Угол между прямыми

Пусть прямые ? и ?2 заданы каноническими уравнениями

х-хх У~У і х-гх

и

х-х2 у-у2 2 — г2

т

п

Р 2

Очевидно, угол между

т

п

Р і

( Л >

( Л Л

<Р =

?,?2

$1^2

)

1 )

СОБ (р —

прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых:

Тогда

(2.68)

т]т2 +пхп2 + рр2

I 2 2 Т / 2 2 2

т + п + Р '?1т2+п2+Р2

Если I

> то 5,

УП п]

т2 п2

Ру

Р2

- условие

параллельности

двух прямых в пространстве.

Если ? ±?2 , т° В! Л 52 => 5! -52 = 0, т.е. тлт2 +плп2 + РР2 = О условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Взаимное расположение прямой и плоскости

к

Очевидно, |/ = — ±ф, а С08 |/= ± 8Н1 ф, ИЛИ 8Н1ф =

С08

у|-

Пусть плоскость а задана уравнением Ах + Ву + С2 +О = 0 ; п = (Л;В;С) — ее нормальный вектор, а прямая ? задана уравнениями Х-Х0 у-У о 220 ~ (

-=11— =-, о = [т; п;р) — направляющий вектор прямой.

т п р

Обозначим ф =

  • ( л
  • ?,а

— угол между прямой и плоскостью, у/ =

  • ( Л
  • 5, п

)

)

угол между соответствующими векторами.

Но соьц/ =

, тогда синус угла между прямой и плоскостью мож-

п

но найти по формуле

5 -п

яш (р —

Ат + Вп + Ср

п

лІА

  • 2 + В2 + С2 ? Ат2 +п2 + р2
  • (2.69)

Если ? а, то 5_!_я, т.е. 5” л = 0 или Ат + Вп + Ср-0—условие

параллельности прямой и плоскости. При этом же условии прямая лежит в плоскости.

/

(2.70)

С о I си- АВС

Если «_1_а, то Л || п , т.е. — = — =--условие перпендикулярности

т пр

прямой и плоскости.

Пусть требуется найти точку

пересечения

прямой

х-х0 у-у0

о

и плоскости Ах + Ву + Сг +1) = 0.

т п р

Запишем параметрические уравнения прямой х = т1 + х0, у = п1 + у0, г = р1 + 20 и подставим выражения для х,у,2 в уравнение плоскости. Получим уравнение вида АВ = N относительно параметра ?. Выразив ? и подставив в параметрические уравнения, найдем координаты точки пересечения.

Замечание. Если уравнение относительно ? примет вид 0? = 0 (т.е. М - N - 0 ), то любое действительное значение / будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, т.е. прямая лежит в плоскости.

Если уравнение относительно ? примет вид 0/ = N (т.е. М - 0 , N ^ 0), то такое уравнение решений не имеет, значит, прямая и плоскость не имеют общих точек, т.е. прямая параллельна плоскости.

г + 4

- и

Пример 45. Найти точку пересечения прямой ^ _ У

плоскости Зх-у + 5г-6 = 0.

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой: х = 21 + 1, у = — 1 — 1, г-31-4. Подставим эти выражения в уравнение плоскости: 3(2Н-1)-(-1-1)+5(31-4)-6 = 0, 61 + 3 + 1 + 1 + 151-20-6 = 0, 221 = 22,

1 = 1. Из параметрических уравнений получим х = 3, у = -2, г = -1. Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости А(3;-2;-1).

х — 1 у + 2 г-3

Пример 46. Показать, что прямая —^— = —— = лежит в плоско

сти 7х -5у-б2 + 1 = 0.

Решение. 1-й способ. Используем параметрические уравнения прямой х = 1 +1, у = — 1 — 2, г = 21 + 3. Подставим в уравнение плоскости:

7(1 + 1)-5(-1-2)-б(21 + 3)+1 = 0, 71 + 7 + 51 + 10-121-18 + 1 = 0, 0 = 0 —

получили равенство, верное при любых 1е Я. Следовательно, прямая лежит в плоскости.

2-й способ. 5 = (1;-1;2) — направляющий вектор прямой, п=(7;-5;-б) — нормальный вектор плоскости. Найдем скалярное произведение векторов 5-я = 7 + 5-12 = 0=>5-1_я, значит, прямая параллельна плоскости или лежит в плоскости (из условия (2.70)). Точка М0(1;-2;3)

принадлежит прямой и ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: 7 1-5-(-2)-6-3 + 1 = 0, 0 = 0, значит, прямая лежит в плоскости.

Задачи для самостоятельного решения

  • 1. Постройте плоскости: а) + + Зг - 12 = 0 ;
  • б) 5х - у + -10 = 0; в) Зх + у - 2г = 0; г) 2х - Зг - 6 = 0 ;
  • д) Зу - г = 0 ; е) Зх - 5 = 0 .
  • 2. Даны точки Л/|(0; -1; 3) и М2( 1; 3; 5). Составьте уравнения:
    • а) прямой ММ2 б) плоскости, проходящей через точку Мі перпендикулярно МіМ2.
  • 3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости Зх - 2у + г + 7 = 0.
  • 4. Найдите уравнение плоскости, проходящей а) через точки Р(4; -2;
  • 1), (Д2; 4; -3) и начало координат; б) через ось Оу и точку (4; 0; 3); в) через

точку М(0; 2; 1) параллельно векторам а=( 1; 1; 1)и Ь =( 1; 1;-1).

5. Какой угол образует плоскость х + у--2z-A-0 а) с вектором

/1 о 14 - *-1 У + 3 2

а = (1; 2; 1); б) с прямой -= --= —; в) с плоскостью

2 1 3

Зх-у + Зг-5 = 0; г) с плоскостью 2х-г + 3 = 0 ; д) с плоскостью 2х + 2у + 4г + 5 = 0 .

  • 6. Найдите расстояние плоскости х-2у-2г + 4 = 0 а) от точки А(5; 1; -1); б) от плоскости 2х-4у-4г + 5 - 0 .
  • 7. Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат а) перпендикулярно плоскости

х +4 у — 2 2

  • 3х-5у + 2г-3- 0; б) параллельно прямой —-— = —— = — .
  • 8. Составьте канонические и параметрические уравнения прямых, заданных общими уравнениями

и

х-у + г-4-0, 2х + у — 2г + 5 = 0

х + у + г- 4 = 0, 2х + 3у - г — 6 - 0.

Найдите угол между этими прямыми.

х у г

9. Покажите, что прямые — = — =— и

х = г +1,

перпендикулярны.

у = 1-г

10. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку (-4; 3; 0)

х - 2у + г - 4 = 0,

2х + у - г = 0.

,,т-т X + 1 у + 1 2 — 3

11. Покажите, что прямая ----- параллельна плоскости

параллельно прямой

2 -1

х + _у + _г + 3

  • 2х + у - г = 0, а прямая ^ ^
  • 12. Найдите точку пересечения прямой и плоскости:

. х — 1 у + 2 г * . _. Л _чх-г2 у — 1 г-3

  • а)-=--= - и Зх-у + 4г-24 = 0; б)-=- =- и
  • 2-13 -321

х-2у + г-5 - 0 .

лежит в этой плоскости.

13. Найдите точку, симметричную точке М(1; 1; 1) относительно пря-

„ х-1 у 2 + 1

мои -= — =-.

  • 2 3-1
  • 14. Найдите точку, симметричную точке М(1; 1; 1) относительно плоскости х + у-22-6 = 0.
  • 15. Покажите, что прямые

х = г -2, х-2 у- 4 1-2

и -- --=- пересе-

у = 22 + 1 3 1 1 каются, и составьте уравнение плоскости, в которой они расположены.

Ответы. 2. а) — = ^ + ' - ———; б) х + 4у + 22 - 2 = 0 .

  • 14 2 '
  • 3. Зх-2у+ 2 = 0.
  • 4.
  • а) х + 7у + 102 = 0; б) Зх-4г = 0;
  • 5 7 8
  • в) х-у+ 2 = 0.5. а) агсвт— ; б) агсзт1=; в) агссов—т= ; г) 90°; д) 0°.
  • 6 2л/21 VI14
  • 6. а) 3; 6) 0,5. 7.а)| = 2- = |; х = 31,у = -51, г = 2/; 6) | = 2- = |;

_ _ 11 х + 4 у —3 2 ... _

х = 2/, у = -?,2 = 5?. 8. агссо8 — . 10. -= --= — . 12. а) (3; -3; 3);

' 26 1 3 5 '

б) (1; —1; 2). 13.(|;~;-у ). 14. (3; 3; —3). 15. х + 2у-5г = 0.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >