Плюрализм - это хорошо

Плюрализм правит бал во всех науках, в том числе и в формальных. В XIX веке изобретение неевклидовых геометрий считалось революционным шагом в высшей степени. В отличие от Н.Н. Лобачевского и Я. Боль-яи признанный король математиков XIX века Карл Гаусс, «опасаясь криков беотийцев» (имеются в виду некомпетентные ученые), вообще не публиковал свои работы, посвященные неевклидовой геометрии. Не нашли понимания на родине ни труды русского Н.И. Лобачевского, ни венгра Я. Больяи. Отрицательный отзыв на книгу Лобачевского написал другой выдающийся российский математик - М.В. Остроградский. Какое недопонимание среди гениев математики! Почему же беотийцы были настроены к сторонникам неевклидовой геометрии так непримиримо? Исключительно постольку, поскольку евклидова геометрия с ее постулатом о параллельных прямых казалась им единственно верной, причем соответствующей физическому пространству.

В начале XX века поразительные идеи стали культивировать логики. Голландец Лейтзен Брауэр создал интуиционистскую логику, в которой отказываются от закона исключенного третьего и отрицается понятие актуальной бесконечности. Николай Александрович Васильев формулирует представления о паранепротиворечивой логике, в которой из противоречия не выводится произвольное предложение. В 1920 году поляк Ян Лу-касевич развивает систему трехзначной логики. Перечень истинностных значений трехзначной логики помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое трактуется как «не определено» или «неизвестно». Всякий раз совершается коперникианская революция, творцы которой крайне редко встречают радужный прием.

Вновь возвращусь к математике, вспомнив о теории множеств с ее самой распространенной системой аксиом, предложенной Э. Цермело и А. Френкелем. В результате полувековых исследований было доказано, что в аксиоматике Цермело - Френкеля аксиома выбора и континуум-гипотеза, а также отрицание обоих положений, неразрешимы. Это означает, что если аксиомы Цермело - Френкеля непротиворечивы, то к ним можно добавить либо одно из рассматриваемых утверждений, либо оба, а также либо отрицание одного из положений, либо отрицание обоих. Можно вообще отказаться от аксиомы выбора и континуум-гипотезы, но в таком случае теория множеств обедняется. Можно в систему аксиом Цермело -Френкеля включить аксиому выбора и отрицание континуум-гипотезы или же отрицание аксиомы выбора и континуум-гипотезу. Существуют и другие способы построения аксиоматической теории множеств, не упомянутые нами. Вывод из сказанного, особенно если учесть, что аксиоматика Цермело - Френкеля не является единственной, очевиден: возможен целый ряд различных теорий множеств.

Видимо, пора вспомнить и об информатике, в которой число известных языков программирования приближается к 10 000 (!).

Из сказанного не следует вывод, что формальные науки всеядны. Речь идет о другом. Прореживание формальных систем идет постоянно, но в соответствии с канонами самих этих наук, которые невозможно уместить в узкое ложе очевидных представлений.

В 1980 году увидела свет прекрасная книга профессора математики Нью-Йорксого университета Морриса Клайна «Математика. Утрата определенности», впоследствии переведенная на русский язык (1984). Автору удалось представить перипетии, случившиеся в математике, в необычайно яркой полемической форме. Но оценил он их с ностальгией о прошлом математики, которая в наши дни якобы утратила свое былое достоинство, а именно определенность. По сути он под определенностью понимал едва ли не полное ее отсутствие. Но, строго говоря, сожалеть-то не о чем! Развитые формы математики, в том числе ее проблемности и плюралистичное™, заслуживают не сожаления, а приветствия!

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >