Однородные системы уравнений

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

<

а_их +а_пх₂ +... + а_]пх_п = 0,

^ат^Х+ат2^Х2+- ^{+ а}тп^Хп = °-

(1.26)

Однородная система всегда совместна (г(А) = г(Л )), она имеет нулевое (тривиальное) решение Х| =х₂ =... = х_п = 0.

Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г ее основной матрицы был меньше числа п неизвестных, т.е. г < п.

Если число уравнений т системы совпадает с числом неизвестных п, т.е.

т = п , основная матрица системы является квадратной, в этом случае условие г < п означает, что определитель основной матрицы системы а = 0.

Пример 39. Решить систему уравнений

X! +2х₂ — х₃ =0, 2х, +9х₂ -Зх₃ = 0.

Решение. Составим основную матрицу системы

( 2 -О

А =

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки.

Получили матрицу ступенчатого вида, в которой две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы А, а значит и расширенной матрицы /Г равен 2, т.е. г(А) = г(А*) = 2.

Число неизвестных в системе уравнений равно 3, г < п, поэтому данная система имеет ненулевые решения.

Для составления системы, равносильной данной, воспользуемся преобразованной матрицей

X! +2х₂ — х₃ — О,

5х₂ — х₃ =0.

Из второго уравнения выразим х₂ через х₃, при этом х₃ будет являться свободной переменной: х₂ - — х₃.

Полученную правую часть равенства подставим в первое уравнение и

о ^{1 3}

выразим х_] через х₃: х_{ = х₃ - 2 • — х₃, х_{ = —х₃.

Пусть х₃ = С, тогда общее решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

-С

X = Х(С) =

• (1.27)
• -С . 5 С

V /

Пример 40. Решить систему уравнений

Зх| +2х₂ + х₃ =0,

> 2х₁ + 5х₂ + Зх₃ = 0, Зх, +4х₂ + 2х₃ = 0.

"3 2 Г

2 5 3.

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки умноженным на 3:

Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки

Элементы второй строки умножим на (-2), элементы третьей строки — на 11 и полученные строки сложим

Получили три ненулевые строки, значит ранг матрицы А равен 3, число неизвестных в системе уравнений тоже равно 3, т.е. г (А) = п , значит,

данная система уравнений имеет единственное решение — нулевое, т.е.

^х ~^х2 ~ ^Х2> ~ 0 •

Пример 41. Решить систему уравнений

х_х + 2х₂ + 4х₃ - Зх₄ = О,

Зх, +5х₂ +6х₃ -4х₄ =0, 4х! + 5х₂ - 2х₃ + Зх₄ = 0, Зх| +8х₂ + 24х₃ — 19х₄ = 0.

"1 2

• 3 5
• 4 5

ч^{3 8}

"1 2 О -1 О О

V^{0 0}

и найдем ранг этой матрицы.

Элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, затем элементы первой строки умножим на (-4) и прибавим к третьей строке:

Г1

О

О

,0

Элементы второй строки умножим на (-3) и прибавим к элементам

третьей строки, затем элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам четвертой строки:

4 -3^Л -6 5

О О

⁰ °у

В преобразованной матрице ступенчатого вида получилось две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы А равен двум, т.е. г {Ап) = 2, а число неизвестных в системе уравнений равно 4 (п = 4). Получили, что г < п , поэтому данная система уравнений имеет ненулевые решения. Укороченная система имеет вид:

х, + 2х₂ + 4л'₃ - За₄ = О,

— х₂ -6а₃ + 5а₄ = 0.

Выразим а, и а₂ через а₃ и а₄ :

а, +2а₂ = За₄ -4а₃, а₂ - 5а₄ -6а₃;

А[ = 8а₃ — 7а₄,

или

а₂ - 5а₄ -6а₃.

А! - За₄ - 4а₃ - 2(5а₄ - 6а₃ ),

а₂ = 5а₄ -6а₃;

Неизвестные х_х и х₂ — базисные, а х₃ и х₄ — свободные. Полагая х₃ = с, ,х₄ = с₂ , получим общее решение системы, записанное в виде матрицы-столбца (1.27)

^ґ8с_х - 1с₂ ^Л

X = Х(с_х;с₂)

• (1.28)
• 5с₂ — 6с і ^с

ч ^с2 V

Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения

^с ~ 1’ ^С2 ~^с3 ~ ~ ^Сп ~

с, = 0, с₂ =1,с₃ = ... = С_П = О,

С, = с₂ = ... = с_п__х = 0, с_п =1.

