Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Алгебра и геометрия

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой

точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба ? .

Пусть М— произвольная точка плоскости. Обозначим р = ОМ

расстояние точки М от полюса, ср - (ОМ, Ор) — угол, отсчитываемый от

полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа р и называются полярными координатами точки М, р — полярный радиус,

— полярный угол точки М. По определению р > 0. Задание пары

чисел , ср) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение пределами 0 < ф < (или -тг < ф < тг), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел (уо , (р). Исключение составляет полюс, для которого р = 0, а угол не

определен.

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало О совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси Ор .

Тогда полярные координаты (р , ф) и декартовы координаты (х, у) точки М связаны соотношениями:

  • (2.55)
  • (2.56)

х-рсоъ(р, у = рът(р;

Г! г у Р = у1* +т , *ё(р = -

X

Из этих формул следует:

соь^ =

2 2

/

, 81П

У

  • 2 2 х2 /
  • (2.57)

Формула дляtg^ определяет два угла ери ср+ л в промежутке [0; 2 к).

Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точкаМ, или воспользоваться формулами (2.57).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо х, у подставить в уравнение их выражения из формул (2.55). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (2.56), (2.57).

Пример 40. Построить в полярной системе координат точки

А

(, А

г

570

г

лЛ

3;-

, в

2

, С

3

*

1 2;

У

V.

4 J

1

6j

,Д(2;0).

Решение. Построение точек показано на рисунке.

Пример 41. Какие линии определяются уравнениями р - a (const) и = a (const)!

Решение. Геометрическое место точек, для которых р — расстояние от полюса — постоянно, есть окружность, поэтому уравнение р - а определяет окружность радиуса а с центром в полюсе О .

Уравнение (р~а определяет луч, выходящий из полюса под углом

а к полярной оси.

Пример 42. Дано полярное уравнение линии р = З^/sin ср. Построить

эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Оху так, как показано выше.

Решение. Выражение в правой части имеет смысл при s 2(p> 0, т.е. к 3 к

0<ф<— и тс<ср< —. Учитывая периодичность функции (период Т — 7Г), 2 2 достаточно рассмотреть 0<ф< —. Составим таблицу значений функции, ограничиваясь точностью 0,01:

ф

0

К

12

К

6

К

4

К

~3

  • 5л:
  • 12

Л

2

р = З-^ш 2ф

0

2,12

2,79

3

2,79

2,12

0

Проведем лучи, соответствующие выбранным значениям (р, и на каждом из них отложим вычисленное значение уо . Полученные точки соединим плавной кривой.

Построенная линия называется лемнискатой Бернулли.

Чтобы перейти к декартовым координатам, запишем уравнение в виде

р2 =9-28ш^ со8^ и воспользуемся формулами (2.56) и (2.57):

У

х2 + у2 I =18-

У

х

Р22 Р22

о о 18XV

2 , 2 ’ X

X +у =

2 2) =18ху — уравнение линии в декартовой системе координат. Пример 43. Найти полярное уравнение окружности х2 +(у-7?)2 = /?2

Решение. Запишем уравнение в виде х2 + у2 -2xR + R2 = R2 или

х2 + у2 = 2xR . Воспользуемся формулами (2.55):

р2 - cos2 (р+р2 - sin2 (р- 2Rpsirup;

р2 (cos2 (р+sin2 (p)=2Rps, (p р — 2R sin — искомое уравнение.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы