Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Алгебра и геометрия

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

ахххх + аХ2х2 +... + аХпхпх, ахх22х2 +... + а2пхп2,

а,лххп2х2 +...+аппхпп>

определитель основной матрицы которой отличен от нуля, т.е. система уравнений невырожденная.

Обозначим А - Д. Определитель Д, получается из определителя Д путем замены элементов первого столбца столбцом из свободных членов:

Ьх

«12

С1п

*1 =

ь2

• • •

«22

• • •

а2п

• • • • • •

ъп

а„2

и пп

Тогда х, - — .

Д

Аналогично х2

Д 2

=-, где

а2

получен из

второго столбца столбцом из свободных членов;

А3 А

х3 = —, и так далее, х„ =-.

Д Д

Формулы

1=й (1.24)

Д

называются формулами Крамера.

Таким образом, невырожденная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным методом (1.23) или по формулам Крамера (1.24).

Пример 36. Решить систему уравнений по формулам Крамера

  • 1 + Зх2 + 3 = 9,
  • х] +2х2 -Зх3 = 14,
  • 3.x! +4х2 3 =16.

Решение. Составим и вычислим определитель Д данной системы уравнений

  • 2 3 1 2
  • 3 4
  • 2
  • -3
  • 1

= 2-2-1 + 1- 4-2 + 3* (-3) •3-(3-2-2 + 1- 3-1 + 2- 4- (-3)) =

= 4 + 8-27-12-3 + 24 = -6^0.

Данная система является невырожденной, поэтому ее решение можно найти по формулам Крамера (1.24).

Вычислим Д,,Д2 и Д3:

Д

  • 9 3 2
  • 14 2 -3 16 4 1

= 9*2-1 + 14*4-2 + 16* (-3) -3 — (16-22 + 14-31 +

+ 9-4-(—3)) = 18 + 112 —144 —64 —42 + 108 = —12;

Д

  • 2 9 2
  • 1 14 -3
  • 3 16 1
  • 2*14-1 + 1-16-2 + 3- 9- (-3) — (3-14-2 + 1-9-1 + 16 - (-3) • 2) =

= 28 + 32-81-84-9 + 96 = -18;

= 64 + 36 +126-54-48-112 = 12

Значит, х, =

= -2.

  • -12 „ -18 „ 12
  • -= 2, х7 =-= 3 , х-> =-
  • -6 2 -6 3 -6
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы