ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРАНДТЛЯ ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Допустим, плоский установившийся поток вязкой несжимаемой жидкости движется вдоль твердой непрямолинейной границы (рис. 9.3).

Рассмотрим область течения, ограниченную ламинарным пограничным слоем. Пренебрегая влиянием массовых сил, получим следующую систему уравнений, формулирующих задачу.

1 др р дх

+ V

Сд2их д2ых ^

дх

ду

ди

ды

- их + иу —~'

дх

/

  • 1 др
  • ---— + V

Р ду

2иу д2иу^

= и

ды

у

ду

ды

дх ду

Уравнение неразрывности

У

X

дх

+ и

У

У

ду

  • (9.4)
  • (9.5)
  • (9.6)
  • (9.7)

^+^=о.

дх ду

Граничные условия

их(х, 0) = и (х, 0) = 0; их(х,8) = 17(х),

где и(х) = Ых

- продольная составляющая скорости на границе

пограничного слоя, Щх) в общем случае является неизвестной.

Стремясь получить уравнения, пригодные для больших чисел Яе, упростим систему (9.4)-(9.7). Для этого произведем оценку порядка основных величин, входящих в эти уравнения: х ~ /; у ~ 8; ых ~ и, так как 8/х мало, то иу«ых.

Порядок производных определится, если учесть, что при изменении, например их от 0 до U, у изменяется от 0 до 8, т. е. для членов первого уравнения имеем

дих U дих U д2 и х U д2их U

дх I ’ ду 8 ’ дх2 12ду2 82

Порядок компоненты иу определим из уравнения неразрывности

(9.6):

и

У

ЬЛу

ди

U

.* = Ьт^=-|-^~т8-

У=8

/

о дУ о

Теперь для членов уравнения (9.5) можно записать

duv иЪ duv и d2uv us d2uv ц

/8

дх I2ду Г дх

/3ду2

Из этих оценочных соотношений ясно, что оба инерционных

л дих дих

ду

члена уравнения (9.4) и —— и и —— имеют один и тот же порядок

U //. Однако первый вязкостный член v

д2 и дх2

мал по сравнению со

д2 и

вторым у-, ибо их отношение есть квадрат малой величины

ду

д2их

дх2

2 *

/

д

ду2

Таким образом, в уравнении (9.4) можно отбросить первый вязкостный член, и оно примет вид

  • 1 др д2и„ ди„ ди
  • ----1-V —

р дх ду

д их дих

  • -— — // ——
  • 2 х

+ U

(9.8)

дх у ду

Предположим, что внутри пограничного слоя силы вязкости (уи/52) и силы инерции 2/Г) имеют одинаковый порядок, тогда

уЦ и2

или

/

5 = с/;8 = 5 = -1,

и I

где С - постоянная; Ре = —1 _ местное число Рейнольдса.

V

Таким образом, предположение о малости относительной тол-

8 5 _

щины пограничного слоя — = — будет выполняться тем лучше, чем

I х

больше ЧИСЛО Яе = — , НО при соблюдении условия К.е<11екр.

V

Переходя к уравнению (9.5), заключаем, что его инерционные

и2ь

члены имеют порядок ——, а первым вязкостным членом можно

/

пренебречь по сравнению со вторым, т. е.

  • 1 др д2и и2Ь
  • ---— + V-— --.

Р ду ду2 I2

Так как у

д21К и2Ь

ду

I

, то окончательно получим

-1^ = 0

Р ду

или

ф

ду

= 0.

(9.9)

Из уравнения (9.9) вытекает, что давление внутри пограничного слоя не меняется вдоль нормали к контуру тела и является функцией только координаты х (/?=Дх)).

Таким образом, исходная система (9.4)^-(9.6) принимает вид уравнений пограничного слоя Прандтля:

х

дх

ди у

+ г4у ду ~

  • 2
  • 1 ар д иг

, +у / ;

Р ах ду2

(9.10)

ди ди

—^ + ±

-о.

(9.11)

дх ду

ди

X

и

Система (9.10), (9.11) есть система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка параболического типа, незамкнутая, так как содержит три неизвестные функции их, иу и р. Однако давление р=/(х) может быть определено заранее экспериментально (например, методом дренирования) или аналитически из решения задачи о потенциальном обтекании.

Так как движение вне пограничного слоя потенциальное, а силами тяжести можно пренебречь, то для его верхней границы можно применить уравнение (интеграл) Бернулли для идеальной жидкости в виде (см. § 4.5)

и2

р + р— = сош1.

Дифференцируя это уравнение по х, получим

? = -р и^- (9-12)

ах ах

Теперь в уравнении (9.10) можно исключить давление, выразив его через функцию и(х):

дих

дх

диг

+ и..

-*- = и

у

ду

с!х

дих

: , диУ _

= 0;

дх

ду

/

д2 и ~д?

их(х,0) - и (х,0) - 0; их(х,5) = и(х).

  • (9.13)
  • (9.14)
  • (9.15)

В целях уменьшения числа переменных введем в рассмотрение функцию тока, для которой

Уравнение неразрывности (9.14) функцией тока |/(х, у) удовлетворяется тождественно, а уравнение (9.13) приводится к виду

(9.16)

дц/д2и <9}/ <92|/ ттди <93|/

——1----—^ = и-+ у—^ .

ду дхду дх ду2 дх дуЪ

Граничными условиями для функции тока являются (9.17)

В такой постановке предполагается, что пограничный слой по всему контуру настолько тонок, что его искажающее влияние на внешний поток пренебрежимо мало.

Решение дифференциальных уравнений Прандтля для ламинарного пограничного слоя всё же достаточно сложно даже для простейших контуров. Точное решение уравнения функции тока (9.16) в настоящее время получено только для случая обтекания плоской по-лубесконечной пластины, когда м(х)=?/0=сош1, а сЮ/Вх=0.

В инженерных расчетах гидродинамического пограничного слоя преимущественное применение получили методы, основанные не на уравнениях Прандтля (9.13)—(9.14), а на интегральных соотношениях. Последние могут быть получены или специальным преобразованием уравнений Прандтля, или использованием теоремы о количестве движения.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >