Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Алгебра и геометрия

Определители третьего порядка

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной таблице элементов

«11

«12

«13

«21

«22

«23

^«31

«32

«33 )

/.. _ „л

называется число, определяемое равенством

а ам аз

А =

+#

13

#

1 ^22 $23

#31 #32 #33

$21 $92

#31 #32

= #

II

22

#

23

#

#

32

#

  • 33
  • -#
  • 21

#

23

+

#

31

#

  • 33
  • (1.2)

Пример 4. Вычислить определитель

1 3 2

А = 4 -1 3 1 5 1

Решение. По определению получим:

-1 3

4 3

4 -1

А = 1 •

5 1

-3-

1 1

+ 2-

1 5

+ 2-(20 + 1) = 1 • (—16) — 3-1 + 2- 21 = -16-3 + 42 = 23.

1 * (— 1 —15)—3 • (4—3) ч-

Если в формуле (1.2) раскрыть определители второго порядка и собрать слагаемые с одинаковыми знаками, то получим:

(1.3)

^ а 11 а,, а з з і а, | сі 3, сі ^ 3 I а |, а, 3 а 31 і а 11 сі, 3 сі 3,

#12 ' ^21 ’ аЪЪ — "і З ' ^22 ' а31'

Этот способ вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольника.

Первые три слагаемых для вычисления определителя есть сумма произведений элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями на первом рисунке; оставшиеся слагаемые есть сумма произведений, взятых со знаком минус, элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников, как они показаны линиями на втором рисунке.

2-13

Пример 5. Вычислить определитель Д -

  • 0 -3
  • 1 2
  • 4 по правилу тре-

угольника.

Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя 2 • (-3) • 1, затем — элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника 0-2*3 , (—1)-41. Элементы, входящие в формулу (1.3) со знаком

минус, вычисляем аналогично, но относительно побочной диагонали: 1 - (-3) 3,0 (-1)-1,2*24.

Таким образом, А = 2• (-3)-1 + 0 2-3 + (-1)-41-1-(-3)-3-0 (-1)-1-2-2 4 = = -6 + 0-4 + 9 + 0-16 =-17

Определение. Определитель, в котором под главной диагональю (над главной диагональю) стоят нули, называется определителем треугольного вида.

Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали.

Пример 6. Вычислить определитель

2 3-1 0 5-6. 0 0 8

Решение. По условию дан определитель треугольного вида, так как под главной диагональю этого определителя стоят нули, значит значение данного определителя равно произведению элементов главной диагонали, т.е. А = 2 • 5 • 8 = 80 .

Определение. Минором элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного определителя путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента , стоящего на пересечении /-ой строки и у'-го

столбца определителя, обозначают Му . Например, для определителя

2 5-3

  • 17 11
  • 4 2 8

миноры М13 =

1 7 4 2

= 2-28 = -26, М21

  • 2
  • -3
  • 8

= 40 + 6 = 46.

Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на

(-1)А, где к равно сумме номера строки и номера столбца, на пересечении

которых находится этот элемент.

Алгебраическое дополнение элемента а- обозначают А- . Согласно определению

Ли = (-1)*'М8, к = 1 + ]. (1.4)

Для определителя третьего порядка знак, который при этом приписывается минору соответствующего определителя, определяется следующей

+ - +

таблицей:

— + — .

+ - +

Из определения определителя третьего порядка следует, что

А = яп ? Ап + ап • А2 + «1з • А13.

Верна общая теорема разложения: определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.

Таким образом

, имеют место шесть разложений:

А

= «п

' Ли

+ «12

Ах2

+ «13 •

Аз,

А

= «21

А2

+ а2 2

' Л22

+ «23

? ^23’

А

= «31

' ^31

+ «32

' Л32

+ «33

' ^33’

А

= «11

?Ли

+ «2,

? а2]

+ «31 '

^31 >

А

= а, 2

? А] 2

+ «22

? а22

+ «32

' ^32’

А

= «13

? А]3

+ й23

' ^23

+ «33

? ^33-

(1.5)

Отметим, что сумма произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

' 5

Пример 7. Вычислить определитель А =

  • -1
  • 3
  • 3
  • 2 разлагая его по элементам третьего столбца.

Решение. Согласно теореме разложения и формулы (1.4) имеем:

А — 13 + 4^4зз 64(33 — 2• (— 1)

1+3

+б-(-о

  • 3+3
  • 5 3
  • -1 2
  • -1 2 7 3

+ 4-(-1)

  • 2+3
  • 5 3 7 3

+

= 2(-1)[1] •((-!)• 3-7-2) + 4(-1)[2](5-3-7-3) +

  • [1] 6(—I)6 (5 * 2 — (—1) * 3) = 2-(-3-14)-4(15-21)+ 6(10 + 3) =
  • [2] = -34 + 24 + 78 = 68.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы