Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Алгебра и геометрия

Однородные системы уравнений

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

<

аих +апх2 +... + а]пхп = 0,

атХт2Х2+- + атпХп = °-

(1.26)

Однородная система всегда совместна (г(А) = г(Л )), она имеет нулевое (тривиальное) решение Х| =х2 =... = хп = 0.

Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г ее основной матрицы был меньше числа п неизвестных, т.е. г < п.

Если число уравнений т системы совпадает с числом неизвестных п, т.е.

т = п , основная матрица системы является квадратной, в этом случае условие г < п означает, что определитель основной матрицы системы а = 0.

Пример 39. Решить систему уравнений

X! +2х2 — х3 =0, 2х, +9х2 -Зх3 = 0.

Решение. Составим основную матрицу системы

( 2 -О

А =

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки.

2

(1

2 -Г

2 9

-з,

Л

О

5

Получили матрицу ступенчатого вида, в которой две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы А, а значит и расширенной матрицы /Г равен 2, т.е. г(А) = г(А*) = 2.

Число неизвестных в системе уравнений равно 3, г < п, поэтому данная система имеет ненулевые решения.

Для составления системы, равносильной данной, воспользуемся преобразованной матрицей

X! +2х2 — х3 — О,

2 х3 =0.

Из второго уравнения выразим х2 через х3, при этом х3 будет являться свободной переменной: х2 - — х3.

Полученную правую часть равенства подставим в первое уравнение и

о 1 3

выразим х] через х3: х{ = х3 - 2 • — х3, х{ = —х3.

Пусть х3 = С, тогда общее решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

X = Х(С) =

  • (1.27)
  • . 5 С

V /

Пример 40. Решить систему уравнений

Зх| +2х2 + х3 =0,

> 1 + 5х2 + Зх3 = 0, Зх, +4х2 + 2х3 = 0.

"3 2 Г

2 5 3.

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки умноженным на 3:

ґ3

2

Г

"3

2

Г

А =

2

5

3

0

11

7

4

,3

4

2,

Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки

ґ3

2

Г

"3

2

Г

"3

2

Г

А =

2

5

3

0

11

7

0

11

7

4

,3

4

2,

,0

2

К

Элементы второй строки умножим на (-2), элементы третьей строки — на 11 и полученные строки сложим

"3

2

Г

"3

2

Г

"3

2

Г

"3

2

1'

А =

2

5

3

0

11

7

0

11

7

0

2

1

4

2у1

4

2у1

V0

2

и

.0

О и)

Получили три ненулевые строки, значит ранг матрицы А равен 3, число неизвестных в системе уравнений тоже равно 3, т.е. г (А) = п , значит,

данная система уравнений имеет единственное решение — нулевое, т.е.

х ~х2 ~ Х2> ~ 0 •

Пример 41. Решить систему уравнений

хх + 2 + 4х3 - Зх4 = О,

Зх, +5х2 +6х3 -4х4 =0, 4х! + 5х2 - 2х3 + Зх4 = 0, Зх| +8х2 + 24х3 — 19х4 = 0.

"1 2

  • 3 5
  • 4 5

ч3 8

4

-3

6

-4

-2

3

24

19

"1 2 О -1 О О

V0 0

и найдем ранг этой матрицы.

Элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, затем элементы первой строки умножим на (-4) и прибавим к третьей строке:

Г1

О

О

,0

2

4

-3

-1

-6

5

-3

-18

15

2

12

-10

Элементы второй строки умножим на (-3) и прибавим к элементам

третьей строки, затем элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам четвертой строки:

4 -3Л -6 5

О О

0 °у

В преобразованной матрице ступенчатого вида получилось две ненулевые строки, поэтому ранг матрицы А равен двум, т.е. г {Ап) = 2, а число неизвестных в системе уравнений равно 4 (п = 4). Получили, что г < п , поэтому данная система уравнений имеет ненулевые решения. Укороченная система имеет вид:

х, + 2 + 4л'3 - За4 = О,

— х2 -6а3 + 5а4 = 0.

Выразим а, и а2 через а3 и а4 :

а, +2а2 = За4 -4а3, а2 - 5а4 -6а3;

А[ = 8а3 — 7а4,

или

а2 - 5а4 -6а3.

А! - За4 - 4а3 - 2(5а4 - 6а3 ),

а2 = 5а4 -6а3;

Неизвестные хх и х2 — базисные, а х3 и х4 — свободные. Полагая х3 = с, ,х4 = с2 , получим общее решение системы, записанное в виде матрицы-столбца (1.27)

ґх - 1с2 Л

X = Х(сх2)

  • (1.28)
  • 2 6с і с

ч с2 V

Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения

с ~ 1’ С2 ~с3 ~ ~ Сп ~

с, = 0, с2 =1,с3 = ... = СП = О,

С, = с2 = ... = сп_х = 0, сп =1.

Матрицы-столбцы, т.е. фундаментальную систему решений, обозначают Ех, Е2,..., Еп . Общее решение будет представлено в виде

(1.29)

Х = схЕх2Е2 +... + спЕп.

В примере 41 найдем фундаментальную систему решений и выразим с ее помощью общее решение этой системы.

Из общего решения (1.28) системы найдем Ех и Е2:

оо

Ґ

-6

5

Ех = Х(Щ =

1

, Е2 = ЛГ(0;1) =

0

,0,

, 1,

(1.30)

С использованием фундаментальной системы (1.30) общее решение (1.28) может быть записано в виде (1.29)

Х(сх2) = схЕх2Е2.

Задания для самостоятельного решения

  • 1. Исследуйте совместность следующих систем:
    • а)
    • в)
    • Д)
  • 2х, — х2 + х3 = -2, х, + 2х2 + Зх3 = -1, х, -Зх2 -2х3 = 3;
  • 2х, + 2 + Зх3 4 = 6, Зх, + 5х2 + 2х3 + 2х4 = 4, 9х, + 4х2 + х3 + 7х4 = 2;

Зх, -2х2 -5х3 + х4 =3, 2х, -Зх2 + х3 + 5х4 = —3, х, + 2 -4х4 = -3,

х, -х2 -4х3 + 9х4 -22;

  • б)
  • г)
  • е)

X] + 2х2 -4х3 = 1,

2х, + х2 -5х3 — —1, х, - х2 - х3 = -2;

Зх, - 5х2 + 2х3 + 4х4 = 2, 7х, - 4х2 + х3 + Зх4 = 5, 5х, + 7х2 -4х34 =3;

х, + х2 - 6х3 - х4 - 6,

Зх, -х2 -6х3 -4х4 -2, 2х, + Зх2 + 9х 3 + 2х4 = 6, Зх, + 2х2 + Зх3 + 4 = -7.

2. Решите системы уравнений матричным методом:

Г

х, + 23 =4,

к

+ 2

+ х3 =-

-4,

а) -

Зх,

-5х2 + Зх3 = 1,

б)<

х, +х2 -

х3 = -2,

2х,

к *•

+

ю

1

II

оо

4# •

4х,

-2х2

+ Зх3 =

-13;

г

х, + х23 = 2,

4х,

-Зх2

+ 2х3 =

в,

в) <

4х,

- Зх2 -Зх3 = 9,

г) •

2х,

+ 5х2

- Зх3 =

И,

5х,

ц. 1

+ 6х2 -2х3 = 13;

5х,

к. *

+ 6х2

-2х3 =

13;

х, -

-2х2 + Зх3 = 6,

х, +х2 -

х3 =1,

д) <

2х,

+ 3х2 -4х3 = 20,

е) <

8х,

+ Зх2

-6х3 =

2,

Зх,

<

-2х2 -5х3 = 6;

- 4х, — X'

! + З*3 =

= -3.

  • 3. Решите системы уравнений по формулам Крамера:
    • а)

Зх, -5х2 = 13, 2х, -7х2 =81;

  • б)
  • 7х, + 2х2 + Зх3 =15, 5х, -Зх2 + 2х3 = 15,
  • 1 Ох, -11х2 + 5х3 =36;
  • в)
  • Д)
  • 2х, 2 —5,

х, + 3*3 = 16,

  • 2 -Зх3 - 0;
  • 5х, + 8х2 + х3 =2, Зх, -2х2 + 3 = -7, 2х, + х2 — х3 -5;
  • г)
  • е)

2 - 2х3 = 6,

  • 2х, + 3х2 -7х3 = 16, 5л:, + 2х2 + х3 =16;
  • х -Зх2 + х3 = -7, хх +4х2 + 3 —1, хх -4х2 = -5
  • 4. Исследуйте системы и в случае совместности решите их методом Гаусса или Жордана-Гаусса:
    • а)
    • в)
    • Д)
    • ж)
    • и)
    • л)
  • 6х, + Зх2 + 4х3 = 3,

Зх, - х2 + 2х3 = 5;

Зх, + 2х2 + х3 -5, хх + х2 — х3 = 0,

4х, —х2 + 5х3 = 3;

х, + х2 ~ хз = 0, х, - х2 + хз — 4,

х2 + х3 =2;

Зх, + 2х2 - Зх3 = -3, х, + 2х2 + 4х3 = 9,

2х, + 2 х3 = 0,

Зх, + 8х, - х3 = 1;

2х, -х234 = 1, х1 + Зх2 - х3 - х4 =0,

Зх, - 2х2 + 2х3 - 2х4 = 1,

х 2 ~хз 4 ~ 2;

  • 2х, + Зх2 - х3 + х4 = 2,
  • 7х, - 2х2 + х4 =3,

Зх, + х2 + х3 - 2х4 = 7,

Зх, - 8х2 + 2х3 - х4 = 5;

  • б)
  • г)
  • е)

3)

К)

м)

Зх, - 2х, - Зх3 - 5, х, - Зх2 + 4х3 = 1,

  • 7х, - 7х2 - 2х3 = 0;
  • 2х, - Зх2 + Зх3 - -2,
  • 2х, — х2 + х3 =2, х, +х2 + х3 = 6;
  • 2х, - Зх2 + Зх3 = 3,
  • 2х! —х2 +7х3 - 5, х, +х23 = 6;

х, - х2 + 2х3 + 2х4 = 2,

Зх, - 2х2 - х3 — х4 = —1,

  • 5х, - Зх2 - 4х3 - 2х4 = -4,
  • 7х, - 4х2 - 7х3 - 5х4 = -7;

х 2 ~2х3 + х4 =3, х, -х23 - х4 = О, х, + х23 + х4 = 6,

Зх, + х2 - 2х3 + х4 —1.

  • 2х, + Зх2 - 5х3 + х4 - х5 = О, х, + 2х2 + Зх3 + 2х4 + 2х5 = 3, 4х, + 7х2 + х3 + 5х4 + Зх5 = 1, 5х, + 9х2 + 4х3 + 7х4 + 5х5 = 8;
  • Н)
  • 4х, + Зх2 — х3 = -5, 2х1 —х2— 2х3 = -3, Зх, -4х2 + Зх3 = 10, 8Х[ - 9х2 + 4х3 = 17. 7х, - х? + 2х3 = 5;
  • о)

х, + 2 + х3 - х4 + х5 = -1, 2х, + 2 + 6х3 - 5х4 + х5 = 0, х, - 2х2 + х3 - х4 - х5 = 3, х, + Зх2 + 2х3 - 2х4 + х5 = -1, х, - 4х2 + х3 + х4 - х5 = 3.

5. Найдите фундаментальную систему решений и общее решение сле

дующих систем:

2х[ + 3х23 = 0,

х ~ х2 з = б’

  • 5х! +52 — х3 =0;
  • б)

Зх! + 2х23 =0, а) <; 5х! + 2 + Зх3 = 0, 4х, + 3х2 +2х3 = 0;

  • в)
  • Д)

Зх! +2х23 =0,

  • 1 +5х2 +Зх3 =0,
  • 1 + 4х2 + 2х3 = 0;

XI + х2 - х3 - х4 = О,

Х[ — х3 -5х4 = О,

X! + 2х2 - х3 + Зх4 = 0;

  • г)
  • е)
  • 2х, — х23 -Зх4 = О, 5х! -4х23 -8х4 =0, х + х2 + 2х3 ~ *4 = б;

х1 +3х234 = О, 1 + 5х2 — х3 +5х4 = О, Зх, + х2 - х3 + 2х4 = О, 5х1 + 7х2 + х3 + 4х4 = 0.

Ответы. 1. а) система несовместна; б) система совместна; в) система совместна; г) система несовместна; д) система совместна; е) система совместна.

  • 2. а) (1; 1; 1); б)(-3;2; 1);в)(3;0; 1);г>(3; —2; —5);д)(8;4;2);е)(—8; —4; —13).
  • 3. а) (16; 7); б) (2; -1; 1); в) (1; 3; 5); г) (3; 1; -1); д) (-3; 2; 1); е) (-1; 1;-2).

г

е)

  • 4. а) (с;
  • 7 9 3
  • • _ _
  • 5 ’ 5 ~~ 2
  • 51 19 4 ^
  • 11 ’ 1Ґ 11

У

с); 6)0; в) (-1; 3; 2); г) (2; 3; 1); д) (2; 1; 3);

; ж) (1; 0; 2); з) (5с- 5; 7с-7; с; 0); и) (1;х4-;2х4-2;х4);

  • к) (2; 3-*4; 1; х4); л) 0; м) 0; н) (0; -1; 2); о) (_?• -1--; 0;-1--; с)
  • 2 2 2
  • 5. а) (с; -2с; с ); б) (0; 0; 0); в) (0; 0; 0); г)

/ с; —с; 0; —с

  • 4 4 7
  • Д)

Г 5 1 ^

Ґ

СС2] +-С2;--С2

;е)

{ 4 4)

V

сс2;

с, -5с2 -4(с, +с2)

Л

/

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы