АНАЛИЗ И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Оценка случайных погрешностей измерений навигационных элементов

Случайные погрешности оцениваются только вероятностно, т.е. с указанием вероятности невыхода за заданные пределы

Р(-А < А < +Д ).

3 3

Вероятностная оценка величины случайных погрешностей возможна только в том случае, если известен закон их распределения.

Закон распределения случайных погрешностей определяет соотношение, устанавливающее связь между величиной погрешности и вероятностью ее появления. Этот закон описывается или плотностью распределения ср(Д), характеризующей степень группирования случайных погрешностей относительно нулевой погрешности, или функцией распределения /Д)= Р(А<А^, определяющей вероятность появления случайной погрешности Д, не превышающей по величине заданное значение Д3.

Если среди случайных факторов, формирующих погрешности измерении навигационных элементов, нет доминирующих, то можно считать, что эти погрешности подчиняются закону нормального распределения, который широко применяется в практике судовождения для оценки точности измерений и навигационной безопасности плавания.

Плотность распределения погрешностей, подчиняющихся этому закону, описывается функцией

(3.1)

где о — параметр нормального закона распределения — средняя квадратическая погрешность (СКП);

е — основание натуральных логарифмов (е~ 2,7).

График плотности нормального распределения, составленный по формуле (3.1), показан на рис. 3.1.

Средняя квадратическая погрешность (СКП) соответствует такой случайной погрешности, ордината которой проходит через точку перегиба кривой ф(Д). Чем меньше СКП, тем плотнее группируются случайные погрешности измерения около нулевого значения.

Функция распределения нормального закона определяет вероятность появления погрешности в пределах от 0 до Д . Она выражается определенным интегралом:

ТД) = />(Д<Д3) =

(3.2)

Вероятность появления погрешности, величиной от0до±Дз, численно равна заштрихованной площади на рис. 3.1.

С целью упрощения и сокращения таблиц интеграла (3.2) вводится безразмерная величина

(3.3)

где Z— нормированная в долях СКП случайная погрешность. Тогда формула (3.2) приобретет вид

(3.4)

Численные значения интеграла вероятностей (3.4) приведены в табл. 4.7 МТ-2000.

Пример 3.1

Средняя квадратическая погрешность измерения пеленга с помощью оптического пеленгатора а = 0,5°. Определить вероятность появления погрешности компасного пеленга, не превышающей А = 1,0°.

?3

Решение: д

1. Рассчитывается Z = —

о

2. Из табл. 4.7 МТ-2000 по Z = 2 выбирается вероятность Р = 0,954 (95,4%).

Пример 3.2

Средняя квадратическая погрешность измерения компасного пеленга о = 0,5°. Определить величину погрешности, соответствующую вероятности появления 99,7%.

Решение:

  • 1. Из табл. 4.7 МТ-2000 по Рз = 0,997 выбирается Z = 3,0.
  • 2. Рассчитывается искомая погрешность А = Za = 3,0 0,5 = 1,5°.

Случайные погрешности, подчиняющиеся закону нормального распределения, обладают следующими свойствами:

  • • появление погрешностей, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку, равновероятно;
  • • большие по величине случайные погрешности менее вероятны, чем малые;
  • • вероятность появления погрешности, большей некоторого предела, ничтожно мала;
  • • при большом количестве измерений средняя арифметическая погрешность стремится к нулю, так как в этом случае погрешности взаимно компенсируются.

Последнее свойство широко используется в практике судовождения при расчете вероятнейших значений навигационных элементов.

Закон равномерного распределения случайных погрешностей применяется для вероятностной оценки точности отсчета по шкале прибора, величины линейного смещения судна с оси створа, случайной погрешности интерполяции при выборке величин из таблиц и в других случаях, когда погрешности распределены в пределах определенного интервала (например, между границами одного деления шкалы прибора). В этом случае появление любой погрешности в этом интервале равновероятно, а выходящей за его пределы — невозможно. Функция плотности равномерного распределения показана на рис. 3.2. Она всегда имеет вид прямоугольника.

-Д -/ 0 +1 +А

Рис. 3.2

Из этого закона следует, что вероятность нахождения случайной погрешности внутри интервала от —/ до +/ равна единице, т.е.

(3.5)

Так как ф,(Д) = соп81, то

<р,(Д)|

-/

т.е.

(3.6)

Если в формулу (3.5) подставить значение плотности распределения (3.6) и пределы интегрирования, соответствующие заданной вероятности Д , то

з 5

(3.7)

Так как квадрат СКП равен дисперсии случайной величины О(Ц),

7 -/ )

1 тг-}

^ пр лев/

и)-

12

о =

  • 4/2 /2
  • • = — = —, то 12 3
  • (3.8)

Вероятность появления погрешности, не превышающей СКП, определяется, если в формулу (3.7) подставить значение

/>(д <а) =

/

/Vз

Пример 3.3

Отсчет пеленга снимается по шкале картушки компаса с делениями через 1,0°. Определить, с какой вероятностью отсчет пеленга будет содержать случайную погрешность, не превышающую 0,2°.

Решение:

  • 1. 21= 1,0°, т.е. /= 0,5°, Д. = 0,2°.
  • 2. По формуле (3.7) Р = ~1~ = ~о1’ = 0,4(40%).

Пользуясь формулой (3.7), можно решить и обратную задачу — определить погрешность, соответствующую заданной вероятности. Из примера 3.2:

Решение: Д = Рл •/ = 0,4-0,5 = 0,2°.

Средняя квадратическая погрешность навигационного элемента

В соответствии с законом нормального распределения случайных погрешностей: чем выше точность измерений, тем теснее группируются погрешности около нулевого значения. Следовательно, этот закон выступает как показатель точности измерений через единственный параметр — среднюю квадратическую погрешность а. Эта величина является вероятностным показателем точности измерений.

Из курса теории вероятностей:

• квадрат средней квадратической погрешности равен дисперсии случайной величины:

а2 = ЩГ)

• дисперсия — математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины:

о(и) = м[и-м(и)]2. (39)

Таким образом, средняя квадратическая погрешность — вероятностная оценка случайной погрешности, численно равная корню квадратному из дисперсии.

Приближенным значением математического ожидания является среднее арифметическое, полученное по результатам измерений.

Поэтому величину а можно заменить приближенным статистическим аналогом

т -

п-1

(3.10)

где ?/ — среднее арифметическое (вероятнейшее) значение навигационного элемента;

п — количество измерений навигационного элемента (/.

и^-^и^мт (з.п)

п /=1

Под корнем формулы (3.10) стоит квадрат средней случайной погрешности. Отсюда и название «средняя квадратическая погрешность».

Величина т отличается от а тем, что зависит от количества измерений. Поэтому она является не средней квадратической погрешностью, а ее статистической оценкой. При п —> °° величина т стремится к а. Так как в судовождении истинное значение измеряемых в процессе плавания навигационных элементов практически неизвестно, то при расчетах и в практическом приложении используется величина т. Она используется для расчета СКП по отклонениям измеренных величин от среднего арифметического.

Пример 3.4

Судно стоит на рейдовой бочке и на якоре и производит калибровку НРЛС по радиолокационному отражателю. В результате измерений получены следующие параметры (табл. 3.1).

Рассчитать СКП навигационных параметров (РЛ П и /);) по отклонениям от среднего арифметического (вероятнейшего) значения.

Таблица 3.1

Навигационные параметры

Параметры

Величина параметров

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

РЛП, град

26,1

26,9

25,4

26,3

25,8

25,6

26,2

26,4

26,0

25,1

26,2

о. кб

56,8

56,5

55,9

56,6

55,2

55,8

55,4

55,0

55,9

56,2

55,1

Расчеты удобнее делать по следующей схеме (табл. 3.2) [6]:

Таблица 3.2

Расчет СКП навигационных параметров

РЛП, град

О , кб

Р5

№ п/п

и

1

| и - и |

сч

I

эг

№ п/п

и

1

и -и |

(Ц-Ц,)2

1

26,1

0,1

0,01

1

56,8

0,95

0,9025

2

26,9

0,9

0,81

2

56,5

0,65

0.4225

3

25,4

0,6

0,36

3

55,9

0.05

0,0025

4

26,3

0,3

0,09

4

56,6

0,75

0,5625

5

25,8

0,2

0,04

5

55,2

0,65

0,4225

6

25,6

0,4

0,16

6

55,8

0,05

0,0025

7

26,2

0,2

0,04

7

55,4

0,45

0,2025

8

26,4

0,4

0,16

8

55,0

0,85

0,7225

9

26,0

0,0

0,00

9

55,9

0,05

0.0025

10

25,1

0,9

0,81

10

56,2

0,35

0,1225

11

26,2

0,2

0,04

11

55,1

0,75

0,5625

I

286,0

2,52

I

614,4

3,9275

- 0,63 кб.

ш.

—^ = [/, = 26,0°; трш

ъи.

и =-= 55,85 кб; т

в 5

Среднюю квадратическую погрешность можно рассчитать другим способом — по размаху результатов измерений.

Размах —разность между максимальным IIтах и минимальным итт результатами измерений в данной серии.

я = и -и

тах тт

Математическое ожидание нормированного относительно СКП размаха зависит от количества измерений.

Для расчета СКП измерений по размаху при п < 15 служит табл. 4.5 МТ-2000. Из таблицы по количеству измерений п выбираются коэффициенты Кх и К- и рассчитываются:

• СКП одного измерения

М = К ? я-

X X 1

• СКП среднего арифметического

М--К- Я.

х х

Приближенно можно рассчитать Мх и М- с использованием

и К = —.

П

Пример 3.5

Результаты измерений РЛП — из примера 2.1. Рассчитать СКП одного измерения РЛП и среднего арифметического.

• Вычисляется размах измерений

Я = 26,9°- 25,1° = 1,8°.

• Из табл. 4.5 МТ-2000 по количеству измерений п= 11 выбираются:

АТ. = 0,32;

К- =0,10.

А'

• Рассчитывается СКП одного (любого) измерения РЛП:

М = 0,32 • 1,8° = 0,576° = 0,6°.

X

Рассчитывается СКП среднего арифметического РЛП:

М- = 0,10 • 1,8° = 0,18°« 0,2°.

А

Приближенный расчет:

М == 1^1 = о,542°-0,5°; х^п4п

А/- = — = — = 0,164 = 0,2°. х п 11

Расчет СКП измерения на ходу корабля наиболее просто выполняется с помощью графика (рис. 3.3), на который наносятся точки, соответствующие измеренным навигационным параметрам и. и времени их измерения Тг

Рис. 3.3

Затем проводится осредняющая линия. С графика снимаются отклонения от осредняющей прямой линии, и по ним рассчитываются СКП.

Если используется способ по размаху, то модуль размаха рассчитывается как сумма двух разнонаправленных максимальных отклонений (по абсолютной величине).

Средней квадратической погрешности соответствует определенная вероятность ее появления. Если погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения, то приняв заданное значение Дз равным среднему квадратическому о, по формуле (3.3):

о о

Значению Z= 1 соответствует вероятность Р = 0,683 (68,3%). Таким образом, вероятность того, что случайная погрешность измерения не превышает по величине СКП, составляет 68,3%.

Средняя квадратическая погрешность является удобным показателем точности измерений навигационных элементов, так как устойчива при изменении количества измерений и чувствительна к большим отклонениям, т.е. надежно их учитывает.

В практике судовождения истинное значение навигационного элемента известно крайне редко. Поэтому для оценки точности используется не средняя квадратическая погрешность о, а ее статистический аналог т, который в штурманском обиходе также называют СКП. При этом необходимо помнить, что при небольшом количестве измерений (п < 9) т недостаточно точно характеризует их погрешность. Однако в обычной навигации ее применение для расчетов и оценки навигационной безопасности вполне допустимо. Для точных аналитических расчетов следует использовать точное значение СКП (а), что имеет место главным образом при использовании специализированных ЭВМ.

Статистические оценки средних квадратических погрешностей навигационных элементов, приводимые в учебниках и руководствах, относятся к среднестатистическим, а не к конкретным условиям обстановки (степень оснащенности судна ТСН, квалификация оператора, гидрометеорологическая обстановка и т.д.). Поэтому эти погрешности целесообразно использовать для предварительных, ориентировочных расчетов и оценок. В реальных условиях плавания следует настойчиво изыскивать возможности для определения СКП навигационных элементов и накапливать эти данные для последующего использования.

Грубые ошибки навигационных измерений и способы их выявления

Для обеспечения высокой степени надежности результатов измерений навигационных элементов задаются такой вероятностью, чтобы ее дополнение до 100% соответствовало вероятности практически невозможного события, т.е. чтобы появление случайных погрешностей, превышающих предельную, было бы практически исключено.

При нормальном распределении случайных погрешностей за предельную погрешность, как правило, принимают погрешность, равную трем СКП. Этой погрешности соответствует вероятность 99,7%, т.е. вероятность появления погрешностей А > За составляет всего 0,3% (из тысячи измерений только три погрешности превышают За). Погрешности, превышающие предельную, не соответствуют закону нормального распределения. Считается, что они обусловлены промахами, и поэтому их называют грубыми ошибками.

В отличие от систематических погрешностей грубые ошибки искажают не все измеренные величины данной серии измерений, а только некоторые из них. Они должны быть выявлены и исключены из расчетов.

При большой серии измерений (п > 20) используется правило: каждый результат измерения, отклоняющийся от вероятнейшего (среднего арифметического) значения на величину более трех СКП, считается промахом.

Однако при решении задач кораблевождения количество измерений навигационных элементов редко превышает трех-семи. При таких малых сериях закон нормального распределения можно использовать лишь как приближенную основу для выявления промахов. Более надежные результаты получаются при использовании размаха [6].

Выявление грубых ошибок с использованием размаха

при неизвестной СКП

  • 1. Из п измерений навигационного элемента (приведенных к одному моменту) выбирается три результата:
    • • два экстремальных U и U . ;

г max тт’

  • • ближайший по величине к подозрительному из экстремальных Iss.
  • 2. Рассчитывается размах R= UU . ;
  • 3. Вычисляется разность проверяемого экстремального результата (/ (f/max или

    Umin) и ближайшего к нему U — U1.

Если U^-U' то проверяемый экстремальный результат грубой ошибки не содержит — промаха нет.

Если U - U' >QR, то проверяемый экстремальный результат содержит грубую ошибку Он исключается из дальнейшей обработки.

Численное значение коэффициента Q выбирается из табл. 4.6 МТ-2000 или из табл. 3.3, которая составлена для вероятности Р = 0,99.

Таблица 3.3

Численное значение коэффициента Q

п

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

О

0,99

0,89

0,78

0,70

0,64

0,59

0,56

0,53

0,50

0,48

0,44

0,39

Выявление грубых ошибок с использованием размаха при известной СКП

1. Рассчитывается нормированный (в СКП) размах

U

max

т

_min

т

2. Из табл. 3.4 выбирается предельный нормированный размах Z) (таблица рассчитана для Р = 0,99).

Таблица 3.4

Предельный нормированный размах

п

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

ZP

4,12

4,40

4,60

4,76

4,88

4,99

5,08

5,16

5,23

5,29

5,45

5,65

Если Z < Z , то грубой ошибки в измерениях нет. Если Z > Zp, то полученный размах /? не соответствует норме случайного закона распределения, т.е. в одном из экстремальных результатов измерений содержится грубая ошибка.

Систематическая и полная погрешности навигационного элемента

Систематическая погрешность Дс учитывается в виде поправки, которая определяется сравнением истинного (эталонного, действительного) значения навигационного элемента ио с вероятнейшим (средним арифметическим) ?/:

д =и -и.

с в о

Для устранения систематической погрешности иногда применяется прием перехода от одних навигационных элементов к другим. Например, два пеленга можно перевести в горизонтальный угол как разность этих пеленгов:

а = КП, -КП,.

На практике систематическая погрешность чаще определяется по ограниченному количеству измерений. Поэтому полной компенсации случайных составляющих не происходит и среднее арифметическое значение содержит случайную погрешность.

Следовательно, после введения поправки полная погрешность навигационного элемента Дп будет состоять из двух случайных составляющих:

  • • случайной погрешности измерений и обработки А;
  • • случайной погрешности общей поправки, которой исправлены все навигационные элементы данной серии измерений, До, т.е.

дп = д + д ,

П о5

Переходя к средним квадратическим погрешностям, получим

тп =^м220, (3.12)

где т и то — случайная и повторяющаяся (общая) погрешности, соответственно.

Например, измеренные пеленги на 2—3 ориентира (КП) исправлены общей поправкой (А ГК), которая содержит случайную по происхождению погрешность, обусловленную способом ее определения. Эта случайная погрешность войдет как общая во все исправленные этой поправкой гирокомпаса пеленги. Поэтому при отсутствии уверенности в достоверности поправки курсоуказателя лучше пеленги перевести в углы и определить место корабля (в этом случае) по двум горизонтальным углам, а не по трем пеленгам.

Среднестатистические погрешности основных навигационных параметров показаны в табл. 4.3 МТ-2000.

Взаимозависимость погрешностей навигационных элементов

Случайные погрешности однородных навигационных элементов, как правило, взаимозависимы не функционально, а завуалированно под влиянием многих частных и общих факторов. Эта взаимозависимость может быть обнаружена только статистическими методами. Такую взаимозависимость называют корреляционной. Наиболее распространенным источником корреляционной взаимозависимости являются погрешности определения общих поправок, вводимых во все значения навигационных элементов данной серии измерений.

Если в формировании погрешностей двух навигационных элементов участвуют только частные случайные факторы (например, только погрешности измерений), то такие погрешности являются независимыми. Следовательно, навигационные элементы в этом случае взаи-монезависимы.

Если же в таком формировании участвуют только повторяющиеся (общие) факторы, то обе погрешности состоят только из общей составляющей, а навигационные элементы зависимы функционально.

На практике наиболее распространенным является вариант, когда полные погрешности содержат и частные, и повторяющиеся составляющие, т.е. являются корреляционно взаимозависимыми.

Степень корреляционной взаимозависимости определяется соотношением повторяющихся (общих) и частных погрешностей. Количественным показателем корреляционной зависимости двух навигационных элементов является коэффициент корреляции

г =

(3.13)

При равноточных измерениях

г-

т2 + т

  • 2 ‘ О
  • (3.14)

В реальных условиях практического судовождения трудно выделить повторяющуюся составляющую полной погрешности навигационного элемента. Поэтому приходится пользоваться статистическими оценками из табл. 4.3 МТ-2000.

Коэффициент корреляции практически используется при обработке навигационной информации с помощью ЭВМ. Его количественная величина находится в пределах от 0 до 1:

  • г = 0, если то = 0, т.е. при отсутствии общих погрешностей;
  • г = 1, если т = 0, т.е. при отсутствии частных погрешностей.

При расчете обсервованных координат с помощью ЭВМ вводятся частные погрешности, а общие учитываются вводом коэффициента корреляции. При расчете погрешностей определения места по формулам используется полная СКП (тп).

Вероятнейшее значение навигационного элемента

Для повышения точности оцениваемого навигационного элемента его измеряют несколько раз. Результаты измерений при отсутствии промахов отличаются случайным образом.

Наиболее достоверной оценкой измеряемой величины и является оценка, обладающая тремя свойствами:

  • • несмещенностью;
  • • состоятельностью;
  • • эффективностью.

Оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равно действительному значению измеряемой величины, т.е.

(3.15)

где ио — оценка измеряемой величины;

ио — действительное значение измеряемой величины.

При несоблюдении равенства (3.15) оценка 0о имеет смещение (систематический сдвиг).

Несмещенная оценка будет состоятельной, если при большом количестве измерений квадрат ее СКП стремится к нулю, т.е. при н —у °° <з[, —> 0.

Эффективной называется несмещенная оценка, дисперсия которой минимальна, т.е.

ЭШ ) = гпіп.

По закону нормального распределения случайных погрешностей ми-нимальнои дисперсии соответствует максимальная плотность распределения или вероятности.

Поэтому оценка, обладающая свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности, называется вероятнейшей, т.е. наиболее достоверной с вероятностной точки зрения. Прежде чем вычислять вероятнейшее значение навигационного элемента, необходимо убедиться в отсутствии смещения, которое, как правило, является следствием промаха в измерениях или в обработке их результатов.

В общем случае СКП оцениваемого значения навигационного элемента рассчитывается по формуле

(3.16)

где ти СКП навигационного элемента, вычисленного по результатам измерении;

тАи СКП общей поправки, введенной для компенсации систематической погрешности (тдгк, и т.п.).

На ходу корабля результаты измерений навигационных параметров приводятся к одному моменту графически или введением поправки, которая рассчитывается по формуле

  • 60
  • (3.17)

где V — скорость хода корабля, уз.;

/ — интервал приведения, мин;

g, т — модуль и направление градиента навигационного параметра;

ПУ — направление линий пути;

ср — широта места корабля;

А — азимут светила.

Второе слагаемое формулы (3.17) учитывается только при измерении высот светил.

Оценка постоянного навигационного элемента по результатам непосредственных измерений

Навигационный элемент считается постоянным, если он не изменяется в течение интервала его измерения. Разброс результатов измерений в этом случае обусловлен только неточностью измерений.

Измерения взаимозависимы и неравноточны

Измерения навигационного элемента взаимозависимы, если наряду со случайными факторами, формирующими частные погрешности, существует общий случайный фактор, формирующий повторяющуюся для данной серии измерений погрешность.

Эти измерения неравноточны, если различны средние квадратические значения их полных погрешностей.

При эффективности и состоятельности оценки измеряемого навигационного элемента функция, определяющая плотность совместного распределения взаимозависимых величин, достигает максимума при

УСЛОВИИ « /; _

р = = (3.18)

/=1 7=1

где с.. — элементы матрицы, обратной по отношению к корреляционной матрице;

/,У — порядковые номера взаимозависимых измерений; и., и — навигационные элементы, полученные в результате измерений;

и — искомая оценка результатов измерений;

п — количество измерении.

Выражение (3.18) — однородный многочлен второй степени относительно переменных и{ ни называемый квадратичной формой. Поэтому метод нахождения вероятнейшего результата измерений из условия минимума квадратичной формы называется методом наименьших квадратов.

Условие (3.18) обеспечивает максимальную вероятность совместного появления данной совокупности навигационных элементов. Поэтому найденное из этого условия значение навигационного элемента будет вероятнейшим.

Рабочая формула для расчета вероятнейшего значения навигационного элемента при неравноточных взаимозависимых измерениях:

(3.19)

где N — общее количество слагаемых, равное количеству всех возможных парных сочетаний из / и у, т.е.

N — .

Трудоемкость расчетов элементов корреляционной матрицы осложняет практическое применение этого метода без использования вычислительной техники. Отсюда следует, что при определении места корабля по однородным навигационным параметрам, которые, как правило, взаимозависимы, надо стремиться, чтобы они были равноточными, что позволит упростить расчеты.

Средняя квадратическая погрешность вероятнейшего навигационного элемента в этом случае рассчитывается по формуле

(3.20)

где т{Х) — средняя квадратическая погрешность, приходящаяся на единицу элемента с..:

Ьм-и,){и,-и

(3.21)

п-1

При малом количестве измерений (п < 5), а также при априорной оценке принимается тв) = .

Измерения равноточны

Равноточность навигационных элементов означает, что их частные и повторяющиеся (общие) погрешности одинаковы, т.е. коэффициент корреляции постоянен.

Вероятнейшее значение навигационного элемента при таких условиях совпадает со средним арифметическим независимо от величины коэффициента корреляции:

(3.22)

Средняя квадратическая погрешность вероятнейшего значения навигационного элемента при взаимозависимых равноточных измерениях рассчитывается по формуле

(3.23)

где п — количество измерений;

т — частная СКП навигационного элемента;

то повторяющаяся (общая) СКП навигационного элемента.

Из формулы (3.23):

• увеличением количества измерений компенсируется только частная СКП.

Эффективность осреднения определяется коэффициентом осреднения

(3.24)

где г — коэффициент корреляции;

п — количество измерений навигационного элемента.

Из формулы (3.24):

  • • максимальный эффект осреднения в у/п раз будет при г = 0, т.е. при отсутствии повторяющейся погрешности то;
  • • при г « 1, Кэ = 1, т.е. при наличии только повторяющейся погрешности осреднение эффекта не дает.

При равноточных и независимых измерениях (г = 0) формула (3.23) приобретает вид

(3.25)

т.е. чем больше независимых равноточных измерений, тем меньше СКП вероятнейшего навигационного элемента.

Например, при определении маневренных элементов судна на мерной линии наблюдатели должны запускать и останавливать секундомеры не по команде, а самостоятельно (независимо). Чем больше этих наблюдателей, тем меньше погрешность определения скорости хода.

Неравноточные и независимые измерения

Неравноточность измерений навигационных элементов означает, что их СКП различны по величине, а относительную точность определяет вес

/> = -к (3.26)

т2

I

Он же характеризует надежность измерений, т.е. чем больше вес, тем с точки зрения точности надежнее навигационный элемент.

Вероятнейшее значение навигационного элемента, вычисленное по неравноточной информации, в отличие от среднего арифметического называют средним взвешенным:

(3.27)

Средняя квадратическая погрешность вероятнейшего значения навигационного элемента в этом случае рассчитывается по формуле

бб

/77 =

Ы(и-и.)

(3.28)

при п <5 можно пользоваться упрощенной формулой

(3.29)

Расчет необходимого количества измерений навигационного элемента

При оценке навигационной информации для решения практических задач судовождения может возникнуть потребность определения необходимого количества измерений однородных навигационных элементов, чтобы погрешность вычисленного по ним вероятнейшего значения (/ не превышала заданной предельной величины Д .

Расчеты делаются по формуле

(3.30)

п-

т2п{-г)

  • 2 2 5
  • 171 — 771 Г

,пи П

В

где тп — полная СКП единичного измерения навигационного элемента; т[] — СКП вероятнейшего значения навигационного элемента; г — коэффициент корреляции.

Если коэффициент корреляции выразить через частную и повторяющуюся погрешности (по формуле (3.13)), то

п = т2 (3.31)

2 2 771п - 771

и„ о

Если требуется определить количество измерений с заданной погрешностью и с заданной вероятностью, то формулы (3.30) и (3.31) приобретают вид:

(3.32)

г2т2п(-г)

А2 -12т-У

пр П

п -

(3.33)

где Z— из табл. 4.7 МТ-2000 по заданной вероятности Рз;

Дпр — погрешность, за пределы которой с заданной вероятностью СКП выйти не должна.

Если повторяющиеся погрешности то отсутствуют = 0), т.е. тп = т, то формула (3.32) примет вид

п-

А

V пр

(3.34)

где т — частная погрешность единичного измерения.

Пример 3.6

Измеряются пеленги на ориентир по гирокомпасу. Полная погрешность тп =0,6°. Коэффициент корреляции г = 0,3.

Рассчитать необходимое количество измерений, чтобы погрешность вероятнейшего пеленга с вероятностью 0,95 не превысила 1,0° (А < 1,0°).

Решение:

  • • из табл. 4.7 МТ-2000 по Рз = 0,95 выбирается Z= 1,96;
  • • по формуле (3.32)
  • 3,84 0,36 0,7 0,97 , , „

п =-=-= 1,6 — 2 измерения

1-3,84 0,36 0,3 1-0,41

Если считать, что повторяющаяся (общая) погрешность то отсутствует, то в нашем примере тп=т = 0,6°. По формуле (3.34)

п =

/1,96 • 0,6 Л

= 1,38 = 1-2 измерения.

V

Если предельное значение погрешности ограничить величиной 0,5° (Дпр < 0,5°), то по формуле (3.34)

п-

[ 1,96 • 0,6 л2

  • 0,5
  • 7

= 5,53 = 5-6 измерений.

На основании изложенного в гл. 3 можно сделать важный для практики судовождения вывод: для надежного обеспечения навигационной безопасности плавания судна следует использовать разнородную информацию о навигационных элементах. Например, определять место судна с помощью разнородных ТСН, использовать средние (сглаженные) показания нескольких курсоуказателей (гирокомпас, гироазимут) и т.п. Обработка и оценка точности независимой информации упрощается и возможна без использования вычислительной техники.

Вопросы для самопроверки

  • 1. Для оценки каких навигационных измерений применяется закон равномерного распределения?
  • 2. Как производится выявление грубых ошибок с использованием размаха при неизвестной СКП?
  • 3. Как производится выявление грубых ошибок с использованием размаха при известной СКП?
  • 4. Какими свойствами должна обладать достоверная оценка измеряемой величины?
  • 5. Как производится расчет необходимого количества измерений навигационного элемента?
  • 6. Из каких составляющих состоит полная погрешность навигационного элемента?
  • 7. Какие измерения навигационного элемента являются взаимозависимыми?
  • 8. Что означает равноточность навигационных элементов?

АНАЛИЗ И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОБСЕРВОВАННОГО МЕСТА СУДНА

Оценка точности линии положения

При анализе и оценке точности обсервованного места исследуются погрешности не изолиний, а линий положения.

Линия положения (ЛП) — это спрямленный участок навигационной изолинии, расположенный вблизи расчетной точки. В качестве линии положения чаще используется линия, касательная к навигационной изолинии в определяющей точке К, расположенной на кратчайшем расстоянии от расчетной точки. В качестве расчетной точки обычно принимается счислимое место судна, а координатными осями — меридиан и параллель (рис. 4.1).

Метод определения места корабля по линиям положения применим при использовании навигационных параметров любого вида и при любом удалении от ориентиров. Поэтому его называют обобщенным методом линий положения.

Уравнение линии положения в общем виде:

(4.1)

а А ср + Ьу = /,

где а =

1 = и-и ;

с ’

Дф — разность широт счислимого и обсервованного мест; н> — отшествие, т.е. отстояние в морских милях меридиана обсервованного места от меридиана счислимого по параллели;

и и (/ — обсервованный (исправленный поправками) и счислимый навигационные параметры.

Уравнение линий положения в общем виде используется для расчета Дф и ДА, в специализированных ЭВМ.

Уравнение линии положения в нормальном виде:

ДфсоБТЧ-н^тт = п, (4.2)

где т — направление градиента навигационного параметра относительно оси ординат (истиного меридиана);

п — перенос линии положения, т.е. отстояние обсервованной линии положения (соответствующей обсервованному навигационному параметру) от исходной (счислимой) точки.

Уравнение линии положения в нормальном виде используется для определения места корабля методом линий положения графоаналитическим способом. Угол т и перенос п называют элементами линии положения.

Для расчета средней квадратической погрешности (смещения) линии положения в зависимости от величины погрешности навигационного параметра применяется понятие градиента навигационного параметра (см. рис. 4.1).

Градиент навигационного параметра — вектор, характеризующий максимальное изменение навигационного параметра в данной точке при смещении линии положения параллельно самой себе на единицу длины. Его численное значение равно геометрической сумме частных производных от функции по направлениям координатных осей:

(4.3)

т.е. коэффициенты а и Ь являются проекциями градиента навигационного параметра на координатные оси. Из рис. 4.1:

я = ?С08Т, b = gsmт.

Из определения:

АЦ

дли’

(4.4)

т.е. градиент — коэффициент пропорциональности между величиной изменения навигационного параметра и смещением линии положения.

Он всегда направлен по нормали к линии положения в сторону увеличения навигационного параметра.

Из выражения (4.4) следует, что если разность оцифровки двух соседних изолиний А, между которыми находится обсервованное место корабля (при определении места по карте с сеткой изолиний), разделить на расстояние между ними Ь, то получим численное значение градиента, т.е. в этом случае

А

8

Ь

Направления и модули градиентов основных навигационных параметров показаны в табл. 5.47 МТ-2000.

Переходя к средним квадратическим погрешностям, выражение (4.4) можно переписать:

(4.5)

где тт средняя квадратическая погрешность (смещение) линии положения;

ши средняя квадратическая погрешность навигационного параметра.

Смещение линии положения равновероятно в противоположные стороны, так как СКП навигационного параметра равновероятна со знаками «плюс»и «минус».

Ширина полосы, в которой с заданной вероятностью находится линия положения, рассчитывается по формуле

Я = 27/илп, (4.6)

где Z — вероятностный коэффициент (нормированная погрешность), который выбирается по величине заданной вероятности Рз.

Осевой линией полосы является обсервованная линия положения. Средняя квадратическая погрешность линии положения по заданному направлению //' (рис. 4.2) называется векториальной (тД Из рис. 4.2

т

лп

(4.7)

чпа

где а — угол между линией положения и заданным направлением //'.

При а*90° т, >тш; при а = 90° т1 = /ялп, т.е. средняя квадратическая погрешность линии положения является минимальной из всех возможных векториальных погрешностей.

Линии положения, соответствующие взаимозависимым навигационным параметрам, являются также зависимыми. Коэффициент кор-

реляции линий положения равен коэффициенту корреляции обсерво-ванных навигационных параметров, т.е.

Таким образом, погрешность навигационного параметра вызывает смещение линии положения, прямо пропорциональное этой погрешности и обратно пропорциональное градиенту навигационного параметра. Взаимозависимость линий положения соответствует зависимости навигационных параметров [6].

Разностная линия положения

Если навигационные параметры содержат преобладающую повторяющуюся (общую) погрешность, т.е. т>3т и г = 1, то при определении вероятнейшего места корабля относительно фигуры погрешностей используются разностные линии положения.

Разностная линия положения (РЛП) — линия, соединяющая точку а пересечения двух изолиний с точкой ах пересечения смещенных линий

А Д „

положения по направлению градиентов на величины — и —. Величием <§2

на А — произвольное, но одинаковое изменение навигационного параметра (рис. 4.3).

лп

РЛП

Рис. 4.3

Если линии положения равноточны, то разностная линия положения совпадает с биссектрисой угла между градиентами (Ат). При наличии трех линий положения разностные линии положения всегда пересекутся в одной точке. Если место определяется по четырем и более навигационным параметрам, то разностные линии положения пересекутся в одной точке лишь при отсутствии частных погрешностей. Поэтому определение места корабля по четырем навигационным параметрам позволяет делать вывод о наличии или отсутствии частных погрешностей измерений и обработки этих параметров.

Уравнение разностной линии положения соответствует разности уравнений двух исходных линий положения:

12)д<р + (?1-62)м' = /1-/2, (4.8)

где XV — отшествие.

Коэффициентами РЛП являются

Аа = ау - а2 и АЬ = Ь^-Ь2,

а свободный член - /2 = А(7 - АИс.

Из уравнения (4.8) следует:

• если исходные навигационные параметры содержат повторяющуюся погрешность, то при образовании разностной линии положения она исключается, т.е.

+ДоН-'г

Таким образом, уравнение разностной линии положения не содержит повторяющейся (общей) погрешности. Это свойство РЛП широко используется при определении вероятнейшего места судна относительно фигуры погрешностей.

Эллиптическая погрешность обсервованного места

Случайные погрешности навигационных параметров обусловливают случайную по направлению и величине погрешность обсервованного места, которую можно разложить по осям координат Дер и Дуг. Постоянство вероятности совместного появления двух взаимозависимых нормально распределенных линейных погрешностей Дф и Дуг обеспечивается при условии

+

2 г • А • А

ф, W Ф W

тт

ф W

= const.

(4.9)

Уравнение (4.9) — уравнение эллипса. Векториальные погрешности места, концы которых лежат на линии эллипса, равновероятны, т.е. эллипс является фигурой случайного рассеивания погрешностей мест.

Эллипс сС= 1 называют средним квадратическим или стандартным. Его элементами являются полуоси а и Ь и угол ориентировки т (рис. 4.4).

Элементы среднего квадратического эллипса погрешностей (я, Ь, т) можно рассчитать с помощью специализированной вычислительной техники или по табл. 4.11 МТ-2000.

Аргументами для входа в таблицу служат:

• априорное значение коэффициента корреляции навигационных

параметров; т пп

• коэффициент X =-!- < 1, где тпп , тпп , — полные СКП линий

уу» Л,|1 Л 2

"[1]лп2

положения (тяп — СКП более точной линии положения);

• угол 0 между направлениями градиентов линий положения.

Из табл. 4.11 МТ-2000 выбираются:

• коэффициенты Ка и Кь для расчета полуосей среднего квадратического эллипса:

а = Катшг Ь — КьЛП|,

• угол ср, определяющий направление большей оси эллипса.

Угол ф откладывается от более точной линии положения; при положительном значении ф — внутрь угла Ат, а при отрицательном — внутрь угла, равного 180° — Ат.

Полуоси эллипса погрешностей, соответствующего заданной вероятности Р, рассчитываются по формулам:

а = с - а:

и”

о = с ? а,

р

где с — коэффициент, выбираемый из табл. 4.12 МТ-2000 по заданной вероятности.

При независимых навигационных параметрах средний квадратический эллипс можно построить приближенно:

• сместить параллельно линии положения в ту и другую стороны на величины:

/77

/77 =

тЛП,

гпих

/77 =

§2

• в образовавшийся параллелограмм вручную вписать эллипс так, чтобы он касался сторон параллелограмма в точках их пересечения с исходными линиями положения.

При определении места корабля по двум навигационным параметрам с преобладающей повторяющейся погрешностью о >3т, г~)

средний квадратический эллипс превращается в отрезок прямой линии длиной 2а. Графически это можно показать так (рис. 4.5).

Линия 00, = а — длина большой полуоси эллипса, а малая полуось Ь = 0.

Вероятность эллиптической погрешности зависит только от величины С:

  • • при С = 1 (полуоси эллипса а и Ь) Р = 0,393;
  • • при С = 2 (полуоси эллипса 2а и 2Ь) Р = 0,865;
  • • при С = 3 (полуоси эллипса 3а и 3Ь) Р = 0,989.

Это означает, например:

• если принять размеры эллипса с величинами полуосей 2а и 2Ь, то можно считать, что с вероятностью 0,865 место судна находится в пределах этого эллипса.

Вероятность эллиптической погрешности можно рассчитать (показательная функция е '): с2

• величина л; принимается равной —;

Погрешность места судна по заданному направлению

При решении некоторых задач навигации требуется оценка погрешности места по заданному направлению:

  • • при плавании по ФВК, в узкости — по перпендикуляру к направлению оси ФВК, узкости;
  • • при проходе вблизи навигационной опасности, границы запретного района и т.п., по кратчайшему расстоянию до нее, т.е. по перпендикуляру к направлению линии пути.

Если точность места корабля оценивается эллиптической погрешностью, СКП по заданному направлению рассчитывается как сумма проекций полуосей эллипса на это направление (рис. 4.6) по формуле

(4.10)

где а — угол между большой полуосью эллипса и заданным направлением.

Коэффициент К1 для расчета СКП места по заданному направлению можно выбрать из табл. 4.16 МТ-2000 по аргументам:

• соотношению малой и большой полуосей эллипса

е -

Ъ

•>

а

• углу а между направлением большой оси эллипса и заданным направлением.

Погрешность по заданному направлению рассчитывается по формуле

т1=к1а-

Концы векторов погрешностей по всем направлениям образуют линию, называемую подерой эллипса. Если точность места оценивается радиальной средней квадратической погрешностью М, то

М =у1т1 +т =1,4тЛ , т.е. ть [1] 0,7М. (4.11)

Формула (4.11) используется, когда нет необходимости в особой точности расчетов.

  • [1] из МТ-2000 выбирается значение е 2 ; • выбранное число вычитается из единицы и получается искомая вероятность эллиптической погрешности. Эллиптическая погрешность применяется для оценки точности об-сервованного места при строгом и детальном анализе надежности судовождения, а также в тех случаях, когда требуется высокая точность оценки обсерваций. Она обладает следующими свойствами: • вероятность нахождения действительного места судна внутри эллипса больше, чем в любой другой фигуре с той же площадью; • погрешности места по разным направлениям внутри эллипса различны по величине, но вероятность их появления одинакова.
  • [2] из МТ-2000 выбирается значение е 2 ; • выбранное число вычитается из единицы и получается искомая вероятность эллиптической погрешности. Эллиптическая погрешность применяется для оценки точности об-сервованного места при строгом и детальном анализе надежности судовождения, а также в тех случаях, когда требуется высокая точность оценки обсерваций. Она обладает следующими свойствами: • вероятность нахождения действительного места судна внутри эллипса больше, чем в любой другой фигуре с той же площадью; • погрешности места по разным направлениям внутри эллипса различны по величине, но вероятность их появления одинакова.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >