МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ

С целью формирования оптимального ИП, который отвечал бы требованиям максимизации доходности и минимизации уровня риска, разработан ряд моделей (теорий). Рассмотрим некоторые из них:

Модель Г Марковица

Основоположником теории формирования портфеля ценных бумаг считают Г. Марковица, который в 1952 г. опубликовал статью, в которой предложил математическую модель формирования оптимального портфеля на основе оценки значений доходности и уровня риска1. До начала 1950-х годов риск оценивался качественно и акции подразделялись на дешевые, растущие, доходные и др. Уровень риска при этом количественно не оценивался. Г. Марковиц определил риск как способность расхождения (рассеивания) ожидаемого результата, измеряемого посредством стандартного отклонения. При этом рассматривались портфели из приобретенных акций (без коротких позиций) при отсутствии затрат на совершение сделок и без учета налогообложения. Принималось, что инвесторы рассматривают вложения на одинаковом временном интервале и имеется возможность совершать сделки купли/продажи ценных бумаг в любом объеме2. В 1959 г. вышла монография ученого «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций», в которой он развил свои идеи3. В 1990 г. Г. Марковицу была присуждена Нобелевская премия за вклад в теорию формирования цены финансовых активов.

Для современных условий рынка ценных бумаг основные положения модели следует сформулировать следующим образом:

  • 1. Поведение участников рынка капитала определяется не только получением ожидаемого дохода на свои инвестиции, но и связанным с этим риском. Это определяет необходимость расчета ожидаемой доходности и стандартного отклонения доходности портфеля акций.
  • 2. Формируемый портфель должен соответствовать принципу диверсификации, что определяет подбор в него ценных бумаг разных эмитентов, работающих в разных отраслях, с разными экономиче-
  • 1 Markowitz H.M. Portfolio Selection //Journal of Finance, 1952. Vol. 7 (1). P. 71 — 91.

Reilly F.K., Brown K.C. Investment Analysis and Portfolio Management. 9th ed. Mason: South-Western Cengage Learning, 2009.

Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. N.Y.: Wiley, 1959.

скими реквизитами и др. Для подбора ценных бумаг используются кривые безразличия. Эти кривые описывают предпочтения инвестора относительно выбора пропорции между доходностью и риском.

  • 3. Инвестор стремится сформировать портфель, обеспечивающий:
    • — достижение максимальной доходности вложений при определенном уровне риска;
    • — достижение минимального уровня риска вложений при определенной доходности.

Перечень портфелей, которые отвечают указанным требованиям, входят в состав эффективного множества.

  • 4. Оптимальный портфель акций, для которого риск портфеля <5р не превышает заданного инвестором значения ои, значение доходности г максимизируется и может быть описано следующими выражениями (3.20)—(3.23):
    • — доли всех ценных бумаг W.t считаются положительными:

Щ> 0; (3.20)

— сумма всех долей ценных бумаг должна быть равна 1:

П

!>,= 1; (3.21)

/=1

— ожидаемая доходность портфеля г связана с доходностью отдельных ценных бумаг г и их удельным весом следующей зависимостью:

rp = ri~> max; (3.22)

/=1

— риск портфеля р связан с приемлемым риском для инвестора ои выражением (3.23). Из решения системы уравнений (3.20)—(3.22) определяются доли ценных бумаг W:.

<’p=i??n'rWj-COVilf/2><,K. (3.23)

/=1 7=1

Формирование портфеля из акций, для которого доходность гр должна быть равна или выше определенного инвестором значения г , а риск а} минимизируется, может описываться системой уравнений (3.20; 3.21; 3.24; 3.25):

г = yw. ? г. > г ; (3.24)

р II И? v 7

/=1

°,=l? itwrWjCOVi/f[1]^ min.

(3.25)

i= 1 7=1

Решение указанной системы уравнений позволяет определить доли ценных бумаг Wj в формируемом портфеле.

Модель У. Шарпа

У. Шарп в 1963 г. на основе анализа рынка акций США установил, что доходность каждой отдельной акции и ее цена зависят от состояния рынка, определяемого рыночным индексом /.' Ученый выдвинул предположение о существовании линейной связи между доходностью акции (актива) и индексом рынка, описываемой уравнением (3.26):

г = а. + ss;. • / + е,., (3.26)

где / — рыночный индекс.

Проведенные исследования позволили определить, что увеличение числа акций в ИП снижают риск. Риск акций, связанный с конъюнктурой рынка, состоянием экономики и который невозможно исключить, называется недиверсифицированным (систематическим, рыночным). Риск акций, который может быть исключен за счет диверсификации ИП, называется диверсифицируемым (нерыночным, несистематическим, специфическим).

При проведении исследований У. Шарп использовал рыночный индекс S&P500, что и определило название модели — индексная. Предложенная модель позволила сократить объем расчетов и упростить порядок определения эффективного портфеля по сравнению с моделью Г. Марковица.

Дж. Трейнор предложил использовать в расчете вместо значения индекса / значение ожидаемой доходности портфеля г . Тогда уравнение (3.26) принимает вид (3.27), а модель называют рыночной:

r. = a.+ ss.*r +8., (3.27)

где г. — доходность ценной бумаги / за период; а;. — постоянная составляющая (коэффициент смещения) уравнения линейной регрессии, показывающая доходность ценной бумаги / при отсутствии воздействия на нее рыночных факторов;

$rCOVJ*„ (3.28)

где ss^. — коэффициент наклона, отражающий влияние на доходность ценной бумаги / изменения доходности рыночного ин-

декса I. Коэффициент (3;. может принимать положительные и отрицательные значения. При положительном значении (3;. с ростом доходности рыночного индекса доходность ценной бумаги будет расти, а при снижении — уменьшаться. При отрицательном значении (3;. рост доходности индекса влечет снижение доходности ценной бумаги, и наоборот. Большее значение р. (при (У > 0) означает более высокий рост доходности ценной бумаги, а большее значение Р;. (при (У < 0) — больший риск снижения доходности. При (У = 1 доходность ценной бумаги соответствует доходности индекса без учета изменения е;.. Ценные бумаги, имеющие коэффициент (У > 1, считаются более рискованными, чем рынок в целом, а при а. < 1 — менее рискованными; СОУ ковариация доходностей ценной бумаги / и рыночного индекса; о2т — дисперсия доходности рыночного индекса; г — доходность рыночного портфеля, определяемая как отношение изменения (прироста) значения доходности индекса за период к значению доходности на начало периода. Доходность рынка (рыночная доходность) представляет собой доходность рыночного портфеля, который описывается выбранным индексом; ?. — независимая случайная переменная (погрешность), характеризующая специфический риск актива, который нельзя объяснить воздействием рыночных факторов. Значения случайной переменной могут быть как положительными, так и отрицательными. В результате они могут погашать друг друга, и тогда среднее значение случайной переменной для ИП может стать равно нулю. Дисперсия имеет постоянное значение, ковариация с доходностью рыночного индекса и с нерыночным компонентом доходности других активов также равна нулю1. Поэтому при определенных условиях для диверсифицированного ИП специфический риск не учитывают.

Ожидаемая доходность ИП г , состоящего из п ценных бумаг, с учетом формулы (3.27), предложения У. Шарпа считать рыночный индекс условной ценной бумагой (п + 1) и при условии, что средняя арифметическая (ожидаемая) величина независимых случайных переменных для всех ценных бумаг ИП е;7 = 0, определяется по формуле (3.29):

П

П

п

  • 1 Шарп. У.Ф., Александер Г.Дж., Бэйли Дж.В. Инвестиции: Учебник. М.:
    • (3.29)
    • (3.30)

где IV. — удельный вес ценной бумаги / в ИП; г. — доходность ценной бумаги / в ИП; г — ожидаемая рыночная доходность. Дисперсия ИП а2р рассчитывается по формулам (3.31)—(3.33):

П

П

т

(3.31)

/ = I

/ = I

где о2 . — дисперсия значений независимой переменной актива /.

С/

1^=1;

/=1

п

  • (3.32)
  • (3.33)

Целью инвестора является минимизация значения дисперсии и определение удельного веса ценных бумаг IV из решения системы уравнений (3.29)—(3.32).

Дисперсия ценной бумаги (актива) о2;. по модели У. Шарпа рассчитывается по формуле (3.34):

о2, = «V1-Р,2 ? «А ? (3.34)

Первое слагаемое в формуле (3.34) определяет собственный (нерыночный) риск, а второе — рыночный риск. Рассчитаем величину стандартного отклонения рыночного и нерыночного риска ценной бумаги А, если коэффициент (3;. = 0,6, риск ценной бумаги од = 0,5 и уровень риска рынка а = 0,4.

Расчет проводим по формуле (3.34). Рыночный риск актива равен: (32а2т = 0,62 • 0,42 = 0,0576. Стандартное отклонение рыночного риска равно: д/0,0576 = ± 0,24 (± 24%).

Нерыночный риск определяется: а2 . = о2А - (33 • с2т = 0,52 -- 0,0576 = 0,1924. Стандартное отклонение нерыночного риска

равно: а2е/ = ^/0,1924 = ± 0,4386 (± 43,86%).

Дисперсия ценной бумаги (актива), определяемая рынком, рассчитывается с помощью коэффициента детерминации Я2, как меры связи изменения одной случайной величины от множества других, определяемого по формуле (3.35):

д2 = IV / °2,- (3.35)

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Если значение Я2 = 0, то это свидетельствует об отсутствии связи изменения доходности акций с изменением доходности рынка, а если равно 1, то изменение доходности акций на рынке полностью определяется изменением доходности рынка.

Используя результаты расчета предыдущего примера, определим значение Я[2] [3]:

R[3] = 0,6 • 0,4[3] / 0,5[3] = 0,384 (38,4%).

Полученное значение R[3] определяет, что за счет изменения доходности рынка произошло изменение доходности ценной бумаги на 38,4%. Оставшееся изменение доходности — 61,6% определяется другими факторами.

Модель САРМ

В 1964 г. У. Шарп, в 1965 г. Дж. Линтнер, а в 1966 г. Я. Моссин опубликовали работы, определившие появление модели оценки капитальных активов САРМ (англ. — capital asset pricing model)]'[3]'[9]. Исследованию данного вопроса посвящены труды Дж. Трейнора[10], Ф. Блэка и др.

Суть модели состоит в объяснении изменения доходности актива (ценных бумаг), обращающегося на рынке. Она не позволяет определить цену актива, но дает возможность определить ставку дисконтирования, необходимую для расчета стоимости актива. Модель основывается на ряде допущений, в числе которых следующие: рынок является эффективным, то есть активы считаются ликвидными, а их доходность зависит только от риска, отсутствуют транзакционные издержки и не учитываются налоги, инвесторы имеют одинаковые ожидания, действуют рационально, избегают риска и могут брать кредит и инвестировать средства по безрисковой ставке, а также рассматривают один и тот же горизонт инвестирования и др.

В соответствии с моделью риск ИП подразделяется на систематический и несистематический. Систематический риск устранить невозможно, но можно оценить влияние рынка на доходность активов с помощью показателя [3. Несистематический риск определяется финансовым состоянием предприятия-эмитента и может быть уменьшен за счет формирования диверсифицированного портфеля. В состоянии равновесия ожидаемая доходность /-го актива rj равна безрисковой ставке плюс вознаграждение за рыночный риск, измеряемый показателем р, и рассчитывается по формуле (3.36):

ri=rf+ Р ' (Гт~Г?’ <3'36)

где /у— доходность безрискового актива, в качестве которой может использоваться ставка дохода по краткосрочным или долгосрочным ценным бумагам в зависимости от горизонта инвестирования; Р = COVjm / о2да — мера систематического риска, характеризующая чувствительность доходности актива (для ИП рассчитывается показатель COV ) к изменению доходности рынка в целом. Считается, что при Р = 0 доходность актива (безрисковый актив) не зависит от доходности рынка; при Р = 1 риск актива и рынка сопоставимы; при Р = 2 актив имеет высокий риск; г — доходность рыночного портфеля, в целом по рынку (для России, например, может использоваться индекс РТС, ММВБ).

Например, при величине Р = 0,9, безрисковой ставке /у = 12% и доходности рынка гт =17% величина доходности актива г'А равна:

/д = 12% + 0,9 • (17% - 12%)= 16,5%.

Дальнейшее развитие вопросов управления ИП представлено в работах ряда ученых, например, Ф. Модильяни, М. Миллера, Ф. Блэка, М. Скоулза, Р. Мертона и др. Существующие подходы к оценке доходности и риска ИП модифицированы, разработаны новые модели управления ИП. К их числу можно отнести модель Ф. Блэка — Р. Литтермана (Блэка — Литтермана), модель ценообразования опционов Ф. Блэка — М. Шоулза (Блэка — Шоулза), многофакторная модель Е. Фама и К. Френча, арбитражная модель С. Росса, модель банка Goldman Sachs, РМРТ (англ. — Post Modem Portfolio Theory — постсовременная теория инвестиционного портфеля) и др.

  • [1] Sharpe W.F. Simplified model for portfolio analysis // Management Science, 1963. Vol. 9. No. 2. ИНФРА-М, 2001.
  • [2] Sharpe W. Capital asset prices: a theory of market equilibrium under conditions of risk //J. of Finance, 1964. Vol. 19. № 3. P. 425-442.
  • [3] Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets // Rev. of Economics a. Statistics, 1963. Vol. 47. № 1. P. 13-37.
  • [4] Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets // Rev. of Economics a. Statistics, 1963. Vol. 47. № 1. P. 13-37.
  • [5] Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets // Rev. of Economics a. Statistics, 1963. Vol. 47. № 1. P. 13-37.
  • [6] Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets // Rev. of Economics a. Statistics, 1963. Vol. 47. № 1. P. 13-37.
  • [7] Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets // Rev. of Economics a. Statistics, 1963. Vol. 47. № 1. P. 13-37.
  • [8] Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets // Rev. of Economics a. Statistics, 1963. Vol. 47. № 1. P. 13-37.
  • [9] Mossin J. Equilibrium in a Capital Asset Market // Econometrica, 1966. Vol. 34. No. 4. October, pp. 768—783.
  • [10] Trey nor Jack L. Towards a Theory of Market Value of Risky Assets. Unpublished paper. Cambridge: Arthur D. Little, 1961.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >