Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Алгебра и геометрия

Системы линейных уравнений

Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей т уравнений и п неизвестных, называется система вида:

"I" ^12-^2 а„Х„ =Ьи

(1.16)

а21Х +^22Х2 + а2пХп =^2’

т 2Л2

пт" П

т

где числа а у, / = 1, т, у = 1, п называются коэффициентами системы, числа — свободными членами.

Матрица, составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей и обозначается

а п

а 12 • • •

ап

а21

• • •

а22

• • • • • •

а2 п

• • •

(1.17)

уат

Я т2

атп )

Расширенной матрицей системы называется матрица А", полученная из основной матрицы А , дополненная столбцом свободных членов:

г

а

п

а

а

1 п

А* =

а

а

а

  • 2/7
  • (1.18)

а

т 2

Решением системы (1.16) называется п значений неизвестных х{{9х22,—,хп = сп, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

/

Сп

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений (1.16) называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

йГцХ] + а]2х2 + ...+аХпхп =0, а21х1 + а22х2 +... + а2пхп = 0,

(1.19)

атХ+ат2х2+... + атпХп = 0.

Однородная система всегда совместна, так как х, - х2 = ... = хп =0

является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы