Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Основы технической диагностики

НОМЕНКЛАТУРА ИЗМЕРЯЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ

НОМЕНКЛАТУРА ИЗМЕРЯЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ ОДНОМАССОВОЙ СИСТЕМЫ

Собственное, вынужденное и общее движение. Амплитуда.

Угловая частота. Вибрация. Вибрационная диагностика.

Переменная во времени амплитуда периодического

движения. Номенклатура измеряемых параметров.

Амплитудно-частотная характеристика. Резонанс.

Резонансная частота

Согласно сформулированным в § 1.4 принципам технологии первым этапом технической диагностики является определение набора измеряемых величин.

На практике не всегда известен закон движения — уравнение движения — механической системы (насосов, компрессоров, трубопроводных систем и т.д.). Но, как было отмечено выше, такое уравнение существует — уравнение Лагранжа 2-го рода — и, следовательно, существует его решение.

Решение уравнения движения — функция перемещения — в приложении к любой технической системе имеет вид

(2-1-1)

где /(х,г) — закон изменения (взаимосвязи) аргументов и параметров механической системы, который нужно найти (аналитически или путем измерений).

Для большинства механических систем решение (2.1.1) уравнения движения допускает разделение переменных (метод разделения переменных Фурье). В этом случае искомое решение имеет вид

к

(2.1.2)

где Хк(х) — искомая функция формы; Тк(1) — искомая функция времени.

В результате подстановки искомого решения (2.1.2) в уравнение движения вместо одного уравнения движения относительно двух переменных х и Г получаются два уравнения для искомых функций Хк(х) и 7Д/) относительно соответственно одного переменного X и t.

Таким образом, согласно принципу разделения переменных общее искомое решение уравнения движения может быть представлено в виде (2.1.2). Но датчик измерительной аппаратуры устанавливается в конкретной точке, то есть координаты точки установки датчика фиксированы, что математически означает* = х0. В этом случае выражение (2.1.2) имеет вид

У = Х-Г* Ы ? Тк (?) = ? Тк (г), (2.1.3)

к к

где Ск постоянные.

Таким образом, измеряя параметры механической системы в конкретной точке = х0) мы определяем линейную комбинацию функций времени закона изменения механической системы (2.1.2). Это значит, что вопрос нахождения и исследования искомой функции времени в данной точке механической системы является фактически вопросом нахождения и исследования функций, составляющих ее линейную комбинацию. Поэтому, не ограничивая общности рас-суждений рассмотрим некую отдельную функцию времени Тк(к), входящую в линейную комбинацию (2.1.3) или являющуюся ее результатом.

Что представляет собой выражение (2.1.3) и ее составляющие Тк{() в механическом смысле? Согласно уравнению Лагранжа 2-го рода уравнение движения является дифференциальным уравнением второго порядка относительно времени. Поэтому в общем случае функция времени (индекс к опускаем)

у = т

является решением дифференциального уравнения второго порядка, стандартный вид которого

т ? у + qу + к ? у = /7(/). (2.1.4)

Слагаемое

ту (2.1.5)

является произведением коэффициента т на ускорение, следовательно, формализует силу инерции массы т. Слагаемое

Я У (2.1.6)

является произведением коэффициента ц на скорость, следовательно, формализует силу демпфирования (модель вязкого демпфирования). Слагаемое

к -у (2.1.7)

является произведением коэффициента к на перемещение, следовательно, формализует силу упругой реакции с коэффициентом упругости к. Таким образом, уравнение (2.1.4) формализует движение одномассовой механической системы, представленной на рис. № 2.1.1. И в этом случае коэффициенты и правая часть уравнения (2.1.4) имеет следующий механический смысл: т — масса системы, q — коэффициент демпфирования системы, к — жесткость системы, F{t) — «внешняя» возбуждающая сила, действующая на систему.

Уравнение (2.1.4) является неоднородным, поэтому его общее решение есть сумма общего решения однородного уравнения

т ? у + <7 • у + к ? у = 0 (2.1.8)

и частного решения неоднородного уравнения (2.1.4). Следовательно, общее решение уравнение (2.1.4) ищется в два этапа:

  • • находится общее решение однородного уравнения (2.1.8). Уравнение (2.1.8) формализует движение одномассовой механической системы, представленной на рис. № 2.1.2. Данное движение называется собственным движением, а уравнение (2.1.8) — уравнением собственного движения;
  • • находится частное решение неоднородного уравнения (2.1.4). Данное решение формализует движение, называемое вынужденным.

«Внешняя» нагрузка F(t)

Таким образом, общее движение механической системы — общее решение уравнения (2.1.4) — является суммой (суперпозицией) собственного и вынужденного движений.

Не умаляя общности рассуждений считаем пока коэффициенты т, д и к постоянными (не зависящими от времени) величинами. Общее решение однородного уравнения (2.1.8) имеет вид [12]

у = Щ = У-е?{, (2.1.9)

где Ти 5 — постоянные величины.

Подставим решение(2.1.9) в уравнение (2.1.8) и получим

т ? 52У • е5' + q • 5 • У ? еи + к У ? еи = 0. (2.1.10)

Так как нас интересует ненулевое решение, то можем уравнение (2.1.10) привести к виду

У ? ех( ? {т • 52 + ц • 5 + = 0

или

т • 52 + д • 5 + к = 0. (2.1.11)

Для механических систем выполняется неравенство

т* 0. (2.1.12)

Поэтому уравнение (2.1.11) можно переписать в виде 52 + 2 • ?, • (00 • 5 + (Од = О»

где со0 = I--угловая частота собственных колебаний системы

V т

без демпфирования; ?, =---= —--безразмерное отно-

2 • т • со0 <7С

сительное демпфирование; qc критическое демпфирование. Решая квадратное уравнение (2.1.13) получаем

^,.2 = - (-§ ± (2.1.14)

При выполнении условия

?>1 (2.1.15)

корни (2.1.14) квадратного уравнения (2.1.13) являются действительными величинами. Следовательно, функция (2.1.9) монотонно изменяется во времени.

При невыполнении условия (2.1.15) корни (2.1.14) квадратного уравнения (2.1.13) являются комплексными величинами

5 = Ь + / • О, (2.1.16)

где Ь, гЗ — постоянные величины.

В этом случае решение (2.1.9) однородного уравнения (2.1.8) имеет вид

у = Т({) = У ? е{ь+‘ ^ = Уеые (2.1.17)

Таким образом, в общем случае перемещение одномассовой системы (формализованное уравнением (2.1.8)) является суперпозицией:

• монотонного во времени движения, формализованного функцией

еы (2.1.18)

  • • и периодического во времени движения, формализованного функцией
  • 7 V *', (2.1.19)

с амплитудой У и угловой частотой гЗ.

При выполнении условия (2.1.15) перемещение — только монотонная функция (2.1.18).

Введем стандартизованные термины и определения [7]. Процесс поочередного (периодического) возрастания и убывания во времени

какой-либо величины — перемещения (2.1.19) — называется колебанием скалярной величины [7J. Колебания значений кинематической или динамической величины (перемещения (2.1.19)), характеризующей механическую систему, называются механическими колебаниями. Движение точки или механической системы, при котором происходят колебания характеризующих механическую систему величин, называются вибрацией. Техническая диагностика, основанная на анализе вибрации объекта диагностирования, называется вибрационной диагностикой.

Найдем условия, при которых собственное движение, формализованное уравнением (2.1.8), нарушит условие (1.1.29) для нормируемого параметра — перемещения у. Для этого с учетом (2.1.12) приведем уравнение (2.1.8) для функции времени к стандартному виду

f(t) + аT(t) + coj • T(t) = 0, (2.1.20)

q

где а = —. т

Решение уравнения (2.1.20) зависит от соотношения между его коэффициентами [22]. При выполнении условия

О

Л

оч

S3

  • 04 О
  • 3

(2.1.21)

решение (2.1.20) имеет вид

Я/

Т^) = е 2 • [Л • «Цсо •*) + /?• 8т(а> •/)],

(2.1.22)

где

_ ^4-со 1~а2

СО

2

(2.1.23)

— угловая собственная частота.

При выполнении условия

4 • со^ - а1 < 0

(2.1.24)

выражение под корнем в (2.1.23) становится меньше нуля, поэтому решение уравнения (2.1.20) принимает вид

at

(2.1.25)

T{t) = e 2 • [Д • с/?(со • г) + В ? sh(od • /)], где угловая собственная частота равна

При выполнении условия

4 • (Од = а2

решение уравнения (2.1.20) имеет вид

Т{г) = е~^ - (А-1+ В). (2.1.28)

Движение (2.1.22) является суперпозицией затухающего движения и ограниченного периодического движения. Следовательно, решение (2.1.22) соответствует условию (1.1.29). Движения (2.1.25) и (2.1.28) являются монотонными и, следовательно, могут привести к нарушению условия (2.1.29).

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

  • 1. Датчик измерительной аппаратуры, установленный в какой-либо точке исследуемой механической системы, измеряет функцию времени в виде (2.1.3).
  • 2. Выходной сигнал — функция времени в (2.1.3) — имеет стандартный вид (2.1.9).
  • 3. Перемещение механической системы, формализованной уравнением (2.1.8), есть суперпозиция монотонного движения (2.1.18) и периодического движения (2.1.19).
  • 4. Анализ искомого решения (2.1.9) однородного уравнения движения (2.1.8) сводится к оценке параметра монотонного движения

{,Ь} (2.1.29)

и функции (2.1.19)

{Г,Д}. (2.1.30)

  • 5. При собственном движении механической системы, формализованной дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, возможно монотонное движение, приводящее к нарушению условия (1.1.29) для нормируемого параметра — перемещения.
  • 6. Выполнение или нарушения условия (1.1.29) при собственном движении зависит от соотношения между коэффициентами дифференциального уравнения движения относительно функции времени.

Таким образом, согласно (2.1.17) в общем случае необходимо измерение следующего набора величин

{Г,6,Д}. (2.1.31)

На практике, значение параметра (2.1.29) необходимо знать, например, для оценки способности системы рассеивать энергию, определения эффективности устройств, устанавливаемых в конструкции для обеспечения затухания ее ненужного движения.

у = (? ? еы)eib t = A(t) ? eib в котором функция

(2.1.32)

A{t) = Y ebt (2.1.33)

является переменной во времени амплитудой периодического движения. В этом случае набором — номенклатурой — измеряемых параметров является

И(г),тЗ}. (2.1.34)

Так, в частности, при технической диагностике насосов и компрессоров выполняется измерение именно набора (2.1.34) — амплитуды виброскорости на соответствующей частоте. По изменению величины виброскорости определяется изменение технического состояния.

Проанализируем второй этап решения уравнения (2.1.4) — частное решение неоднородного уравнения (2.1.4).

Функция «внешней» нагрузки на ограниченном интервале времени может быть представлена рядом Фурье в экспоненциальной форме, то есть, в виде

Р({) = Р-еіЬі, (2.1.35)

где Р — амплитуда «внешней» нагрузки; іЗ — угловая частота «внешней» нагрузки.

Таким образом, уравнения движения одномассовой механической системы, подверженной воздействию периодической «внешней» нагрузки, —

т-у + ц- у + к у = Р е‘®'(. (2.1.36)

При выполнении условия (2.1.12) и с учетом принятых выше обозначений неоднородное уравнение (2.1.36) можно привести к виду

у + 2 • ?, • со0у + со^ • у = coj

г р

i-dt

(2.1.37)

Частное решение неоднородного уравнения (2.1.37) имеет вид (2.1.19) [12]

у = ? •/*', (2.1.38)

где ? — функция формы; е1^' — функция времени.

Подставим искомое решение (2.1.38) в уравнение (2.1.37) и получим

/О-/

./•О / _

-У • & • е/д7 + 2 • ^ • со о • / • О • У • е'*-' + (Оо-У • У07 =

= »о •

ГУ')

./?07

(2.1.39)

V /с у

Проведя необходимые преобразования из (2.1.39) найдем функцию формы

Ю°Т

2 У

У =

сод - тЗ2 + / • 2 • ?, • со0 • тЗ Учитывая, что для механических систем выполняется условие

со0 Ф 0, (2.1.40)

получаем

У =

1 -

ГйП

(

1

+ / •

24-

К°>о)

о

3

(2.1.41)

Тогда функция искомого решения (2.1.4) имеет вид

1

(лП

(. тЗ ^

+ / •

К 0)о у

"У"

к ;

(2.1.42)

Пусть в начальный момент времени (до приложения «внешней» нагрузки) система находилась в покое в положении {У0} (рис. № 2.1.3). Тогда после приложения к ней статической «внешней» нагрузки, т.е. при выполнении условия

я3 = 0, (2.1.43)

уравнение (2.1.36) принимает вид

к у = У • е' °'г = У. (2.1.44)

Решая (2.1.44) находим перемещение системы под действием статической нагрузки из положения {У0} в положение {У,} (см. рис. № 2.1.3)

Л* = ТО-ТО- (2.1.45)

к

г

Тогда решение (2.1.42) можно переписать в виде У = Н(«) -у„Vе', (2.1.46)

где

Н(тЭ-) =

1

Г. р яП

Л

+ / •

2-Е--

1а >)

о

  • 3
  • *

(2.1.47)

Таким образом, функция формы — амплитуда гармоники (2.1.38) — равна произведению

У=Н(Ъ)-у„. (2.1.48)

Функция (2.1.47) называется комплексной частотной характеристикой. Выражение (2.1.48) раскрывает ее механический смысл. Функция (2.1.47) показывает во сколько раз перемещение системы от воздействия динамической «внешней» нагрузки отличается от перемещения от воздействия статической нагрузки.

Равенство (2.1.42) или (2.1.46) показывает, что перемещение является комплексной величиной. Поэтому приведем функцию перемещения (2.1.42) к стандартному для комплексных чисел виду

(2.1.49)

'Г'

к у

У =

1 -

/ ^ л2

хюо у

/•2^

гЗ

со

о

1-

( 13 ^

2~

2

+

Г гЗ ^

24-

^ ю0 у

2

2"

+

Г гЗ ^

24- и

о

3

о

3^

_1

О

3

./о/

Из выражения (2.1.49) следует, что перемещение имеет одну компоненту (вещественную часть)

Ке(у) =

1 -

/ гЗ л2

V “о )

( 13 ^

2“

2

4 й гЗ ^

1 -

+

2-Е,--

о

3

О

3

»

//Г V к У

(2.1.50)

находящуюся в фазе с приложенной «внешней» нагрузкой, и вторую компоненту (мнимую часть)

V "о /

( 13 ^

2~

2

4 й гЗ ^

1 -

+

2-Е,--

о

3

О

3

»

2

Г/4

(2.1.51)

которая отстает по фазе на угол 90° от приложенной нагрузки. В этом случае говорят, что эта компонента находится в квадратуре с возбуждением (рис. № 2.1.4).

Таким образом, вектор перемещения массы т отстает от вектора возмущающей нагрузки на угол 0, определяемый по выражению

Г

К

1т(у)

Яе(у)

= Я/Г/&

со

о

/

1 -

/ гЗ л2

(2.1.52)

у

V “о )

Поэтому частное решение уравнения (2.1.36) или (2.1.37) — функция перемещения (2.1.38) — может быть записано в виде

с

Л

Величина

№2.1.4. Вектор перемещения, вещественная и мнимая компоненты вектора перемещения по отношению к вектору «внешней» нагрузки

Рис. №2.1.4. Вектор перемещения, вещественная и мнимая компоненты вектора перемещения по отношению к вектору «внешней» нагрузки

(2.1.53)

Н(яЗ) =

1

Г яЗ 'І

2"

2

Г. е яЗ ^

+

2-Е- —

О

1

(2.1.54)

является модулем комплексной частотной характеристики (в литературе имеет несколько названий — коэффициент усиления, увеличения деформации, динамичности).

Численное значение модуля комплексной частотной характеристики является функцией угловой частоты «внешней» нагрузки Ф. Максимальное значение функция (2.1.54) имеет при значении угловой частоты «внешней» нагрузки, равном

А = со0ф - 2 ? ^ . (2.1.55)

В этом случае максимальное значение функции (2.1.54) равно

Н(«) =-, (2.1.56)

Из (2.1.56) следует, что максимальное значение модуля комплексной частотной характеристики является функцией безразмерной величины относительного демпфирования Если

^ = 0 (2.1.57)

(механическая система не обладает демпфированием), то амплитуда — модуль комплексной частотной характеристики — достигает своего максимального значения при условии

й = со0. (2.1.58)

При этом максимальное значение модуля комплексной частотной характеристики

Н(?) = °с. (2.1.59)

Условие (2.1.59) означает, что при совпадении угловой частоты «внешней» возмущающей нагрузки с угловой частотой собственных колебаний системы без демпфирования последняя теряет устойчивость. Если система обладает демпфированием, то при выполнении условия (2.1.55) амплитуда гармонических колебаний механической системы достигает своего максимального значения, определяемого формулой (2.1.56).

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

  • 1. Перемещение механической системы под воздействием «внешней» динамической нагрузки отличается от перемещения под воздействием «внешней» статической нагрузки.
  • 2. Отношение перемещений механической системы под воздействием «внешней» динамической и статической нагрузок равно модулю комплексной частотной характеристики.
  • 3. Модуль комплексной частотной характеристики — функция угловой частоты «внешней» нагрузки.
  • 4. Модуль комплексной частотной характеристики имеет максимум при определенном отношении угловой частоты «внешней» нагрузки и угловой собственной частоты механической системы.
  • 5. Для одномассовой системы при выполнении условия (2.1.55) модуль комплексной частотной характеристики принимает значение (2.1.56).
  • 6. Даже периодическая функция «внешней» нагрузки при выполнении условия (2.1.23) может привести к неограниченному росту перемещения (выполнению условия (2.1.25)).

Из вышесказанного следует необходимость введения следующих стандартизованных терминов и определений [7].

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний или вибрации системы от частоты гармонического возбуждения с постоянной амплитудой называется амплитудно-частотной характеристикой.

Вынужденные колебания (вибрация) системы, соответствующие одному из максимумов амплитудно-частотной характеристики, называются резонансом.

Частота, при которой осуществляется резонанс, называется резонансной частотой колебаний системы или Резонансной частотой. Примечание. В системе с демпфированием резонансные частоты перемещения, скорости и ускорения различны.

Таким образом, в рассмотренном примере для системы с демпфированием резонансной частотой является частота, определяемая по выражению (2.1.55). Для системы без демпфирования резонансной частотой является частота, определяемая по выражению (2.1.58).

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

  • 1. Номенклатурой измеряемых параметров являются наборы (2.1.31) или (2.1.34).
  • 2. Сигналы «на входе» («внешняя» нагрузка ДО) и «выходе» (перемещение системы у) одномассовой системы имеют стандартный вид (соответственно (2.1.35) и (2.1.19)).
  • 3. Именно стандартность сигналов «на входе» и «выходе» создает возможность построения технологии и, следовательно, является первым элементом технологической цепочки технической диагностики.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы