Денежные лотереи и отношение к риску. Меры абсолютного и относительного отклонения риска Эрроу - Пратта. Безрисковый эквивалент

Рассмотрим лотереи, результатами которых являются некоторые денежные суммы. Функция у(с) в этом случае будет оценивать полезность денег. Функцию полезности результатов принято называть элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли, а функцию ожидаемой полезности действий Ц(х) — функцией фон Неймана —Моргенштерна.

Будем считать, что у(с) — непрерывная возрастающая функция

(У(с) > 0).

Индивид называется не склонным к риску (отклоняющим риск), если для него безрисковый вариант поведения предпочтительнее рискового (лотереи) с тем же математическим ожиданием.

Индивид называется склонным к риску (принимающим риск), если для него рисковый вариант поведения (лотерея) предпочтительнее безрискового с тем же математическим ожиданием.

Индивид, для которого равноценны безрисковый вариант поведения и рисковый (лотерея) с тем же математическим ожиданием, называется нейтральным по отношению к риску.

Функции полезности индивидов у(с) с различным отношением к риску приведены на рис. 4.1.

а) б) в)

Пусть Ь = (с_{, с₂ я₁₅ л₂) некоторая элементарная лотерея. Тогда Е(с) — ожидаемый доход лотереи, а ЩЕ) — ожидаемая полезность лотереи, т.е. Ц(Ь) = ?’[у(с)].

На рис. 4.1, а приведена функция полезности индивида, не склонного к риску (строго отклоняющего риск). Эта функция строго выпукла вверх, т.е. у"(с) < 0. Содержательно это означает, что для индивида, не склонного к риску, предельная полезность денег [у'(с)1 убывает с ростом дохода, а полезность от гарантированного дохода, равного Е(с), больше, чем ожидаемая полезность рискового варианта (лотереи) и(Ь), т.е. у(Е(с)) > Е [у(с)].

На рис. 4.1, б приведена функция полезности индивида, склонного к риску (строго отклоняющего риск). Эта функция строго выпукла вниз, т.е. у"(с) > 0. Содержательно это означает, что для индивида, строго склонного к риску, предельная полезность денег [у'(с)] возрастает с ростом дохода, а полезность от гарантированного дохода, равного Е(с), меньше, чем ожидаемая полезность рискового варианта (лотереи) и(Е), т.е. у(?(с)) < Е [у(с)].

И наконец, на рис. 4.1, в приведена функция полезности индивида, нейтрального по отношению к риску. Функция полезности такого индивида линейная, так как, согласно определению, для него равноценны рисковый и безрисковый варианты решения, т.е. у(Е(с)) = Е[у(с)].

Среди индивидов, принадлежащих к одному типу по отношению к риску, допустим, не склонных к риску, не все в одинаковой степени отклоняют риск. Поэтому для измерения степени отклонения риска следует ввести меру отклонения риска.

Абсолютной мерой отклонения риска Эрроу — Пратта называется

(4.4)

Будем говорить, что индивид с функцией полезности у₂(с) обладает большей несклонностью к риску, чем индивид с функцией полезности у^с), если г(с) < г_А(с) для любого с.

Относительной мерой отклонения риска называется

(4.5)

Аналогичные меры можно ввести для индивида, склонного к риску.

Безрисковый эквивалент лотереи — это гарантированный доход, который обеспечивает индивиду такую же полезность, что и ожидаемая полезность рисковой ситуации (лотереи). Обозначим его с_е.

Тогда справедливо следующее: у(с_е) = Е [у(с)]. (4.6)

Утверждение 4.2.1. Теорема Эрроу — Пратта. Пусть предпочтения двух индивидов представимы функциями ожидаемой полезности Неймана —Моргенштерна с возрастающими, строго выпуклыми вверх, дважды дифференцируемыми элементарными функциями полезности. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• 1) г (с) < г (с) для всех с;
• 2) У₂(*) — выпуклая вверх трансформация у,(-): у₂(с) = ср (У](с)), где ср (•) — возрастающая, строго выпуклая вверх функция;
• 3) с^(Ь) < с¹е(Ь) для любой лотереи Т.

Будем говорить, что функция у(с) характеризует убывание абсолютной несклонности к риску, если г_А(с) является убывающей функцией с.

Утверждение 4.2.2. Изменение степени несклонности к риску. Пусть предпочтения двух индивидов представимы функциями ожидаемой полезности Неймана — Моргенштерна с возрастающими, строго выпуклыми вверх, дважды дифференцируемыми элементарными функциями полезности. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• 1) функция т(с) характеризует убывание абсолютной несклонности к риску;
• 2) при любом с₂<с₁, у₂(г) = у(с₂ + г) является выпуклой вверх трансформацией функции у,(г) = у(с₁ + г): у₂(г) = ф (уДс)), где ф (•) -возрастающая выпуклая вверх функция;
• 3) для любой лотереи Ь разница между богатством потребителя и безрисковым эквивалентом (с - с_г) убывает с ростом с, где у(с_г) = Ду(с + г)).