ДВА МЕТОДА ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ

Существует два метода изучения движения жидких частиц. Первый метод, предложенный Лагранжем и названный субстанциональным, заключается в том, что изучается движение в пространстве каждой индивидуальной жидкой частицы. Так как жидких

частиц бесчисленное множество, то необходимо выделить (охарактеризовать) индивидуальную частицу из числа других. Для этого фиксируют положение конкретной частицы ее координатами а, Ь, С в начальный момент времени /=?0. Тогда в произвольный момент времени положение каждой частицы будет определено зависимостями

*1

= *1

ххх

У

= У

ххх^)

- для первой частицы;

(3.4)

=21

ххх,1)

х2 =

= х2(

р2 > ^2 ’ С2 ? ^ )

У 2 =

= Т2<

о2 5 Ь2, с2, ?)

> - для второй частицы

(3.5)

г2 =

= г2(

я2,622л)

и т. д.

Или в векторной форме

г22(а,Л,с2,/)

и т. д.

Параметры а, Ь, с, / являются аргументами, определяющими значения текущих координат х, у, г некоторой фиксированной частицы потока, и называются переменными Лагранжа.

Таким образом, мы можем охарактеризовать движение конечной массы жидкости. Имея зависимости (3.4), (3.5), можно выразить мгновенную скорость жидкой частицы и ее проекции, а также ускорение и его проекции:

и

дп

дх-

_5Т1 .

Щ =^7’их =^~’иу =^Г’иг =

(3.6)

В общем виде метод Лагранжа используется редко, т.к. в большинстве случаев учет индивидуальности каждой частицы однородной жидкости излишен, поскольку все ее частицы практически одинаковы.

Широкое применение для исследования движения жидкости получил метод Эйлера. Поэтому методу, называемому локальным, рассматривают поле скоростей в точках пространства, занятого движущейся жидкостью, и исследуют характер изменения скорости в этих точках в зависимости от времени. Таким образом, при использовании метода Эйлера фиксируется не частица жидкости, а точка пространства с координатами х, у, г и исследуется изменение местной скорости в этой точке с течением времени:

и = й{г^)

или в форме проекций

их = их(х,у,г,(),иуу(х,у,г^и2 = и2(х,у,г^); (3.7)

й = ых1 + и,. / + и2к ,

где г - радиус-вектор точки пространства с координатами х, у, г, называемыми переменными Эйлера; /,у - орты координатных осей.

УСКОРЕНИЕ ЖИДКОМ ЧАСТИЦЫ В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА

Для того чтобы пользоваться законами механики, необходимо уметь выражать ускорения а жидких частиц. В соответствии с физическим смыслом ускорение определяется полной производной вектора скорости и по времени

(3.8)

_ сій дй дй сіх дй сіу дй сіг

СІ — - —--1----1----1---,

сіі 5/ дх сіі ду ск дг сіі

которую называют также индивидуальной или субстанциональной

производной. Так как для движущейся частицы

с/х

ск

- и

сіу

— =Иу

ск у

СІ2

<7/

вид

= и~, то в проекциях на оси координат уравнение (3.8) примет

(3.10)

_ du ди /_ _

а - — =--К ш • V )-и .

dt dt V '

Известно, что

Vp - gradр

V й - div и;

V х й = rot ii.

- выражает изменение скорости во времени в фиксирован-

az -

ах -

ау =

dip.

д

_дих

dt

dt

duy

ди у

dt

ГО

duz

_ ди2

+ и

+ и

х

Y + U v

ах 7

+ и

ди^

дх

ди

+ и

у

У

ди^

ди

+ и

У

ди.

dz

ди

ди

+ и

+ и

у .

+ и

dz ди,

(3.9)

^ д( л дх у ду " дz

Используя оператор Гамильтона V (набла), определяемый фор-ыд?д-дт

мулои V = — /н--J---к, ускорение жидком частицы можно

дх ду дг

представить в виде

Здесь (i/-V) - условно рассматривается как скалярное произведение векторов и и V (скалярное произведение двух векторов есть сумма произведений их одноименных проекций); ди

dt

нои точке пространства, называется локальной составляющей ускорения;

(и-У)-и - выражает изменение скорости в пространстве в данный момент времени, называется конвективной составляющей ускорения.

Если движение жидкости установившееся, то

ди dt

и

а = (и -У)-и . (3.11)

При установившемся движении жидкости существует конвективная составляющая ускорения.

Девять частных производных, входящих в конвективную составляющую ускорения, характеризуют деформационное движение жидкости и обусловливают нелинейность уравнений движения (см. § 4.3).

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДВИЖЕНИЯ

Наглядное представление о поле скоростей движущейся жидкости можно получить, если построить векторные линии этого ПОЛЯ, которые называются в гидромеханике линиями тока. Линия тока -это кривая, в каждой точке которой вектор скорости (?7) в данный

момент времени направлен по касательной.

По определению линии тока вектор местной скорости й (ихуг)

коллинсарен направленному отрезку дуги линии тока

  • (рис. 3.2). Так как одноименные проекции коллинеарных векторов пропорциональны, то дифференциальное уравнение линии тока имеет следующий вид:
  • (3.12)

б/х б/у б/г

их иу и2

Для неустановившегося движения время ?, от которого зависят их, иу, и2, рассматривается как параметр.

Если движение установившееся, то траектория (путь) жидкой

частицы совпадает с ее линиеи тока.

Линии тока не пересекаются ни в одной точке, где й фО или и ф оо . Точки, где ?7 = 0 и и = оо называются критическими (особыми).

Выделим в жидкости элементарный контур б// (рис. 3.3) и проведем через каждую его точку линию тока, получим цилиндрическую

линия тока

Рис. 3.3

Рис. 3.2

поверхность, называемую элементарной трубкой тока. Через боковую поверхность трубки тока жидкость не протекает.

Совокупность жидких частиц, ограниченных поверхностью элементарной трубки тока, называют элементарной струйкой. В пределах поперечного сечения с/Б элементарной струйки распределение скоростей жидких частиц принимают равномерным. Поток жидкости конечных размеров рассматривают как совокупность элементарных струек. Поверхность, нормальную в каждой точке линиям токов, называют живым сечением потока 5*.

РАСХОД ЖИДКОСТИ

Количество жидкости, протекающее через живое сечение потока (струйки) в единицу времени, называется расходом.

Обозначим через dS вектор площадки любого поперечного сечения элементарной струйки (Для определения ориентации в векторном анализе площадки рассматриваются как векторные величины, направление которых определяется нормалями

площадок.) Составим скалярное произведение векторов и и с/Б (рис. 3.4):

ис/З = ис!3соз(й,г7) = ыпс/Б , (3.13)

где п - нормаль к площадке <75; и„ - проекция скорости на нормаль п. Величина и„<7$ будет положительной, если векторы г/ и н образуют острый угол, и отрицательной, если - тупой.

Абсолютная величина ипс13 представляет собой объем жидкости, протекшей через площадку dS за единицу времени, т. е. расход. Касательная составляющая и5 не обусловливает протекание жидкости через площадку dS:

(3.14)

dQ-undS .

Величина с!(2 называется объемным расходом элементарной струйки. Объемный расход жидкости через поверхность 5 реального потока будет равен

(3.15)

Массовые расходы жидкости через поверхность ^ и 5 будут равны абсолютным значениям следующих величин:

с/т = р и п <75

т =

(3.16)

Величину т называют потоком массы через поверхность 5.

УРАВНЕНИЕ СПЛОШНОСТИ (НЕРАЗРЫВНОСТИ) В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ И ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ ФОРМАХ

Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы (материи), установленный Ломоносовым в 1748 г.

Рис. 3.5

Рассмотрим протекание сжимаемой жидкости через фиксированную в пространстве замкнутую поверхность Я, ограничивающую объем IV(рис. 3.5). Если за единицу времени количество вытекшей жидкости будет превышать количество втекшей или наоборот, то в объеме Ж произойдет изменение плотности жидкости. Сказанное выше представим математически:

т =

pUndS

масса жидкости,

вытекшая из объема Ж или втекшая в него за единицу времени через поверхность 5 (если жидкость вытекает, то знак плюс и наоборот);

&

д

т = [—(рб/Ж) = [—сПУ - секундное изменение массы в объеме

из-за неодинаковости притока и оттока.

Допустим, через поверхность 5 вытекает жидкости больше, чем

втекает. Тогда плотность будет уменьшаться: — < 0;

(3.17)

piindS = -\%Ш . 5 цг б/

Уравнение (3.17) есть интегральная форма уравнения неразрывности.

По теореме Гаусса-Остроградского

= ]сНу (рг7)сП?.

5 IV

Уравнение (3.17) представим в виде

сП? = 0,

(3.18)

[ —+ сЦу (рй)

Уп-

л

— + сИу (рТ?) = 0 или д(

} д!

так как ф 0, то

——+ сйу(и)=0. (3.19)

р <7/

Уравнение (3.19) является уравнением сплошности (неразрывности) в дифференциальной форме для неустановившсгося движения сжимаемой жидкости (справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного режимов движения).

Для установившегося движения сжимаемой жидкости — = 0, и,

д1

следовательно, уравнение (3.19) примет вид

(3.20)

сНу (рм)= 0,

Шу(рм-)=?Ы+?Ы+?Ы=0.

дх ду дг

Для любого движения несжимаемой жидкости р=сош1::

ди дил,

СЙУ и = —— н--— -I---

дг

(3.21)

= 0.

ди

дх ду

&

В технических расчетах существенное значение имеет гидравлическая форма уравнения неразрывности (уравнение расхода).

Рассмотрим установившийся поток сжимаемой жидкости в трубе произвольной формы (рис. 3.6). Поверхностью огра

ничим некоторый отсек жидкости. Согласно закону сохранения массы, последняя должна оставаться неизменной (ш=соп81, сЬп=0):

|рм„б/5 = |рг/И]б/5 + |р ип^Б + |ри„з^/5' = 0, (3.22)

5 5| б2 $6

где |ри бй = 0, так как боковая поверхность непроницаема и на

ней ^„з=0. Окончательно получаем

- ]р = ]р ;

^1 $2

ри_пЖ = ри„2^

$1 $2

(3.23)

ИЛИ

ис13* =ис13* ,

(3.24)

5,* $2*

где ^1 * и 52* - площади живых сечений потока.

Если живые сечения плоские и распределение скоростей в каждом из них равномерное, то и=и. Из уравнения (3.24) получаем

Р4'Д* =Р2“А*

или

Р|015’| =р 2о232- (3.25)

Так как сечения 1 и 2 взяты произвольно, то

т = puS* = const .

Для несжимаемой жидкости p=const и, следовательно,

ил5*=иХ2 (3.26)

ИЛИ ()=иЗ*=СО№{.

Уравнения (3.25) и (3.26) устанавливают неизменность расхода по длине потока в случае отсутствия притока или оттока извне. Они называются уравнениями расхода (неразрывности в гидравлической форме) соответственно для сжимаемой и несжимаемой жидкостей.

Из уравнения (3.26) следует, что —

и2

АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ. ТЕОРЕМА КОШИ - ГЕЛЬМГОЛЬЦА

В ряде случаев при исследовании сложного явления его сравнивают с другим более простым явлением. Поступим аналогично: выясним особенности движения жидкой частицы путем сравнения с известным из теоретической механики движением абсолютно твердого тела.

Если твердое тело вращается с угловой скоростью ш(0,0,ш.) вокруг оси г (рис. 3.7), то окружная скорость й{иху) точки М тела будет равна и - со2г ;

ых = -со 1у; иу = со,х; ы: = 0.

дых ди

Вычисляя ——,—— и суммируя, находим

ду дх

  • 1 (диу ди л со7 =--?---- .
  • 2^ дх ду у

Не повторяя рассуждений, по аналогии для соу и со.г можно записать

СО у

1

( дих

ди:

2

к дг

дх

/

_ 1

( ди2

диу

2

V дУ

&

5

)

— СО Х1

3

+

1___

+ СО,

м

со = —

со =

Рис. 3.7

(3.27)

В общем случае скорость произвольной точки М[г(л;,у,г)] твердого тела определяется геометрической суммой скорости поступательного движения некоторой точки (полюса) О, назначаемой произвольно, и скорости вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс О (рис. 3.8):

йК70 +сох Аг , (3.28)

где Дг(Дх,Ау, Аг) - радиус-вектор точки М относительно полюса М0; ш(сог,ш,,,ш2) - угловая скорость вращения.

Движение жидкой частицы сложнее, так как она не только перемещается поступательно и вращательно, но и деформируется.

Рассмотрим столь малую окрестность точки М0 движущейся частицы жидкости, что можно пренебречь квадратом расстояния любой точки М этой окрестности от Мо (см. рис. 3.8). Определим поле скорости в окрестности точки Мо. Проекции мгновенной скорости й в точке М будут выражаться через проекции в точке М0 следующим образом:

их = 11 хО (х + Ах, У + Ду, 2 + Аг);

и у = и у о (х + Ах,у + Ау,г + Аг},> (3.29)

и2 ~11 гО (х + Ах, у + Ау, г + Аг).

Предполагая справедливость схемы сплошной среды, разложим в ряд Тейлора их, иу, ы2, удерживая в нем только величины первого порядка малости.

Для компоненты их имеем

11 х их§ +

ГдихЛ

Ах +

У

ди

г

х

V

дх

/

0

V

ду

Ау +

УО

ди у Л

х

дг

Аг ,

(3.30)

о

где Дх, Ау, Аг - проекции вектора Дг : индексом 0 отмечены значения производных в точке М0. Преобразуем выражение (3.30), используя следующие тождества:

ди

ду

ди^

дг

  • 2
  • 2

а«* УУ

ду

ди

х

+

дх

диг

V

дг дх

Подставим (3.31) в (3.30)

г

1

+ — 2

1

+ — 2

у

ди у ди

X

У

(3.31)

их =их0 +

диу

дх

Л)

Л 1 ДхН— 2

Г

ди„ ди

у

ду дх

у ди*

дх д и,

V дг

дх

1 ( диу

дих

2^ дх

ду

Ду +

1

+—

'дих ди7л

Л | ?

дг дх

Аг+—

г дих дит 4 дг дх

(3.32)

Аг.

Введем обозначения

дих

е —-Х_. е — с

дх 9 ** ух

1

дих ди л

Л _|_ 7

1

(дих диЛ

Л | ?

2

кду дх у

’ °Х2 °2Х 2

1

^ дг дх )

'XX

где гхх - характеризует скорость линейной деформации в направлении оси х; еху - характеризует скорость угловой деформации (деформации сдвига) в плоскости ху. Аналогичные выражения можно записать и для щ и и2.

Окончательно получим

их = % + (<°yte - ©zAy)+ (s.v.r^ + ЬХуАУ + S.vz^);

иy - иуо + (cozAx - (?xhz)+ (s3>xAx: + eyyAy + eyzAz); (3.33)

«z - wZQ + {axAy - coyAx)+ [e^Ax + szyAy + zzzAz).

Эти формулы выражают теорему Коши-Гельмгольца: движение жидкой частицы можно разложить на переносное движение вместе с некоторым полюсом, вращательное движение с угловой скоростью со вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс, и деформационное движение.

Уравнения (3.33) можно представить в векторной форме:

и = щ + ю X АР + г7дсф ; й = йкт + г7дсф. (3.34)

где г/деф- скорость, обусловленная деформацией жидкой частицы.

Таким образом, скорость любой точки жидкой частицы складывается из скорости полюса и0, скорости вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс (юхАг) и скорости деформационного движения Пдеф.

Формула (3.34) внешне отличается от формулы (3.28) движения твердого тела только наличием члена пдеф. Однако, необходимо отметить, что член шх Дг , характеризующий вращение лишь по форме совпадает с аналогичным членом в формуле для твердого тела. Жидкая частица с течением времени деформируется, изменяет свою форму. Поэтому шхДг описывает движение жидкой частицы как отвердевшего тела лишь в данный момент времени, так как по прошествии этого момента времени она изменяет свою форму.

Для выполнения дальнейшего анализа составляющих скорости выделим жидкою частицу в форме параллелепипеда с поперечным сечением в форме квадрата (рис. 3.9). Перемещение и вращение означают физическое движение грани без изменения их первоначальной формы. Линейная и угловая деформации также имеют связь: первая вызывает изменение в углах, образованных диагоналями, а вторая - изменение в длинах диагоналей. Величина перемещения по трем координатным направлениям в данной точке равна

I 2 , 2~. 2

и~их +Ыу+Ы2 .

Линейные деформации по каждому координатному направле-

нию

ди

-2-сЬс;

дх ду

диг , ди. , —— с/у; —- а г

дг

обозначают скорость, с которой псре-

)

Рис. 3.9

мешаются (раздвигаются) соответственные противоположные грани. Если плотность (и отсюда объем) частицы жидкости остается постоянной в течение такой деформации, то удлинение частицы в двух направлениях будет компенсироваться укорочением по третьему направлению и наоборот. Таким образом, линейные деформации по трем координатным направлениям, умноженные на площади соответствующих граней, должны дать в сумме нуль:

1- Дх(ДуДг)ч--— Ау(АгАх) + Аг(АхАу) = 0.

дх ду дг

Деля каждый член этого уравнения на элементарный объем получаем наиболее общую форму уравнения неразрывности, которая

устанавливает, что «дивергенция» вектора скорости должна быть равна нулю в потоке с постоянной плотностью. Другими словами, в

потоке с постоянной плотностью скорость не может ни увеличиваться, ни уменьшаться по всем трем направлениям одновременно.

дх ду dz

Кроме общего случая движения жидкости, описываемого уравнением (3.34) и называемого вихревым, возможны частные случаи:

и0 * 0; оз = 0; пдеф = 0 - движение является поступательным. Оно

характеризуется одинаковыми значениями скорости п0 во всех точках потока жидкости;

Мдеф ^ 0; м0 = 0; ш = 0 - движение будет чисто деформационным;

со Ф 0; и0 = 0; пдсф = 0 - движение чисто вихревое;

со = 0; щ Ф 0; пдсф ^ 0 - движение называется безвихревым или потенциальным.

В заключение необходимо отметить, что ввиду конечных размеров первоначального параллелепипеда значения для каждого типа смещения неточны, так как переменные высшего порядка были опущены. Но если представить ребра бесконечно малыми, то все угловые точки в пределе приближаются к точке с координатами х, у, z и каждый тип движения выражается точно по изменению времени.

ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯ ВИХРЕН

Если при течении жидкости происходит вращение частиц

такое движение называется вихревым, в противном случае - безвихревым или потенциальным. Для характеристики вихревого движения в гидрогазодинамике наряду с вектором

со принято использовать вектор 2со = П = rot и, называемый вихрем:

./ к

I

Г

гей и =

д/ д/ . /ду /дг’

(3.35)

К,к иу 1<2

г

П =

ди.

диу Л

/

Ш

ди2 Л

ди

к = V х ц.

X

х

I +

у +

дх ду

ду &

& сЬ:

Поток, в котором во всей его массе вектор вихря отличен от нуля, называют вихревым. Проекции вектора О на оси координат 0.х,0.у,0.г (компоненты вихря) определяют вихревое поле потока.

V

У

У

у

Вихревые течения возможны только в жидкостях, но в них возможны и вращательные движения. В таких случаях жидкости движутся как твердые тела с равномерной угловой скоростью (циркуляционные течения). В вихревом течении со(х,у,г) неравномерна в потоке.

Определяющие кинематические элементы вихревого поля имеют аналогию с элементами поля скоростей. Вектору и в поле скоростей соответствует вихрь О. в вихревом поле; линии тока - вихревая линия; трубке тока - вихревая трубка; элементарной струйке - вихревой шнур; расходу с/() = йс/8 - интенсивность с/1 = (Ьс/6. Остановимся на каждом из них несколько подробнее.

Вихревой линией называется кривая, в каждой точке которой

вектор угловой скорости со в данный момент времени направлен по касательной. В общем случае вихревые линии криволинейны и не совпадают с линиями токов (рис. 3.10).

Дифференциальное уравнение вихревых линий имеет вид (из условия коллинеарности с/со и )

(3.36)

с/х с/у с/г

Ю* «V

где с// - элементарный направленный отрезок дуги вихревой линии; <о(сог, со , со_}, с/7(с/х, с/у, с/г).

Цилиндрическая поверхность, образованная вихревыми линиями, проведенными через все точки замкнутого контура dl (рис. 3.11), называется элементарной вихревой трубкой, а совокупность жидких частиц, ограниченных вихревой трубкой, - вихревым шнуром.

В пределах поперечного сечения da элементарного вихревого шнура принимают вектор ю — const.

Скалярное произведение dl векторов со и da называется интенсивностью вихревой трубки и служит мерой вихревого движения:

dl = (bda = соnda. (3.37)

Для произвольной поверхности о / = jwdo = Jco77c/o.

а а

Величина

21 = 2 |ш,7с/а = Jn,7c/a (3.38)

a a

представляет собой поток вихрей через поверхность о.

Ранее установлено (см. § 3.7), что при установившемся движении расход сохраняет одинаковое значение по длине потока. Аналогично поток вихрей через поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени постоянен по ее длине (2-я теорема Гельмгольца).

Для доказательства выделим объем W, ограниченный поверхностью X = Oj + о2 + о с (рис. 3.12).

Поток вихрей через поверхность X равен

Рис. 3.12

(3.39)

/7c/o = J COwldb + Jco,?3db + JcDnld<5 . 1 Ol Gf>

На поверхности ав со„=0, так как вектор со направлен по касательной к поверхности вихревой трубки и перпендикулярен 7?з . По теореме Гаусса - Остроградского

(3.40)

nd<5= jdivcodW = - d^xoiu)dW=0.

E W

Таким образом, уравнение (3.39) принимает вид

Ц?1 do + Jcow da = 0

ОІ 02

или

Jco_щсЬ= |со„2йЬ = const, (3.41)

01 02

что и доказывает 2-ю теорему Гельмгольца.

Для элементарной вихревой трубки co,;=const, получаем

CO_W]Gi —(?)п2

ИЛИ

(0^0 = const. (3.42)

Из уравнений (3.41) и (3.42) следует: ни в одной точке внутри жидкости площадь сечения вихревой трубки не может обратиться в

нуль. В противном случае, в этом сечении <д=оо, что физически невозможно.

Вихревая трубка не может начаться или закончиться внутри жидкости конечным сечением, так как при переходе через такое сечение внутрь жидкости вектор со скачком должен измениться от конечного значения до нуля, что противоречит закону о непрерывности поля скоростей. Вихревые трубки должны быть поэтому либо замкнутыми, имеющими вид вихревых колец, либо иметь концы, лежащие на границах области, занятой жидкостью.

Вихревое движение не всегда сопровождается образованием визуально наблюдаемых вихревых шнуров. Рассмотрим прямолинейное движение жидкости в трубе (рис. 3.13):

м*=/(у), ыу2=О, где/(у) - непрерывная функция.

Проекции со при этом равны (см. § 3.8)

со Y = со v

  • 1 дих
  • 2 ду
  • 1 д/(у)
  • 2 ду
  • (3.43)

Из (3.43) следует, что течение вихревое, причем вектор СО во всех точках параллелен оси z (нормален плоскости чертежа). Следовательно, вихревые линии всегда представляют собой прямые, нормальные линиям токов. Движение данного типа может быть безвихревым (без вращения частиц), если /(у)=const, что возможно только для идеальной жидкости. Движение реальной жидкости между твердыми стенками вихревое.

ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ. ТЕОРЕМА СТОКСА

Мерой (характеристикой) вихревого движения служит интенсивность, однако она не может быть непосредственно вычислена или измерена. А в практических расчетах удобнее оперировать такой мерой вихревого движения, которая выражалась бы через поступательную скорость. Этой цели отвечает понятие циркуляции скорости.

Циркуляцией Г вектора скорости и по контуру Ь называется контурный интеграл от скалярного произведения и на элементарный вектор ей дуги контура Ь (рис. 3.14).

Рис. 3.14

  • (3.44)
  • (3.45)

Г = §йсй ;

Г = С^ис/ІСО^І, ЇІ^=^И[СІІ —^{ыхСІХ +и^с/у ?

где с/х, с/у, с/г - проекции вектора ей .

Свойства циркуляции заключаются в следующем:

  • а) циркуляция скорости по целому контуру равна сумме циркуляций по отдельным участкам этого контура;
  • б) изменение направления обхода контура на обратное влечет изменение знака циркуляции. Циркуляция считается положительной, если при обходе контура ограниченная им область остается слева.

В общем случае контурный (криволинейный) интеграл может быть выражен через поверхностный по формуле Стокса. Используя формулу Стокса, преобразуем выражение (3.45):

I

Г

ди у ды

х

у

N

(

л

ды „ дц

с!хс1у +

с1ус/г +

б/гб/х

обе ду

дх

б/у &

(3.46)

где с/хс/у=с/а:; с1уск=с1сту скс1х=с1оу.

С учетом определения вихря (см. § 3.9) уравнение (3.46) представляет собой следующее выражение

Г = |П2б/о2 + |Пд.б/ох + {Ц.б/ст^ ; (3.47)

оу

(3.48)

V

У

У

ох

Г - 2 |(сод.б/аг + согб/аг + со _б/о_).

Подынтегральное выражение в (3.48) представляет собой скалярное произведение векторов со и с/а. Следовательно,

Г = 2 |с5бй -2 |сойб/а -2 |оо,7б/о . (3.49)

а

а

а

Сравнивая выражение (3.49) с (3.38) убеждаемся, что Л=2/. Уравнения (3.47), (3.48) есть выражение теоремы Стокса. Поток вихрей через поверхность а равен циркуляции скорости по замкнутой кривой, опоясывающей эту поверхность.

Теорема Стокса позволяет вычислять интенсивность вихрей по заданному полю скоростей, а также измерять ее.

БЕЗВИХРЕВОЕ ИЛИ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ

В действительности движение жидкости всегда вихревое (вращательное). Причиной этому служит ряд факторов, в том числе наличие внутреннего трения. Несмотря на это, для большого количества прикладных задач важно изучение безвихревого движения (движения без вращения частиц), для которого принимают

со = 0,0 = 0.

Это условие может быть представлено в виде

что равносильно системе

ди2 _ диу шдих =ди2 тдиу = дих ду дх дг дх дх ду

С одной стороны, из теории криволинейных интегралов известно, что соотношения (3.50) являются необходимыми и достаточными

условиями того, что трехчлен вида ихеЛх + иус1у + и2с1г представляет

собой полный дифференциал некоторой функции (р{х, у, х), которая называется потенциальной (см. § 2.4):

(3.51)

?

и с/х + и с/у + и с1х = с1ер

Л у I

С другой стороны,

, дер дер дер а ер - —ах л--ау л--ах

дх ду

Сопоставляя (3.51) и (3.52), получаем

дх

  • (3.52)
  • (3.53)
  • (3.54)

д(р дер дер

и.- = —;иг =—;ы. = —;

дх у ду дг

и = gradер.

Для произвольного направления / можно показать, что и/ =

Таким образом, при установившемся безвихревом движении определение поля скоростей сводится к отысканию одной функции ф(х, у, х), называемой потенциалом скорости. Последним объясняется наименование движения при со = 0. Размерность потенциала скорости можно установить из (3.53): [ср]=Ь2'Т~1. Решение гидродинамических задач в этом случае существенно упрощается, Действительно, вместо того чтобы определить три проекции скоростей их, ау, иг, каждая из которых зависит от трех координат х, у, х, при безвих-

ревом установившемся течении требуется найти только одну функцию - потенциал скорости ср(х, у, г); проекции скоростей находятся затем дифференцированием потенциала по координатам. Другими словами, возможность введения потенциала скорости эквивалентна уменьшению числа неизвестных, которые требуется определить.

Поверхности, во всех точках которых ср(х, у, 2)=соп81 (поверхности уровня потенциала), называются эквипотенциальными. Линии тока ортогональны к эквипотенциальным поверхностям, а вектор й = grad

Из уравнения (3.54) следует, что ср определяется с точностью до постоянного слагаемого (ср + с).

Для неустановившегося безвихревого движения приведенные соотношения справедливы в случае, когда время / играет роль параметра. Уравнение неразрывности в общем случае имеет вид (см. §3.6)

+ сйу(ри) = 0

или

-^ + сПу»=0.

р б//

Подставляя в уравнение неразрывности значения компонентов скорости по формулам (3.53), будем иметь

  • 1 ф
  • --- +

р б//

С ~2 -,2 -,2

д ср + д ср + д ср

= 0.

дх ду дг'

Если жидкость несжимаема р=соп8Т то получим

У2 = 0

(3.55)

ИЛИ

д2(р д2(р дх2 + ду2

(3.56)

Уравнение (3.56) называется уравнением Лапласа, а функция ср(х, у, 2), удовлетворяющая этому уравнению, - гармонической.

Таким образом, для потенциального движения несжимаемой жидкости потенциал скорости является гармонической функцией

координат х, у, г. Методы решения уравнения (3.56) в настоящее время хорошо разработаны.

ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Свойства течений, изложенные в предыдущих параграфах, справедливы для трехмерных потоков сжимаемой и несжимаемой жидкостей. Ниже рассмотрим движение несжимаемой жидкости, когда давление и скорость зависят только от двух координат. Такое течение называется плоским. Для него конфигурация линий тока во всех плоскостях, нормальных какой-либо оси (например, г), одинакова, а проекция скорости на эту ось равна нулю (г/г=0).

В природе плоских течений не встречается, однако на практике существует много случаев, когда поток может считаться плоским (рис. 3.15).

Пусть и2= 0. Тогда уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости примет вид

(3.57)

о дИ; дИу

дх ду дх ду

Уравнение линии тока также упростится (см. § 3.5):

с/х с/у

или

ихс/у - щс/х-0. (3.58)

Соотношение (3.57) является необходимым и достаточным условием того, чтобы левая часть уравнения (3.58) была полным дифференциалом некоторой функции двух переменных. Обозначим эту функцию |/(х, у) и назовем функцией тока. Будем иметь

бЛр - — с/х н--с/у = ихс/у - иус/х = 0.

дх ду ' •

Из уравнений (3.58), (3.59) следует, что

<3|/

(3.59)

их=^Г’иу =

ду

дх

(3.60)

Из (3.59) следует, что вдоль линии тока бА|/=0, а функция |/ постоянна, |/(х, у)=СОП81.

Размерность функции тока: [|/]= — • Ь =Ь2Тх.

Следовательно, функция тока сохраняет постоянное значение вдоль любой линии тока, оставаясь различной для каждой из них.

Таким образом, для получения уравнений линий тока необходимо определить функцию тока течения и приравнять ее постоянной величине. В результате будет найдено семейство линий тока плоскопараллельного течения жидкости. Этот метод определения линий тока несравненно проще, чем интегрирование дифференциальных уравнений (3.12).

Если поток не только плоский, но и потенциальный, то он будет характеризоваться двумя ортогональными семействами кривых: |/=сопз1 (линии тока) и ф=соп81 (эквипотенциали). Эти семейства образуют гидродинамическую сетку, которая имеет следующие свойства: 1) сетка ортогональна; 2) одноименные линии сетки не пресекаются нигде кроме особых точек; 3) гидродинамическая сетка в малом квадратична (Д|/Д5=ДфДя).

Гидродинамическую сетку используют для определения параметров (компонентов скорости) плоских потенциальных течений. Можно показать, что для плоского потенциального потока

Г

со, = О,

д%1у дих

= 0

функция тока |/(х, у) и потенциал скорости

дх ду

(р(х,у) удовлетворяют уравнению Лапласа соответственно

д2у а2ч/

+

= 0

дх ду

и

(3.61)

дх дуА

Для выяснения физического смысла функции тока |/(х, у) выделим в плоском потоке две произвольные линии тока, соединенные в точках А и В линией / (рис. 3.16). В общем случае

дК2 = ып <А5 = Гтс/5. (3.62)

Для плоского течения, приняв г= (<А8=сНЛ), будем иметь

с= ипс!1 = шсИ (3.63)

или

с/д =

Ых С08 (п,х) + Иу С08 (П,у)

с!1

(3.64)

/ с/х с1у / с/у (Ах

где со8(п,х) — —— ——-, С08(п,^) = —- = —- (рис. 3.17).

ап а1 ап а/

Используя выражения (3.60), получим

ду

дх

(Ад = х<Ау-и сЬс)=^-с1у+^-<Ах=ск|/; (3.65)

в

(3.66)

Таким образом, расход жидкости через произвольный отрезок

Рис. 3.16

кривой АВ не зависит от ее формы и равен разности значений функции тока в конечных ее точках.

Отсюда следует:

  • 1) если АВ является участком линии тока, то расход д=0 (так как вдоль линии тока |/=соп81);
  • 2) если точки А и В совпадают (контур замкнут), то при однозначности функции тока |/ расход q=0. Если внутри контура расположены источники (стоки), то дфО.

Количество жидкости, протекающей между двумя линиями тока, на всем их протяжении есть величина постоянная.

>

Задача 1. Скорости частиц потока жидкости в круглой цилиндрической трубе параллельны между собой, и их значения меняются в зависимости от расстояния г от оси трубы по закону

м

Рис. 3.17

ы = и() 1 — V

где г0 - радиус трубы; ы0 - скорость частицы на оси трубы (при г =0). Определить компоненты вихря.

Решение. Примем ось г совпадающей с осью потока. Проекции

скорости на оси декартовой системы координат равны 102

Иху= О, и2 = и0

V

В соответствии с выражением (3.35) для вихря ?2=го1 и имеем

_ ди2 _ 2и0у _ _ ди2 _ 2и0х _

=

Угловая скорость о

2 ;Пу дх

;П. =0. о

со--п-—+ т“; 22 ^0

2 •

Г0

Таким образом, угловая скорость равна нулю на оси потока и возрастает пропорционально расстоянию от последней.

Являясь вихревым, движение с параболическим распределением скорости является одновременно деформационным. Действительно, в соответствии с выражениями для угловых скоростей сдвига (см. § 3.8) получаем

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >