Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось I, т.е. направленная прямая. Определение. Проекцией точки М на ось / называется основание М_х

перпендикуляра ММ, , опущенного из точки Мна ось.

а

Определение. Пусть

*0,

^ 0 . Углом между двумя ненулевыми

векторами а и Ь называется наименьший угол (р(0 <(р<к), на который

надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Векторы а и Ь необходимо привести к общему началу О.

Определение. Углом между вектором а и осью / называется угол между векторами а и /₀ — единичный вектор (орт) оси /.

Пусть АВ — произвольный вектор (АВ Ф 0 ). Обозначим через А₁ и #1 проекции на ось / соответственно начала А и конца В вектора А В . Вектор АВ_Х называется составляющей вектора АВ по оси / и обозначается А₁В! = сосун і АВ.

Определение. Проекцией вектора АВ на ось / называется положительное число

АВ_Х

, если вектор А_х В_х и ось / сонаправлены, отрицатель

ное число -

АВ

, если вектор АВ, и ось / противоположно направлены

и 0, если АВ 11.

Проекция вектора АВ на ось / обозначается пр_{АВ .

Основные свойства проекций

1. Проекция вектора а на ось / равна произведению модуля вектора а на косинус угла <р между вектором и осью, т.е.

прі а -

• •соъср.
• (2.1)

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол, отрицательна, если этот угол — тупой, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2.

• 1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
• 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

пр₁ (а + Ь + с) = пр/а + пр/Ь + пр/С. (2.2)

3. При умножении вектора а на число Я его проекция на ось также умножается на это число, т.е.

пр/(Ла) = Я-пр/а. (2.3)

Заметим, что проекция вектора на ось / и его составляющая связаны соотношением

сост/а - пр/а-1 о. (2.4)

Пример 3. Вектор а образует с осью / угол (р= 60°, длина вектора а равна 6. Найти пр₁ а .

Решение. По условию а -Ь,(р =60°, тогда со8^ = со8б0° = —. Для нахождения проекции вектора а на ось 1 воспользуемся формулой (2.1) пр/ а = 6-^- = 3.

Пример 4. Вектор (1 = а+Ь,

Ъп

Найти прі сі.

Решение. Воспользуемся формулой (2.2) пр^ = пр₁ а + пр₁ Ь.

л

пр і а =

а

к

соБ^а,/], пр_{а - З-соь —

Зл/2

пр,Ь- Ь -соэ(/?,/), пр/Ь = 4-соб — = 4-

/

N

У

Пример 5. Вектор Ь-2а. Длина вектора а равна 5. Угол между вектором а и осью / равен 30°. Найти пр/Ь.

Решение. Воспользуемся формулой (2.3)

пр/Ь = прі2а)=2-пріа. пр/а =

5л/з

а

со8 30° =5*

пр/Ь-2--= 5л/з.

я

• 5л/з
• 2

Координаты вектора

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Охуг. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Ог единичные векторы /,/Д соответственно.

У

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат:

а = ОМ .

Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через

конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М,,М₂ иМ₃.

Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ .

Тогда пр а =

ОМ

,пр у а =

ОМ 2

, пр, а =

ОМ ъ

По определению суммы нескольких векторов находим

а = ОМ + М+ ИМ .

Так как М_х N = ОМ₂, NM = ОМ₃, то

(2.5)

сі — ОМ | + ОМ 2 + ОМ ₃.

ОМ - сост_х а, ОМ ₂ =сост_уа, ОМ₃ =сост,а.

Используя формулу (2.4), получим

ОМ| =пр_ха і= ОМ_х • і, ОМ₂ = пр а? у -

ОМ₃ = пр, а-к -

Обозначим

ОМ

ОМ

• •у,
• (2.6)

ОМ

• - а
• ?к.

ОМ

= ^ау>

ом

= а

Тогда из равенств (2.5) и (2.6) получаем

(2.7)

а = а_х - і + а • ] + а₂ к.

Формула (2.7) является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х,а_у,а₂

называются координатами вектора а , т.е. координаты вектора — это его проекции на соответствующие координатные оси.

Равенство Ь = р*;Ъ ;Ъ₂} или Ь(Ь_Х;Ь ;Ь_г) означает, что

Ь = Ь_Х ?і + Ь • у + Ь.-к.

Модуль вектора (длина вектора) равен квадратному корню из суммы квадратов координат (проекцией) этого вектора

а

• 2 2 2 — л I и _х + а у + сі Г
• (2.8)

Если вектор а = М,М₂ , где М_х (х_] ,у_{х 9}г_х), М₂(х₂,у₂,^₂) > ^то пр _ха-а_х = х₂ - х_х, пр _уа- а _у - у₂ —у₉ пр₂ а-а₂ - 2₂

Тогда а = (х₂ -х₁)-і + (у₂ -у_{)-] + {г₂

ИЛИ

а(х₂ ~Х',У₂ ~У’²2 ~²)- (²-⁹)

Так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.

Из свойств проекций (координаты вектора — это его проекции на оси координат) следует:

если а(а_х;а_у;а₂), Ь{Ь_х,Ь_у,Ь₂), а є Я, то

• 1) а = Ь тогда и только тогда, когда а_х = Ь_х, а = Ъ _у, а₂ =Ь₂, т.е. равные векторы имеют соответственно равные координаты;
• 2) а ± Ь = а_х ± Ь_х; а _у ± Ъ_у; а₂ ± Ь₂} — при сложении векторов соответствующие координаты складываются, при вычитании — вычитаются;
• 3) а-а = аа_х;оса_г;аа,} — при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

т.е.

4) а Ь <=> а = аЬ <=> а _х = аЬ_х, а_у = аЬ_у, а₂ = аЬ_:,

а_х а а₂

— = а, —— = а, — = а или

ъ_х ъ_у ъ₂

(2.10)

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Пусть вектор а образует с осями Ох, Оу, Ог углы а, (3, у соответственно. По свойству проекции вектора на ось (2.1), имеем

?со?, а,

а

С08

• • С08 у.
• (2.11)
• (2.12)

а

а

а

cos a, cos Д cos у называются направляющими косинусами вектора а Подставим выражения (2.11) в равенство (2.8) получаем

• cos у,

а

а

•д/cos² ос + cos² /? + -cos² у.

Сократив на а Ф О , получим соотношение

д/cos² or+cos² /3 + • cos² у = 1

или

(2.13)

Или, что то же самое,

ООО

COS <2 +cos j3 +cos у-1,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Заметим, что координатами единичного вектора а₀ являются числа cos<2,cosД cosy, т.е. a₀(cosa, cos/?, cosy).

1 лІ2

Пример 6. Известно, что cos а = —, cos /? = , cos у < О,

а

= 3.

Найти координаты вектора а .

Решение. Найдем со5 у, для этого воспользуемся равенством (2.13)

1

+

2,

+ cos² у-1,

2

„12 I^і

cos у = -J1----=-, — =

^л1 4 4 V 4

Используя равенства (2.9), получаем

_ 1 3

а_г = 3, a_v =3

2 2

л/2 Зл/2

, а₇= 3-

V

2

/

Таким образом, вектор а имеет координаты а

З Зл/2 З

_ ? _ 9 _

2 2 2

N

У

Пример 7. Может ли вектор а образовывать с осями координат углы,

71 71 Ък _

равные соответственно —; —; — /

3 6 4

Решение. Воспользуемся равенством (2.13):

2 71 1 Я 2 3/Г

СОЬ--Ь СОБ--КСОЬ -

• 3 6 4
• -1 2 2-2-2

~ 4 4 4 ~ 4 ~ 2

с і ²

+

/ Г7² 7 Г^Л²

75

V2,

+

• 75_
• 2

/

Так как — ^ 1, поэтому вектор а не может образовывать с осями ко-2

ординат указанные углы.

Пример 8. Даны векторы я(2;3;5) и (— 1; 3; 4 ) . Найти координаты вектора с = 4а - 36.

Решение. Найдем координаты векторов 4 а и 3 6 :

• 47(4 • 2; 4 • 3; 4 • 5), 4а (8; 12; 20;,
• 36 (3 - (—1); 3 - 3; 3 - 4), 36 (—3; 9; 12).

Координаты вектора с : с (8 - (-3); 12 - 9; 20 -12), с (11; 3; 8) . Пример 9. При каких значениях а и (3 векторы а-а-1-4-]-к и 6 = 3/+ / + /3к коллинеарны?

Решение. Воспользуемся соотношением (2.10):

а

3

:-4 /? = 1(-1),/? =

—: от • 1 = 3 • (-4), сс = -12. 1

Таким образом, при а = -12 и /? = данные векторы а и 6 коллинеарны.

Деление отрезка в данном отношении

Говорят, что точка М делит отрезок М_ХМ₂ в отношении Л > 0, если ММ „

—!— = Л, или М_ХМ = Л-ММ₂.

ММ₂

Пусть известны координаты точек М, и М₂ :

М(х_х-,у_хг_х), М₂(х₂;у₂;г₂).

Найдем координаты точки М{х у; г).

Векторы М_ХМ и ММ і коллинеарны (М_ХМММ₂), поэтому

ММ = ЛММ, .

М_ХМ ={х-х_х;у-у_х;г-г_х},

ЛМ_ХМ = {Л(х-х₁);Л(у-у₁);Л(г-г₁)}.

Приравнивая соответствующие координаты равных векторов, получаем: х-х_х =Л(х₂ -х), у-у_х = Л(у₂ -у), г-г_х =Л(г₂ -г)

или

(2.14)

х, +Лх 2 У + Лу 2 г, +/Ь

х =-—, у = --—^г =-^:

1 + Л 1 + Л 1 + л

Если точка М делит отрезок М_ХМ₂ пополам, то Л = 1, тогда

х =

х_х +х₂

У +У2

, у =-1-, 2 =

• 21 ^{+ 22}
• (2.15)
• 2 2 2 Пример 10. Даны вершины треугольника ^(4;1;5), 7?(-4;13;1), С(6; 1; 1). Найти координаты точки пересечения медиан этого треугольника.

Решение. Пусть АО — медиана треугольника, тогда точка ?) — середина отрезка ВС. Найдем координаты точки Д используя равенства (2.15):

—4 + 6 . 13 + 1 1 + 1 . .

^х = —^— = , У = —^~⁷’ 2 = — = ,т.е. о( 1; 7; 1).

Медианы треугольника точкой пересечения Р делятся в отношении

АР 2

2:1, считая от вершины, значит -^ = у, ^т-^е- ^ ⁼ 2- По формулам (2.14)

найдем координаты точки Р:

4 + 2-1 6 „ 1 + 2-7 15 , 5 + 2-1 7

х =-= — = 2, у =-- — = 5, г =- - — .

1+2 3 1+2 3 1+23

Таким образом, точка пересечения медианы данного треугольника —

г

Р

2; 5;|

Задачи для самостоятельного решения

1. Отрезок АВ точками М, N н Р разделен на четыре равные части. Точка О не принадлежит отрезку АВ. ОА = а, ОВ = Ь . Выразите через а и

Ъ вектор пг - 2 ОМ - ОЫ + 4ОР .

• 2. Даны точки А(3; 2; 0), В(4; 0; 1), С(-5; 0; 2), ?>(-8; 6; -1). Проверьте, АВ ТТ СО или АВ Т1 СО . Какой из векторов длиннее и во сколько раз?
• 3. При каких значениях а и /3 векторы а = т - ] + Зк и
• 6 = 12/ + 3 / + (Зк коллинеарны?
• 4. Даны три последовательные вершины параллелограмма А( 1; - 2; 3), В(3; 2; 1) и С(б; 4; 4). Найдите его четвертую вершину О.
• 5. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Найдите эти углы.
• 6. Вектор составляет с осями Оу и Ог углы 60^й и 120°. Какой угол он составляет с осью Ох?
• 7. Даны две координаты вектора а : а_х = -4, а_у = 12 . Найдите его тре-

тью координату а_х при условии, что

• 8. На оси OZ найдите точку, равноудаленную от А(4; -1; 2) и В(0; 2;-1).
• 9. Покажите, что АВСО — параллелограмм, если А(0; 2; -3), В(3; 1; 1), С(4; -5; 2), 0(1; -4; -2).
• 10. Дан вектор а(і2;-4;3). Найдите сумму направляющих косинусов

данного вектора.

• 11. Даны точки А(3; 1; 1) и В(4; - 5; 2). Точка С делит отрезок АВ в отношении 2:3, считая от точки А. Найдите координаты точки С.
• 12. Определите координаты центра тяжести треугольника АВС, если А(5; 1; 12), В(11; 3; 8), С(2; 5; 0).
• 13. Найдите орт вектора а = (-12; -4; -3) и его направляющие косинусы. Острые или тупые углы образует вектор с осями координат?

Ответы. 1. 2а + ЗЬ. 2. СО длиннее в 3 раза; АВ^ІСО.

• 3. -4; -9. 4. (4; 0; 6).
• 7. ±3.
• 8.
• 5. arccos

S'

6. 45 или 135 .

12.

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов

а и Ь (а Ф0 , Ь ^0) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается аЬ, а Ь.

а-Ь =

а

• ? COS (р ,
• (2.16)

/_Л_Л

где (р =

а,Ь

V J

Формулу (2.16) можно записать иначе. Так как cos (р = пр-b, то получаем:

ab =

а

пр-Ь =

* пр-а,

а

• • cos (р = пр- а ,
• (2.17)

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства скалярного произведения

• 1) а-Ь-Ь-а
• 2) А-(а-б) = (Аа)-6 = а-(Лб);
• 3) а-{ь + с]~ а-Ъ + а-с
• 4) а-Ь- 0 тогда и только тогда, когда а = 0, или Ь- 0, или а _1_ Ь;
• -2
• 5) а =

а

скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Пусть заданы два вектора а - а_х/ + а } + аЛ и Ь-Ь_х1 + Ь_у / + Ь,к . Тогда а-Ь-(а_хг + а₍,у + а_куЬ_х1 + Ь_уу +ЬЛ] = [по свойствам 2, 3] = = аД„г + +аЬА• / + аЬА• к + аЬ_г / • / + а,,/?,. / + аЪ, / • к +

+а_Ь_хк• г + аЬ_ук • у + а_ЬЛ = [по свойствам 4, 5] =

= аЬ_г + а_уЬ_у + а_Ь_.

X X у у 2 4

Таким образом,

а-Ъ = а_хЬ_х+а Ь +а₂Ь_г. (2.18)

Пример 11. Даны векторы а(2;3;5), б(-1;3;4), с(2;0;-5). Найти ска-

лярное произведение (2с + За)-6 .

Решение. Воспользуемся свойствами 2, 3:

(2с + За)-6 = 2(с-б)+з(а-б).

Используя формулу (2.18), получаем:

с • Ь = 2 • (-1) + 0 • 3 + (-5) • 4 = -2 + 0 - 20 = -22, а • 6 = 2 • (-1) + 3 • 3 + 5 • 4 = -2 + 9 + 20 = 27.

Тогда (2с + 3а)-6 = 2-(-22)+ 3-27 = -44 + 81 = 37.

Пример 12. Найти длину вектора с = 5а -ЗЬ , если

Решение. Используя свойство 5 скалярного произведения, получаем

= л/с = д/(5а -Зб) = V25а -30аЬ

-2

+ 9Ь ,

следовательно,

_ _ 7Г 1

соб(р-2'5-соб — = 10 — = 5 ,

3 2

= 25, а-Ь =

= л/25-4-30-5 + 9-25 =7100-150 + 225 =л/175=5л/7.

а

Пример 13. Даны векторы а- + к , Ь = / + / + ?. Найти угол между

векторами с = а + Ь и б/ - а-Ь.

Решение. Найдем координаты векторов с и с1:

с — а + Ь — — / + /г + / + / + /г = / + 2к , т.е. с(1;0;2);

(1 = й — 6 = — у + & — г — у — к = — г — 2у , т.е. */(— 1;—2;0).

Воспользуемся формулой (2.16) с-с1 -

(I

СОБ

с, ^

V У

тогда

СОБ

С,

V У

сс1

(I

сс1 = 1 - (—1) + 0 - (—2) ч- 2 • 0 = -1;

с

ъ

Следовательно,

- л/1² +0² + 2² = л/Т+4 - л/5;

= у1(-)² +(-2)² +0² = л/Г+4" = л/5.

С08

С, (I V У

-1

У1-У1

_1_ тогда

У Л л

с, с1 V У

= агссо8

I

-К- агссов — 5

Пример 14. Даны векторы а(1;1;-1), б(3;-1;-5), с(-2;3;4). Найти вектор л:, если известно, что х 2-а, х _1_ 6 их-с = -1.

Решение. Пусть искомый вектор х(х; у; г). Из условия х А. а следует, что х-а = {) или 1х + 1у-1-2 = 0,т.е. х + у-г = 0 .

Из условия х±Ь следует, что х-Ь- 0 или 3-х-1-у-5-г = 0 , т.е. Зх-1у-5г = 0.

Из условия хс = -1 следует, что -2-х + 3-у + А-г = -1 или —2 + Зх + 4г = — 1.

Из полученных равенств составим систему линейных уравнений, решение которой и определит координаты искомого вектора х .

х + у-г = О,

<Зх-у-5г-0, (*)

— 2х + 3у + 4г = — 1.

Решим систему уравнений методом Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу А* системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Элементы первой строки матрицы умножим на (-3) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, затем элементы первой строки умножим на 2 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки:

Элементы второй строки полученной матрицы умножим на

Элементы второй строки умножим на (-5), третьей строки — на 2, затем к полученным элементам третьей строки прибавим соответственные полученные элементы второй строки:

С помощью полученной матрицы треугольного вида составим систему уравнений, равносильную системе (*).

х = 3,

? у = -1 2 — 2.

х + у-г = О, 2у + г = 0, -г = -2;

Таким образом, искомый вектор х

Задачи для самостоятельного решения

• 1. У простите выражение (2/ - / )• / + (/ - 2к)- к + {і - 2к) .
• 2. Найдите углы треугольника с вершинами а(2; -1; 3), 5(1; 1; 1),

С(0; 0;5).

• 3. Найдите угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах я = (2;1;0)и 5 = (0;-2;1).
• 4. При каком значении т векторы а -ті-3/ + к и Ь = 2і + ]-тк перпендикулярны?

Л

= 6, (а,Ь =60°.

• 5. Найдите (За - 2Ьра -6Ь), если а - 4 ,
• 6. Найдите [за - Ь^а - 6^), если а = (3; 1; 1), Ь = (0; 2; -3)
• 7. Даны точки Л( 1; 2;3), 5(2; -4; 0), С(і; -2; 3). Найдите пр—АВ

л С

Л

8. Найдите длину вектора с = За + 2Ь , если

а

= 3,

= 4, а, Ь =120

• 9. Найдите вектор х , коллинеарный вектору а[2; 1; -1) и удовлетворяющий условию х • а = 3 .
• 10. Даны векторы а = (1; 1; -1), Ь = (3; -1; - 5), с - (-2; 3; 4).

Найдите вектор х , если известно, что х-1_а,х_1_5 и х • с = -1.

• 11. Найдите проекцию вектора а + с на вектор Ь + с, если а - Зі - 6 / - к , Ь = і + 4у — 5к , с = 3/ + 4/ + 2к .
• 10. (3;-1;2). 11.

л/89 '

Ответы.

• 1. 2.
• 2. 45°,45°,90°. 3.90°.
• 4.3.
• 5. 336.
• 6. 130. 7. 6
• 8. л/73.

Векторное произведение векторов и его свойства

Три некомпланарных вектора а , Ь и с, взятые в указанном порядке,

образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший

поворот от первого вектора а ко второму вектору Ь виден совершающимся против часовой стрелки, и левую — если по часовой.

правая тройка левая тройка

Определение. Векторным произведением вектора а на вектор Ь называется вектор с, который:

1) перпендикулярен векторам а и Ь , т.е. с _1_ а , с _1_ Ь ;

Л

2) имеет длину

а

ът(р, где (р-а,Ь)

3) образует правую тройку с векторами а и Ь .

Векторное произведение обозначается ахЬ , т.е. с-ахЬ Из условия (2) следует, что длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь , как на сторонах:

ахЬ

5 -I

ахЬ

(2.19)

Из определения векторного произведения вытекают следующие соотношения между ортами /, у и к : /ху = к, ух А: = /, кх1 = у .

Свойства векторного произведения

• 1) ахЬ = -Ьха;
• 2) л(ахА>)= (Ля)хб = ах (ЛЬ);
• 3) (я + б)хс = ахс + Ьхс ;

• 4) ахЬ = 0 тогда и только тогда, когда а = 0, или 6 = 0 , или а
• 5) аха = 0 .

Из определения и свойств второго произведения следует:

/х / = у Ху =кхк = 0, у хі = —к, кху = —/, іхк = — у .

Можно использовать таблицу векторного произведения векторов і,

у и

Пусть заданы два вектора а = а_х г + а_у у + а. к и Ь = Ь_х г + Ъ у + Ь₂ к.

Тогда векторное произведение этих векторов может быть найдено с помощью определителя третьего порядка

ахЬ

(2.20)

/ у к а_х а_у а, . Ь_х Ь_у Ъ₂

Пример 15. Упростить выражение $а + АЬ)Ха- ЪЬ].

Решение. Используя свойства векторного произведения, получим

(За + 4 б) х (я - Зб) = Заха + 4Ьха-9ахЬ-2ЬхЬ = 3 0 + 4Ьха + +9Ьха-20 = ЗЬха (так как аха = 0, ЬхЬ = 0, ахЬ = -Ьха).

Пример 16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а = 6/ + Зу - 2к и Ь = 3/ - 2у + 6к как на сторонах.

Решение. Найдем векторное произведение векторов а и Ь с помощью формулы (2.20):

/

ахЬ =

• 6
• 7
• 3
• -2

= (18-4)?-(36 + 6)у +(-12-9)к = 14/-42 ]-2к.

Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то

ахЬ

= л/14² +(-42)² +(-21)²

= л/196+1764 + 441 = л/2401 = 49.

Пример 17. Вычислить площадь параллелограмма построенного на

Л

векторах (а + 3b )и (За + bj, если

а

= 1, а,Ь)= 30‘.

Решение. Найдем векторное произведение данных векторов:

[а + 3ь)х{за + ь)-3аха + 9Ьха + ахЬ + ЗЬхЬ = 30 + 9Ьха--Ьха + 3-0 = 8 Ьха.

Площадь параллелограмма по формуле (2.19) равна

• S =
• 8bxa

= 8

Ьха

= 8

а

•sin [a,b), тогда получим S = 8 • 1 • 1 • sin 30 = 8 • — = 4.

Пример 18. Даны два вектора а - і-2] + 3к и Ь-И- / + 4к . Вектор с І. а , с А. Ь . Найти

Решение. Так как вектор с _!_ а и с _1_ Ь , тогда с = ахЬ . Координаты вектора й(1;-2;3), вектора Ь(2; — 1;4). Найдем вектор с, пользуясь формулой (2.20)

с -

і j к 1 -2 3

2-14

= (-2) • 4 • / + 2 • 3 • у +1 • (-1) • & -12 • (-2) -к + 3- (-1) • / +1 • 4 • j)=

= —8/ + 6 / — к + 4к — 3і + 4 у = — 1И +10 / + 3 к. Таким образом, вектор с - -11/ +10 / + 3к

Найдем модуль вектора с

= V(-ll)² +10² +3² = л/121 + 100 + 9 = л/230.

Пример 19. Найти 2а-Ь +

ахЬ

если известно, что а = і + 2у + Зк ,

Ь — 3 — 2]л-к.

Решение. Координаты вектора я(1;2;3), вектора б(3;-2;1). По формуле (2.18) найдем скалярное произведение векторов а и Ь: а-Ь = 1-3 + 2-(-2) + 3-1 = 3-4 + 3 = 2.

Найдем векторное произведение ахЬ , используя формулу (2.20)

ахЬ =

• * .1 1 2
• 3 -2

к

1

= і

• 2 3
• -2 1
• 1 3 3 1

+ к

1 2 3 -2

= (2 + 6)/ - (1 - 9 У + (-2 - 6 )к = 8/ + 8./ - 8?.

ахЬ

= V8² +8² +8² = л/бФЗ = 8л/з

Тогда искомое выражение 2а/? + 1# х/?| — 2 • 2 + 8л/з — 4(1 + 2л/з)

Задачи для самостоятельного решения

• 1. Упростите выражения:
  • а)/х(2у'-ЗЛ:)-&х(з/ + 2у); б)^2я+ />)х(с-я) + /)х(а
• 2. Вычислите площадь треугольника с вершинами Л(1; 1; 1), В(2; 3; 4), С(4; 3; 2).
• 3. Найдите

я х/?

, если

а

= 10,

= 3 , а-Ь = 18.

4. Вычислите синус угла, образованного векторами а(2;-2; 1) и

М 2; 3; б).

5. Даны точки л(2;-1; 2), /Т|1; 2; -1) н С{3; 2; 1).

Найдите координаты векторных произведений: а)АВхВС; б) (аВ-ЪСв)хВА.

• 6. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах а = (—1;3;5) и Ь={2; — 1;3).
• 7. Найдите площадь параллелограмма, диагоналями которого служат

векторы 2т -пи 4т - 5п , где

т

п

= 1, (т , п)-45°.

Ответы. 1. а)2і + 2к ; 6)2ахс . 2.2л/б.З. 24.

4. 8Іп (р — 5. а) (6;-4;-6); б) (18;-12;-18). 6. Т390.7. 1,5 л/2 .

Смешанное произведение векторов и его свойства

Определение. Смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается аЬс ) называется произведение вида (ахЬ)-с .

Пусть заданы векторы а = а1 + а ] + а к, Ь- Ь_х1 + Ь у +Ь.к и

? •

с = с_х1 + с_у] + с.к.

Векторное произведение векторов а и Ь — это вектор, равный

ахЬ =

г

7

вектор с - с_х1 + с _у _/ + с₂к , тогда скалярное произведение векторов ахЬ) и с согласно формуле (2.18) имеет вид

Ъ_х Ь_у Ь.

а

а_у а₂

или

а

X

^ау ^а2

аЬс -

Ь_х Ь у ь,_

С

X

с с

У г

(2.21)

Свойства смешанного произведения

• 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. (ахЬ)-с = (ьхс)-а = [сха)-Ь.
• 2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е. аЬс - -асЬ , аЬс - -Ьас , аЬс =-сЬа .
• 3. Смешанное произведение ненулевых векторов а , Ь и с равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны, т.е.

а у а₂

а

аЬс = 0 <=>

Ъ_х Ь_х, Ь₂

= 0

(2.22)

^СХ ^СУ

векторы а , Ь , с компланарны (а Ф 0,Ь Ф 0, с Ф 0 ).

4. Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать:

(2.23)

Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), построенного на векторах а , Ь , с равен

V,

тр. пир.

аЬс

(2.24)

и

Пример 20. Даны векторы а=/ + у-3&, Ь = И — ] + к

с = 3/ + 4у -к . Найти смешанное произведение векторов а , Ь и с. Решение. Воспользуемся формулой (2.21)

аЬс =

• 2
• 1
• -1
• 4

= (1 — 4) —(-2-3) —3(8 + 3) = -3 + 5-3-11 = 2-33 = -31.

Пример 21. Проверить компланарны ли векторы я(2;0;1), б(1;1;0) и с(3;-2;1).

Решение. Найдем смешанное произведение векторов а , Ь и с, используя формулу (2.21):

2 0 1

аЬс =

1 1 0 3 -2 1

= 2-

• 1 0
• -2 1
• -0-
• 1 о
• 3 1

+1

• 1 1
• 3 -2

= 2(1-0)-0 +

+(-2-3) = 2-5 = -3.

Так как смешанное произведение данных векторов не равно нулю (-3 Ф 0), тогда по условию (2.22) векторы а , Ь и с — некомпланарны.

Пример 22. Вершинами пирамиды служат точки А(2; 2; 2), В{4; 3; 3), С(4; 5; 4) и 0(5; 5; 6). Найти объем пирамиды.

Решение. Найдем координаты векторов АВ, АС и АО, совпадающих с ребрами пирамиды, исходящими из вершины А.

АВ(4-2;3-2;3-2), А3(2; 1; 1),

~АС(4-2;5-2;4-2), ~АС(2; 3; 2),

АО(5-2;5-2;6-2), АО(3; 3; 4).

Находим смешанное произведение векторов ИС и уШ по формуле (2.21)

2 1 1

ABACAD=

• 2-3-4 + 2- 3-1 + 1- 2- 3 — (3-3-1 + 2-1-4 +
• 2 3 2
• 3 3 4

+ 3-2-2 = 24 + 6 + 6-9-8-12 = 36-29 = 7.

1-7-7 6 6

Тогда объем пирамиды по формуле (2.24) равен Г

Пример 23. При каком значении m векторы а = mi + 2j-4k, b-2i- 3j + тк и с = 3/ - 2j + 4А: компланарны?

Решение. Воспользуемся необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов (2.22)

т

abc - 0,

• 3
• 2
• -3
• -2

• 4
• ш 2 -4
• 2 - 3 /л
• 3-2 4
• 4• (-З)ш + 2• (—2)(—4) + 2-3 т-(з(-3)(-4)-2т² + 2• 2• 4) =

= —12m +16 + 6т -36 + 2т² -16 = 2т² - 6т -36.

2т² -6т -36 = О,

т² -Зт -18 = 0.

3 +-у/9-4-(-18) 3 ± л/вТ 3±9

т, ₂ =-=-=-,

’ 2 2 2

mj = -3, т₂ = 6.

Итак, при m = -3 и m = 6 векторы а , и с компланарны.

Задачи для самостоятельного решения

• 1. Найти смешанное произведение векторов а = / - у + к , Ь = / + / + к, с = 21 + 3 / + 4 к.
• 2. Показать, что векторы а = И-Зу + 2к, Ь = 3/-7у + 8/:, c = i-] + к компланарны.
• 3. Доказать, что точки Л(1;2;-1), В(0;1;5), С(-1;2;1), 0(2;1;3) лежат в одной плоскости.
• 4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

а = 3/ + 4/, 6 = -3/ + с = 2/ + 5^, как на ребрах.

5. Дана пирамида с вершинами (9(0; 0; 0), А(5; 2; 0), В(2; 5; 0) и С(1;2;4). Найдите ее объем, площадь грани АВС и длину высоты, опущенной на эту грань.

Ответы. 1. 4. 4. У = 5. 5. ^ = 14;5 = 6л/3; Я = —.

Прямая на плоскости

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым, только им присущим геометрическим свойством.

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т.е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Определение. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение Дх; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Пример 24. Лежат ли точки А( 1;2) и #(0;3) на линии х + 2у-6 = 0?

Решение. Подставив в уравнение линии вместо х и у координаты точки А, получим 1 + 2*2 — 6^0. Значит, точка А не лежит на данной линии.

Подставим в уравнение линии координаты точки В вместо х и у 0 + 23-6 = 0. Следовательно, точка В лежит на данной линии.

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды уравнений прямой.

Пусть М₀(л:₀;7о) — заданная точка прямой /. Вектор п(А;В), перпендикулярный прямой /, называют нормальным вектором прямой. Пусть М(х;у) — произвольная (текущая) точка прямой. /. Тогда

М₀М(х-х₀;у-у₀)₉ п±М₀М .

п

По свойствам скалярного произведения п-М₀М = 0, т.е.

^(х-х₀)+5(у-уо) = °- (2.25)

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (2.25), получим Ах + Ву + (-Ах₀ - Ву₀ )-0. Обозначим -Ах₀ - Ву₀ = С, уравнение (2.25)

примет вид

Ах+Ву + С = 0, (2.26)

которое называется общим уравнением прямой на плоскости.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

С

1) если А = О, В Ф О, С ФО, то уравнение приводится к виду у =--.

В

Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

С

2) если А фО, В = 0, С Ф 0 , то уравнение приводится к виду х =--,

А

прямая параллельна оси Оу;

• 3) если С = 0 , А Ф О, В Ф 0 , то получим Ах+ Ву = 0, прямая проходит через начало координат;
• 4) если А = 0, В Ф О, С = 0 , уравнение прямой принимает вид Ву-0 или у = 0, прямая проходит через ось Ох;
• 5) если АфО, В = О, С = 0, уравнение прямой -Ах = 0, или х = О, прямая проходит через ось Оу.

Пусть в уравнении (2.26) АфО, В ф О, С Ф О , тогда перенесем слагаемое С в правую часть и разделим на него обе части уравнения

Ах Ву х у

ч—— = 1 , ИЛИ-г ч-

• -с -с
• -% -^С/в

= 1.

С С

Обозначив —— = а, — — = 6, получим уравнение

(2.27)

отрезки,

^?+1^=|’

которое называется уравнением прямой в отрезках, где а и Ь отсекаемые прямой на осях координат.

Определение. Вектор 3(т;п), параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

?

/

Пусть М₀(х₀; у₀) — заданная точка на прямой /, 3(т;п) — направляющий вектор этой прямой, М(х; у) — произвольная точка прямой /.

Тогда М ₀М[х - х₀; у - у₀), М₀М 5 . Используя условие (2.13), полу

чим:

Т-То

(2.28)

т

п

Полученное уравнение (2.28) называется каноническим уравнением прямой, или уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

т О

- х — х₀ у-у₀

В частности, если прямая / параллельна оси Ох, то ее направляющий вектор 5(т; 0) и уравнение (2.28) имеет вид ——— = ^ , или у - у₀

, или х-х₀.

Если /|0у, то 8(0; п) и уравнение прямой Если в уравнении (2.28) величину отношения положить равной /

(^ — параметр, переменная величина, Я ):

х — х

о

У~Уо

т п

то, выразив л: и у из уравнений, получим

л: = + х₀ , у = Ш + у₀ . (2.29)

Уравнения (2.29) называются параметрическими уравнениями прямой. Пусть на прямой / заданы две точки М_х(х_х у,) и М₂[х₂; у₂). Тогда

вектор М_ХМ₂ (х, — хр, у₂—У]) является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.28), можно записать

х — х,

У~У 1

• (2.30)
• *2~^х1 У2~У

Уравнение (2.30) — уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть М₀(х₀;у₀) — заданная точка на прямой I, а — угол наклона

ж

прямой к оси Ох, аФ —. В качестве направляющего вектора прямой /

3

= tga = к (к — угловой коэффициент прямой), получим уравнение

sin а cos яг

прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении

(2.31)

возьмем

COS ft — cos

- 7Т

единичный вектор S₀ (cos or; cos/?), но /3 =--а, тогда

= sin а, т.е. S₀ (cos a; sin а). Используя уравнение

'к ^Л

— а 2

_П0п, J'-J'o Sin а, ч -

(2.28), получим -=—_:- или у-у о =-(х - х₀ J. Обозначим

cos a sin а

cos а

У ~ Уо = k(x-x_Q).

Выразив из (2.31) у: у - кх + (у₀ - кх₀) и обозначив у₀ - кх₀ - Ь, получим уравнение

у-кх + Ь, (2.32)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.32) Ь — ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

2.9.1. Угол между двумя прямыми и условия параллельности

и перпендикулярности двух прямых

Пусть прямые /, и /₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у = кХ + Ь и у = к₂х + Ь₂, где к_] =1уа_х,к₂=Ща₂.

Требуется найти угол (р, на который надо повернуть в положительном направлении прямую /₁ вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой /₂.

а₂=(р+а_х (по теореме о внешнем угле треугольника) или

(р = а₂-а_].

к₂ /Г|

1 + • к₂

Если <р ф —, то 1%(р = - 0С) = - ^/1—

2 1 + tga_l • ^а₂

Таким образом, Щ(р =

к₂ к_}

к • к₂

(2.33)

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть формулы (2.33) берется по модулю, т.е.

к₂ к

• 1 + к_х • к₂
• (2.34)

Если 1П1₂, то ср- О и tg(p-0. Из формулы (2.33) следует, что к₂-к- 0, т.е.

(2.35)

к

Если 1_Х ±/₂, то (р-—, Щ(р не существует. Тогда рассмотрим к •к

с^(р Щ<р =

71

к₂ к_х

, ^ — = 0. Отсюда 1 + к_х • к₂ = 0, т.е. -к₂ =-1 (или к₂ = ——)

(2.36)

Если прямые /, и /₂ заданы общими уравнениями А_хх + В_]у--С_] = 0 и А2Х 4- В2У + С*2 — 0, где /7₁(^₁;5_]) и /?₂ (^₂; В2) —нормальные векторы

прямых, то

П • Я₂

^1^2 ⁺ В2

со $(р =

или

соэ^ =

? л[л[+в!

Если 1_Х// /₂, то Я[ // Я₂, следовательно

• 4 _
• (2.37)

^2 В₂

Если 1_Х 1.1₂, то Я, _1_ Я₂, т.е. Я| • Я₂ = О

• (2.38)
• (2.39)

А_ХА₂ + В_ХВ₂ — 0.

2.9.2. Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая / задана уравнением Ах + Ву + С = 0, точка М₀(х₀;у₀),не принадлежит прямой /.

Обозначим через (1 расстояние от точки М₀ до прямой /.

Тогда

Ах₀ + Ву₀ + С л] А² + В²

(2.40)

х-4 у +3

Пример 25. Дано каноническое уравнение прямой

-2 3

Написать: а) общее уравнение прямой; б) уравнение прямой в отрезках; в) уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

а) Приведем данное уравнение к общему знаменателю 3(х - 4) = -2(у + 3) и преобразуем его к виду (2.26):

Зх -12 + 2у + 6 = 0, Зх + 2у - 6 = 0 — общее уравнение прямой.

• б) Полученное общее уравнение преобразуем к виду (2.27):
  • - Зх 2у XV.

Зх + 2у - 6, — + —— - 1, или — + — = 1 — уравнение прямой в отрез-

6 6 2 3

ках.

• в) Разрешим полученное общее уравнение прямой относительно у,
• 3 3

получим уравнение (2.32): 2у = -Зх + 6, у = —х + 3. Здесь к = — ,Ь = 3.

Пример 26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-1; 2) параллельно вектору 5(3; 2).

Решение. Используя уравнение (2.28), получим: —+ - = - — —.

Здесь вектор 5 является направляющим вектором.

Пример 27. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Л(2;3) и отсекающей на оси ординат отрезок Ь = 6. Определить угол наклона этой прямой к оси Ох.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой в отрезках (2.27):

—+ —= 1. По условию Ь = 6. Так как искомая прямая проходит через точ-а Ь

ку А(2;3), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2.27).

Подставляя числовые данные в это уравнение, получим:

• 2 3,2
• - + --І, -а 6 а
• —, а = 4, значит, искомое уравнение прямой име-

х у

ет вид: — + — = 1. Для нахождения угла между полученной прямой и осью 4 6

Ох, преобразуем это уравнение к виду (2.32): 6х + 4у = 24, 4у = -6х + 24

3 3

или у = —х + 6. Угловой коэффициент к = —, но k = tga, т.е.

• 2 2.
• 3 3

tga = —, поэтому а = агс/^(—).

Пример 28. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых х + 2у + 1 = О, 2х + у + 2 = 0 и образуют угол 135° с осью Ох.

Решение. Найдем координаты точки пересечения данных прямых:

х + 2_у + 1 = О, 2х + у + 2 = 0;

х = -1-2 у, -4у + у = 2-2;

х = -1-2 у, ~3у = 0;

х = -1-2 у, 2(-1-2у) + у + 2 = 0;

х = —1

у = о.

Значит точка пересечения данных прямых Л(-1;0). Для составления уравнения искомой прямой воспользуемся уравнением (2.31). Здесь (х₀;уо) — координаты точки А, k = tg 135°, к = -1, поэтому уравнение

прямой примет вид

: _у-0 = -і(х + і) или у = —х — 1.

Пример 29. Даны сторона параллелограмма Зх - 4у + 5 = 0, две вершины А{; -3) и С(1; 2), а также ОС,ВС = 45°• Составить уравнения

остальных сторон.

Решение. Проверим, проходит ли данная прямая через указанные точки. Для этого подставим координаты точек А и С в уравнение прямой. /4(1;-3): 3-1 —4-(—З)+5 = 3 + 12 + 5 = 20, 20^0, значит, прямая

Зх - 4у + 5 = 0 не проходит через точку А.

С(1;2): 31 — 4-2 + 5 = 3 — 8 + 5 = 0, 0 = 0, поэтому данная прямая проходит через вершину С. Пусть это сторона ОС.

Так как в параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, найдем уравнение стороны, проходящей через точку А параллельно данной прямой. Найдем угловой коэффициент этой прямой:

Зх - 4у + 5 = 0, 4у = Зх + 5,

3 5 3

у = — х + — , здесь к _пг = — .

4 4 4

В силу условия (2.35) к_ос =к_АВ = — , тогда уравнение стороны АВ

примет вид у + 3 = — (х —1), 4у + 12 = 3(х-1) или Зх — 4у — 15 = 0.

Найдем уравнение стороны ВС, проходящей через точку С под углом 45° к стороне ОС. Угловой коэффициент прямой ОС к_ос = —. Найдем к_вс, используя условие (2.33):

• (845° =
• 1 =

^квс ₄

1 + ^' квс

^квс ₄

• 1 + т ' к вс
• 3 3

квс ~~^к_вс = 1 + —,

Составим уравнение стороны ВС, пользуясь уравнением (2.31): у-2- 7(х-1), у-2 = 1х-1 или 7х-у-5 = 0.

Составим уравнение стороны АО, пользуясь уравнением (2.31) квс ⁼ к_Ао = 7 :

Т + 3 = 7(х — 1),

у + 3 = 7х-7 или 7х - у -10 = 0 .

Пример 30. Дан треугольник с вершинами а(0; -4), В[ 3; 0) и С(0; б). Составить уравнение и найти длину высоты СН.

Решение. Найдем уравнение стороны АВ, используя уравнение (2.30):

х-0 _ у+ 4 х _ у + 4

3^0 ^_ 0 + 4’ 4 ’ 4х = Зу +12, Зу = 4х -12 или у = — х - 4.

Угловой коэффициент прямой АВ к_АВ = —. или

Высота СН ± АВ, тогда по условию (2.36) ?_ся = -

^ксн - ₄ •

Составим уравнение высоты СН, пользуясь уравнением (2.31):

у-6 = -^(х-0), у-6 =-~х , 4у-24 = -Зх или Зх + 4у — 24 = 0 .

Длину высоты СН найдем по формуле (2.40), как расстояние от точки С(0;б) до прямой АВ 4х-Зу-12 = 0:

СН =

4-0 —3-6 —12| |0 —18 —12| 30

д/4² + (-3)² л/Гб + 9

= 6.

Таким образом, уравнение высоты СН Зх + 4у-24 = 0 , а длина высоты СН равна 6.

Пример 31. При каком значении а прямые ах + 6у-1 и 2х + {а- 1)у + 3 = 0: а) параллельны; б) перпендикулярны?

Решение, а) нормальный вектор прямой ах + 6у - 7 = 0 щ {а б), прямой 2х + (а - 1)у + 3 = 0 — п₂ (2; а — 1). Из условия параллельности двух прямых (2.38)

? = -$-, а(а-1)-12, а²-а-12 = 0, а, ₂ = МЗЕМ ₌ 1±1 ₌ __{3; 4} 2 а-1 ’ 2 2

Таким образом, при а - -3 и а = 4 данные прямые параллельны.

б) согласно условию перпендикулярности двух прямых (2.39), получаем:

п_х ? п₂ = 0 , 2а + в(а-)-0, 2а + 6а-6-0,

Значит, при а = — данные прямые перпендикулярны.

Задачи для самостоятельного решения

• 1. Можно ли уравнение прямой 20х + 2 у - 0 записать в отрезках?
• 2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку К (-3; 1) параллельно вектору а = (4; -1). Найдите угловой коэффициент этой прямой и точки ее пересечения с осями координат. Лежат ли на ней точки А(3; 1) и В(5; -1)?
• 3. Дана прямая х - Ъу + 6 = 0. Найдите: а) ее угловой коэффициент; б) ее нормальный вектор; в) точки пересечения с осями координат; г) площадь треугольника, заключенного между этой прямой и осями координат;
• д) точку пересечения этой прямой с прямой 5х - 2у - 9 = 0.
• 4. Среди прямых: а) 4х - 2у + 3= 0; б) х + 2у - 7 = 0; в) у = 2х + 5;
• г) 5х + 10у + 1 = 0; д) у = - — х; е) -вх + Зу + 5 = 0 укажите параллельные и перпендикулярные.
• 5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 5) и отсекающей на оси ординат отрезок в = 7.
• 6. Дана прямая 4х - Зу -1 = 0. Какие из точек

в(3; 2),

С( 1; -1), 0(0; -2) лежат на этой прямой?

• 7. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку М (5; 1)
• 7Г

и образующих с прямой2х + у-4 = 0 угол —.

• 8. Даны вершины треугольника АВС: А(0; 2), В(7; 3) и С(1; б). Определите ZВАС = а .
• 9. Определите расстояние от точки М (2; -1) до прямой, отсекающей

на осях координат отрезки а - 8, Ь- 6 .

10. Найдите прямую, проходящую через точку пересечения прямых

х + 6у + 5 = 0 , Зх - 2у +1 = 0 и через точку М

-?^;1

/

• 11. Даны уравнения высот х + у = 4 и у = 2х и вершина А(0;2) треугольника. Составьте уравнения сторон этого треугольника.
• 12. Даны вершины треугольника Л(3;2), В(5; 2) и С(-1;4). Найдите

точку пересечения высот треугольника.

13. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку Л/(8; б) и

отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

14. Покажите, что треугольник со сторонами х + л/Зу+ 1 = 0 ,

л/Зх + у +1 = 0 и х-у-10 = 0 равнобедренный. Найдите угол при вершине треугольника.

• 15. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых 2х-у-5 = 0и3х + 2у + 3= 0а) параллельно оси Ох; б) параллельные оси Оу; в) параллельно прямой 5х - 2у + 3 = 0; г) перпендикулярно прямой їх + Зу - 1 = 0.
• 16. Для треугольника с вершинами А(0; -4), В(3; 0), С(0; 6) составьте уравнения стороны АВ, высоты СН, медианы ВМ, биссектрисы АК, найдите длину высоты СН и расстояние от вершины С до биссектрисы АК.

ґ

Ответы. 1. Нет, нельзя. 2. х + 4у-1 = 0;А: = - —;

0;г

Л

, О; 0).

/

3. а) -; б) (1; -3); в) (0; 2), (-6; 0); г) 6; д) (3; 3). 4. параллельны а, в, е; б, г, д; 3

перпендикулярны а, г; в, б. 5. х + у-7 = 0. 6. Точки А и С лежат на прямой, точки В и ?>— не лежат. 7. х + Зу-8 = 0, Зх - у -14 = 0. 8. tga = — .

• 9. 4,4. 10.5х + 4 = 0. 11.х-у + 1 = 0, х + 2у-4 = 0, 2х + у-8 = 0.
• 12. (— 1;—10). 13. Зх-2у-12 = 0, Зх-8у + 24 = 0.14. 30°. 15. а) у = -3,
• б) х = 1 , в) 5х-2у —11 = 0, г) Зх —7у —24 = 0. 16. АВ: 4х-Зу-12 = 0;

СН: Зх + 4у-24 = 0 ; ВМ: х + Зу-З = 0 ; АК: Зх-у-4 = 0; С#= 6; л/Го .

Кривые второго порядка

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Ах² +Вху + Су² + Ох + Еу + Я = 0 . (2.41)

Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются кривыми второго порядка.

Установим, при каких условиях уравнение (2.41) определяет окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Если Я— радиус окружности, а точка С₀(х₀,у₀) — ее центр, то

уравнение окружности имеет вид:

(х-х₀)² +(у-у₀)² = Я². (2.42)

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то последнее уравнение имеет вид:

х²+у²=Я². (2.43)

Уравнение окружности (2.42) после несложных преобразований примет вид х² + у² - 2х₀х - 2у₀у + х% + у²} - Я² = 0 . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (2.41) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

• 1) коэффициенты при х² и у² равны между собой (А-С);
• 2) отсутствует член, содержащий произведение ху текущих координат, т.е. В = 0.

Пример 32. Найти координаты центра и радиус окружности 2х² + 2у² - 8х + 5у - 4 - 0.

Решение. Разделим данное уравнение на 2: х² + у²-4х + — у-2 = 0 или х² + у² - 4х + — у = 2.

Дополним х²-4х и у²+ — у до полных квадратов:

Тогда данное уравнение примет вид: (х- 2)²-4 +

V

5^²

^ ⁺ 4

/

• - — = 2, 16
• (х-2)² +

г у + -' 4

25

г

= 2 + 4 + — или (х-2)² +

5^Ч

у+-' 4

у

16

. Таким обра

-4х = {х² - 2- х-2 + 4)- 4 = (х - 2)² - 4,

> + * 2

25 зом, координаты центра окружности х₀ = 2 , у₍₎ = — — и радиус окружности

Пример 33. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А( 1; 2), Я(0;-1), С(-3;0).

Решение. Для составления уравнения окружности найдем координаты центра и радиус окружности. По условию искомая окружность проходит через три данные точки, поэтому в уравнение (2.42) подставим поочередно координаты этих точек вместохиу:

А(и2): 0 - *₀ )^{2 +} (2 - Уо)² = К²>

В(0;-1): (О — дг₀ )² +(-1-Уо)^{2 =} В²,

С(- 3;0): (-3-х₀)²+(0-_Л)²=К².

Получили три уравнения с тремя неизвестными. Для нахождения этих неизвестных решим систему уравнений:

(1-х₀)²ч-(2-у₀)²=Я²,

^{< x}l +(-¹-^о)² =^r2’

• (~3-хс₀)² +Уо =^²;
• 1-2x0 + *о + 4-4у₀ +уо =^r2,
• • *о + 1 + 2у₀ +yl = R²,
• 9 + 6х₀ Ч- Xq + уо - ^{R 2} ;

xl-2x_Q+yl-4y_Q+5 = R², <х] +Уо + 2у₀Ч-1 = Д²,

Хо Ч- 6xq Ч- уо + 9 = R ².

Так как правые части всех уравнений равны, приравниваем левые так, чтобы получить два уравнения с двумя неизвестными:

Хо - 2-т₀ + У о ~ ^Уо + 5 = Хо ч- Уо + 2 у₀ +1 2х₀ - 6у₀ ч- 4 = 0,

6х₀ - 2у₀ + 8 = 0;

Xq ч-6х₀ ч-уо + 9-Xq ч-уо ч-2у₀ +1;

• *о + ³У₀ -2 = 0,
• 3*о “То +4 = 0.

Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к первому, получим

10*о + Ю = 0, *₀ = -1.

Тогда 3 • (-1)-уо ч- 4 = 0 , у₀ = 1. Значит, центром окружности является точка С(-1;1). Подставив найденные координаты центра в любое из

уравнений (например, второе) первой системы найдем R ² :

(- I)² ч- (— 1 — I)² = 1Ч- 4 = 5 , значит К² = 5 . Таким образом, уравнение

искомой окружности имеет вид: (*Ч-1)² ч- (у — I)² = 5.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают обычно через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рисунке, а фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках (с; 0) и F2(-c;0), то уравнение эллипса принимает простейший (так называемый канонический) вид

х

2

а

2

(2.44)

Здесь а — большая, Ь — малая полуоси эллипса, причем а, Ь и с (с — половина расстояния между фокусами) связаны соотношением

а² - Ь² +с². (2.45)

Точки пересечения эллипса с осями координат А_{(а;0), А₂(-а;0),

В,(0;Ь) и В₂(0;-Ь) называются вершинами эллипса, точка 0(0; 0) —

центром эллипса, а оси координат— осями симметрии эллипса, ось на которой расположены фокусы, — фокальной осью. Р, называется правым

фокусом, а Р₂ — левым.

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом е = — (так как с < а, то ?<1): чем меньше эксцентриситет, тем а

меньше его малая полуось Ь отличается от большой полуоси а, т.е. тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси. Если положить е - 0 (а это значит, что с = О, Ь = а), то эллипс превращается в окружность. Таким образом, общее уравнение кривой второго порядка (2.41) может быть уравнением эллипса, если коэффициенты А и С одного знака, а В = 0.

Пример 34. Эллипс, симметричный относительно осей координат,

2

проходит через точку м(1;1) и имеет эксцентриситет ? - — . Составить уравнение эллипса.

Решение. Так как эллипс проходит через точку М(1;1), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2.44) Т- + -^— = 1 или

а² Ь²

Ь² + а² - а²Ь² . Эксцентриситет эллипса е = — , а по условию е - — , пост 5

с 3 3

этому — = —, 5с = 3а, с- —а. Используя равенство (2.45), получаем а 5 5

'2 — а

ч5 у

а² =Ь² +

2 12 9 2,2 16 2

а^А -Ь + — а , Ъ = — а

• 25 25
• 2 2

Решим систему уравнений относительно а и Ь :

Ь² +а² = а²Ь²,

• 2 16 2 о - — а ;
• 7,2 _ 16 2 о — — С1 ,
• 16 2 2 2 ^2
• — а +а =а--а ;
• 25

,2 16 2

О =-72

44 а²-

_16 а⁴ = 0;

• 2 _ 16 2 О — С1 ,
• 25

'41 16 ₂^Л

а

• --а
• 25 25

у

= 0.

^ 2 _Л 41 16 2 _Л 2 41 25 ₂ 41

Так как а ^0, тогда---а =0, а =---, а - —, тогда

• 25 25
• 25 16

Ь² =

• 16 41 41
• 25 16 25

Таким образом, искомое уравнение эллипса принимает вид:

• 2 2 X V ,
• 41/ ' 41 /16 /25

+ Л = 1 или

16.x² +25 у² =41.

Пример 35. Составить уравнение прямой, проходящей через левый

2 2

. ^Х У л

фокус и нижнюю вершину эллипса — + = 1.

Решение. Левый фокус эллипса — 0) • Найдем с из условия

• (2.45), зная, что а² = 25, Ь² = 16 :
  • 25 = 16 + с² , с² = 9 , с = ±3 .

Значит, левый фокус эллипса — /^(-З; 0).

Нижняя вершина эллипса В₂(0',-Ь). По условию Ь² =16, поэтому В₂(0;-4). Пользуясь уравнением (2.30), составим уравнение искомой прямой

х+3 у-0 х + 3 у

• -= —-, -= , -Ах -12 = 3у или Лх + 3у +12 = 0 .
• 0 + 3 -4-0 3-4

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2а), меньшая, чем расстояние между фокусами.

Поместив фокусы гиперболы в точках /^(с;!)) (правый фокус) и

Г'з (- с; О) (левый фокус) и расположив оси координат по отношению

к гиперболе так, как на рисунке, получаем простейшее (каноническое) уравнение гиперболы в виде

х

У

= 1,

(2.46)

а

где а, Ь и с связаны соотношением

• (2.47)
• 2 2 . .2

с -а +п .

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки A_t(a; О) и А₂(-а;0) называются вершинами гиперболы. Отрезок А₁А₂ =2а называют вещественной осью гиперболы, а отрезок В_ХВ₂ -2b — мнимой осью. Ось, на которой расположены

фокусы, называется фокальной осью.

Определение. Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки гиперболы М (х; у) от этой прямой стремится к нулю при х —» +°°

или х —> -°о . Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

(2.48)

Для построения асимптот гиперболы строят осевой (основной) прямоугольник гиперболы со сторонами х = а , х = -а, у -Ь , у = —Ь. Прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Точка 0(О;О) называется центром

гиперболы.

Форма гиперболы характеризуется его эксцентриситетом е = — (так

а

как с > а , то ? > 1 ). Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник и наоборот. Гипербола называется равносторонней (равнобочной), если ее полуоси равны (а - Ь). Ее каноническое уравнение

х²-у²=а². (2.49)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения у - ±х, следовательно, являются биссектрисами координатных углов. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен Л .

Уравнение

а

2

/

ИЛИ

V

(2.50)

также является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гипер

болы служит отрезок оси Оу длины 2Ь. Две гиперболы

X У

-1 и

а

У

х

= -1 имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но

^ ^ и ?

С1 и

вещественная ось одной служит мнимой осью другой и наоборот. Такие

две гиперболы называются сопряженными. Итак, общее уравнение кривой второго порядка (2.41) может быть уравнением гиперболы, если коэффициенты А и С разных знаков, а В = 0.

Пример 36. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку

( , 2л/2

М[9;8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения у-±-х. По- строить гиперболу.

Решение. Так как гипербола проходит через точку М(9;8), то ее координаты удовлетворяют уравнению (2.46)

• 9² 8²
• 2 /2 С1 и

= 1 , -^---^ = 1, 81/>² -64а² = а²Ь².

а² Ь²

Уравнения асимптот имеют вид (2.48), а по условию задачи

Т = ±

2л/2

х, приравнивая правые части этих уравнении, получаем:

Ь , 2л/2 Ь 242 , 2л/2 а

± — х-±-х, — =-, Ь =-

а 3 а З 3

Таким образом, получили систему уравнений:

81/г -64а² = а²Ь²,

, 2>/2

о =-а

, 2 л/2

о --а,

/

81

V

2л/2

г

а

-64 а¹ =а

К

2 л/2

Л

а

/

• 81--а² -64а² = -а⁴, 72а² -64а² = - а⁴ , 8а² = -а⁴.
• 9 9 9 9

нг с о^ 2 2 8 9 2 гч

Так как а Ф 0 , тогда 8 = — а , а =-, а =9, значит,

9 8

г

Ь² =

к

• 2л/2
• 2

/

9, />² = —-9, Ь² =8 . 9

X2 2

Таким образом, искомое уравнение гиперболы имеет вид ^—21_ = 1.

Для построения гиперболы построим основной прямоугольник, стороны которого задаются уравнениями х = ±а , у = ±Ь , т.е. х = ±3 , у - ±л/8 .

2л/2

Уравнения асимптот гипероолы даны по условию у = +-х. Вер- шины гиперболы А₁ (3; 0), (— 3; 0). Точки В₁ и В₂: 5,(о;2л/2) и

В₂{0;-2>/2) . Найдем координаты фокусов, пользуясь соотношением (2.47) с² = 9 + 8 = 17. Значит, левый фокус гиперболы (— л/17";о), а правый —

^,(УТТ; о).

Используя полученные результаты, выполним построения.

2 л/2 2 л/2

Пример 37. Через точку А/(0;-1) и правую вершину гиперболы

Зх² -4у² =12 проведена прямая. Найти вторую точку пересечения прямой с гиперболой.

Решение. Преобразуем данное уравнение гиперболы к виду (2.46):

З*² -4у² = 12|: 12 ,

У

= 1.

Правая вершина гиперболы А,(а; 0). По условию а² =4, поэтому а - 2 , значит, А_] (2; 0).

Найдем уравнение данной прямой, пользуясь уравнением прямой, проходящей через две точки (2.30):

х = 2у + 2,

х-х_м _ у-у_м х-0 _ у +1 X _ у +

^ха,~^хм У а,-Ум' 2-0 0 +Г 2 1

¹ 1

т.е. уравнение прямой у = — х -1.

Для нахождения второй точки пересечения прямой с гиперболой решим систему уравнений:

Зх² —4 у² = 12,

1 .

^у=2^х~ 1;

Зх^ -4

'>х’-х₊,' )

1 .

^у=2^Х~^и

Зх² -4

• -х-1
• 2

л

= 12.

/

= 12, Зх² -х² +4х-4 = 12, 2х²+4х-16 = 0,

-2±л/4 + 32 *1,2 =-"-

х² +2х-8 = 0

Найдем вторые координаты:

У =^(^-4)-¹’ У1 ^=_3’ У2 ^ =°-

Таким образом, получили две точки: д(-4;-3) и Д(2;0). Но точка О₂ совпадает с правой вершиной гиперболы А₁(2; 0), поэтому искомой точкой является Д (- 4; - 3).

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса Г до директрисы называется параметром параболы и обозначается через

р(р> о).

Если выбрать систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус Т⁷ перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы

к 7% а начало координат О расположить посередине между фокусом и ди

ректрисой, причем фокус имеет координаты

^Г Р ^

!;0

, уравнение дирек-

р р

трисы — х =--или х н— = 0 , то уравнение параболы будет иметь вид

у² = 2рх. (2.51)

Уравнение (2.51) называется каноническим уравнением параболы.

В выбранной системе координат ось Ох является осью симметрии параболы.

Так как р > 0 , то уравнение (2.51) имеет смысл при х > 0, следовательно, парабола расположена справа от оси Оу.

При х - О имеем у = 0 . Следовательно, парабола проходит через начало координат. Точка 0(О;О) называется вершиной параболы.

системы координат получаются канонические

При другом выборе уравнения другого вида

(2.52)

у² - -2рх , х < О

(2.53)

Пример 38. Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4х - Зу - 4 - О

с осью Ох.

Решение. Найдем точку пересечения данной прямой с осью Ох, координаты которой являются координатами фокуса Е¹ искомой параболы. На оси Ох любая точка имеет ординату у = 0, поэтому из уравнения прямой

при этом условии найдем х: 4л;- 30-4 = 0, 4л;- 4 = 0, л; = 1 .

Значит, фокус параболы /гЬ; о), тогда — = 1, р- 2. Так как фокус

расположен справа от начала координат, тогда искомое уравнение параболы будет иметь вид (2.51):

у² =2-2л; или у² =4х.

Пример 39. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и отсекающей от прямой

у = х хорду длиной 4л/2 .

Решение. Прямая у = х проходит через начало координат 0(0; 0), так

как является биссектрисой I и II координатных углов. Искомая парабола симметрична относительно оси Ох, поэтому уравнение параболы может

иметь вид у² -2рх или у² --2рх . Рассмотрим каждый из этих случаев.

Если у² -2рх, то вторая точка пересечения прямой с параболой

у² -2рх, у = 2р, значит, и х = 2р, т.е. точка А(2р;2р). Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками 0(О;О) и А(2р2р):

4л/2 = у1{2р - О)² + (2р - О)² , 4л/2 =^4р² +4р² , 4^2=2р^2, тогда

р = 2 , а значит, искомое уравнение параболы у² -4х.

Рассмотрим второй случай, когда уравнение параболы имеет вид у² =-2рх . Найдем точки пересечения параболы и данной прямой.

У² =~2ру, У ² + 2ру = 0, у(у + 2р)=0, У! = 0, у₂ =-2р. Получили две точки 0(0; 0) и В(-2р;-2р).

Далее, рассуждая аналогично первому случаю, получаем: 4 • л/2 = у1(-2р)² +(-2р)² , 4л/2 =2рл/2 , р - 2 . Тогда искомое уравнение параболы у² = -4х.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют два уравнения параболы: у² - Ах и у² - -4х.

Можно сделать вывод, что общее уравнение кривой второго порядка (2.41) может быть уравнением параболы, если коэффициенты А-В- О, С Ф 0 или В = С = 0, А Ф 0, т.е. одна из переменных должна быть в первой степени.

Но не всякое уравнение вида (2.41) определяет кривую второго порядка. Например, не существует точек плоскости, удовлетворяющих уравнению х² +у² +1 = 0.

Задачи для самостоятельного решения

• 1. Дана точка А(-4;б). Составьте уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок ОА.
• 2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А(7; 7) и В(- 2; 4), если ее центр лежит на прямой 2х - у - 2 = 0 .
• 3. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит

через точки М (2; л/з) и В(0;2). Составьте уравнение эллипса и найдите расстояния от точки М до фокусов.

• 4. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки м(2>/3;-/б) и А(6;0). Составьте уравнение эллипса и найдите эксцентриситет. Постройте эллипс.
• 5. Найдите уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой нахо-
• - = 1
• 8 5
• 6. Составьте уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фо-

X² V²

дятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса ^:--1- —

кусы совпадают с фокусами эллипса

х

25

+

У

= 1. Постройте гиперболу.

• 7. Составьте уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной к оси Ох, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.
• 8. Парабола у² =2х отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду, равную — . Составьте уравнение этой прямой.
• 9. Используя параллельный перенос осей координат, приведите уравнения к каноническому виду. Постройте кривые:
  • а) х² +5у² -12лч-10у + 31 = 0;
  • б) х² -у² +6х + 4у-4 = 0; в )у² +4у = 2х;
  • г) 36л:² +36у² —36л; —24у —23 = 0;
  • д) 16л:² +25у² — 32л; + 50у — 359 = 0;

л ¹ 2 1 2 2 , _л

• е) —х —у -х + — у-1 = 0;
• 4 9' 3
• ж) л;² +4у² -4лг-8у+ 8 = 0;
• з) л:² +4у² +8у + 5 = 0;
• и) х² -у² -6х + 9 = 0;
• к) 2х² — 4х + 2у — 3 = 0;
• л) х² — 6л' + 8 = 0;
• м) х² +2х +5 = 0.
• 10. Дайте геометрическую иллюстрацию системам неравенств: х² + у² <9,
• а)
• в)
• Д)

х > 0,

У< 0;

(л: - 2)² + (у - З)² > 25, <2;

х²+у² <1 + 6у, х + у - 2 > 0, х < 2;

б)

х² + у² <16, х > 2;

Ответы. 1. (х + 2)² + (у-3)² = 13.2. (х-З)² + (у-4)² = 25 .

• 3.
• 2 .2

+ — = 1; 4±л/з. 4.

.У

• 36
• * ^ ¹ ” ^{2 32} -.8. у = ±2у[2х.9. а) ^ + — = 1, С(3;-1);
• 2 хг2
• 12

= 1.7. у² =

10

^І-Г

_Ч2’3_У

• б)Х²-У² = 9, с(- 3; 2); в) У² = 2Х ;г) X² +У² =, С
• Д)

X² У²

+ — = 1,С(1;-1);е)

X² У²

25 16

X² У²

= 1, С(2; 3); ж) точка (2; 1);

• з)--1--= -1 (мнимый эллипс), и) У = ±Х (пара пересекающихся
• 1
• 4

/ с

прямых), С( 3; О); к) X² =-У, С 1; — ; л) прямые х-2,х = 4;

м) 0 (мнимые прямые).