ОБОБЩЕННАЯ ГИПОТЕЗА НЬЮТОНА О СВЯЗИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И СКОРОСТЯМИ ДЕФОРМАЦИИ
Уравнения движения жидкости в напряжениях (см. § 4.1) образуют незамкнутую систему. Недостающие уравнения устанавливаются на основе физических гипотез, которые выражают экспериментально обнаруженные свойства сплошных сред. Такой фундаментальной гипотезой является обобщение на случай произвольного движения закона вязкостного трения Ньютона. Последний устанавливает: при прямолинейном движении жидкости вязкостные напряжения пропорциональны скоростям угловых деформаций тм = р {сіи/сіу).
Для произвольного движения предполагается следующее.
- 1. Закон вязкостного трения Ньютона остается в силе.
- 2. Гидродинамическое давление р в точке, через которую проходят три взаимно ортогональные площадки, определяется как среднее арифметическое из нормальных напряжений.
(4.8)
где знак минус подчеркивает, что нормальное напряжение сжимающее.
С учетом изложенных предположений компоненты тензора напряжений (рхх, руу, р-2, рху, руг, ргд) могут быть выражены через скорости деформаций и гидродинамическое давление следующими зависимостями:
Р.XX = -Р
Руу =~Р
Р 22 = -Р
- 2 _ дих
- — ц<ши +2/л——
- 3 дх
- 2 _ диу
- — ц6и + 2 ц——
- 3 ду
- 2 ди2
- — ц<ши + 2ц ——
- 3 дг
У
(4.9)
)
г
Рху = РухР
Г
Рху ~~ РухР
V
Рху = РухР
дых диу
ду дх
дих диу
ду дх
~ 2Р?ху’
2Р?Ху >
У
(4.10)
У
Г ди ди л
х
+
ду дх
~ 2Р?ху’
У
Для несжимаемой жидкости р=сош1, с1т/ = 0 (см. § 3.7). Выражения для нормальных напряжений упрощаются:
_ дих ^ ^
Рхх = -р+2Р—=-р + 2р?хх;
ох
ди
Руу =~Р + 2Р—г~ = ~Р + 2 /18 '
УУ
ду
ди
УУ
у
(4.11)
Р22 =-Р + 2Р— = -Р + 2 Р? 22 ’
дг
У
Здесь &хх, еуу и е22 - скорости удельных линейных деформаций в направлениях осей х, у и г соответственно; еху, еу2 и ?2Х - скорости удельных угловых деформаций (деформаций сдвига) в плоскостях ху, уг и гх соответственно (см. § 3.8).
Обобщенный закон Ньютона (4.9)—(4.11) позволяет исключить из уравнений движения (4.7) компоненты тензора напряжений, заменив их гидродинамическим давлением и скоростями деформаций.
