Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называют операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть а и Ь — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор О А - а. От точки А отложим вектор АВ = Ь. Вектор ОВ , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов а и Ь: ОВ = а + Ь .

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Таким образом, правило треугольника можно применять для любого конечного числа складываемых векторов.

Сумму двух векторов можно построить и по правилу параллелограмма.

Ъ

Определение. Разностью векторов а и Ь называется вектор с = а-Ь такой, что Ь + с - а .

Таким образом, если на векторах а и Ь, отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор ОС, совпадающий с одной диагональю, равен сумме а + Ъ, а второй В А, совпадающий с другой диагональю, — разности а — Ь .

^А С

Определение. Произведением вектора а на число (скаляр) называется вектор А ? а , который имеет длину |Я| • |я|, коллинеарен вектору а , имеет направление вектора а , если Я > 0 и противоположное направление, если Л <0. Например, если дан вектор а , то векторы 2а и - — а будут иметь вид

Из определения следует: два вектора а и Ь коллинеарные тогда и

Ь <=> Ь = Я-а .

только тогда, когда имеет место равенство Ь = А • а : а

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

• 1) а + Ь = Ь + а
• 2) а + (Ь + с) = (а + /?)+ с;
• 3) а + 0 = а; а -г (-а) - 0;
• 4) Я, • (Я₂ • а)= (Я, ?Л₂)-а = Л₂[Л₁ ? а|
• 5) (Я] + Я₂ )а - А, а + Я₂ а;
• 6) А(а + Ь) = Аа + АЬ;
• 7) а-а (-1 )а - -а .

Пример 1. Отрезок АВ разделен точками С и /7 на три равные части. Точка О не принадлежит отрезку АВ. Векторы О А - а , ОВ = Ъ . Выразить через а и Ь вектор т = 3ОС - 2Ой .

Решение. Выполним построения:

С ?> В

АВ = Ь-а; ОС = ОА + АС. АС ТТ АВ, АС = — АВ, АС = -(Ь-а).

3 3

А

ОС = а + -(Ь-а), ОС = а + -Ь--~а, ОС = -а + -Ь, ЗОС = 2а+Ь. 3 3 3 3 3

OD = Ш + 5D; ВОЇІАВ, ВО = --АВ, ВО = --(Ь-а),

3 3

о5 = Ь--(Ь-а), (Ю -Ь- — Ь + — а, (Ю = -Ь + -а, 2оЬ = -Ь + -а.

3 33 33 33

т

2 а+Ь-

4- 1- - 4а-Ь

т = —а — п, т —-

3 3 3

Пример 2. В параллелограмме АВСО ОА- а , 05 = />, где О — точка пересечения диагоналей. Выразить через а и Ь вектор т = ^В + 2АО-ЪСБ-5ВС.

Решение. Выполним построения:

АВ-АО + ОВ. А0Т10А, АО - —а. АВ - -а + Ь или АВ - Ь-а.

АО = АО + ОЭ, АО = -а. Векторы О В и О О —противоположные,

ОВ

оо

(по свойству диагоналей параллелограмма),

О В Т1 О О , тогда

00 = -0В, ОО = -Ъ. АО --а-Ь. ВС = АО, ВС = -а-Ь. т-Ь-а + 2(-а -Ь)-3(а -Ь)-5(-а -Ь), т = Ь - а - 2а - 2Ь - За + ЗЬ + 5а + 5Ь, т -1Ь-а.