Матрицы-столбцы, т.е. фундаментальную систему решений, обозначают Е_х, Е₂,..., Е_п . Общее решение будет представлено в виде

(1.29)

Х = с_хЕ_х +с₂Е₂ +... + с_пЕ_п.

В примере 41 найдем фундаментальную систему решений и выразим с ее помощью общее решение этой системы.

Из общего решения (1.28) системы найдем Е_х и Е₂:

(1.30)

С использованием фундаментальной системы (1.30) общее решение (1.28) может быть записано в виде (1.29)

Х(с_х;с₂) = с_хЕ_х +с₂Е₂.

Задания для самостоятельного решения

• 1. Исследуйте совместность следующих систем:
  • а)
  • в)
  • Д)
• 2х, — х₂ + х₃ = -2, х, + 2х₂ + Зх₃ = -1, х, -Зх₂ -2х₃ = 3;
• 2х, + 7х₂ + Зх₃ +х₄ = 6, Зх, + 5х₂ + 2х₃ + 2х₄ = 4, 9х, + 4х₂ + х₃ + 7х₄ = 2;

Зх, -2х₂ -5х₃ + х₄ =3, 2х, -Зх₂ + х₃ + 5х₄ = —3, х, + 2х₂ -4х₄ = -3,

х, -х₂ -4х₃ + 9х₄ -22;

• б)
• г)
• е)

X] + 2х₂ -4х₃ = 1,

2х, + х₂ -5х₃ — —1, х, - х₂ - х₃ = -2;

Зх, - 5х₂ + 2х₃ + 4х₄ = 2, 7х, - 4х₂ + х₃ + Зх₄ = 5, 5х, + 7х₂ -4х₃ — 6х₄ =3;

х, + х₂ - 6х₃ - х₄ - 6,

Зх, -х₂ -6х₃ -4х₄ -2, 2х, + Зх₂ + 9х ₃ + 2х₄ = 6, Зх, + 2х₂ + Зх₃ + 8х₄ = -7.

2. Решите системы уравнений матричным методом:

• 3. Решите системы уравнений по формулам Крамера:
  • а)

Зх, -5х₂ = 13, 2х, -7х₂ =81;

• б)
• 7х, + 2х₂ + Зх₃ =15, 5х, -Зх₂ + 2х₃ = 15,
• 1 Ох, -11х₂ + 5х₃ =36;
• в)
• Д)
• 2х, +х₂ —5,

х, + 3*3 = 16,

• 5х₂ -Зх₃ - 0;
• 5х, + 8х₂ + х₃ =2, Зх, -2х₂ + 6х₃ = -7, 2х, + х₂ — х₃ — -5;
• г)
• е)

+х₂ - 2х₃ = 6,

• 2х, + 3х₂ -7х₃ = 16, 5л:, + 2х₂ + х₃ =16;
• 2х_х -Зх₂ + х₃ = -7, х_х +4х₂ + 2х₃ — —1, х_х -4х₂ = -5
• 4. Исследуйте системы и в случае совместности решите их методом Гаусса или Жордана-Гаусса:
  • а)
  • в)
  • Д)
  • ж)
  • и)
  • л)
• 6х, + Зх₂ + 4х₃ = 3,

Зх, - х₂ + 2х₃ = 5;

Зх, + 2х₂ + х₃ -5, х_х + х₂ — х₃ = 0,

4х, —х₂ + 5х₃ = 3;

х, + ^х2 ~ ^хз ⁼ 0, х, ^{- х}2 ^{+ х}з — 4,

-х_х +х₂ + х₃ =2;

Зх, + 2х₂ - Зх₃ = -3, х, + 2х₂ + 4х₃ = 9,

2х, + 1х₂ — х₃ = 0,

Зх, + 8х, - х₃ = 1;

2х, -х₂ +х₃ -х₄ = 1, х₁ + Зх₂ - х₃ - х₄ =0,

Зх, - 2х₂ + 2х₃ - 2х₄ = 1,

^{х +х}2 ~^хз ^+х4 ~ 2;

• 2х, + Зх₂ - х₃ + х₄ = 2,
• 7х, - 2х₂ + х₄ =3,

Зх, + х₂ + х₃ - 2х₄ = 7,

Зх, - 8х₂ + 2х₃ - х₄ = 5;

• б)
• г)
• е)

3)

К)

м)

Зх, - 2х, - Зх₃ - 5, х, - Зх₂ + 4х₃ = 1,

• 7х, - 7х₂ - 2х₃ = 0;
• 2х, - Зх₂ + Зх₃ - -2,
• 2х, — х₂ + х₃ =2, х, ⁺х₂ + х₃ = 6;
• 2х, - Зх₂ + Зх₃ = 3,
• 2х! —х₂ +7х₃ - 5, х, +х₂ +х₃ = 6;

х, - х₂ + 2х₃ + 2х₄ = 2,

Зх, - 2х₂ - х₃ — х₄ = —1,

• 5х, - Зх₂ - 4х₃ - 2х₄ = -4,
• 7х, - 4х₂ - 7х₃ - 5х₄ = -7;

^{х +х}2 ~2х₃ + х₄ =3, х, -х₂ +х₃ - х₄ = О, х, + х₂ +х₃ + х₄ = 6,

Зх, + х₂ - 2х₃ + х₄ —1.

• 2х, + Зх₂ - 5х₃ + х₄ - х₅ = О, х, + 2х₂ + Зх₃ + 2х₄ + 2х₅ = 3, 4х, + 7х₂ + х₃ + 5х₄ + Зх₅ = 1, 5х, + 9х₂ + 4х₃ + 7х₄ + 5х₅ = 8;
• Н)
• 4х, + Зх₂ — х₃ = -5, 2х₁ —х₂— 2х₃ = -3, Зх, -4х₂ + Зх₃ = 10, 8Х[ - 9х₂ + 4х₃ = 17. 7х, - х_? + 2х₃ = 5;
• о)

х, + 2х₂ + х₃ - х₄ + х₅ = -1, 2х, + 5х₂ + 6х₃ - 5х₄ + х₅ = 0, х, - 2х₂ + х₃ - х₄ - х₅ = 3, х, + Зх₂ + 2х₃ - 2х₄ + х₅ = -1, х, - 4х₂ + х₃ + х₄ - х₅ = 3.

5. Найдите фундаментальную систему решений и общее решение сле

дующих систем:

2х[ + 3х₂ +х₃ = 0,

^х ~ ^х2 ^+хз ⁼ б’

• 5х! +5₂ — х₃ =0;
• б)

Зх! + 2х₂ +х₃ =0, а) <; 5х! + 4х₂ + Зх₃ = 0, 4х, + 3х₂ +2х₃ = 0;

• в)
• Д)

Зх! +2х₂ +х₃ =0,

• 2х₁ +5х₂ +Зх₃ =0,
• 3х₁ + 4х₂ + 2х₃ = 0;

XI + х₂ - х₃ - х₄ = О,

Х[ — х₃ -5х₄ = О,

X! + 2х₂ - х₃ + Зх₄ = 0;

• г)
• е)
• 2х, — х₂ +х₃ -Зх₄ = О, 5х! -4х₂ -х₃ -8х₄ =0, ^х + ^х2 + 2х₃ ~ *4 ⁼ б;

х₁ +3х₂ +х₃ +х₄ = О, 7х₁ + 5х₂ — х₃ +5х₄ = О, Зх, + х₂ - х₃ + 2х₄ = О, 5х₁ + 7х₂ + х₃ + 4х₄ = 0.

Ответы. 1. а) система несовместна; б) система совместна; в) система совместна; г) система несовместна; д) система совместна; е) система совместна.

• 2. а) (1; 1; 1); б)(-3;2; 1);в)(3;0; 1);г>(3; —2; —5);д)(8;4;2);е)(—8; —4; —13).
• 3. а) (16; 7); б) (2; -1; 1); в) (1; 3; 5); г) (3; 1; -1); д) (-3; 2; 1); е) (-1; 1;-2).

г

е)

• 4. а) (с;
• 7 9 3
• • _ _
• 5 ’ 5 ~~ 2
• 51 19 4 ^
• 11 ’ 1Ґ 11

У

с); 6)0; в) (-1; 3; 2); г) (2; 3; 1); д) (2; 1; 3);

; ж) (1; 0; 2); з) (5с- 5; 7с-7; с; 0); и) (1;х₄-;2х₄-2;х₄);

• к) (2; 3-*₄; 1; х₄); л) 0; м) 0; н) (0; -1; 2); о) (_?• -1--_; 0;-1--; с)
• 2 2 2
• 5. а) (с; -2с; с ); б) (0; 0; 0); в) (0; 0; 0); г)

/ с; —с; 0; —с

• 4 4 7
• Д)

сс₂;

с, -5с₂ -4(с, +с₂)

Л

/