Определители четвертого порядка. Методы их вычисления

Определение. Выражение

а а а а

А =

- а

а

22

а

а б/

а

а

• 11
• — а

^а31 ^азз ^41 ^аЛЪ

а

а

44

+

«32 «33 ^а34

^42 ^43 ^44

называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде:

(1.6)

А - ^а -Ац +а₂ • Л₁₂ +#із ’^із ’^14>

где Ау = (-1)^/+у * М_іі9 і = 1,2,3,4, / = 1,2, 3,4, М_/7 — минор элемента,

и

и

алгебраическое

стоящего на пересечении /-ой строки и /-го столбца, Ау дополнение этого элемента.

Формулу (1.6) можно записать с помощью значка суммирования X:

Д =

=1

7=1

а

и

^а«

(1.7)

где / - 1, 2, 3, 4.

Формула (1.7) называется разложением определителя по элементам /-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам у-го столбца:

^л = Х^аг^А«- (*-⁸)

/=1

где у ⁼ 1, 2, 3,4.

Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помощью свойств определителей.

Пример 11. Вычислить определитель

• 2
• -3
• 4
• 4
• •
• 2

Решение. Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки:

Д =

'1-522 0 2-16 2 -9 5 7 ?

1-642

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки:

'1-5 2 2

Д =

• 0 2-16 0 1 13'
• 1-642

Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:

Разложим полученный определитель по элементам первого столбца

• 2-16 1 1 3
• -2 2 0

1

о

о

о

• -5
• 1
• -1
• 2
• -1
• 2
• 6
• •

О

Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменится на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя:

• 1
• 2
• -1
• 1
• -1
• 1
• 2 . 0

Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки:

I

• 0
• -1

• 1 1
• -3 о. 2 0

Полученный определитель разложим по элементам второй строки

Г

• 2
• 0
• 1 1 -1 о

= 9 - (1 - 0 — (—1) -1) = 9(0 + 1) = 9.

А = -3

-0-

V

+ (-3)

• -о
• 1
• -1
• 2

/

= -3 • (-3)

1 1 -1 о

1 0 3 1 2 0 3 2 3' З 1 2

Пример 12. Вычислить определитель

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный:

• 112 0
• 2 10 3
• 3 3 2 3'
• 2 3 12

Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим:

Д =- о

о

о

• 1
• -1
• 1
• 2 0 -4 3 -4 3 ' 0 2

Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки:

112 0 0-1-43

А = —

• 0 0-43
• 0 0-45

Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:

Д = - о

о

о

• 1
• -1

о

о

2 0 -4 3 -4 3 ' 0 2

Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали Д = -1 • (-1) • (-4) • 2 = -8 .

Пример 13. Вычислить определитель

• 3
• 11
• 4
• 16
• 5
• 13 21 ' 10

Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки

Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника

А = 5-(3-10-10-1-7-3-5 + 4-13-5 — 5-10-5 — 7-4-10 — 3-13-3) —

• -11(2-10-10 + 3-3-5+ 4-13-4-4-10-5-3-13-2-3-4-10) +
• -ь 16(2 - 7-10-ьЗ-5-5-ьЗ-13-4 — 4-7-5 — 5-13-2 — 3-3-10) —
• -21(2-7-3 + 3-5-4 + 3-10-4-4-7-4-5-10-2-3-3-3) =

= 5(300 + 105 + 260-250-280-117) — 11(200 + 45 + 208-200-78--120) +16(140 + 75 +156 -140 -130 - 90) - 21(42 + 60 + 120-112--100-27) = 5-18-11-55 + 16-11-21-(-17) = 90-605 +

+ 176 + 357 = 18.

Задания для самостоятельного решения

• 1. Вычислите определители:
  • а)
  • ?2 5 -3 4

; б)

5 -7 3 1

; в)

• 4 -8
• -5 10

; г)

3 6 5 10

; д)

• 2 4 -3 9
• 3. Решите неравенства: а)

Зх-З 2

х 1

>0; б)

х + 5 х

<0; в)

• 2х- 2 1
• 7х 2

>5; г)

х Зх 4 2х

<14.

• 4. Вычислите определители:
  • а)
  • Д)
  • и)
  • л)
  • -1 -2 5 4
• 1 -3
• 1

; б)

4 2 2 -3

з

о

; г)

• 2
• 2
• 0

О

О

• 3
• -1
• -2

; в)

з о -1 -з

• 3 -2 О -3 4
• 2 1 5 3 4 2

• 5
• 6;
• 2
• -1 7
• -3 9

О -1

• 0 О
• -1 1
• 1 2 -1 2
• 1 6
• 4
• -5
• 5

• 0
• -1

1

Ответы: 1. а) 7; б) 26; в) 0; г) 0; д) 30. 2. а) 5; б) 2; в) 2;

• г) (-1)" ? ^- + у ,яе 3. а) (3;+~ ); б) (-10; -к»); в) -3]; г) [-1; 7].
• 4. а) -24; б) -40; в) -9; г) -87; д) -5; е) 1; ж) 1; з) 55; и) 30; к) 48; л) 0; м) -1004; и) 150.