Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Менеджмент arrow Основы научных исследований

б.З. Анализ взаимосвязи социально-экономических явлений

Этапы исследования взаимосвязей между явлениями. Социально-экономические явления представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. При изучении этих явлений следует выделить следующие этапы.

  • 1. Качественный анализ связей экономических переменных — выделение зависимых (у) и независимых (х).
  • 2. Подбор данных.
  • 3. Спецификация (установление) формы связи между у их.
  • 4. Оценка параметров модели.

Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, обусловливающие применение других связанных с ними признаков, называют факторными или просто факторами (х). Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными (у).

Различают функциональную связь и стохастическую зависимость. Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует только одно значение результативного признака.

Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической.

По направлению выделяют связь прямую и обратную.

По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные и нелинейные (криволинейные).

Спецификация модели. Исследование социально-экономических явлений начинается с теории, устанавливающей связь между явлениями, т. е. со спецификации модели.

Спецификация модели — это формулировка вида модели исходя из соответствующей связи между переменными.

В зависимости от количества факторов, включенных в управление регрессии, принято различать парную и множественную регрессии.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным.

Аналитическая связь между ними описывается уравнениями (рис. 3).

X

парабола второго порядка

ух = а0 4- агха2х2

У*

О-Х

ь

х

парабола третьего порядка

ух = а0 + агх + а2х2 + а^3

Рис. 3. Уравнения регрессии

Графическое изображение параметров уравнения

Рис. 4. Графическое изображение параметров уравнения

Если результативный и факторный признаки вырастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о наличии линейной связи между ними, а при обратной связи — гиперболической. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная функции.

Метод наименьших квадратов (МНК). Линейная регрессия сводится к нахождению уравнений вида:

°3 = а 0 + ахх.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров а$ и а.

По графику (рис. 4): параметр определяется как расстояние от точки пересечения линии регрессии с осью У до

нуля, а параметр а — исходя из угла наклона: —, где с1у —

сЬг

приращение результата У, а ёх — приращение фактора X.

Классический подход по оцениванию параметров линейной регрессии основан на МНК [27].

В основе этого метода лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности, при которой сумма квадратов отклонений эмпирических значений от теоретических значений результативного признака стремится к нулю;

5 = ?(У х)2 эшт.

Так как оъ = а0 + я,х, то получим:

з = -у*)2 =Ц(у~ао ~а -*)2;

сіаО

(1а,

= -2^ у ? х + 2 • я0 ^ х + 2 • я, ^ х2 = 0.

После преобразования получим следующую систему нор мальных уравнений:

п-а, +я,2> = 2> а

Решая систему нормальных уравнений, найдем параметры во и Я}:

о “О '

Рис. 5. Фактические и выравненные значения результата

= -2 + 2 • п ? а0 + 2 • а{ ^ х = 0;

у -й, - X ,

соу(х, у)

2 5

ах

где соу(х, у) — ковариация признаков [соу(х, у) = ух - у ? х]; а2 дисперсия признака х [а2 = х22]; или

ух - у • х

Параметр а называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата при изменении фактора на одну единицу. Так, если в функции издержек: у = 15 + 1,2 • х (у — издержки, х — количество произведенной продукции, тыс. шт., тыс. руб.), то, следовательно, с увеличением объема продукции на 1 тыс. шт. издержки производства вырастут в среднем на 1,2 тыс. руб., т. е. дополнительный прирост продукции на 1 тыс. шт. потребует увеличения затрат в среднем на 1,2 тыс. руб.

Значимость коэффициента регрессии осуществляют с помощью Г-критерия Стьюдента:

где ст ^ — дисперсия коэффициента регрессии.

Параметры модели признаются значимыми, если Гр > /р кр — уровень значимости и V = п - к - 1 — число степеней свободы, где к — число факторов признаков).

а

2

Значение средней ошибки аппроксимации определяется по формуле

є

  • 1 уу, -Ух П^ у і
  • •100%.

Оно не должно превышать 12—15%.

Для статистической оценки тесноты связи применяются следующие показатели вариации:

  • 1) общая дисперсия результативного признака а2у, отображающая общее влияние всех факторов:
  • 2 _10

а у —-,

п

  • 2) факторная дисперсия результативного признака о2Ух, отображающая вариацию у только от воздействия изучаемого фактора х:
  • 2 _Ц(у,,-у)2

а Ух — -•

п

Данная формула характеризует отклонение выравненных значений ух от их общей средней величины у;

  • 3) остаточная дисперсия а2Е, отображающая вариацию результативного признака у от всех прочих, кроме х, факторов:
    • -Ух,)2

п

Данная формула характеризует отклонения эмпирических (фактических) значений результативного признака у от их выравненных значений у .

Соотношение между факторной и общей дисперсиями характеризует меру тесноты связи между признаками х и у:

Показатель Я2 называется индексом детерминации (причинности). Он выражает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т. е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака у объясняется изменением факторного признака х.

На основе предыдущей формулы определяется индекс корреляции Я:

Используя правило сложения дисперсий, получают формулу индекса корреляции:

1о2г;«

Є

При прямолинейной форме связи показатель тесноты связи определяется по формуле линейного коэффициента корреляции г:

г =

п

Для оценки значимости коэффициента корреляции г применяется ^-критерий Стьюдента с учетом заданного уровня значимости а и числа степеней свободы к.

Если /г > Гк, то величина коэффициента корреляции признается существенной.

Для оценки значимости индекса корреляции Я применяется /’-критерий Фишера Як, фактическое значение которого определяется по формуле

г Я2 п Л ” 1 2 ' т-’

где т — число параметров уравнения регрессии.

Величина Як сравнивается с критическим значением Як, которое определяется по таблице /’-критерия с учетом принятого уровня значимости а и числа степеней свободы = т - 1 и к2 = п - т.

Если /к > ЯК, то величина индекса корреляции признается существенной.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи (табл. 5).

Таблица 5. Количественные критерии оценки тесноты связи

Величина коэффициента корреляции

Характер связи

До 0,3

практически отсутствует

0,3 — 0,5

слабая

0,5 — 0,7

умеренная

О

гн"

Г"-

о

сильная

С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении значении факторного признака на 1%.

Рассмотрим применение методов корреляционно-регрессионного анализа влияния вариации факторного показателя х на результативный показатель у.

Пример 2.

Имеются следующие данные о производстве товарной продукции и стоимости основных производственных фондов по 15 предприятиям области (табл. 6). Произведите синтез адекватной экономико-математической модели между изучаемыми признаками на базе метода наименьших квадратов. С экономической точки зрения сформулируйте выводы относительно исследуемой вами связи.

Таблица 6. Показатели работы некоторых предприятий области

Номер предприятия

Товарная продукция (у), млн руб.

Стоимость основных производственных фондов (х), млн руб.

1

6,0

3,5

2

9,2

7,5

3

11,4

5,3

4

5,1

2,9

5

4,2

3,2

6

5,7

2,1

7

8,2

4,0

8

6,3

2,5

9

8,2

3,2

10

4,0

3,0

11

11,0

5,4

12

6,5

3,2

13

8,9

6,5

14

11,5

5,5

15

4,2

8,2

Зависимость у от х найдем с помощью корреляционнорегрессионного анализа. Рассмотрим прямолинейную форму зависимости у от х:

Т* 0 + йг,х.

Параметры этого уравнения найдем с помощью метода наименьших квадратов. Расчеты приведем в табл. 7.

  • 2,259.
  • 1>1>2 хуИх

"2>2-0»2

120,4 - 340,28 - 595,15 66 15-340,28 -66-66

пИху ~ИхИу

15 595,15 -66-120,4 15 - 340,28 -66 -66

Таблица 7. Определение параметров уравнения регрессии

п/п

ТП,

млн

руб.

У

ОПФ,

млн

руб.

X

х2

ху

Ух

У-Ух

(У-Ух)2

X,- - X

(х,-х)2

у2

1

6,0

3,5

12,25

21,0

6,848

-0,848

0,719

-0,9

0,81

36

2

9,2

7,5

56,25

69,0

12,092

-2,892

8,364

3,1

9,61

84,64

3

11,4

5,3

28,09

60,42

9,207

2,193

4,809

0,9

0,81

129,96

4

5,1

2,9

8,41

14,79

6,061

-0,961

0,924

-1,5

2,25

26,01

5

4,2

3,2

10,24

13,44

6,454

-2,254

5,081

-1,2

1,44

17,64

6

5,7

2,1

4,41

11,97

5,012

0,688

0,473

-2,3

5,29

32,49

7

8,2

4,0

16,0

32,8

7,503

0,697

0,486

-0,4

0,16

67,24

8

6,3

2,5

6,25

15,75

5,537

0,763

0,582

-1,9

3,61

39,69

9

8,2

3,2

10,24

26,24

6,454

1,746

3,049

-1,2

1,44

67,24

10

4,0

3,0

9,0

12,0

6,192

-2,192

4,805

-1,4

1,96

16

11

11,0

5,4

29,16

59,4

9,338

1,662

2,762

1

1

121

12

6,5

3,2

10,24

20,8

6,454

0,046

0,002

-1,2

1,44

42,25

13

8,9

6,5

42,25

57,85

10,781

-1,881

3,538

2,1

4,41

79,21

14

11,5

5,5

30,25

63,25

9,47

2,03

4,121

1,1

1,21

132,25

15

4,2

8,2

67,24

116,44

13,009

1,191

1,418

3,8

14,44

201,64

Итого

120,4

66,0

340,2

592,15

120,4

41,13

49,88

1093,26

Получили следующее уравнение регрессии:

у х =2,259 + 1,311 -X.

Следовательно, с увеличением основных производственных фондов (ОПФ) на 1 млн руб. стоимость товарной продукции (ТП) возрастает в среднем на 1,311 млн руб.

Далее определим адекватность полученной модели. Определим фактические значения Г-критерия для ао и а.

(У> -ух,)

п

= 1,66, =2,755.

Е(*/ )2

49,88

Г

«о

= 1,82. = 4,91.

= 1,311

у/п -2 <5Х СТе

л/ГЗ • 1,82

1,66

Определим 4 (а = 0,05; к = 13): /^=2,16 [4].

Так как 1ап, t > то вычисленные параметры уравнения регресии можно назвать типичными.

Определяем коэффициент корреляции:

г =

'Еху-

ЕтЕт

п

  • 595,15 -
  • 66-120,4
  • 15

= 0,82.

  • 2>2-
  • (2»:

п

  • 2У-
  • (I у)

п

340,28 - —1

]

15 ]

  • 1093,26 -
  • (120,4)

Коэффициент корреляции показывает, что связь между товарной продукцией и стоимостью ОПФ сильная, а также товарная продукция зависит от стоимости ОПФ на 67,24% (г2 = 0,822).

Оценим значение коэффициента корреляции:

= 0,82

1 - (0,82)

Так как к > /кр (/кр = 2,16), вычисленный коэффициент корреляции признается существенным.

Следовательно, данная модель у = 2,259 + 1,31 х может быть использована для расчетов.

Построим еще одну модель, использовав показательную функцию:

+* =ао

Для решения уравнения проведем его логарифмирование:

1 ёУх = 1ёа0 +хёа{.

Параметры уравнения найдем с помощью метода наименьших квадратов.

= 0,5691, или а0 = 3,7079.

1§Я() =

Е^ё У - 1§в|Е* 13,131 — 0,0696 6

п 15

= 0,0696, или а] = 1, 1738.

ІЄЛ. =

Е1*1ё У ~хЕ *§ У _ 61,249 — 4,4 1,131

" 340,28 -4,4-66

Получим следующее уравнение регрессии:

\%ух =0,5691 +0,0696* или ух =3,7079 • 1,1738*.

Все необходимые расчеты приводим в табл. 8.

Таблица 8. Определение параметров уравнения регрессии

№ п/п

У

X

х2

1ду

х1ду

Ух

У-Ух

(У-Ух)2

1

6,0

3,5

12,25

0,778

2,723

6,46

-0,46

0,211

2

9,2

7,5

56,25

0,963

7,228

12,3

-3,1

9,61

3

11,4

5,3

28,09

1,056

5,601

8,71

2,69

7,236

4

5,1

2,9

8,41

0,707

2,051

5,89

-0,79

0,624

5

4,2

3,2

10,24

0,623

1,994

6,17

-1,97

3,880

6

5,7

2,1

4,41

0,755

1,587

5,25

0,45

0,202

7

8,2

4,0

16,0

0,913

3,655

7,08

1,12

1,254

8

6,3

2,5

6,25

0,799

1,998

5,5

0,8

0,64

9

8,2

3,2

10,24

0,913

2,924

6,17

2,03

4,120

10

4,0

3,0

9,0

0,602

1,806

6,03

-2,03

4,120

11

11,0

5,4

29,16

1,041

5,623

8,91

2,09

4,368

12

6,5

3,2

10,24

0,812

2,601

6,17

0,33

0,108

13

8,9

6,5

42,25

0,949

6,171

10,47

-1,57

2,464

14

11,5

5,5

30,25

1,060

5,833

8,91

2,59

6,708

15

4,2

8,2

67,24

1,152

9,448

13,8

0,4

0,16

Итого

120,4

66,0

340,28

13,131

61,249

117,82

45,711

Проверим параметры данного уравнения на типичность:

Х(у,- -Ух,)2 145,71

К,

п

л/п -2 л/Гз

= 1,75;

С, =а

л/я - 2 а

а..

= 3,707—=7,64; 1,75

= М 73 в = 1,75

Так как = 2,16, получаем / и / > 1к. Следовательно,

параметры данного уравнения признаются типичными. Определим индекс корреляции Я.

2>,- -а

= 8,46, а28

= 3,062,

Полученный индекс корреляции показывает, что связь между стоимостью промышленно-производственных основных фондов и товарной продукцией сильная. Коэффициент детерминации /?2=0,64 показывает, что товарная продукция на 64% зависит от стоимости ОПФ.

Оценим значение Я, определив величину критерия Фишера:

Я2 п-т (0,8)2 15-2

1-Д2 т-1 1 — (0,8)2 2-1

При уровне значимости а = 0,05 и степеней свободы к = 2 — 1 и = 15 — 2 табличная величина Р^ = 4,67. Так как Р& > Рк, показатель тесноты связи признается существенным.

Для отбора адекватной модели производится сравнение их остаточных дисперсий (табл. 9).

Таблица 9. Показатели остаточных дисперсий математических функций

№ модели

Модель

Остаточная дисперсия

1

ух = 2,259 + 1,311 х

2,755

2

ух = 3,7079.1,1738х

3,062

Из табл. 9 следует, что по критерию минимальности остаточной дисперсии предпочтение следует отдать модели № 1, синтезированной по уравнению прямой линии.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы