Экономическая интерпретация прямой и двойственной ЗЛП

В теории линейного программирования доказан ряд теорем, устанавливающих взаимосвязь и необходимые и достаточные условия оптимальности допустимых решений прямой и двойственной задач. Доказано, в частности, что оптимальные значения целевых функций для прямой и двойственной задач совпадают.

Пример. Для исходной ЗЛП из подпараграфа 3.4.4 оптимальное значение максимизируемой целевой функции W0'пт равно (—12/5). Минимальное значение целевой функции /’двойственной задачи получим, подставив в выражение для нее F = 6yt - 4у2 оптимальные значения переменных: У = 0; у2 = 3/5. Как легко убедиться, результат подстановки тоже равен (—12/5).

Для уяснения содержательного смысла решения двойственной задачи обратимся к экономической интерпретации прямой ЗЛП (3.64). Рассмотрим с этой целью следующий пример.

Предположим, что предприятие вырабатывает п видов продукции. Для ее изготовления требуется т видов ресурсов — сырья, оборудования, рабочей силы и т.д. Имеющиеся объемы ресурсов каждого вида составляют Ь2, ..., Ьт. Для выработки единицы продукции j-го вида (/ = 1, 2, ..., п) необходимы затраты /-го ресурса в количестве dj (/= 1, 2, ..., т). Известна величина прибыли, получаемой от реализации единицы продукции j-го вида, равная су. Требуется определить объемы выпуска продукции каждого вида: соответственно хх, х2, ..., хп, при которых расход каждого из ресурсов не превышает заданного его количества, а суммарная прибыль от производства всех видов продукции окажется максимальной. Легко убедиться, что математической моделью этой задачи будет ЗЛП (3.64).

В рассмотренную схему укладывается целый ряд практических задач. Например, в задаче формирования производственной программы мебельной фабрики (подпараграф 3.1.1) различными видами продукции были шкафы, столы и стулья, а ресурсами — машинное время по каждому типу оборудования.

Пусть х,, х2,..хп — оптимальное решение исходной ЗЛП (3.64), а У ,у2, — оптимальное решение двойственной задачи (3.65).

Количество т переменных в ней равно числу видов ресурсов в прямой ЗЛП.

Для экономического анализа двойственной ЗЛП важны следующие положения, являющиеся основными следствиями теорем, доказанных в теории двойственности:

1) если в оптимальном решении исходной задачи некоторый /-й ресурс используется не полностью, т.е. имеет место строгое не-

п

равенство < то соответствующая переменная у, в опти-

У=1

мальном решении двойственной задачи равна нулю: у,- = 0. Если же данный ресурс согласно оптимальному решению расходуется полностью (соответствующее ограничение выполняется как строгое равенство), то значение у,- положительно;

2) как было отмечено выше, оптимальные значения целевых функций для прямой и двойственной задач совпадают. Тогда

т

Wby*

max is I •

i=1

Отсюда следует, что двойственная переменная у,, являясь коэффициентом при bI, характеризует зависимость максимального значения целевой функции исходной задачи от изменения ресурсов (речь идет об относительно малых изменениях их объемов). Действительно, из последнего равенства следует, что

У* = dJV^/db'-, i = 1,2, ..., т,

откуда

Англах ? y]*bh

Следовательно, величина двойственной переменной в оптимальном решении показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции исходной задачи, если бы количество данного ресурса увеличилось на единицу. (Двойственные переменные У,У2, Ут часто называют условными или двойственными оценками соответствующих видов ресурсов.) Поэтому наибольшую величину двойственной оценки в оптимальном решении будет иметь наиболее дефицитный ресурс. Ресурсу, имеющемуся в избытке, соответствует условная оценка, равная нулю.

Вернемся к примеру из подпараграфа 3.1.1, относящемуся к задаче формирования производственной программы.

Ее математическая модель представляет собой ЗЛП, описываемую соотношениями (3.1)—(3.5). Эта задача была решена симплекс-методом. Ее оптимальное решение: х{ = 360; х2 = 200; х3 = 400, т.е. максимальная прибыль будет получена при изготовлении 360 шкафов, 200 столов и 400 стульев. Соответствующее значение целевой функции равно 3200 руб.

Составим задачу, двойственную к данной ЗЛП. Она имеет следующий вид:

F = 250у] + 300у2 + З20у3 - 150у4 - 200у5 - 400у6 —> min;

  • 0,25у, + 0,18^2 + 0,24у3 - у4 >5;
  • 0,2у + 0,13>^2 + 0,13 - у5 > 3;
  • 0,3_У! + 0,11 у2 + 0,14у3 - у6 > 2; у, >0, / = 1,2,

Результаты ее решения:

= 3200.

* /-Ч

У = 20; у2 = Уз = У4 = °;^5 = = 4; ^

Нулевые значения переменных у2 и у3 свидетельствуют об избыточности ресурсов в ограничениях (3.3) и (3.4) прямой ЗЛП, т.е. ресурсов машинного времени для сверлильных и шлифовальных станков. В самом деле, подставив в них найденные выше оптимальные значения 2 их3, легко убедиться, что эти ограничения выполняются как строгие неравенства. В то же время значение У не равно нулю, что означает дефицит ресурса машинного времени для фрезерных станков — ограничение (3.2). Действительно, подставив в это ограничение оптимальные значения переменных прямой задачи, убеждаемся, что оно выполняется как равенство. Приняв во внимание найденное значение У = 20, можно сделать следующий вывод: увеличение ресурса машинного времени фрезерных станков на I ч и привело бы к получению 20 руб. дополнительной прибыли, в то время как увеличение ресурсов по двум другим видам оборудования не повлияет на сумму прибыли.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >