ПОКАЗАТЕЛИ ОЦЕНКИ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

Менеджеры, формирующие ИП путем выбора ценных бумаг (далее рассматриваем только такие ИП), действуют в условиях неопределенности и риска. Неопределенность — невозможность определить будущие результаты. Риск определяет результат, который невозможно точно определить, но можно определить вероятность получения результата. При этом говорят о совокупном риске, который (по Г. Марковицу) подразделяется на следующие виды:

систематический (рыночный) риск — часть совокупного риска, который зависит от факторов, являющихся общими для всего рынка ценных бумаг. К числу таких факторов относят: темп роста ВВП, размер ставки рефинансирования, уровень инфляции, курс национальной валюты, политические риски и др. Составляющие систематического риска: страновой риск, региональный риск, процентный риск, политический риск, валютный риск и др. Этот риск невозможно исключить; он присущ всем ценным бумагам в соответствии с общей ситуацией на рынке. Анализ этого вида риска нередко связывают с определением иного варианта вложения средств, например в недвижимость, иностранную валюту и др.;

несистематический (собственный) риск — часть совокупного риска, которая отражает влияние факторов на деятельность предприятия и зависит от состояния дел на данном предприятии. Этот вид риска и его уровень определяется конкретной ценной бумагой. На уровень риска влияет: финансовое состояние эмитента, эффективность управления предприятием, портфель заказов предприятия и его участие в государственных программах, вероятность смены руководства и др. Этим риском инвестор может управлять путем диверсификации вложений в разные ценные бумаги. Несистематический риск, как правило, выше для случая вложений в отдельно взятые акции, чем при формировании диверсифицированного ИП из этих ценных бумаг.

Для оценки значения (ставки) доходности и уровня риска используют вероятностные модели, в которых для расчета используют прогнозные значения случайных величин и определяют ожидаемую доходность, а также параметрические модели, использующие исторические данные о случайных величинах за прошедший период, позволяющие определить доходность за период. В обеих моделях в качестве таких величин используют показатели: ставку доходности (математическое ожидание), дисперсию о2 (англ. — variance) и стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) о (англ. — standard deviation).

Рассмотрим порядок расчета этих показателей. Если для оценки будущей доходности используются статистические (исторические) данные о доходности актива за прошлый период, то расчет ожидаемой доходности актива проводится по формуле (3.1):

П

М=Ъ-,/”. (3-1)

1=1

где М — ожидаемая доходность актива, %; г — фактическая доходность актива в периоде времени /'; п — число периодов равной продолжительности наблюдения за активом, обеспечивших фактическую доходность в периоде времени /.

Например, доходность актива за прошедшие 4 года (в %) составила: 5; 3; -2; 6. Тогда в расчете на год получим величину ожидаемой доходности:

М=(5% + 3% - 2% + 6%) / 4 = 3%.

В случае распределения значений ожидаемой доходности М актива с определенной вероятностью наступления события (сценария) М. расчет проводят по формуле (3.2):

П

м= Х(Л/.. р), (3.2)

/=1

где Мк ожидаемая доходность актива для события (сценария) /'; р[ вероятность наступления события /; п — число сценариев. Например, ожидается, что доходность акции и вероятность того, что она будет таковой в следующем году, соответственно равны: М] = 5% прирх = 25%, М2 = 8% прир2 = 45% и Мъ = 1% прир3 = 30%. Тогда величина М равна:

М= 5% • 0,25 + 8% • 0,45 + 1% • 0,30 = 5,15%.

Ожидаемая доходность ИП определяется ожидаемыми доходностями и удельным весом входящих в него активов. Если в ИП включается несколько активов, то расчет проводят по формуле (3.3).

П

  • (3.3)
  • 1=1

где М} ожидаемая доходность портфеля, %; IV. = Р,/Рр, — доля общего вложения (удельный вес), приходящаяся на^актив / в ИП. Сумма всех удельных весов, входящих в ИП активов, равна

И

единице; Я. — сумма вложений в актив / ИП; Рр = общая

/=1

сумма вложений (стоимость) в ИП; г. — ожидаемая доходность актива / в ИП, %; п — число активов в ИП.

Например, ИП сформирован из двух активов: ценных бумаг А и Б. Ожидаемая доходность активов составляет соответственно гА = = 10% и гБ = 12%. Сумма вложений в ценные бумаги А равна 250 тыс. руб., а в ценные бумаги Б — 150 тыс. руб. Тогда рассчитаем входящие в формулу (3.3) показатели:

Рр = 250 тыс. руб. + 150 тыс. руб. = 400 тыс. руб.;

И/А = 250 тыс. руб. / 400 тыс. руб. = 0,625;

IVБ = 150 тыс. руб. / 400 тыс. руб. = 0,375;

^А+ ъ = 0,625 + 0,325= 1.

Тогда ожидаемая доходность ИП равна:

Мр= 10%-0,625 + 12% - 0,375 = 10,75%.

Дисперсия доходности является мерой разброса (рассеяния) значений доходности / ценной бумаги /'.вокруг средней величины гс. Для параметрической модели, когда известны исторические данные за прошедший период, величина о2 ценной бумаги рассчитывается по формуле (3.4):

П

а2= [ Х('*/-%)2]/Л> (3-4)

/=1

П

'•с = |2>,1 /я- (3.5)

/=1

где г. — доходность ценной бумаги / за анализируемый период; гссредняя доходность ценной бумаги / за анализируемый период; п — число наблюдений в анализируемом периоде (дней, месяцев, лет и др.).

Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) рассчитывается как квадратный корень из дисперсии по формуле (3.6):

а = 7?. (3.6)

С ростом величины о вложения в данную ценную бумагу становятся более рискованными.

При расчете по формуле (3.4) используется обычно только выборка данных из всей генеральной совокупности данных о случайной переменной (доходности ценной бумаги). Поэтому по этой формуле фактически рассчитывается не среднее значение доходности г , а выборочное среднее значение. Получаемое значение о2 называют выборочной дисперсией. Выборочное среднее значение находится ближе к центру выборки, и поэтому отклонения от него (/*.-/*) будут меньше, чем в случае, если бы в расчете использовалось действительно среднее значение переменной (доходности), полученное по всей генеральной совокупности данных. В результате в расчете получают заниженное значение а2. В связи с этим расчет по формуле (3.4) рекомендуют проводить для случая, когда п > 30. В противном случае рекомендуется использовать для расчета о2 ценной бумаги формулу (3.7), определяющую исправленную дисперсию и исправленное стандартное отклонение по формуле (3.8)[1]:

П

а[2] = [2>-/-с)[2]]/<«-1), (3.7)

/ = 1 п

а = {[?(/)-гс)[2]]/(«-1)}1/2. (3.8)

/ = 1

Величина гс в этом случае рассчитывается по-прежнему, по формуле (3.5). Стандартное отклонение за период t, принимая во внимание, что число торговых дней акциями в году равно примерно 252, рассчитывается по формуле (3.9)[1]:

а, = агод 707252), (3.9)

где аг — стандартное отклонение за t дней; агод — стандартное отклонение за год, рассчитанное с использованием формул (3.4— 3.8), где п — число наблюдений, лет.

Рассчитаем величины о[2] и о по формулам (3.4—3.6), не принимая во внимание, что п < 30. Предприятие определяет, акции какого из двух предприятий А и Б целесообразно включить в ИП, на основании данных об их доходности за 4 года, представленных в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Расчет доходности и уровня риска ценных бумаг

Период лет, п

Акции предприятия А

Акц

ии предприятия Б

г,

ГГГс

(г-г/

г,

ГГГс

(г-г/

1

0,3

0,08

0,0064

0,2

0,1875

0,0351

2

-0,1

-0,32

0,1024

0,25

0,2375

0,0564

3

+ 0,4

0,18

0,0324

-0,3

-0,3125

0,0976

4

+ 0,28

0,06

0,0036

-0,1

-0,1125

0,0126

Сумма, С, 1 + 2 + 3 + 4

0,88

0

0,1448

0,05

0

0,2017

Г„= С/4

0,22

0,0125

о[2]

0,1448/4 = 0,0362

0,2017/4 = 0,0504

а

70,0362 = ±0,1902

70,0504 = ±0,2245

Определим стандартное отклонение доходности акции предприятия А за 21 день по формуле (3.9):

а, =±19,02%л/(2 1 / 252) = ±5,49%.

