ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Рассмотрим элементарный объем жидкости, выделенный в пограничном слое нормальными к плоской стенке сечениями АВ и СХ) и участком его верхней границы ВС (рис. 9.4). Применим к массе жидкости, находящейся в этом объеме, теорему о количестве движения: при установившемся движении жидкого объема главный вектор действующих на него внешних сил равен потоку количества движения через поверхность, ограничивающую объем:

ип и А8 — |Ор<ЛУ + |/?,7 б/5; |рип и АВ = Р1

5 IV 5 ЯаВСО

ПОВ ’

(9.18)

где Опов -главный вектор поверхностных СИЛ, Рпов = РдаВл+Арен .

В рассматриваемом случае Завсо=^ав+8вс+^со+^ао, на участке АВ ы„--их, на СО и„=их, а на ВС примем их=и. Проекция на ось х левой части (9.18) имеет вид

А

рипихА8 = - рихАу + pudy + — рихАу

Ах

Ах+иАтвс • (9.19)

$лвсо о о

При установившемся движении накопление массы в выделенном объеме не происходит, поэтому поток массы через сечение СО может отличаться от потока массы через сечение АВ только за счет ее притока через границу ВС. Следовательно,

сЬпве =

сі

О

с/х

рихсіу

Ко

Ах ?

(9.20)

С учетом выражения (9.20) уравнение (9.19) примет вид

А

( 5

рипихВЗ = — pudy

КО

Ах-и

А_

Ах

рихАу

Ко

С/х .

(9.21)

Определим проекцию на ось х главного вектора сил давления. При этом давление в сечении АВ обозначим через р, тогда сила давления в этом сечении будет равна рЬ. Давление и сила давления в сечении СО соответственно будут равны

р +—Ах Ах

Ар

и

рЪ + — {рЪ)Ах = рЪ + р—Ах + Ь—Ах. Ах Ах Ах

Ар

На участке ВС примем давление средним между р и р + — Ах.

Ах

Тогда проекция на ось х силы давления, действующей на участке ВС,

г

1 Ар

будет равна р н---—Ах

V 2 Ах

к

АЪ

АЪ

Ах - рАх. Сила трения, действующая Ах Ах

на участке АИ, равна тсб/х.

Проекция на ось х главного вектора поверхностных сил выразится следующим образом:

С- Г С- б/5 , „АП . Л (АЪ . - с- Ф 7 1 /

ро- ро + рах + о — ах ах тсах —о—ах-хсах . (9.22) ч б/х Ах ) б/х б/х

Уравнение количества движения (9.18) примет следующий вид:

_б/_

с1х

ри2хс/у

б/

(Ах

рихАу

У

= —о--.

б/х с

(9.23)

Уравнение (9.23) называется интегральным соотношением Кармана или уравнением импульсов для плоского пограничного слоя. Оно пригодно как для ламинарного, так и для турбулентного пограничного слоя, так как при его выводе не делалось никаких предположений о природе касательного напряжения тс. Давление в (9.23) можно исключить, применив уравнение Бернулли для внешней границы слоя (см. § 9.2):

6/ б, 2 . .. 6/ 5, . ___б/с/

б/х

uldy -и— ихс/у = ьи ах

с/х

(9.24)

о о — р

Наличие в уравнениях (9.23) и (9.24) толщины пограничного слоя 8, определяемой условно, является недостатком. Для получения уравнений, пригодных для асимптотического слоя, выполним следующие преобразования:

,, <1 8Г , с/ иих<1у = —

(Ах

о

Ах

' 5 ''

и ых<Ау

К о

бШ (Ах

их(Ау,

(9.25)

о

где 5 = |б/у. о

Уравнение (9.24) с учетом (9.25) представим следующим образом:

б/

( 5 >

Г

6Г 2 ,

с

и ы (Ау

. uldy

+

р

(Ах

о )

& О «-

*

<

  • § }«Н?ы-
  • 1ЛЛ г ИЛ 0

о

— = Д- их (и - их+^(и - их )Ф • Р СаЭС г (лЭС

о о

Уравнение (9.27) можно привести к виду

  • (9.26)
  • (9.27)

щина вытеснения и толщина потери импульса. Физический смысл

б/ °°

с/х

где 5* = |

и

с/ с/х

2 § * * )

тт тс

+ и-6* = —

с/х

(9.28)

.1(25 * * + 5 *) =

с/х

с/х и

Ри

  • 2 ’
  • (9.29)

/

<*> и с

с/у и 8** = р.

о

и

х_их

и

с/у - соответственно тол

8** можно выяснить, рассматривая интеграл рх(и - и х)с/у,

о

00 входящий в уравнение (9.27). Допустим, р8**?/2 = ^рих(и-их)с/у,

о

тогда

§ ** _ ух

]и

о

х_их

К

и

с/у.

Очевидно, линейная величина 8** характеризует влияние вязкости на уменьшение количества движения жидкости необходимого для преодоления сил трения внутри пограничного слоя.

Общепринятый вид интегрального соотношения Кармана (9.29) более удобен для расчета пограничного слоя на криволинейных поверхностях. Интегральное соотношение Кармана (9.29) в отличие от уравнения (9.10) справедливо не только для ламинарного, но и для турбулентного режима течения в пограничном слое. [1] [2]

РАСЧЕТ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

1. Интегрируют дифференциальные уравнения Прандтля при соответствующих граничных условиях и получают значения скоростей их{х,у) и ых{х,у) для всей области пограничного слоя. Зная закон распределения скорости их, находят касательное напряжение (ис-

пользуя закон вязкостного трения Ньютона тс = —— ) и силу

сопротивления

их и иу используют также при решении задач конвективного теплообмена, определения точки отрыва и др. Этот метод называют точным.

2. Используя интегральное соотношение пограничного слоя, определяют в зависимости от формы последнего 8 и их или 5* и 5**, что позволяет найти касательное напряжение на твердой поверхности и силу трения. Этот метод называется приближенным.

Скорость внешнего потока Щх), входящая в уравнения пограничного слоя и граничные условия, при расчете считаются известными. и(х) можно найти двумя способами: а) экспериментально определяют распределение давления вдоль обтекаемой поверхности, затем вычисляют Щх), используя уравнения Бернулли для идеальной жидкости (см. § 4.5); б) решают задачу о потенциальном обтекании твердой поверхности идеальной жидкостью и получают Щх) на поверхности. Учитывая малость толщины пограничного слоя, переносят полученные значения Щх), на его внешнюю границу.

Точный метод при решении задачи об обтекании плоской пластины установившимся потоком несжимаемой жидкости (рис. 9.5) впервые применил Г. Блазиус в 1908 г.

Распределение продольной составляющей скорости их(у) разыскивалось в виде

(9.30)

где, как видно из (9.30), /0 не зависит от х.

натыу/б использовался параметр р = .— , т. е. скорость их разыски-

У

С учетом того, что 8

гх

и

, далее вместо безразмерной коорди-

о

гх

и0

валась в виде

(9.31)

Рис. 9.5

Для получения функции тока вместо Др) вводилась первообразная <р(р) = |/(рУр . Так как ф'(р)=/(р), то их ф'(р).

Учитывая, что их =— и и =--, получаем

ду } дх

у

ф = ихс!у = ^и0ух(р( р). (9.32)

о

Дифференцируя это выражение, находят производные, входящие в уравнение функции тока (9.16), и получают

2ср'" + (рср" = 0 . (9.33)

Нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка (9.33) было проинтегрировано Блазиусом с помощью степенных рядов при следующих граничных условиях:

Ф = 0; ср' = 0 при р = 0|^ф = 0;мл.|у=0 =0;мд,|^=0 =0 (р'= 1; при р = ю(их —» ы0 —» оо).

Результаты расчетов позволили определить тс и Р^:

*с=М

V

ду

Уу=0

МР“о

= <р'(01^ ; ТС = 0,332 у

(9.34)

Обычно в расчетах вместо касательного напряжения используют

т

коэффициент -, для которого из формулы Блазиуса (9.34)

Р^О

получаем

или

с,=

0,664

X

г _ 1,328

(9.35)

где !=2х.

Силу трения, действующую по обе стороны пластины длиной /, получим, вычисляя интеграл

/

Р= 2 |тсс1х - 1,328 0

  • (9.36)
  • 8 = 5 /—;5* = 1,72 1—;8** = 0,664 1УХ

и

о

и

о

и

о

Опытные данные И. Никурадзе позволили получить формулы

„ _ 1,315 ^ _ 1,319

(9.37)

Таким образом, теоретические расчеты практически полностью совпадают с результатами экспериментальных исследований.

Однако формула (9.34) дает неправильные результаты при х—>0, так как при х=0 тс—>оо, тогда как при всех х<0 должно быть тс=0. Следовательно, на переднем крае пластины функция тс(х) терпит разрыв. Это обусловливается тем, что в этой области нарушается

и уравнения Прандтля в этой

ди„ ди„

основная предпосылка

«

дх ду

области течения неприменимы. Необходимо отметить, что теория

пограничного слоя Прандтля применима лишь при больших числах Ые. Для малых чисел Яе получена уточненная формула [5]

(9.38)

^ 1,328 4,18

С — —--1—-—

м ^ Ке

Результаты вычислений по (9.38) хорошо согласуются с опытными данными при Яе>10.

Рассмотрим приближенный метод решения задачи об обтекании плоской пластины. Допустим ^(х)=Цо=соп8Т Уравнение импульсов (9.29) примет вид

* *

бх

Р«0

(9.39)

Здесь

= !Ь-

о ио

и

  • (1у .
  • (9.40)

Для решения уравнения (9.39) зададимся следующим законом распределения скорости их:

их—ао+ау+а^у223+...+апуп. (9.41)

Коэффициенты я, (/=0,1,2,3,...,п) найдем из граничных условий. Очевидно, что количество членов полинома должно соответствовать количеству граничных условий, которые имеют вид

их(х, 0;=0; их(х, Ь) =и0;

(9.42)

Рассматривая вторые производные от их при у=0 и у=Ь, получим еще два уравнения.

Таким образом, для аппроксимации скорости можно использовать полином четвертой степени (/=0,1,2,3,4). Такую аппроксимацию применил Польгаузен (1921 г.), давший практический метод расчета ламинарного пограничного слоя на основе интегрального соотношения.

Ограничивая полином (9.41) пятью членами и внося его в каждое из граничных условий (9.42), получим пять алгебраических линейных уравнений, из которых найдем неизвестные коэффициенты

ао, Если ограничиться тремя членами полинома, то получим

ао~0; а1 = ——; а2 = —1у, следовательно,

5 8

их(у)=2и 07 + г/'

_о . „ _ио

(9.43)

ҐУЛ

л

Зная их(у), находим 5** из (9.40) и тс из закона вязкостного трения:

8** = — 8;

= м

ди

X

ду

= 2

и0

(9.44)

т=0

Используя уравнение импульсов (9.39), определяем 5:

  • 1 б/8
  • 15 с1х р«о^

и

  • 5 = 5,48.
  • (9.45)

и

о

Подставляя (9.45) в (9.44), получаем закон изменения касательного напряжения

тс = 0,3652

№<о

х

(9.46)

При четырех членах полинома (9.41) имеем

  • (9.47)
  • (9.48)
  • 6 = 4,64.1—;гс =0,361,1^2-. и0 V х

Используя, пять членов полинома (9.41), получим

тс - 0,343

ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ТУРБУЛЕНТНЫЙ. СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Характер пограничного слоя существенно зависит от режима обтекания, определяемого числом Яс. При Яе>Яекр возможно нарушение ламинарного характера течения внешнего потока и возникновения в нем турбулентности. Критическое число Рейнольдса определяет границу устойчивости ламинарных потоков, но не предопределяет фактический переход к турбулентности. Этот переход в зависимости от условий опыта может происходить и при Яе»Яекр.

Особый интерес представляет неустойчивость ламинарного течения и возникновение турбулентности в пограничном слое. На практике встречаются смешанные пограничные слои с участками ламинарного и турбулентного режимов. Для расчета таких слоев необходимо знать размеры переходной зоны или положение точки перехода.

Рассмотрим обтекание турбулентным потоком плоской пластины (рис. 9.6).

Рис. 9.6

На передней кромке пластины пограничный слой - ламинарный,

так как щ и 5 малы, а значит, мало и число Яеб =

W0S ту

- — . Как показы-

v

вают опыты, переход к турбулентному режиму на пластине наблюдается при

Яе = = (3,5 ч- 5)• 105 4- 3 • 106 . (9.49)

н V

Положение точки (или зоны) перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный определяется из выражения (9.49) и зависит от следующих факторов:

  • - скорости внешнего потока щ
  • - степени турбулентности обтекающего потока, который опре-

деляется отношением

и

V

- распределения (градиента) давления

V с1х у

вдоль обтекаемой

ЧУ ЧУ

криволинеинои поверхности

/ф

ф

б/х

, так как и=/(х). В области по

ложительных градиентов

V

б/х

>0

)

обычно происходит переход к

турбулентному режиму.

г фл

V б/х у

зависит от кривизны обтекаемой по

верхности;

- шероховатости и волнистости обтекаемой поверхности, которые влияют на переход вследствие внесения возмущений.

При очень больших числах Ые (К.е>3-106) практически вдоль всей пластинки образуется турбулентный пограничный слой. Таким образом, внутри пограничного слоя течение может быть ламинарным, турбулентным или смешанным. Сила трения, определяемая касательным напряжением, в ламинарном слое гораздо меньше, чем в турбулентном, так как в последнем т = т^ +14. Для уменьшения

сопротивления необходимо увеличивать участок ламинарного пограничного слоя, поэтому вопрос о нахождении точки перехода имеет большое практическое значение.

Структуру пограничного слоя можно представить следующим образом (рис. 9.7):

  • - ламинарный (вязкий) подслой (8Л), прилегающий непосредственно к твердой поверхности;
  • - промежуточная (буферная) область;
  • - внешняя область турбулентного пограничного слоя.

В вязком подслое течение не является чисто ламинарным, однако распределение скорости их(у) подчиняется линейному закону

их

Чл

К»)

у. Между вязким подслоем и внешней областью турбу

лентного пограничного слоя не существует резкой границы.

Внешняя область

их(у)

Логарифмическая зависимость

Вязкий Промежуточная Линейная

подслой область зависимость

Рис. 9.7

_ ч .

т

7Г///////X///V/

~7~7‘

?>

Переход к логарифмическому (показательному) профилю распределения скорости их(у) происходит плавно с образованием промежуточной области.

  • [1] 9.4. РАСЧЕТ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
  • [2] Гидродинамическая задача расчета пограничного слоя сводится к построению профиля продольной скорости внутри пограничного слоя, определению толщины самого пограничного слоя и к отысканию касательного напряжения (напряжения трения) тс на твердой поверхности. Зная закон распределения касательного напряжения, определяют силу сопротивления трению Эта задача может решаться двумя путями в соответствии с двумя видами уравнений пограничного слоя.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >