, + А32у2 + ад, + ад2 +... + <ад„ + е2;

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов х. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида

(>.=«. ,х, + ад2 + ад3 + е,; 52)

[У2 = Ь + «21*1 + «22*2 + «23*3 + ?2>

где у1 — производительность труда; у2 фондоотдача; х1 фондовооруженность труда; х2 — энерговооруженность труда; х — квалификация рабочих. Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов.

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях — в правую часть системы

(5.53)

Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные (у) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнении не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания. Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида

Ух =Ь12у2 + апх11;

У2 ~ ^2У а22*2 а22Х2 ^2»

где у, — темп изменения месячной заработной платы; у2 темп изменения цен;*, — процент безработных;х2 — темп изменения постоянного капитала; *3 — темп изменения цен на импорт сырья.

Система совместных одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенные переменные обозначаются обычно как*. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Простейшая структурная форма модели имеет вид

(5.55)

У =ЬпУ2 +ад+'е.;

{У2=Ь22Х223Х2+^

где у — эндогенные переменные; * — экзогенные переменные.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других — как экзогенные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Так, потребление текущего года (у ) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (у ). Структурная форма модели позволяет проследить влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты Ь. и а. (Ь. — коэффициент при эндогенной переменной, а — коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. под * подразумевается, а под у — соответственно у-у . Поэтому собственный член в каждом уравнении системы (5.53) отсутствует. Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории,

смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму, представляющую систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных

хих112х2 + ... + Ь1пхп1;

у2 = 521х, + 622х2 +... + Ь2пхп2;

< (5.56)

Ут = + §*2*2 + ' • • + 8„„Л, + Ыт ,

где Ъ.. — коэффициенты приведенной формы модели; и. — остаточная величина для приведенной формы.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить коэффициент 5, а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные. Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели (5 ) через коэффициенты структурной модели (а.и Ь.). Для упрощения в модель не введены случайные переменные. Для структурной модели

(5.57)

[у =ЬпУ2 + апх1+?д

[У2=Ь21У22Х22’ приведенная форма модели имеет вид

Ь, 8„х, + 81Л|; (5.58)

[У 22,Х,+622Х22.

Из первого уравнения (5.57) можно выразить у2 следующим образом (для упрощения опускаем случайную величину):

у _ я-*11*1

У2 1

12

(5.59)

Подставляя во второе уравнение (5.57), имеем

У~ах ,

, ~ ^2У22Х2-

Ъ2

(5.60)

Отсюда

_ а V , *22^12 „

У - Л и и Л1 1 и и Л2-

1 -ДД, 1-ДоЛ,

(5.61)

Поступая аналогично со вторым уравнением системы (5.57), получим

_ С1Ь2 х +_^22_

2 1 пъ 1 1 Х2ь

а.

  • ?Х„
  • (5.62)

т.е. система (5.57) принимает вид а,

У =

п

1 ЬпЬ

а21Ь2

Л1 I Лл^

1 ^12^21

У2 = а"^2| х, +-

  • 1-М21 1 "^21
  • (5.63)

Я х2.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что коэффициенты приведенной формы модели будут выражаться через коэффициенты структурной формы по формулам

Х~Ь2Ь

0ХЬ21

(5.64)

1 ЬХ2Ь

а 22^12

— ЬпЬ21

1 ЬХ2Ь

Отметим, что приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, но аналитически она уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Так, в 1947 г., исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у), норвежский экономист Т. Хаавельмо предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид

(5.65)

Г с = а + Ьу у = с + х,

где х — инвестиции в основной капитал и в запасы экспортной и импортной продукции; а и Ь — параметры линейной зависимости с от у. Их оценки должны учитывать тождество дохода в отличие от параметров обычной линейной регрессии. В этой модели две эндогенные переменные — с и у и одна экзогенная переменная х. Система приведенных уравнений составит

(5.66)

Г с = А0 + Аху; [у = 50 + Вхх.

Она позволяет получить значения эндогенной переменной с через переменную х. Рассчитав коэффициенты приведенной формы модели 0, А , В0, В{), можно перейти к коэффициентам структурной модели а и Ь, подставляя в первое уравнение приведенной формы выражение переменной х из второго уравнения приведенной формы модели. Приведенная форма модели, хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, аналитически уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида — идентифицируемые, неидентифицируемые, сверхидентифицируемые. Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели, и модель идентифицируема. Рассмотренная выше структурная модель (5.58) с двумя эндогенными и тремя экзогенными (предопределенными) переменными, содержащая шесть структурных коэффициентов, представляет собой идентифицируемую модель.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель в полном виде (5.53), содержащая т эндогенных (у) и п предопределенных (х) переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема. Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных одновременных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Уравнение идентифицируемо, если число экзогенных (предопределенных) переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Оценивание коэффициентов структурной модели может проводиться разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели: косвенный метод наименьших квадратов; двухшаговый метод наименьших квадратов; трехшаговый метод наименьших квадратов; метод максимального правдоподобия с полной информацией; метод максимального правдоподобия при ограниченной информации. Косвенный и двушаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легкореализуемы. Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется для идентифицируемой системы одновременных уравнений, а двушаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) используется для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Перечисленные методы оценивания также используются для сверхидентифицируемых систем уравнений.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 
Популярные страницы