Результаты показывают, что средняя доходность по ценным бумагам предприятия А через год, согласно «правилу трех сигм», с вероятностью 68,3% составит 0,22 (22%) при уровне риска (стандартном отклонении) ± 0,1902 (19,02%), а для ценных бумаг предприятия Б соответственно — 0,0125 (1,25%) и ± 0,2245 (22,45%). С учетом критерия максимизации дохода и минимизации уровня риска целесообразно выбрать для включения в ИП акции предприятия А, имеющий меньшее значение о. Доходность этих акций будет находиться в диапазоне от 2,98 до 41,02% при стандартном отклонении за 21 день равном ± 5,49%. Получаемый диапазон разброса значений доходности инвесторы оценивают по-разному. Отклонение доходности актива от среднего значения в большую сторону (до 41,02%) воспринимается инвестором положительно и он не считает это риском, а в меньшую — отрицательно, что является для него риском. Поэтому Г. Марковиц предложил использовать в расчетах по-лудисперсию (англ. — semivariance), которая учитывала бы только те значения доходности, которые меньше среднего значения доходности. В этом случае в формуле (3.8) должны учитываться только значения г < г . Полудисперсию рекомендуют использовать в случае оценки уровня риска активов, доходность которых не описывается нормальным распределением Гаусса, например, для производных инструментов1.

Стандартное отклонение может рассчитываться по информации о ежедневной доходности акций по результатам торгов. Тогда доходность акции за один день ^рассчитывается по формуле (3.10):

г,= (Ц,-Цм)/Цм, (3.10)

где Ц/ и Цг | — цена акций при закрытии торгов соответственно в t и (t- 1) день.

В вероятностной модели используются прогнозные значения доходности, определяемые инвестором (менеджером), и прогнозируется вероятность наступления события по каждому сценарию. Среднее квадратическое отклонение а., являющееся показателем разброса величин будущей доходности актива /*., рассчитывается по формулам (3.11-3.12):

П

°,=i2>/-'-c)2 лГ/2> «зло

/=1

П

rc=^riln (3-12)

1=1

Буренин Л.Н. Управление портфелем ценных бумаг. М.: Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008.

где п — число сценариев; г — ожидаемый доход по сценарию /, руб.; гс средняя величина ожидаемой доходности; р — вероятность наступления сценария /.

Принимая управленческие решения, менеджеры стремятся к тому, чтобы величина математического ожидания (ожидаемой или средней) доходности была как можно больше, а среднее квадратическое отклонение — как можно меньше. В случае если для нескольких рассматриваемых вариантов ИП величины математического ожидания доходности будут равны, то предпочтительным будет вариант, для которого величина среднего квадратического отклонения (дисперсии) будет меньше. Если же величины стандартных отклонений (дисперсии) будут равны, то предпочтение должно быть отдано варианту, для которого будет наибольшей величина математического ожидания доходности.

При изменении конъюнктуры рынка на уровень риска ИП влияют направления изменения доходностей входящих в него активов. Совместное влияние стандартных отклонений доходностей разных активов при изменении ситуации на рынке может способствовать как снижению уровня риска ИП, так и его росту. Доходность ценных бумаг определяется влиянием большого числа воздействующих факторов рынка. Поэтому при изменении ситуации на рынке одному значению доходности одного актива могут соответствовать каждый раз разные значения доходности другого актива. Это определяет наличие стохастической (вероятностной) связи между ценными бумагами. При этом каждому значению доходности одной ценной бумаги соответствует множество значений доходности другой ценной бумаги. Связь между доходностями ценных бумаг оценивается коэффициентом корреляции и ковариацией.

Коэффициент корреляции р^. является мерой статистической взаимосвязи двух или нескольких случайных величин. Эта взаимосвязь может проявляться во взаимосвязи, например, значений доходности ценных бумаг в сформированном ИП. Он может вычисляться по прогнозируемым и по статистическим данным и принимать значения от —1 до +1 или быть равным 0. При полной зависимости случайных величин коэффициент корреляции принимает значение, равное 1. При положительном значении коэффициента р^. увеличение значения одной случайной величины ведет к росту другой случайной величины, а при отрицательном — рост значения одной случайной величины сопровождается уменьшением другой. При значении коэффициента отличного от ±1 говорят о частичной корреляции случайных величин (значений доходностей). Для независимых случайных величин такая статистическая взаимосвязь отсутствует и коэффициент корреляции равен нулю.

Ковариация характеризует степень зависимости двух случайных величин. Она может принимать положительное и отрицательное значение и быть равной 0. При положительной ковариации доходностей двух ценных бумаг с ростом доходности одной ценной бумаги наблюдается тенденция к росту доходности другой ценной бумаги. При отрицательной — с увеличением доходности одной ценной бумаге наблюдается тенденция к снижению доходности другой. В случае, когда ковариация равно нулю, говорят об отсутствии зависимости между доходностями двух ценных бумаг. Расчет ковариации доходностей двух ценных бумаг СОК. проводят по формуле (3.13):

П

  • 1=1
  • (3.13)

где г. — доходность ценной бумаги / по периодам наблюдения; г средняя доходность ценной бумаги /; г( доходность ценной бумаги у по периодам наблюдения; г . — средняя доходность ценной бумаги у; / = 1,..., п — период наблюдения.

Ковариация, рассчитанная по формуле (3.13), как и для случая дисперсии, называется выборочной, что уже отмечалось выше. При Г < 30 показатель п в знаменателе формулы (3.13) заменяется на (п - 1). Расчет гыи г . производится по формуле (3.5).

СОУу— ковариация — мера зависимости между двумя случайными величинами; ковариация между доходностями ценных бумаг / и у рассчитывается по формуле (3.14):

(3.14)

где Ру — коэффициент корреляции между доходностями ценными бумагами / и у; а. и а. — среднее квадратическое отклонение доходностей соответственно ценных бумаг / и у.

По мере диверсификации активов увеличивается число ценных бумаг в ИП и снижается уровень риска. Доходность диверсифицированного инвестиционного портфеля может быть выше, чем вложения в отдельные ценные бумаги. Но при этом все больше влияет взаимная корреляция между ценными бумагами. Учитывая, что коэффициенты корреляции могут иметь положительные и отрицательные значения, это может усложнить получение требуемой доходности ИП. Поэтому управление ИП усложняется, а значительное увеличение числа ценных бумаг может не дать желаемых результатов. При формировании ИП в него могут включать ценные бумаги с наи

меньшими значениями корреляции доходностей.

Определим величину коэффициента корреляции акций А, доходность которых за 4 года составила (%): 10, 20, 15, 18, и акций Б: 13, 25, 16, 12.

Величина средней доходности акций А и Б равна:

гсД = (10 + 20 + 15 + 18) / 4 = 15,75%; гсБ = (13 + 25 + 16+ 12)/4= 16,5%.

Ковариация доходностей акций А и Б равна:

С0Уаб = К10 - 15,75) • (13 - 16,5) + (20- 15,75) • (25 - 16,5) +

+ (15 - 15,75) • (16 - 16,5) + (18 - 15,75) • (12-16,5)] / 3 = 15,3.

Если подставить в знаменателе формулы (3.13) вместо (п - 1) = 3 значение п = 4, то СОУАБ = 11,623. Расхождение между двумя полученными значениями составляет порядка 33% и снижается при увеличении выборки доходности акций.

Стандартные отклонения оА и оБ равны:

А = {1(10— 15,75)2 + (20- 15,75)2 + (15 - 15,75)2 +

+ (18 - 15,75)2] / З}1/2 = 4,3493;

оБ = {[(13 - 16,5)2 + (25 - 16,5)2 + (16 - 16,5)2 + (12 - 16,5)2] / З}1/2 =

= 5,9161.

Тогда коэффициент корреляции определяем из выражения (3.14):

рАБ= 15,5/(4,3493-5,9161) = 0,602.

Полученный результат свидетельствует, что изменение доходности акций А ведет к изменению в том же направлении доходности акций Б.

Для случая, когда ИП сформирован из двух активов (ценных бумаг), величина дисперсии и стандартного отклонения при линейной взаимосвязи между активами рассчитываются по формулам (3.15)— (3.17) в зависимости от знака коэффициента корреляции доходностей:

- если между доходностями активов (ценных бумаг) имеется линейная взаимосвязь с коэффициентом корреляции, равным +1, то расчет проводят по формуле (3.15):

о2 =1У22+ 1У22 + 2-У, IV. • СОК... (3.15)

При изменении конъюнктуры рынка ценных бумаг доходность активов меняется в одном направлении, поскольку рост (снижение) доходности одного актива ведет к росту (снижению) доходности другого актива. В этом случае в результате диверсификации ИП происходит только усреднение риска, а не его уменьшение. Уменьшение риска возможно за счет снижения доходностей активов:

- если между доходностями активов (ценных бумаг) имеется линейная взаимосвязь с коэффициентом корреляции, равным —1, то расчет проводят по формуле (3.16):

а2р = IV2 ? а2 + IV2 • о2 - 2 • IV.- ИК СОУ... (3.16)

При изменении конъюнктуры рынка ценных бумаг доходность активов меняется в разных направлениях и будет гасить друг друга. В результате риск ИП может быть меньше, чем риск каждого из активов. Ожидаемая доходность И П будет зависеть от доходности каждого актива и его удельного веса в ИП, и дисперсия рассчитывается:

• при некоррелируемой доходности между активами коэффициент корреляции равен 0 и расчет проводят по формуле (3.17):

а2р= IV2 ? а2+IV2 ? а2. (3.17)

В формулах (3.15)—(3.17): а2р — дисперсия ИП; РУ — удельный вес актива / в И П; IV — удельный вес актива у в ИП; СОК — ковариация доходностей активов / и у.

При изменении конъюнктуры рынка диверсификация ИП может обеспечить уменьшение риска ИП. В общем случае, когда в ИП, сформированном из двух активов Хи У, один актив X не имеет риска (например, это государственная облигация), то для этого актива стандартное отклонение о^ = 0 и СОУху = 0. Риск ИП, определяемый величиной стандартного отклонения доходности, во всех трех случаях определяется по формуле (3.18):

(3.18)

Рассчитаем риск, определяемый по формулам (3.15)—(3.17), ИП, сформированного из двух ценных бумаг А и Б, при следующих исходных данных: РУА = 0,2; = 0,8; (УА= 15%; оБ= 25%; СОУАБ = 10.

• при положительном коэффициенте корреляции, равном

Раб-

а2р = 0,22 • 152 + 0,82 • 252 + 2 • 0,2 • 0,8 • 10 = 412,2;

ар = ,/412,2 = ±20,3 (%);

• при коэффициенте корреляции, равном рАБ = — 1:

а2р = 0,22 • 152 + 0,82 • 252 - 2 • 0,2 • 0,8 • 10 = 405,8;

ср = д/405,8 = ±20,14 (%);

• при коэффициенте корреляции, равном рАБ = 0:

о2р = 0,22 • 152+ 0,82 • 252 = 409;

ар/409 = ±20,22 (%).

Наименьший уровень риска наблюдается при коэффициенте Раб 1-

В действительности зависимость между ценными бумагами может быть более сложной, и коэффициент корреляции может не быть равным 0 или ±1. Тогда уровень риска ИП, состоящего из нескольких бумаг, определяемый средним квадратическим отклонением доходности ар, рассчитывается по формуле (3.19):

<*,=[?wrWrCOV^ (3.19)

/=1 У=1

где Wj и Wj — доля в общей сумме вложения (удельный вес актива), приходящаяся соответственно на ценные бумаги (актив) i и j.

Рассмотрим вариант формирования ИП из ценных бумаг А, В и С, имеющих удельный вес в ИП, равный соответственно W: 0,3; 0,5; 0,2 и среднее квадратическое отклонение, соответственно, равное а (%): 20, 25, 15. Ковариация доходностей ценных бумаг равна: COVAB = COVBA = 4; COVAC = COVCA = 7; COVCB = COVBC = 2.

Среднее квадратическое отклонение равно:

а = [(0,3 • 0,3 • 20 • 20) + (0,3 • 0,5 • 4) + (0,3 • 0,2 • 7) +

+ (0,5 • 0,3 • 4) + (0,5 • 0,5 • 25 • 25) + (0,5 • 0,2 • 2) +

+ (0,2 • 0,3 • 7) + (0,2 • 0,5 • 2) + (0,2 • 0,2 • 15 • 15)]1/2 = ± 14,272 (%).

Таким образом, риск ИП составляет ± 14,272%. В практических расчетах используется матричный анализ и составляется ковариационная матрица с использованием значений дисперсии доходностей ценных бумаг. Трудоемкость расчетов снижается при использовании специальных программ Excel.

Инвестор формирует ИП путем вложения средств в государственные ценные бумаги (безрисковые) и корпоративные ценные бумаги (рисковые). Для безрискового актива характерно, что доход по нему за период вложения является определенным (фиксированным), период обращения актива и период владения активом совпадают, а стандартное отклонение и ковариация между ставками доходности рискового и безрискового актива равны нулю. В противном случае актив можно определить как рисковый. Считается, что риск неисполнения обязательств по безрисковым активам отсутствует. Доходность безрискового актива определяется безрисковой ставкой доходности. Вложения в безрисковый актив являются примером безрискового кредитования государства.

Формирование ИП может проводиться за счет собственных средств, а также за счет заимствования средств (кредитов, займов), которые затем направляются на приобретение ценных бумаг. Целью инвестора является повышение доходности ИП за счет того, что процентная ставка по привлекаемым средствам должна быть ниже, чем ожидаемая доходность активов, входящих в формируемый ИП. Однако за пользование заемными средствами необходимо уплачивать проценты, что может привести к ситуации, когда фактическая доходность ИП может оказаться меньше ожидаемой доходности. Различают безрисковое и рисковое заимствование. Если инвестор может получить заемные средства по безрисковой ставке, то это считается безрисковым заимствованием (англ. — riskfree borrowing), в противном случае — рисковое заимствование. Так, Дж. Тобин рассматривал вопросы оптимизации структуры ИП при условии, что операции кредитования (англ. — lending) и заимствования (англ. — borrowing) проводят по единой безрисковой ставке (англ. — riskfree rate)1. Денежные средства могут привлекаться по ставкам, совпадающим со ставкой ожидаемой доходности активов ИП или отличающимся от нее.

Рассмотрим случай, когда инвестор вложил средства в рисковый актив в сумме 300 тыс. руб. Ожидаемая доходность актива составляет 20%. Кроме того, были привлечены средства по кредиту в сумме 100 тыс. руб. под 15%, которые также вложены в формируемый ИП. Определим ожидаемую доходность формируемого ИП.

Стоимость ИП включает собственные средства в размере 300 тыс. руб. и заемные — 100 тыс. руб., которые при определении всей стоимости портфеля Р учитываются со знаком минус:

Р = 300 тыс. руб. + (-100) тыс. руб. = 200 тыс. руб.

Доходность формируемого ИП рассчитываем по формуле (3.3). Удельный вес заемных средств W в ИП равен:

W = (-100) тыс. руб. / 200 тыс. руб. = -0,5.

Удельный вес собственных средств W вложенных в актив ИП равен:

W. = 300 тыс. руб. / 200 тыс. руб. = 1,5.

v

Тогда ожидаемая доходность портфеля Мр равна:

Мр = 1,5 • 20% + (-0,5) • 15% = 22,5%.

Таким образом, привлечение кредита и использование полученных денежных средств для приобретения дополнительных активов позволит инвестору повысить ожидаемую доходность ИП до 22,5%

Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // The Review of Economic Studies, 1958. Vol. 23. No. 2. P. 65—86.

по сравнению с ожидаемой доходностью актива без привлечения кредита, которая составляла 20%.

  • [1] Буренин Л. Н. Управление портфелем ценных бумаг. М.: Научно-техничес
  • [2] кое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008.
  • [3] кое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008.
  • [4] кое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008.
  • [5] Буренин Л. Н. Управление портфелем ценных бумаг. М.: Научно-техничес
  • [6] кое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008.
  • [7] кое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >