Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Алгебра и геометрия

Определители четвертого порядка. Методы их вычисления

Определение. Выражение

а а а а

А =

11

а2

а3

«14

21

а 22

а23

« 24

31

а32

а33

«34

41

а 42

а 43

а 44

- а

а

22

а

а б/

а

а

  • 11
  • а

а31 азз ^41 аЛЪ

а

а

44

+

«32 «33 а34

^42 ^43 ^44

а2

а22

«24

«21

«22

«23

+ а3

а3

«32

«34

«14 ‘

«31

«32

«33

а 41

«42

«44

«41

«42

«43

называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде:

(1.6)

А - а -Ац +а2 • Л12 +#із ’^із ’^14>

где Ау = (-1)/+у * Міі9 і = 1,2,3,4, / = 1,2, 3,4, М/7 — минор элемента,

и

и

алгебраическое

стоящего на пересечении /-ой строки и /-го столбца, Ау дополнение этого элемента.

Формулу (1.6) можно записать с помощью значка суммирования X:

Д =

=1

7=1

а

и

а«

(1.7)

где / - 1, 2, 3, 4.

Формула (1.7) называется разложением определителя по элементам /-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам у-го столбца:

л = ХагА«- (*-8)

/=1

где у = 1, 2, 3,4.

Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помощью свойств определителей.

Пример 11. Вычислить определитель

  • 2
  • -3
  • 4
  • 4
  • 2

Решение. Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки:

Д =

'1-522 0 2-16 2 -9 5 7 ?

1-642

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки:

'1-5 2 2

Д =

  • 0 2-16 0 1 13'
  • 1-642

Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:

Разложим полученный определитель по элементам первого столбца

2

-1

6

-5

2

2

-5

2

2

-5

2

2

А = 1 •

1

1

3

-0-

1

1

3

+ 0-

2

-1

6

-0-

2

-1

6

-1

2

0

-1

2

0

-1

2

0

1

1

3

  • 2-16 1 1 3
  • -2 2 0

1

о

о

о

  • -5
  • 1
  • -1
  • 2
  • -1
  • 2
  • 6

О

Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменится на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя:

  • 1
  • 2
  • -1
  • 1
  • -1
  • 1
  • 2 . 0

Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки:

I

  • 0
  • -1
  • 1 1
  • -3 о. 2 0

Полученный определитель разложим по элементам второй строки

Г

  • 2
  • 0
  • 1 1 -1 о

= 9 - (1 - 0 — (—1) -1) = 9(0 + 1) = 9.

А = -3

-0-

V

+ (-3)

  • 1
  • -1
  • 2

/

= -3 • (-3)

1 1 -1 о

1 0 3 1 2 0 3 2 3' З 1 2

Пример 12. Вычислить определитель

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный:

  • 112 0
  • 2 10 3
  • 3 3 2 3'
  • 2 3 12

Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим:

Д =- о

о

о

  • 1
  • -1
  • 1
  • 2 0 -4 3 -4 3 ' 0 2

Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки:

112 0 0-1-43

А = —

  • 0 0-43
  • 0 0-45

Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:

Д = - о

о

о

  • 1
  • -1

о

о

2 0 -4 3 -4 3 ' 0 2

Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали Д = -1 • (-1) • (-4) • 2 = -8 .

Пример 13. Вычислить определитель

  • 3
  • 11
  • 4
  • 16
  • 5
  • 13 21 ' 10

Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки

3

4

5

2

4

5

Д = 5-(-1)3+1

7

10

13

+ 11-(-1)3+2

3

10

13

5

3

10

4

3

10

+ 16-(-1)3+3

  • 2 3 5
  • 3 7 13

+ 21-(-1)3+4

  • 2 3 4
  • 3 7 10

= 5-

  • 3 4 5
  • 7 10 13

4 5 10

4 5 3

5 3 10

11-

  • 2 4 5
  • 3 10 13

+ 16-

  • 2 3 5
  • 3 7 13

-21-

  • 2 3 4
  • 3 7 10

4 3 10

4 5 10

4 5 3

Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника

А = 5-(3-10-10-1-7-3-5 + 4-13-5 — 5-10-5 — 7-4-10 — 3-13-3) —

  • -11(2-10-10 + 3-3-5+ 4-13-4-4-10-5-3-13-2-3-4-10) +
  • -ь 16(2 - 7-10-ьЗ-5-5-ьЗ-13-4 — 4-7-5 — 5-13-2 — 3-3-10) —
  • -21(2-7-3 + 3-5-4 + 3-10-4-4-7-4-5-10-2-3-3-3) =

= 5(300 + 105 + 260-250-280-117) — 11(200 + 45 + 208-200-78--120) +16(140 + 75 +156 -140 -130 - 90) - 21(42 + 60 + 120-112--100-27) = 5-18-11-55 + 16-11-21-(-17) = 90-605 +

+ 176 + 357 = 18.

Задания для самостоятельного решения

  • 1. Вычислите определители:
    • а)
    • ?2 5 -3 4

; б)

5 -7 3 1

; в)

  • 4 -8
  • -5 10

; г)

3 6 5 10

; д)

  • 2 4 -3 9
  • 3. Решите неравенства: а)

Зх-З 2

х 1

>0; б)

х + 5 х

<0; в)

  • 2х- 2 1
  • 7х 2

>5; г)

х Зх 4 2х

<14.

  • 4. Вычислите определители:
    • а)
    • Д)
    • и)
    • л)
    • -1 -2 5 4
  • 1 -3
  • 1

; б)

4 2 2 -3

з

о

; г)

  • 2
  • 2
  • 0

О

О

  • 3
  • -1
  • -2

; в)

з о -1 -з

  • 3 -2 О -3 4
  • 2 1 5 3 4 2

1

8 8

2

0

6 -

1

1

; е)

  • 1 1 1
  • 1 2 3

; ж)

  • 4 2 -1
  • 5 3-2

; з)

  • 2 2-1
  • 0 5 0

1 3 6

3 2-1

7 3

2

  • 5
  • 6;
  • 2
  • -1 7
  • -3 9

О -1

  • 0 О
  • -1 1
  • 1 2 -1 2
  • 1 6
  • 4
  • -5
  • 5

2

3-3 4

2

1 -1 2

; к)

6

2 1 0

2

3 0-5

  • 0
  • -1

1

6

5

ОС

4

7

3

2

6

; м)

  • 9
  • 7

7

5

  • 2
  • 7

; н)

8

-9

4

9

5

3

7

-2

7

3

4

8

8

-3

5

-3

3

4

Ответы: 1. а) 7; б) 26; в) 0; г) 0; д) 30. 2. а) 5; б) 2; в) 2;

  • г) (-1)" ? ^- + у ,яе 3. а) (3;+~ ); б) (-10; -к»); в) -3]; г) [-1; 7].
  • 4. а) -24; б) -40; в) -9; г) -87; д) -5; е) 1; ж) 1; з) 55; и) 30; к) 48; л) 0; м) -1004; и) 150.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы