Статические и динамические погрешности измерений

Классификация погрешностей

Погрешностью экономического измерения (далее — измерения) называется отклонение значения величины, найденное путем ее измерения (результат измерения) от истинного значения измеряемой величины. Погрешность измерения определяется погрешностью средства измерения, применяемым методом измерения, свойствами измеряемой величины и условиями проведения измерений. Погрешности измерений делят на статические и динамические. В соответствии с ГОСТ 16263—70 статические погрешности измерений подразделяют на абсолютные, относительные, систематические, случайные, грубые, инструментальные и погрешность метода измерения.

Абсолютной погрешностью измерения Д называют погрешность измерения, выраженную в единицах измеряемой величины, и определяют по формуле: где хизм — значение, полученное при измерении; х — истинное значение измеряемой величины.

Относительной погрешностью измерения Ах называют отношение Дх к х и выражают, как правило, в процентах.

Грубой погрешностью измерения называют погрешность, существенно превышающую ожидаемую при данных условиях.

Инструментальной погрешностью измерения называют составляющую погрешность, зависящую от погрешности применяемых средств измерений, технических средств, используемых при измерениях и имеющих нормированные метрологические характеристики.

Погрешностью метода измерений называют составляющую погрешности, происходящую от несовершенства метода измерения, который характеризуется совокупностью приемов использования принципов[1] и средств измерений.

Рассмотрим более подробно случайные, систематические и динамические погрешности измерений, которые характеризуют качество измерений.

Случайные погрешности

Случайной погрешностью измерения А называется составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Основными причинами, их вызывающими, являются:

  • 1) наличие случайных погрешностей у применяемых приборов;
  • 2) несоответствие между моделью объекта измерения и самим реальным объектом;
  • 3) колебания неинформативных параметров процесса измерения;
  • 4) ограниченные возможности чувств экспериментатора.

Случайные погрешности, подчиняющиеся статистическим

вероятностным закономерностям, проявляются в том, что повторные измерения одной и той же величины в одних и тех же условиях приводят к результатам, отличающимся один от другого.

Основной характеристикой А служит закон, устанавливающий соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Поскольку А является непрерывной случайной величиной, указанная характеристика называется плотностью распределения (плотностью вероятностей) р(А). Геометрически р(А) изображается кривой, форма которой зависит от характера распределения (рис. 4.2.1). Значение функции р(А) позволяет, в частности, оценить вероятность попа-

А

Рис. 4.2.1. Кривая плотности распределения

дания погрешности А в заданное поле допусков (на рис. 4.2.1 — заштрихованная площадь)

р(Ан < А < Ав) = | р(А)с/А,

д„

где Ан и Ав — нижняя и верхняя границы поля допусков А.

В практике измерений встречаются различные законы распределения А, однако наибольшее значение имеет нормальный закон распределения р(А) (закон Гаусса). Объясняется это тем, что часто А представляет собой сумму большого числа независимых и слабо зависимых случайных величин. По центральной предельной теореме такая сумма погрешностей имеет нормальный закон распределения, хотя законы распределения отдельных слагаемых могут отличаться от нормальных. Закон распределения суммы тем ближе к нормальному, чем больше число слагаемых и чем равномернее их вклад.

Формула, определяющая плотность вероятностей А распределенной по нормальному закону, имеет вид:

р(А) = (1/л/2лст)ехр

  • (А - М{А})2
  • (4.2.1)

где М{А) = | Ар(А)*/А — математическое ожидание А, определяю-

-00 щее ее среднее значение; | [А - Л/{А}]2р(А)?/А — дисперсия А, характеризующая степень разброса А относительно среднего значения.

Из анализа формулы (4.2.1) видно, что кривая Гаусса симметрична относительно М{А}, а максимальная р(А) = 1/(с7 х/2л)

(рис. 4.2.2); причем с увеличением а увеличивается вероятность малых и уменьшается вероятность больших случайных погрешностей (рис. 4.2.3).

На

1/(стл/2л)

I ь

Рис. 4.2.2. Кривая нормального закона распределения случайных погрешностей

Кривые нормального закона распределения случайных погрешностей

Рис. 4.2.3. Кривые нормального закона распределения случайных погрешностей,

соответствующие трем значениям о

В ряде практических случаев необходимо знать вероятность Ф(/) того, что погрешность А не будет отличаться от своего среднего значения больше, чем на величину I = /а (на рис. 4.2.2 — заштрихованная площадь); причем, чем больше /, тем ближе Ф(/) к единице. Для нормального закона распределения А

М{ Д}+/с

ф(0 = | р(дуд

М {А }-/о

/

  • -/
  • (4.2.2)

Значения Ф(/), рассчитанные по формуле (4.1.2), при различных / приведены в табл. 4.2.1.

Таблица 4.2.1. Значения функции Ф(/)

/

Ф(/)

/

Ф(/)

/

Ф(/)

/

Ф(/)

1,00

0,68

1,23

0,78

1,56

0,88

2,05

0,96

1,04

0,70

1,28

0,80

1,65

0,90

2,17

0,97

1,08

0,72

1,34

0,82

1,75

0,92

2,33

0,98

1,13

0,74

1,41

0,84

1,88

0,94

2,58

0,99

1,18

0,76

1,48

0,86

1,96

0,95

В практике измерений число проводимых опытов для определения погрешностей конечно, поэтому характеристики М{А}, а и сам закон распределения получают в виде оценок, которые сами являются случайными величинами. Различают состоятельные, несмещенные и эффективные оценки. Оценка называется состоятельной, если при ограниченном увеличении числа опытов вероятность того, что А* = А, где А* — оценка погрешности, которая стремится к единице. Если среднее значение оценки М{А*} равно истинному значению А, то оценка называется несмещенной; при этом, если закон распределения последней имеет минимальную дисперсию, то такая оценка называется эффективной.

Оценку нормального закона распределения наиболее часто осуществляют с помощью критерия Пирсона х2 (хи-квадрат) по следующей схеме (рис. 4.2.4).

1. Вычисляют х2 по формуле

X

2

где р;. = т^п и р* — теоретическая вероятность и ее оценка;

т1 число благоприятных опытов; к — число интервалов разбиения А; п — общее число опытов.

2. Определяют число степеней свободы г= к - V, где V — число вычисленных параметров кривой р(А).

Кривая экспериментального закона распределения

Рис. 4.2.4. Кривая экспериментального закона распределения

3. По табл. 4.2.2 определяют вероятность того, что величина х2 за счет чисто случайных причин может превысить значение, вычисленное в п. 1.

Таблица 4.2.2. Зависимость критерия у1 от ти р

/*

Значения х2 при р, равных

0,99

0,95

0,80

0,50

0,20

0,05

0,01

1

0,000

0,004

0,064

0,455

1,642

3,84

6,64

3

1,115

0,352

1,005

2,37

4,64

7,82

11,34

6

0,872

1,635

3,07

5,35

8,56

12,59

16,81

9

2,09

3,32

5,38

8,34

12,24

16,92

21,7

12

3,57

5,32

7,81

11,34

15,81

21,0

26,2

15

5,23

7,26

10,31

14,34

19,31

25,0

30,6

18

7,02

9,39

12,86

17,34

22,8

28,9

34,8

21

8,90

11,59

15,44

20,3

26,2

32,7

38,9

24

10,86

13,85

18,06

23,3

29,6

36,4

43,0

27

12,88

16,15

20,7

26,3

32,9

40,1

47,0

30

14,95

18,49

23,4

29,3

36,2

43,8

50,9

Примечание, р — вероятность того, что расчетная величина у2 превышает значение у}, приведенное в таблице.

4. Если эта вероятность мала (например, меньше 0,20), то гипотезу о том, что случайные погрешности А подчиняются нормальному закону распределения р(Д) следует отбросить. В противном случае принятая гипотеза не противоречит данным экономических измерений.

В практике измерений гипотезу о нормальности небольшой группы наблюдений (п < 50) проверяют с помощью двух критериев.

Критерий /. По данным измерений А,, ..., А„ вычисляют параметр с/ по формуле:

где 5*

Далее выбирают уровень значимости критерия и по табл. 4.2.3 находят (1 2 и с1х_я^2.

Таблица 4.2.3. Значения ^-процентных точек распределения параметра с1

Число

измерений

При <7/2, %

При (1 - д)/2, %

1

5

10

90

95

99

11

0,9359

0,9073

0,8899

0,7409

0,7153

0,6675

16

0,9137

0,8884

0,8733

0,7452

0,7236

0,6829

21

0,9001

0,8768

0,8631

0,7495

0,7304

0,6950

26

0,8901

0,8686

0,8570

0,7530

0,7360

0,7040

31

0,8827

0,8625

0,8511

0,7559

0,7404

0,7110

36

0,8769

0,8578

0,8468

0,7583

0,7440

0,7167

41

0,8722

0,8540

0,8436

0,7604

0,7470

0,7216

46

0,8622

0,8508

0,8409

0,7621

0,7496

0,7256

51

0,8648

0,8481

0,8385

0,7636

0,7518

0,7291

Принимается, что гипотеза о нормальности по критерию I не отвергается, если с1х^2 < с1 < с1Я1,2, а в противном случае отвергается.

Критерий II. Данный критерий является дополнительным и вводится для проверки «концов» распределения.

Принимается, что гипотеза о нормальности по критерию II не отвергается, если не более т разностей |Л, — А* | превзошли

^„ о, где 7 / — верхняя 100а/2-процентная квантиль нормиро-

72 72

ванной функции Лапласа Ф(/); при этом а — определяется по п и уровню значимости д как корень уравнения

I-?С„‘(1 -а)ка"~к = <,.

к= 1

Для нахождения а по заданным п, д и т = 1 или 2 составлена табл. 4.2.4.

т

Таблица 4.2.4. Значения а из уравнения 1 - ^С*( 1 - а)ка" к - q

А=1

п

т

Уровень значимости д, %

1

2

3

10

1

0,98

0,98

0,96

11-14

1

0,99

0,98

0,97

15-20

1

0,99

0,99

0,98

21-22

2

0,98

0,97

0,96

23

2

0,98

0,98

0,96

24-27

2

0,98

0,98

0,97

28-32

2

0,99

0,98

0,97

33-35

2

0,99

0,98

0,98

36-49

2

0,99

0,99

0,98

При 10 < п < 20 принимают т = 1. Если 50 > п > 20, то т = 2.

Если число разностей | Д, - А больших za о превышает т, то ги-

/2

потеза о нормальности отвергается.

Гипотеза о нормальности принимается, если для проверяемой группы данных выполняются оба критерия. Уровень значимости составленного критерия <7 < <7, + <7,, где <7,, #2 — уровни значимости критериев I и II.

Обычно применяемые на практике оценки математического ожидания и дисперсии погрешности А имеют вид:

М‘{ А}= IA,

/ п

V /=1

/

ст*2 {4} = | X [4 -М'Ш

где п — число измерений.

При этом

СТ Л/ {Д} ~ С* | ао- {Д} ~ а* ^?

Однако использованная в приведенных формулах замена истинных значений среднеквадратичного отклонения его оценкой может привести при малом числе опытов к существенным ошибкам. Для их устранения можно считать, что при нормальном распределении А случайная погрешность

1 =4п[М* {к}-М {к}]/о2 {к}

подчиняется закону распределения Стьюдента (табл. 4.2.5).

с

Таблица 4.2.5. Значения е, удовлетворяющие равенству 2| У(Г )*/Г = Р

о

Г

Значения г при Р^ равных

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

0,95

0,99

1

0,158

0,510

1,000

1,936

6,31

12,71

63,7

6

0,131

0,404

0,718

1,134

1,943

2,45

4,71

11

0,129

0,396

0,697

1,088

1,796

2,20

3,11

16

0,128

0,392

0,690

1,071

1,746

2,12

2,92

21

0,127

0,391

0,686

1,063

1,721

2,08

2,83

26

0,127

0,390

0,684

1,058

1,706

2,06

2,78

40

0,126

0,388

0,681

1,050

1,684

2,02

2,70

00

0,126

0,385

0,674

1,086

1,645

1,96

2,58

Примечание. Рг вероятность того, что случайная величина /, распределенная по закону Стьюдента S(t) с г степенями свободы, не превосходит е по абсолютному значению.

В этом случае для заданного значения доверительной вероятности Ре и числа степеней свободы г = п - 1 можно найти величину доверительного интервала ? для величины М{А}.

При расчете А экономических измерений необходимо также обнаруживать с помощью известных критериев За, Шовине, Романовского случайные грубые погрешности, явно искажающие результаты измерений. Если измерения имеют большие А, то необходимо удостовериться в том, что получаемые результаты статистически подконтрольны и устойчивы, т. е. группируются вокруг одного и того же центра М{А} и имеют одну и ту же дисперсию а2 {А}.

Систематические погрешности

Систематической погрешностью измерений называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины; последние, в свою очередь, подразделяют на прогрессирующие, периодические и изменяющиеся по сложному закону. Источниками систематических погрешностей могут быть три компонента измерения: метод измерений, средства измерений и экспериментатор. Соответственно этому принято различать систематические погрешности методические, инструментальные и личные.

Методические погрешности обусловлены следующими причинами: несовершенством метода измерения; ограниченной точностью формул; влиянием средств измерений на объект, свойство которого измеряется; пороговым несоответствием модели и объекта измерения.

Инструментальные систематические погрешности — погрешности, вызванные несовершенством средств измерений (неточность градуировки шкалы измерительного прибора, дополнительные и динамические погрешности и т. д.).

Личные систематические погрешности — систематические погрешности, связанные с индивидуальными особенностями экспериментатора.

В практике измерений причины проявления для систематических погрешностей типичны, и поэтому наиболее существенны постоянные погрешности, для устранения которых применяют следующие методы:

  • 1) замещения, обусловленные тем, что измеряемая величина заменяется известной величиной так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходит никаких изменений;
  • 2) противопоставления, при котором измерение выполняется с двумя наблюдениями, приводимыми так, чтобы причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений;
  • 3) компенсации погрешности по знаку, суть которого состоит в том, что измерение проводится с двумя наблюдениями, выполненными так, чтобы постоянная систематическая погрешность в результат каждого из них входила с разными знаками.

Для обнаружения и устранения изменяющихся систематических погрешностей используют статистические методы, в частности, методы Стьюдента, Фишера и Аббе, а также корреляционный и регрессионный анализы.

При изучении систематических погрешностей на практике обычно решаются две задачи: нахождение поправок методами корреляционного и регрессивного анализов; оценивание статистическими методами границ систематических погрешностей с учетом вида измерения (прямые, косвенные, совокупные или совместные) по всем ее составляющим.

При решении второй задачи элементарные составляющие систематической погрешности рассматривают как случайные величины, распределенные по равномерному закону (рис. 4.2.5),

Кривая равномерного распределения систематической

Рис. 4.2.5. Кривая равномерного распределения систематической

погрешности Дс

а далее производят статистическое суммирование элементарных

погрешностей путем построения композиции их распределения гистограмм.

Погрешности прямых измерений

Прямым называется измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных.

При этом применяются два способа представления результата измерения: раздельное указание оценок границ систематиче-скои погрешности и среднего квадратичного отклонения результата измерения; указание оценки суммарной погрешности результата измерения.

Раздельное указание составляющих возможно лишь для статистических измерений с целью выявления А, причем, расчет погрешностей производится в следующей последовательности:

1. Определяют оценки измеряемой величины по среднему арифметическому значению и среднему квадратическому отклонению наблюдений по формулам

где п — число измерений величины X.

2. Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического:

  • 3. Задают значение надежности среднего результата а и определяют коэффициент Стьюдента ta{ri) для заданной надежности а и числа наблюдений п (табл. 4.2.6).
  • 4. Находят границы доверительного интервала (абсолютная случайная погрешность результата измерений) Ах =/а(я)ах... Если эта величина окажется сравнимой с величиной погрешности измерительного прибора, то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину:

К =/ (оо),

а а V

где 5 — величина погрешности прибора.

Таблица 4.2.6. Значения ^-процентных точек распределения Стьюдента

Число степеней свободы, к = п - 1

Уровень значимости д = ( -а) 100 %

Число степеней свободы, к = п - 1

Уровень значимости д = ( -а) • 100 %

10

5

1

10

5

1

1

6,31

12,71

63,66

14

1,76

2,14

2,98

2

2,92

4,3

9,92

16

1,75

2,12

2,92

3

2,35

3,18

5,84

18

1,73

2,10

2,88

4

2,13

2,78

4,60

20

1,72

2,09

2,84

5

2,02

2,57

4,03

22

1,72

2,07

2,82

6

1,94

2,45

3,71

24

1,71

2,06

2,80

7

1,90

2,36

3,50

26

1,71

2,06

2,78

8

1,86

2,31

3,36

28

1,70

2,05

2,76

9

1,83

2,26

3,25

30

1,70

2,04

2,75

10

1,81

2,23

3,17

00

1,64

1,96

2,58

12

1,78

2,18

3,06

5. Оценивают относительную случайную погрешность прямых измерений:

є = [Дх/х* ] • 100%.

6. Определяют доверительные границы постоянной систематической погрешности результата измерений в зависимости от выбранного коэффициента надежности а (табл. 4.2.7)

где т — число элементарных систематических погрешностей прямых измерений, которые имеют равномерное распределение.

  • 7. Оценивают границу общей погрешности А = Ах + 0.
  • 8. Окончательный результат измерений записывают в виде

х = х* ± А.

Таблица 4.2.7. Значения коэффициента к в зависимости от числа слагаемых систематических погрешностей и доверительной вероятности

Число

слагаемых, т

Значение к при доверительной вероятности а

0,90

0,95

0,99

0,9973

2

0,97

1,10

1,27

1,34

3

0,96

1,12

1,37

1,50

4

*

1,12

1,41

1,58

5

*

*

1,42

1,61

6

*

*

*

1,64

...

...

...

...

...

0,95

1,13

1,49

1,73

* Коэффициент к не вычисляется, так как 0 при данном п выходит за пределы крайнего интервала.

При обыкновенных прямых измерениях, в отличие от статистических, погрешности средств измерений не выявляются в ходе измерения, но их надо учитывать при расчете погрешности результата измерения; причем, метод измерения должен быть изучен и методические погрешности либо заранее устранены, либо должно быть известно, как их устранить.

Оценка прямых измерений с точным оцениванием погрешностей производится по суммарной погрешности результата измерения:

Л=*д/|Х + А2

где Дс — составляющая систематической погрешности прямых измерений; А — случайная погрешность прямых измерений, имеющая равномерное распределение.

Оценка обыкновенных прямых измерений с приближенным оцениванием погрешностей рассчитывается в виде оценки границ погрешностей: где Нъ граница суммы равномерно распределенных центрированных случайных величин; 8„ — предел допускаемой основной погрешности средства измерения; 8у предел у'-й дополнительной погрешности измерений.

Погрешности косвенных измерений

Косвенным называется измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, причем, исходными данными являются ряды результатов прямых измерении аргументов, входящих в математическую функцию связи. Эти зависимости предварительно обрабатываются по методике, изложенной выше.

При косвенных измерениях для вычисления погрешностей исходят из предположений. Допустим, что искомая величина у определяется непосредственно измеряемыми величинами — аргументами х,, х2, ..., X,, функционально связана с ними

(4.2.3)

у=/(х„ х>, ..., X,., ..., Х„), 1=1, п

и аргументы не коррелированы.

Средняя квадратичная погрешность функции оу при одинаковой надежности всех измерений будет равна:

(4.2.4)

где ду/дХ/ — частная производная функции по х,.; ад. — средняя квадратическая погрешность непосредственно измеряемой величины х,.

Подставляем в формулу (4.2.3) выражение (4.2.4), находим абсолютную погрешность Ау, определяющую доверительный интервал для значения функции:

Учитывая /а(я)сх. = Дх,-, получаем:

где Дх,- — абсолютная погрешность непосредственно измеряемой величины.

Относительная погрешность 8у = — может быть вычислена в общем случае по формуле

  • 2
  • 1п у Ах/.
  • (4.2.5)

При расчете погрешностей косвенных измерений необходимо учитывать, что, если случайные погрешности результата измерений меньше, чем погрешность измерительного прибора, то за погрешность окончательного результата серии измерений принимается приборная погрешность эксперимента. В этом случае последняя определяется по формуле (4.2.5), при этом вместо Дх,- ставят или половину цены наименьшего деления (в некоторых случаях цену деления) применяемых измерительных приборов или абсолютную погрешность прибора, определяемую по его классу точности.

В практике измерений, когда аргументы функции (4.2.3) коррелированы между собой, ее обычно линеаризуют и представляют в виде:

У ~ДтХ[,

/' = 1, п,

(4.2.6)

где тХ[, тХг, ..., тх математические ожидания аргументов х,, Х2, ..., х3, ..., хп.

Математическое ожидание функции (4.2.6)

у =/(тХ[, тХ2, ..., тх ),

а дисперсия

п

ду

0(х,) +

' ду У ду

,=1 удХ,- J

1 <]

дХ:

дх:

к

Х/Ху

/ = 1, п,

где 0(хД — дисперсия случайной величины х,- (аргумент); кххкорреляционный момент величин х,- и ху, / <У обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин (х,, х2, ..., х„).

Динамические погрешности

Процесс измерения можно обобщенно представить в виде схемы, приведенной на рис. 4.2.6.

Схема процесса измерения

Рис. 4.2.6. Схема процесса измерения: х(() — изменяющаяся во времени измеряемая величина; е(г) — аддитивные погрешности; Ао — оператор, описывающий искажение измеряемой величины вследствие погрешностей метода измерения; Ар — оператор, описывающий преобразование величины, которая действует на чувствительный элемент конкретного средства измерения, применяемого в эксперименте; М — оператор масштабирования; т(р — погрешность процедуры сравнения с мерой; у(Г) — результат измерения; е(р = у(р - х(р — динамическая

погрешность

Погрешность е(і) в общем случае определяется по выражению:

0(/)] + є(/) - х(ґ),

где е0(ї) погрешность, вызванная отличием оператора от единичного, причем р, например, в случае если Ар — линейный стационарный оператор, то расчет е(() производится по формуле:

/

е(і) = | И(і - т)[х(т) + е0(т)]^/т + в(/) - х(Г) =

о

І I

= ^ И(і - х)е0(х)сІх + є(т) + | х(х)[И(і - т) - 5(Г - х)]с!х,

о

о

где И(ґ) — переходная характеристика средства измерения; 8(/) — дельта-функция.

На практике реализацию х(/) представляют двумя способами: детерминированным и стохастическим. По первому способу наибольшее распространение получила форма представления х(/) в виде:

п

х(а, 0 = ? а і Ф/ (0 = я ' Ф, а е V,,

где а — вектор варьируемых параметров; V- — допустимое замкнутое множество параметров; ср = [ср,(/), ф2(/), •••> фДОГ базисные функции; т — знак транспонирования.

По второму способу необходимые сведения о величине х(/) могут быть получены из анализа стохастического дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в форме Коши, либо путем задания характеристик стационарного случайного процесса — автокорреляционной функции Ях(х) или спек-

тральнои плотности

В качестве характеристики погрешности а], которая складывается из суммы дисперсий:

  • 1) а2х, зависящей от свойств измеряемой величины и вызванной инерционностью средства измерения;
  • 2) а] , отфильтрованной средством измерения погрешности ??„(/);
  • 3) а2., вызванной совместным действием инерционности средства измерения и погрешности є(/);
  • 4) а], аддитивной погрешности є(/), характеристики которой

нормируются в составе характеристик статических погрешностей в нормальных условиях.

Перечисленные дисперсии погрешности измерений не всегда могут быть получены, поэтому производится оценка а2е:

а) при изменении измеряемой величины во временной области

идеальная и реальная

переходные характеристики средства измерения;

  • б) при изменении измеряемой величины в частотной области
  • *

со

а] < М2о2х + (Лтах/л)| ып2[ф(со)/2]^(со)с/со+ а2о + а2,

со*

где М = |1 -Л(со)| — неравномерность амплитудно-частотной характеристики /4(со) средства измерения в рабочей полосе частот [со*, со*]; ф(со) — фазо-частотная характеристика средства измерения.

В случае применения в измерительном процессе (рис. 4.1.6) средства измерения, параметры которого изменяются во времени, с математической моделью вида

у(/) = Г к(х)И(ґ - х)х{х)ск + є(/),

о

где к(т) — изменяющийся во времени коэффициент усиления средства измерения;

а2 определяется по формуле

= +с2х(кр -1 )+о2кк22х + а2),

где кр реальный коэффициент усиления средства измерения, о2к — дисперсия коэффициента усиления; тх математическое ожидание измеряемого процесса.

На практике параметры средства измерения

аеУа, ЬеУ-ь,

где а, Ъ векторы варьируемых параметров средства измерения; У-, У- — допустимые замкнутые множества параметров вида

Уг=[Ь„

К, = («•. а 1

поэтому

оо

< шах— [|к(а, Ь, уоо) - 1|25х(со)^/со+ а2. 2п 3

  • [1] Принцип измерений определяется совокупностью физических явлений, на которых основаны измерения.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >