Определители четвертого порядка. Методы их вычисления
Определение. Выражение
а а а а
А =
|
11 |
а2 |
а3 |
«14 |
|
21 |
а 22 |
а23 |
« 24 |
|
31 |
а32 |
а33 |
«34 |
|
41 |
а 42 |
а 43 |
а 44 |
- а
а
22
а
а б/
а
а
- 11
- — а
а31 азз ^41 аЛЪ
а
а
44
+
«32 «33 а34
^42 ^43 ^44
|
а2 |
а22 |
«24 |
«21 |
«22 |
«23 |
||
|
+ а3 • |
а3 |
«32 |
«34 |
«14 ‘ |
«31 |
«32 |
«33 |
|
а 41 |
«42 |
«44 |
«41 |
«42 |
«43 |
называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде:
(1.6)
А - а -Ац +а2 • Л12 +#із ’^із ’^14>
где Ау = (-1)/+у * Міі9 і = 1,2,3,4, / = 1,2, 3,4, М/7 — минор элемента,
и
и
алгебраическое
стоящего на пересечении /-ой строки и /-го столбца, Ау дополнение этого элемента.
Формулу (1.6) можно записать с помощью значка суммирования X:
Д =
=1
7=1
а
и
а«
(1.7)
где / - 1, 2, 3, 4.
Формула (1.7) называется разложением определителя по элементам /-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам у-го столбца:
л = ХагА«- (*-8)
/=1
где у = 1, 2, 3,4.
Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помощью свойств определителей.
Пример 11. Вычислить определитель
- 2
- -3
- 4
- 4
- •
- 2
Решение. Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки:
Д =
'1-522 0 2-16 2 -9 5 7 ?
1-642
Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки:
'1-5 2 2
Д =
- 0 2-16 0 1 13'
- 1-642
Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:
Разложим полученный определитель по элементам первого столбца
|
2 |
-1 |
6 |
-5 |
2 |
2 |
-5 |
2 |
2 |
-5 |
2 |
2 |
||||
|
А = 1 • |
1 |
1 |
3 |
-0- |
1 |
1 |
3 |
+ 0- |
2 |
-1 |
6 |
-0- |
2 |
-1 |
6 |
|
-1 |
2 |
0 |
-1 |
2 |
0 |
-1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
3 |
- 2-16 1 1 3
- -2 2 0
1
о
о
о
- -5
- 1
- -1
- 2
- -1
- 2
- 6
- •
О
Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменится на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя:
- 1
- 2
- -1
- 1
- -1
- 1
- 2 . 0
Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки:
I
- 0
- -1
- 1 1
- -3 о. 2 0
Полученный определитель разложим по элементам второй строки
Г
- 2
- 0
- 1 1 -1 о
= 9 - (1 - 0 — (—1) -1) = 9(0 + 1) = 9.
А = -3
-0-
V
+ (-3)
- -о
- 1
- -1
- 2
/
= -3 • (-3)
1 1 -1 о
1 0 3 1 2 0 3 2 3' З 1 2
Пример 12. Вычислить определитель
Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный:
- 112 0
- 2 10 3
- 3 3 2 3'
- 2 3 12
Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим:
Д =- о
о
о
- 1
- -1
- 1
- 2 0 -4 3 -4 3 ' 0 2
Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки:
112 0 0-1-43
А = —
- 0 0-43
- 0 0-45
Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:
Д = - о
о
о
- 1
- -1
о
о
2 0 -4 3 -4 3 ' 0 2
Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали Д = -1 • (-1) • (-4) • 2 = -8 .
Пример 13. Вычислить определитель
- 3
- 11
- 4
- 16
- 5
- 13 21 ' 10
Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки
|
3 |
4 |
5 |
2 |
4 |
5 |
||
|
Д = 5-(-1)3+1 • |
7 |
10 |
13 |
+ 11-(-1)3+2 • |
3 |
10 |
13 |
|
5 |
3 |
10 |
4 |
3 |
10 |
|
+ 16-(-1)3+3 • |
|
+ 21-(-1)3+4 • |
|
= 5- |
|
|
4 5 10 |
4 5 3 |
5 3 10 |
|
11- |
|
+ 16- |
|
-21- |
|
|
4 3 10 |
4 5 10 |
4 5 3 |
Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника
А = 5-(3-10-10-1-7-3-5 + 4-13-5 — 5-10-5 — 7-4-10 — 3-13-3) —
- -11(2-10-10 + 3-3-5+ 4-13-4-4-10-5-3-13-2-3-4-10) +
- -ь 16(2 - 7-10-ьЗ-5-5-ьЗ-13-4 — 4-7-5 — 5-13-2 — 3-3-10) —
- -21(2-7-3 + 3-5-4 + 3-10-4-4-7-4-5-10-2-3-3-3) =
= 5(300 + 105 + 260-250-280-117) — 11(200 + 45 + 208-200-78--120) +16(140 + 75 +156 -140 -130 - 90) - 21(42 + 60 + 120-112--100-27) = 5-18-11-55 + 16-11-21-(-17) = 90-605 +
+ 176 + 357 = 18.
Задания для самостоятельного решения
- 1. Вычислите определители:
- а)
- ?2 5 -3 4
; б)
5 -7 3 1
; в)
- 4 -8
- -5 10
; г)
3 6 5 10
; д)
- 2 4 -3 9
- 3. Решите неравенства: а)
Зх-З 2
х 1
>0; б)
х + 5 х
<0; в)
- 2х- 2 1
- 7х 2
>5; г)
х Зх 4 2х
<14.
- 4. Вычислите определители:
- а)
- Д)
- и)
- л)
- -1 -2 5 4
- 1 -3
- 1
; б)
4 2 2 -3
з
о
; г)
- 2
- 2
- 0
О
О
- 3
- -1
- -2
; в)
з о -1 -з
- 3 -2 О -3 4
- 2 1 5 3 4 2
|
1 |
8 8 |
2 |
0 |
6 - |
1 |
1 |
|
; е) |
|
; ж) |
|
; з) |
|
|
|
1 3 6 |
3 2-1 |
7 3 |
2 |
|||
- 5
- 6;
- 2
- -1 7
- -3 9
О -1
- 0 О
- -1 1
- 1 2 -1 2
- 1 6
- 4
- -5
- 5
|
2 |
3-3 4 |
|
|
2 |
1 -1 2 |
|
|
; к) |
6 |
2 1 0 |
|
2 |
3 0-5 |
- 0
- -1
1
|
6 |
5 |
ОС |
4 |
7 |
3 |
2 |
6 |
||
|
; м) |
|
7 |
5 |
|
; н) |
8 |
-9 |
4 |
9 |
|
5 |
3 |
7 |
-2 |
7 |
3 |
||||
|
4 |
8 |
8 |
-3 |
5 |
-3 |
3 |
4 |
Ответы: 1. а) 7; б) 26; в) 0; г) 0; д) 30. 2. а) 5; б) 2; в) 2;
- г) (-1)" ? ^- + у ,яе 3. а) (3;+~ ); б) (-10; -к»); в) -3]; г) [-1; 7].
- 4. а) -24; б) -40; в) -9; г) -87; д) -5; е) 1; ж) 1; з) 55; и) 30; к) 48; л) 0; м) -1004; и) 150.
