КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК ИЗМЕРЕНИЯ И МЕСТА ИХ РАСПОЛОЖЕНИЯ

Обобщенные массы и обобщенные жесткости.

Возможность оценки технического состояния по измерению в одной или нескольких точках конструкции

В § 2.1 была рассмотрена одномассовая система (система с одной степенью свободы). Реальные технические конструкции представляют собой сложные системы с большим числом степеней свободы и поэтому формализуются многомассовыми системами с дискретно и непрерывно распределенными параметрами. При решении уравнения движения системы с распределенными параметрами численным методом (часто единственный возможный метод решения для сложных механических систем) совершается переход от системы с непрерывно распределенными параметрами к некой эквивалентной системе с дискретным распределением параметров. Этот переход с механической точки зрения означает замену рассматриваемой реальной системы с распределенными параметрами некой эквивалентной многомассовой системой. Поэтому многомассовая система является, возможно, наиболее часто используемой математической моделью, идеализирующей реальную систему.

Как скажется на номенклатуре измеряемых параметров усложнение конструкции системы — переход от одномассовой системы к многомассовой?

Рассмотрим многомассовую (число дискретных масс больше единицы) систему. Математически анализ многомассовой механической системы осложняется необходимостью решения большого числа составляющих систему уравнений движения. Для таких систем уравнений эффективным средством упрощения записи является матричный метод, при котором большие системы уравнений записываются с помощью краткой системы обозначений — в матричной форме.

Рассмотрим уравнение движения системы без демпфирования, показанной на рис. № 2.2.1. Система состоит из двух масс тх и т2, совершающих перемещения соответственно у [ и у2, трех элементов с жесткостью кь к2и к3и нагружена «внешними» возмущающими нагрузками У7, и Р2, приложенными соответственно к массам тх и т2.

№2.2.1. Двухмассовая система

Рис. №2.2.1. Двухмассовая система

Система уравнений движения такой механической системы имеет вид

[щ ? у, + (?, + к2) ? У - к2 ? у2 =

Щ ? У2 - к2 ? У + (к2 + ^з) • У2 = Р2-

Систему уравнений (2.2.1) можно переписать в матричной форме

ті О

У

+

к + к2

-к-

0 т2

2 к2 + к3

или

м • ш+

и»=и,

где

Г 1 щ

0 "

О т-

матрица масс системы;

[*] =

к + ^2 _^2

2 к2 + к3

У

Уі

  • (2.2.2)
  • (2.2.3)
  • (2.2.4)
  • (2.2.5)
  • матрица жесткости системы;
  • (2.2.6)
  • вектор перемещений системы;
  • (2.2.7)
  • вектор ускорений системы;
  • (2.2.8)
  • вектор «внешней» нагрузки.

Решение уравнения(2.2.3), как и любого неоднородного, является суммой двух слагаемых: общего решения однородного уравнения

М • {у} + [А:] • {у} = {0} (2.2.9)

и частного решения неоднородного уравнения (2.2.3).

Рассмотрим последовательно:

  • • общее решение однородного уравнения — собственное движение многомассовой системы;
  • • частное решение неоднородного уравнения — вынужденное движение многомассовой системы.

Для гармонического движения выполняется условие [12]

{у} =-А, • {у}, (2.2.10)

где А,= СО0.

Тогда уравнение (2.2.9) принимает вид

-ИН - М + М М = {о}

ИЛИ

[-*. N + [*]]-{Д = {0}. (2.2.11)

Умножая слева уравнение (2.2.11) на [т]"1 и производя перестановку, получим

И~'-[*]-И1]]-М = {0}. (2.2.12)

где [т]~х • [т] = [I] — единичная матрица системы. Матрица

[т~1 ? [к] (2.2.13)

называется динамической матрицей системы.

Для существования не равного тождественно нулю решения уравнения (2.2.12) необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы [т] 1[к] - X ? [I]] был равен нулю. Следовательно, получаем уравнение для нахождения значений А.

М"1 ?[*]-*• [I]

= 0,

(2.2.14)

которое называется характеристическим уравнением системы. В общем случае для системы с п степенями свободы уравнение (2.2.14) представляет собой полином по X вида

(2.2.15)

X" +аг Хп~{ + а2Хп~2 + ... + ап = 0.

Корни характеристического уравнения А7- называются собственными значениями, а собственные угловые частоты рассматриваемой механической системы без демпфирования определяются из выражения

X] = а>оу (/' = 1,п). (2.2.16)

Подставляя А,.- в матричное уравнение (2.2.12) получим соответствующую форму колебаний }7, которая также называется собственным вектором. Собственный вектор представляет собой схему деформации конструкции на соответствующей собственной частоте.

Решение уравнения (2.2.11) приводит к п собственным значениям и соответствующим им п собственным векторам. Это значит, что определенные собственное значение А,- и собственный вектор {Ф,-} будут удовлетворять уравнению (2.2.11), то есть

[*] ? {Ф/} = К ? N ' {Ф,}• <2-2.17)

Умножая слева уравнение (2.2.17) на транспонированный вектор другой собственной формы у получим

{Фу}Т[к] • {ф,} = к, - {фу}Т И {Ф,}. (2.2.18)

Теперь запишем уравнение (2.2.17) дляу'-й собственной формы и умножим его слева на транспонированный вектор /-й собственной формы

{Ф,-}Т ? М-{ф,.} = X,- - {Ф,}т ? И - {Ф,}. (2.2.19)

Так как, [т и [к — симметричные матрицы, то

{ф,Г ' [к ? {Ф,} = {ФЛТ ? [к] ? {Фу},

;}т-Н {ф,} = {ф,}т И {фу}-

Поэтому, вычитая уравнение (2.2.19) из уравнения (2.2.18), получим

О = (X,- - X, ) ? {Ф, }1т - {Ф, }- (2.2.20)

Если А,- Ф Ау (рассматриваем две различные собственные частоты), то из (2.2.20) следует, что

{Ф,.}т-[ш]-{фу} = 0, (2.2.21)

а из уравнения (2.2.19) —

{Ф, }т • [*] • {ф, } = 0. (2.2.22)

Равенства (2.2.21) и (2.2.22) определяют свойства ортогональности собственных форм вибрации по отношению к матрицам масс и жесткости механической системы.

Если же / =у, то, как следует из уравнения (2.2.20), две собственные формы не являются обязательно ортогональными. Тогда уравнение (2.2.20) равно некоторой скалярной величине, отличной от нуля, например, М„ то есть,

{Ф, }т ? [т] - {Ф,.} = М( * 0, (< = 1, 2, 3,..., я). (2.2.23)

Из уравнения (2.2.19) следует, что

{Ф/}Т М? {ф,}= х, ? М, = 2ы ? М, = к,ф0,(1=1,2,3,я). (2.2.24)

М1 и К, называются соответственно обобщенной массой и обобщенной жесткостью системы.

Рассмотрим вынужденное движение данной двухмассовой механической системы — уравнение (2.2.3).

Воспользуемся свойствами ортогональности собственных форм, рассмотренными выше. Из условия (2.2.23) и (2.2.24) следует, что, если матрицу масс или жесткости умножить справа и слева соответственно на вектор собственной формы и на его транспонированный вектор, то в результате получим некоторую скалярную величину.

Используем матрицу [Ф], столбцами которой являются векторы собственных форм, для некоторого преобразования координат {у} в координаты {г|}

М = [фНп}. (2-2.25)

где

[ф] = [{Ф,},{Ф2}.....{ф„}]- (2.2.26)

Подставив выражение (2.2.25) в уравнение (2.2.3) получим

И [Ф] {П} + М N {ЧЫ/Д (2.2.27)

Умножая слева уравнение (2.2.27) на [Ф]т получим

[Ф]т - [я,] [Ф] - {л} + [Ф]т - [*] - [Ф] - {л} = [Ф]т ? {/?}. (2.2.28)

В уравнении (2.2.28) матрицы масс и жесткости умножаются справа и слева соответственно на векторы и транспонированные векторы всех собственных форм. Таким образом, произведения представляют собой соответственно матрицы

[М] = [Ф]т- • [Ф] (2.2.29)

и

[К] = [Ф]т[к] • [Ф], (2.2.30)

у которых диагональные элементы являются постоянными величинами соответственно М( (2.2.23) и К{ (2.2.24), а все недиагональные элементы равны нулю. Отсюда уравнение (2.2.28) можно записать в виде

[Л^] {л} + [/Г] {п} = [Ф]т {^}- (2.2.31)

Уравнение (2.2.31) представляет собой систему п уравнений вида

м, -% + Кг П, ={Ф, Г- К} = /> (2-2.32)

Уравнение (2.2.32) является уравнением движения одномассовой системы с одной степенью свободы (рис. № 2.2.2) и раскрывает механический смысл понятия обобщенная масса и обобщенная жесткость.

Использование обобщенных масс и жесткостей позволяет формализовать движение каждой массы многомассовой механической системы уравнением движения одномассовой системы. Следовательно, выводы, полученные для одномассовой системы, верны и для движения каждой массы многомассовой механической системы и, следовательно, всей многомассовой системы в целом. И, прежде всего, номенклатура измеряемых параметров остается набором (2.1.34).

Нагрузка /у

Масса М,

Жесткость К,

Рис. №2.2.2. Одномассовая система с одной степенью свободы

Кроме этого, из уравнения (2.2.32) следует вывод, являющийся основой принципиальной возможности разработки и применения технологии технической диагностики по внешним параметрам путем измерения выходного сигнала в одной и, следовательно, в нескольких точках (рис. № 2.2.3).

Датчик измерительной аппаратуры Сигнал {Д(?),?}

* '

№2.2.3. Измерение в одной точке многомассовой системы

Рис. №2.2.3. Измерение в одной точке многомассовой системы

Значения обобщенных масс и жесткостей являются функциями всех масс и жесткостей всей механической системы. Следовательно,

любое изменение любой из масс или жесткости (например, к) в общем случае приводит к изменению значений обобщенной массы (М2) и жесткости (К2) в уравнении движения, формализующем движение точки (массы т2), в которой установлен датчик измерительной аппаратуры. Сигнал (2.1.34), поступающий на датчик измерительной аппаратуры, — решение уравнения движения. Поэтому по изменению поступающего на датчик сигнала принципиально возможно установить сам факт и величину изменения массы или жесткости {) элемента конструкции, даже непосредственно и не контактирующего с датчиком. Так, например, датчик измерительной аппаратуры устанавливается на корпусе подшипника вала насоса или компрессора.

После того, как получено решение уравнения (2.2.32) для всех значений Г),, решение для исходных координат {у} определяется по выражению (2.2.25).

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

  • 1. Номенклатура измеряемых параметров при измерении многомассовой системы остается той же, что и для одномассовой системы, — (2.1.34).
  • 2. В многомассовой системе датчики измерительной аппаратуры могут устанавливаться на нескольких (больше, чем на одном) элементах конструкции. Поэтому наборов измеренных данных (2.1.34) и комбинаций численных значений амплитуд и частот в общем случае может быть больше единицы.
  • 3. Использование обобщенных масс и жесткостей теоретически доказывает принципиальную возможность разработки и применения технологии технической диагностики по внешним параметрам путем измерения выходного сигнала (2.1.34) в одной или в нескольких точках конструкции объекта.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >