ЗАДАЧИ

  • 4.1
  • 4.1.1. Заданы составные лотереи:
    • (1, Ь2, Ь3; 1/3, 1/3, 1/3) и (14, 4; 1/2, 1/2),

где Т, = (1/5, 2/5, 2/5); Т2 = (0, 1, 0); Т3 = (1/5, 2/5, 2/5); Ц = (2/15, 8/15, 1/3); Т5 = (2/15, 2/3, 1/5).

Являются ли приведенные лотереи эквивалентными?

  • 4.1.2. Заданы составные лотереи:
    • (1, С2, Ь3; 1/3, 1/3, 1/3) и (14,15; 1/2, 1/2),

где Т, = (2/5, 1/5, 2/5); Ь2 = (1,0,0); Ьъ = (2/5, 2/5, 1/5), Ь4 = (8/15, 2/15, 1/3); Т5 = (2/3, 2/15, 1/5).

Являются ли приведенные лотереи эквивалентными?

  • 4.1.3. Функция полезности Виктора имеет вид у(с) = (с)1/2, а его исходное богатство равно 100 ден. ед. За 100 ден. ед. он может купить рисковый актив С, который с вероятностью 1/20 принесет ему 10 000 ден. ед. либо не принесет ни копейки с вероятностью 19/20.
  • 1. Сравните ожидаемый доход актива Ь с его ценой.
  • 2. Купит ли Виктор этот актив?
  • 3. Какую цену он готов заплатить за этот актив?
  • 4.1.4. Фермер должен решить, удобрять поле или нет. Его доход зависит не только от этого решения, но и от того, будут ли дожди, вероятность чего равна 0,5. В таблице приведены величины его доходов в условных денежных единицах для различных действий и состояний природы.

Дожди

Нет дождей

Не удобрять

16

9

Удобрять

25

0

Станет ли фермер удобрять поле, если его функция полезности имеет вид:

  • 1) у(с) = (с)1/2; 2)у(с) = с2; 3)у(с) = с + 2.
  • 4.1.5. Предположим, что вас зачислили одновременно в два колледжа — А и Б. В колледже А более жесткие требования к успеваемости студентов, но он является более престижным, чем колледж Б. Во всех других отношениях, кроме возможного влияния на будущую профессиональную карьеру, оба колледжа для вас равнозначны. Выбор колледжа Б представляется более рациональным, поскольку в нем вы будете успешно справляться с академической нагрузкой, а после его окончания получите довольно приличную работу. Если вы сможете соответствовать требованиям, установленным в колледже А, то после его окончания у вас появится возможность получить очень хорошую работу. Однако не исключено, что ваша успеваемость будет низкой, и в итоге вам смогут предложить только плохую работу.

Если ваша функция полезности заработка имеет вид у(с) = С1/2, где С — величина заработка, то:

  • 1) какой из двух колледжей вы предпочтете посещать при условии, что вероятность получить очень хорошую работу с заработной платой в размере I 000 000 ден. ед. в год равняется 0,6, а величина заработной платы на приличной работе составляет 690 000 ден. ед. в год?
  • 2) какой должна быть сумма заработка на приличной работе, чтобы оба колледжа оказались для вас одинаково привлекательными?
  • 4.1.6. Допустим, функция полезности индивида описывается следу-

/

Д/2

ющей формулой: у(с) = альтернатив:

V

1000

/

. Ему предлагается выбор из двух

  • (A) получить доход в 250 ден. ед. достоверно и
  • (B) принять рисковый вариант действия: В = (810, 360, 160; 0,1; 0,5; 0,4).

Каким должен быть его выбор согласно правилу ожидаемой полезности Неймана—Моргенштерна?

  • 4.1.7. Докажите, что функции полезности Бернулли, различающиеся только выбором начала отсчета и единицы измерения, описывают одну и ту же систему предпочтений относительно риска, и что верно обратное: если функции полезности V(c) и Щс) описывают одно и то же отношение предпочтения относительно риска, то выполняется равенство Щс) = а + b V(c), где b > 0.
  • 4.1.8. Предпочтения трех индивидов на множестве результатов описываются следующими функциями: V] = с, V2 = с1/2, V3 = с2. Каждый из них может инвестировать в один из следующих проектов:

П, = (480,480; 0,5, 0,5); ?’(П,) = 480;

П2 = (850, 200; 0,5, 0,5); Е{П2) = 525;

П3 = ( 1000,0; 0,5, 0,5); ДП3) = 500.

  • 1. Определите, какие проекты выберут индивиды согласно их функциям предпочтения, как их решения согласованы с математическими ожиданиями проектов?
  • 2. Если бы индивиды могли выбирать желаемую «смесь» проектов, какие варианты они бы предпочли? (Предположим, что доходы по проектам 2 и 3 связаны прямолинейной зависимостью.)
  • 4.1.9. Допустим, что v(c) — функция полезности Бернулли некоторого индивида с начальным богатством с0. Имеется лотерея L = (G, В Р, 1 — Р)-
  • 1. Если индивид владеет лотереей, то какова минимальная цена, по которой он готов ее продать (выписать соотношение для определения цены продажи)?
  • 2. Если индивид не собственник этой лотереи, то какова максимальная цена, по которой он готов ее купить (выписать соотношение для определения цены покупки)?
  • 3. Равны ли цена продажи и цена покупки?
  • 4. Пусть G= 10, В = 5, с0 = 10, v(c) = с1/2. Определите цену покупки и продажи лотереи при этих условиях.
  • 4.1.10. Функция полезности Анны имеет вид: v(c) = 500 - (Ю0/С), где С — уровень потребления. Анна имеет медицинское образование. Если Анна станет государственным служащим, то она будет гарантированно потреблять 30 000 евро в год. Если она будет работать педиатром, то ее доход может стать равным 60 000 евро в случае подъема рождаемости и 20 000 евро — в случае спада. Вероятность бума рождаемости равна 3/4, а вероятность спада — 1/4. Консалтинговая фирма, занимающаяся демографическими проблемами, может оценить, какая ситуация, скорее всего, будет иметь место.

Определите, какую максимальную сумму Анна готова заплатить за эту информацию?

  • 4.2
  • 4.2.1. Покажите, что коэффициент относительного отклонения риска гк(с) оценивает эластичность предельной полезности дохода (богатства) по доходу.
  • 4.2.2. Покажите, что для функции полезности Бернулли у(с) = -е~ах, где а > 0, абсолютная мера отклонения риска Эрроу — Пратта постоянна и равняется а > 0.
  • 4.2.3. Приведите определение относительной меры Эрроу — Пратта. Обладает ли функция полезности у(с) = С|/3 свойством постоянства относительной меры Эрроу — Пратта?
  • 4.2.4. Допустим, функции полезности Бернулли у(с) = с1/2.
  • 1. Рассчитайте коэффициенты Эрроу — Пратта абсолютного и относительного отклонения риска при уровне богатства индивида, равном 5.
  • 2. Рассчитайте достоверный эквивалент и премию за риск для лотереи (16, 4; 1/2, 1/2).
  • 3. Рассчитайте достоверный эквивалент и премию за риск для лотереи (36, 16; 1/2, 1/2). Сравните полученные оценки с аналогичными из пункта 2. Приведите содержательную интерпретацию.
  • 4.2.5. Функция полезности индивида описывается формулой: у(с) = 120 - 200/С. У индивида есть две возможности выбора:
  • 1) получить достоверно 4 ден. ед.;
  • 2) принять участие в лотерее, где он может выиграть 10 ден. ед. с вероятностью 1/4 или выиграть 2 ден. ед. с вероятностью 3/4.

Определите:

  • 1) каково отношение индивида к риску (постройте график функции полезности Бернулли)?
  • 2) что предпочтительней для индивида: играть или получить 4 ден. ед.?
  • 3) чему равен ожидаемый выигрыш лотереи?
  • 4) чему равен безрисковый (достоверный) эквивалент лотереи?
  • 4.2.6. Выпускнику МГУ (далее — В) предложили два места работы. Безопасная работа преподавателя с заработной платой 400 ден. ед. в месяц, либо работа, связанная с финансовым риском, с заработной платой, равной ^Гден. ед. в месяц. Вероятность неудачи во втором случае оценивается в 40%.

Функция полезности В имеет вид: у(с) = 50 - (8000/С) - Н, где С — величина заработной платы, а Н — параметр, значение которого равно 10 при неудаче и 0 — в нормальной ситуации.

Какой должна быть премия за риск, чтобы В предпочел стать менеджером?

  • 4.2.7. Определите отношение к риску индивидов, чьи функции полезности описываются следующими формулами:
    • г) К=с1/2;
    • д) У= 100 +6с;
    • а) V = 1п с;
    • б) V- ас- Ьс2 (а, Ь — положительные константы);
    • в) У-с2;
  • 4.2.8. Рассмотрим лотерею с тремя возможными исходами: 100 ден. ед. можно получить с вероятностью 0,1; 50 ден. ед. — с вероятностью 0,2 и 10 ден. ед. — с вероятностью 0,7.
  • 1. Чему равна величина ожидаемого дохода лотереи?
  • 2. Определите безрисковый эквивалент лотереи, если функция

полезности индивида имеет вид: 1) у(с) = (с)1/2; 2) у(с) = с2;

  • 3) у(с) = 2с + 5.
  • 3. Какой частью дохода готов пожертвовать индивид, чтобы избежать риска?
  • 4.2.9. Филипп занимается перепродажей подержанных автомобилей и имеет функцию полезности у(с) = с'/2. Он располагает суммой 250 тыс. руб. и решает, следует ли за эти деньги приобрести автомобиль, качество которого он не может точно оценить. По его мнению, с вероятностью 0,5 автомобиль не побывал в серьезной аварии. Тогда после ремонта его можно будет перепродать, получив чистую прибыль 52 500 руб. Если же автомобиль побывал в аварии, то чистый убыток от его перепродажи составит 38 400 руб.
  • 1. Определите, приобретет ли Филипп автомобиль.
  • 2. Какую максимальную цену Филипп готов заплатить за возможность получить точную оценку состояния автомобиля в автосервисе до покупки (в случае покупки оплату услуг автосервиса он может произвести после перепродажи)?
  • 4.2.10. Иванов Петр имеет начальное богатство 30 ден. ед. и функцию полезности Бернулли т(с) = 20 ——. У него есть возможность приобрести акцию компании «Норильский никель» за 20 ден. ед. Он считает, что с вероятностью 3/5 эта акция будет в следующем месяце стоить 30 ден. ед., а с вероятностью 2/5 — 10 ден. ед. Также у Иванова есть возможность приобрести эту акцию совместно еще с девятью его товарищами на условиях равного разделения вкладов и прибылей. Будет ли Иванов покупать акцию один или совместно?
  • 4.2.11. Фирма с функцией полезности и(х) =х~ 0,0002х2 — объем производства) занимается производственными операциями, которые требуют использования воспламеняющихся растворителей для выполнения сварочных операций в том же здании. Страховая компания определила, что это тот тип операций высокого риска, при котором пожар может привести к полному разрушению здания, а вероятность возникновения пожара в рамках отрасли составляет 20%.

Если здание фирмы сгорит, то на его восстановление потребуется 400 000 евро.

Фирма обоснованно (достоверно) ожидает получить доход от основной деятельности в размере 500 000 евро в год.

  • 1. Определите, сколько фирма готова заплатить за страховой полис на случай пожара при условии, что в этом случае здание будет восстановлено, если ей неизвестна вероятность возникновения пожара в рамках отрасли?
  • 2. Какова должна быть премия по страховому полису, необходимая на случай пожара для покрытия возможного ущерба в размере 400 000 евро, если страховая компания требует премию, на 25% превышающую убытки от пожара (для покрытия накладных расходов и получения прибыли)?
  • 3. Стоит ли фирме покупать страховку? Для ответа на вопрос заполните матрицу решений.

Матрица решений

Пожар

(вероятность 0,5)

Пожара нет (вероятность 0,5)

Ожидаемая

полезность

Страховать

Не страховать

  • 4. Стоит ли фирме покупать страховку, если ей известна вероятность возникновения пожара в рамках отрасли?
  • 4.3
  • 4.3.1. Докажите, что стандартные кривые безразличия индивида, не склонного к риску, в пространстве обусловленных благ выпуклы к началу координат, т.е. предельная норма замещения является убы-

СІС'

с1с,

— < 0 по с,.

вающей функцией М(с, с2) =

  • 4.3.2. Доход индивида равен 25 ден. ед. Он может принять участие в следующей игре: бросается шестигранная игральная кость; если выпадет 5, то он выиграет 1 ден. ед., если появится любая другая цифра, то он проиграет 1 ден. ед.
  • 1. Изобразите бюджетное ограничение индивида в пространстве случайных товаров (С|5 С2).
  • 2. Проведите линию определенности и линию равных возможностей.
  • 3. Какой должна быть вероятность выигрыша в игре, чтобы эта игра стала актуарно справедливой?
  • 4.3.3. Доход индивида составляет 100 ден. ед. Он может принять участие в следующей игре: выиграть 5 ден. ед. с вероятностью 4/5 или проиграть 4 ден. ед. с вероятностью 1/5.
  • 1. Изобразите бюджетное ограничение индивида в пространстве случайных товаров (С,, С2).
  • 2. Проведите линию определенности и линию равных возможностей.
  • 3. Какой должна быть вероятность выигрыша в игре, чтобы эта игра стала актуарно справедливой?
  • 4.3.4. Индивид Б является не расположенным к риску человеком, функция полезности которого описывается формулой И(С) = 5С1/2. Пусть его доход до вычета налогов составляет 2000 ден. ед. Система налогообложения функционирует согласно следующим трем принципам:
  • 1) ставка налогообложения равняется /= 1/4;
  • 2) налоговая декларация проверяется с вероятностью л= 1/5, и индивид Б об этом осведомлен;
  • 3) если при проверке выяснится, что Б скрывает доходы, то ему придется выплатить налог и заплатить/ден. ед. штрафа за каждую денежную единицу скрытого от налогообложения дохода.
  • 1. Постройте бюджетное ограничение индивида Б в пространстве обусловленных товаров (С1? С2) 1 — уровень потребления, если проверка произойдет, С2 — уровень потребления, если проверки не будет).
  • 2. Отметьте точку вклада, проведите линию определенности и линию равных возможностей.
  • 3. Определите оптимальный выбор потребителя при данной системе налогообложения. Отметьте на бюджетном ограничении точку потребительского выбора и проведите кривую безразличия, соответствующую оптимальному набору.
  • 4. Какую часть дохода скрыл индивид от налогообложения?
  • 5. При какой величине штрафа за каждую денежную единицу дохода, скрытого от налогообложения, индивиду Б будет выгодно декларировать доход полностью?
  • 4.3.5. Менеджер совершенно конкурентной фирмы должен определить объем производства, максимизирующий прибыль, не располагая достоверной информацией о цене продукции и издержках. При этом он предполагает, что распределение вероятностей цены таково:

Цена

15 ден. ед.

16 ден. ед.

17 ден. ед.

18 ден. ед.

Вероятность

0,1

0,2

0,3

0,4

Что касается издержек: аналитический отдел фирмы оценил с помощью регрессионного анализа функцию средних переменных издержек как следующую: А УС = 16 - 0,0240 + 0,00002<22, а величина постоянных издержек составляет 1000 ден. ед.

Определите объем производства, максимизирующий ожидаемую прибыль.

4.3.6. Менеджер фирмы-дуополиста решает повысить цену продукции. Он надеется, что с вероятностью 60% фирма-конкурент примет его цену, а с вероятностью 40% — оставит прежнюю цену без изменения. В настоящий момент цена равняется 50 ден. ед. Спрос фирмы описывается функцией 0 = 8000 - 280/3 + 200/3с, где Рс — цена фирмы-конкурента. Предельные издержки фирмы постоянны и составляют 20 ден. ед.

Какую цену установит менеджер, максимизирующий ожидаемую прибыль?

  • 4.3.7. Рассматривается модель спроса на страховку для индивида, обладающего богатством уг= 12 000 долл. Предположим, с вероятностью л= 1/2 может произойти несчастный случай, в результате которого индивид потеряет часть своего богатства, а именно, 8000 долл. Индивид имеет возможность приобрести страховку по цене 1/2 за единицу страхового покрытия. Предпочтения индивида описываются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности 1/(х) - 1п(х).
  • 1. Какую сумму застрахует данный индивид?
  • 2. Как изменится ваш ответ на пункт I, если цена единицы страховки составит 3/5.
  • 3. Опишите задачу выбора оптимальной величины страховки в терминах случайных (обусловленных) благ.
  • 3.1. Определите состояния природы и соответствующие случайные блага в данной модели.
  • 3.2. Выведите бюджетное ограничение в терминах случайных благ и изобразите графически.
  • 3.3. Изобразите на графике оптимальную точку при цене единицы страховки, равной 1/2 и 3/5.
  • 4.3.8. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида-риско-фоба, предпочтения которого представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности. Пусть страховка не является справедливой (цена единицы страховки превышает вероятность наступления страхового случая). Будет ли в этой ситуации индивид покупать полную страховку?
  • 4.3.9. Предпочтения индивида характеризуются функцией полезности и = 3%Ау , где и> — богатство индивида в тыс. долл.
  • 1. Пусть w= 100. Вычислите абсолютную и относительную меры несклонности к риску Эрроу — Пратта для данного индивида.
  • 2. Индивид живет в пожароопасном районе. С вероятностью 10% его дом может сгореть, в этом случае его богатство сократится со 100 до 25 тыс. долл. Вычислите премию за риск и гарантированный эквивалент для лотереи, с которой сталкивается индивид.
  • 3. Приведите графическую иллюстрацию решения пункта 2 в координатах (и>, Ц(и0).
  • 4. Индивид может воспользоваться услугами страховой компании и застраховаться от пожара. Условия страховки следующие: за каждый доллар страховой премии компания, в случае пожара, выплачивает индивиду 7 долл.

Сформулируйте соответствующую оптимизационную задачу в терминах случайных (обусловленных) благ. Определите богатство индивида в каждом из состояний мира и его спрос на страховку.

  • 5. Приведите графическую иллюстрацию решения пункта 4 в координатах (иу;, ув), где — богатство индивида в случае, если пожар не случился, м>в — богатство индивида в случае, если пожар случился. Не забудьте указать координаты всех ключевых точек.
  • 4.3.10. Потребитель получил некоторый доход х> 0 и принимает решение, декларировать его целиком или скрыть часть дохода от налоговых органов. Ставка подоходного налога / = 25%. Налоговые органы осуществляют проверку декларации индивида с вероятностью р= 1/5. В случае если проводится проверка, индивиду придется заплатить не только полную сумму налога, но и штраф в размере 75 коп. за каждый скрытый рубль налога.
  • 1. Предполагая, что функция полезности индивида имеет вид и=1пх, определите, какую долю своего дохода он предпочтет скрыть от налоговых органов.
  • 2. Как изменится ваш ответ, если предположить, что индивид нейтрален к риску?
  • 4.3.11. Индивид Б является не расположенным к риску человеком, функция полезности которого имеет вид г(с) = С1/2, где С — величина дохода. Пусть его доход до вычета налогов составляет 4800 ден. ед. Система налогообложения функционирует согласно следующим трем принципам:
  • 1) ставка налогообложения равняется 0,3;
  • 2) налоговая декларация проверяется с вероятностью ж = 1/4, и индивид Б об этом осведомлен;
  • 3) если при проверке выяснится, что Б скрывает доходы, то ему придется заплатить/ = 0,6 ден. ед. за каждую денежную единицу дохода, скрытого от налогообложения.
  • 1. Опишите рисковое действие (скрытие от декларирования одной единицы дохода) индивида как лотерею.
  • 2. Постройте бюджетное ограничение индивида Б в пространстве случайных товаров х, С2) х уровень потребления, если проверка произойдет, С2 — уровень потребления, если проверки не будет).
  • 3. Опишите бюджетное ограничение с помощью цен (оценок) случайных товаров.
  • 4. Определите оптимальный набор индивида Б при заданном бюджетном ограничении.
  • 5. Чему равна предельная норма замещения товаров -^2. в точке оптимума и в точке вклада?
  • 6. Какую часть дохода скрыл от налогообложения индивид Б?
  • 7. Какой должна быть величина штрафа при заданной ставке налога, чтобы индивиду было невыгодно скрывать свой доход?
  • 8. Приведите графическую интерпретацию решения пунктов 4—6.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >