Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Выбор материалов и технологий в машиностроении

МЕТОД ГЛАВНОГО КРИТЕРИЯ

В качестве целевой функции, которая исследуется на минимум, выбирают один из критериальных параметров, наиболее полно учитывающих главное требование к материалу. Остальные частные параметры оптимизации учитываются с помощью введения необходимых критериальных ограничений, определяющих совместно с прямыми и функциональными ограничениями допустимое множество /). Например, при выборе материала можно максимизировать характеристики прочности и наложить ограничения на уровень падения характеристик пластичности, ударной вязкости и пр.

Линейная свертка. Способ основан на линейном объединении всех частных критериев в один:

/=1

—»

тт;

хес!

а,

> 0, = 1.

(7.2)

/=1

Весовые коэффициенты ос, можно рассматривать как показатели относительной значимости отдельных критериев fj. Они характеризуют чувствительность целевой функции Y(x) к изменению отдельных частных критериев: BY/dfj = а,

Иногда применяют критерий типа

к (х ?

у М = М min’ (7.3)

/=1 xed

в предположении, что все fj(x) > 0. Это выражение не отличается от предыдущего, так как

biY(x) = '?a,]nfl(x). (7.4)

/=1

Минимаксные критерии. Формы минимаксных критериев связаны с использованием контрольных значений параметров, представленных в правых частях критериальных ограничений:

В качестве скалярного критерия в этом случае можно использовать функционал

F(x) = min[a, [r/ - /•(*)] -> шах. (7.5)

Или

У(х) = max [а, [/• (х) -/,• ]-> min. (7.6)

Здесь tj — критическое значение параметра.

Для заданий контрольных показателей применяют экспертный анализ.

Шкала желательности. Одним из удобных способов построения обобщенного отклика является обобщенная функция желательности. При ее использовании можно избавиться от ряда трудностей, связанных с разработкой обобщенного параметра оптимизации. Во-первых, с ее помощью можно перекодировать параметры оптимизации различной природы в безразмерные параметры; во-вторых, изменить метрическое пространство параметров, приводя их к единой области определения от 0 до Л1 и к единой оценке качества: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно»; в-тре-тьих, иметь возможность достаточно гибко характеризовать кодированным числом полученный результат.

В теорию оптимизации шкалу желательности ввел американский исследователь Д. Харрингтон . Шкала желательности имеет интервал от 0 до 1. Значение d = 0 соответствует абсолютно неприемлемому уровню данного свойства, а значение d = 1 - 1 — самому лучшему значению свойств. Понятию «очень хорошо» соответствуют значения на шкале желательности 1 > d > 0,8, а понятию «очень плохо» — 0 < d < 0,2 и т.д. Значение d = 0,37 обычно соответствует границе допустимых значений.

Функция Харрингтона имеет аналитическое выражение:

/) = ехр[-ехр(-у)], (7.7)

где у — изменение аргумента этой функции целесообразно рассматривать в интервале от -3 до +3, при этом d изменяется от 0 до 1.

Ось абсцисс служит для представления аргумента у, а также для нанесения на ней характерных точек натуральных значений частных параметров оптимизации. На рис. 7.5 дан график функции желательности. Ось у — ось аргумента функции Харрингтона; у] ось натуральных значений частного параметра оптимизации, например, процент брака; у2 твердость НВ. Заметим, что шкала по осям у и у2 и т.д. не обязательно равномерная. По отношению к точке d = 0,2 на ось у отмечается явно неудовлетворительный результат, для d = 0,37 — значения у„ для которых значение параметра оптимизации можно признать удовлетворительным, для 0,69 — хорошим, для 0,93 — отличным и для 1 — блестящим. В промежутках между характерными точками шкалы значения у,- можно считать равномерными.

После того как выбрана шкала желательности и частные отклики преобразованы в частные функции желательности, т.е. нормированы по Харрингтону, можно приступать к главной задаче — построению обобщенного параметра оптимизации D, названного Харрингтоном обобщенной функцией желательности:

(7.8)

Применительно к задаче оптимизации выбора материала параметр /) является весьма эффективным. Если хотя бы один частный отклик, входящий в комплекс требований к материалу, не удовлетворяет требованиям, например, материал весьма хрупок, то как бы хороши не были остальные свойства, /) не сможет высоко подняться. Оптимальному состоянию будет отвечать максимум /).

Обобщенный параметр оптимизации, представленный в виде выпуклой квадратичной формы. Определение оптимума при достижении реальных инженерных целей — очень сложная задача даже при использовании ЭВМ. Реальные модели материала могут иметь сложный рельеф в пространстве факторов, что может вызвать затруднения при решении задачи численными методами.

Устойчивые решения получаются на множестве выпуклых функций, к которым относятся квадратичные формы. Типичные варианты обобщенных параметров такого типа имеют вид

д = х

" >7 (*) - Утр.! " ч У трА ;

  • 9
  • (7.9)

где уДх) — функция, описывающая изменение 1-го свойства в зависимости от значений факторов, определенных вектором-столбцом х;

УтрА ~ требуемое значение /-го свойства.

Оптимальное состояние соответствует минимуму /):

/

У г М ~ УтрА

V

У

трл

  • 7
  • (7.10)

где а, — весовые коэффициенты, учитывающие значимость /-го свойства; а = 1; 0 < а, < 1.

Шкала желательности

Рис. 7.5. Шкала желательности

Ведутся поиски эффективных форм обобщенных параметров оптимизации, например, таких, которые позволят определить оптимум как состояние, при котором все частные параметры оптимиза-

ции будут находиться в интервале от допустимых до требуемых значений. В частности, предложена следующая форма:

/

О = 2>,.

V

Уі (*^) Утр.і

/

Утр. і

/

7 +1«;

V

У і (**?) У тр.і

У тр.і

/

г'

(7.11)

где удоп/ — допустимое значение параметра оптимизации:

У і М - Утр,

о = Xа/

/ / Л2 / / Л2

У і М " Л;,./

V

У тр.і

П =

7 + 2>/

V

•У тр.і

/

г'

' і

  • 1, если у, (х) < у,„р/, О, если у,(х) > у •;
  • (7.12)

г/= |0, еСЛИ у;- (х) > У дот >

[1, если у,(х) < уаои/.

Естественно, что минимизацию функции /) возможно проводить лишь с использованием ЭВМ.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

  • 1. Назовите принципы классификации материалов при оптимизации выбора материалов.
  • 2. Для чего строится дерево целей?
  • 3. Каков характер параметра оптимизации (качественный или количественный)?
  • 4. Что такое область отделения параметра оптимизации?
  • 5. Что оценивает параметр оптимизации?
  • 6. На чем основан метод линейной свертки?
  • 7. Для чего используют шкалу желательности?
  • 8. Дайте определение минимаксному критерию.
  • 9. Какова формула обобщенной функции желательности по Харрингтону?
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 
Популярные страницы