СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ

Рассмотрим задачу о загрузке оператора, для решения которой используются методы теории массового обслуживания. Пусть детали, изготавливаемые одновременно на нескольких фрезерных станках, поступают к оператору, который сортирует их по качеству. Нас будут интересовать параметры, характеризующие эффективность работы этой СМО. Прежде всего следует определить характеристики потока заявок, поступающих в систему; в данном случае — сортируемых деталей.

Предположим, что справедливы три допущения, существенно упрощающие задачу:

  • 1) статистический закон поступления заявок в систему одинаков в любые периоды времени; например, в начале и в конце рабочего дня, в разные дни недели. Поток заявок, для которого это условие справедливо, называется стационарным;
  • 2) в систему никогда не поступают одновременно два или более требований — условие ординарности потока заявок;
  • 3) заявки прибывают в систему независимо друг от друга — условие отсутствия последействия. Это условие для рассматриваемого нами объекта не будет выполняться, если, например, детали изготавливаются последовательно на одном и том же оборудовании и сразу же поступают на сортирование. Тогда интервал времени между любыми двумя деталями, поступающими на сортирование, не может быть меньше, чем минимальное время обработки изделия, и, следовательно, имеет место упомянутое последействие. Если, однако, минимальный интервал между заявками значительно меньше среднего интервала между их поступлениями, то последействием иногда можно пренебречь.

Пусть собраны статистические данные, обработка которых позволила рассчитать среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени. Эта величина называется интенсивностью потока заявок и обозначается через X. В нашем примере X — это среднее число деталей, поступающих на сортирование за одну минуту. Предположим, что эта величина равна 4.

Поток заявок, обладающий тремя перечисленными выше свойствами — стационарности, ординарности и отсутствием последействия, — называется простейшим, или пуассоновским. В теории вероятности доказано, что для такого потока можно рассчитать вероятность того, что за время t в систему придет п заявок, по формуле

РАО = е“Х,(Хг)”/»!.

Это статистическое распределение называется распределением Пуассона с параметром Х^

Теперь надо установить закон продолжительности обслуживания; в данном случае — затрат времени на сортирование деталей. Будем считать, что для времени Т обслуживания одной заявки, являющегося случайной величиной, справедливы все те же условия стационарности, ординарности и отсутствия последействия, что и для потока заявок, поступающих в систему. Тогда можно доказать, что эта случайная величина имеет так называемое показательное распределение. Это означает, что вероятность того, что время Т обслуживания одной заявки примет значение, меньшее, чем /, равна 1 — е'. Величина ц, входящая в эту формулу, представляет собой среднее число заявок, которое обслуживает система за единицу времени, будучи все время занятой. По аналогии с X, она называется интенсивностью потока обслуживания. Обратная величина — это среднее время обслуживания одной заявки Тср = 1 / ц.

Предположим, что в нашем случае среднее число деталей, которые оператор успевает рассортировать за 1 мин, равно р = 5. Соотношение X < р, которое в данном случае имеет место, является необходимым для того, чтобы в системе установился стационарный режим, характеризующийся постоянством статистических характеристик работы системы. Противоположное неравенство X > р означало бы, что система не справляется с обслуживанием заявок. В этом случае очередь заявок, ожидающих обслуживания, теоретически возрастала бы до бесконечности. При X = р стационарный режим будет наблюдаться, только если поток заявок регулярный, т.е. они появляются на входе системы через строго одинаковые промежутки времени, а продолжительность обслуживания — тоже детерминированная величина, в точности равная интервалу времени между приходом соседних заявок. В дальнейшем нам понадобится величина р = Л,/р, называемая приведенной интенсивностью потока заявок. В примере она равна р = 4/5 = 0,8.

Рассматриваемая нами система обслуживания относится к одноканальным СМО с неограниченной очередью. Для нее, а также для всех СМО, о которых пойдет речь ниже, будем полагать, что поток заявок является простейшим, а время обслуживания распределено по показательному закону. Единственным каналом обслуживания в приведенном примере является оператор, занятый сортированием. Слова «неограниченная очередь» означают, что ни на число заявок в очереди, ни на время ожидания не наложено никаких ограничений. В результате этого каждая заявка рано или поздно будет обслужена, а среднее число заявок Л, обслуживаемых данной системой в единицу времени при стационарном режиме ее работы, равно интенсивности потока заявок: А = Х.

В теории массового обслуживания для такой СМО выведены следующие формулы. Вероятностьр0 того, что в СМО нет ни одной заявки, то есть что канал обслуживания свободен, равна

Ро= 1-Р- (6-1)

Среднее число Ьс заявок в системе равно

4 = р/(1 - р). (6.2)

Средняя длительность пребывания заявки в системе IV равна

К = 4 А- (6-3)

Среднее число заявок в очереди Ьоч равно

4ч = р7(1-р)- (6.4)

Средняя длительность пребывания заявки в очереди ?оч равна

НГ„ = Ьт/Х. (6.5)

Формулы (6.1), (6.2) и (6.4) верны только для рассматриваемого здесь типа СМО — одноканальной, с неограниченной очередью, пуассоновским потоком заявок и с временем обслуживания, имеющим показательное распределение. В отличие от них, формулы (6.3) и (6.5) являются универсальными. Они справедливы для СМО любого типа, с произвольным характером потока заявок, любым распределением длительности обслуживания, ограниченной или неограниченной очередью.

Воспользуемся приведенными выше формулами для получения характеристик процесса сортирования деталей в рассматриваемой задаче о загрузке оператора. Для него имеем р0 = 1 — р = 1 — 0,8 = 0,2. Это означает, что 20% рабочего времени оператор простаивает. Согласно формулам (6.2) и (6.3) 4 = 0,8/(1 - 0,8) = 4; *4 = 4/4 = 1, то есть в среднем суммарное число деталей, находящихся в очереди и подвергающихся сортированию, равно 4, а время, затрачиваемое на сортирование вместе с его ожиданием, для одной детали равно 1 мин. Среднее число деталей, ожидающих сортирования (длина очереди), согласно (6.4) равно 4ч = 0,82/(1 — 0,8) = 3,2. Среднее время пребывания детали в очереди составит согласно (6.5) ?оч = 3,2/4 = 0,8 мин.

Предположим теперь, что пребывание деталей в очереди влечет за собой определенные издержки, в связи с чем возникает вопрос об увеличении числа операторов. Оплата их труда и проведение мероприятий, вызванных перестройкой процесса сортирования, также связаны с затратами. Поэтому можно говорить об оптимизационной задаче определения рационального числа операторов, исходя из минимума суммарных затрат. Сортирование деталей, выполняемое несколькими параллельно работающими операторами, рассматривается как процесс работы многоканальной СМО.

Приведем основные формулы для «-канальной СМО с неограниченной очередью и одинаковой интенсивностью обслуживания по всем каналам. Условием стационарного режима в ней служит неравенство р/п < 1. Предположим, что оно выполнено.

Вероятностьрй того, что в СМО нет ни одной заявки, равна

р0 = (1 + р/ 1! + р2/2! + ... + р" / п + р"+1/«!(« — р))-1. (6.6)

Среднее число занятых каналов, или среднее число заявок под обслуживанием, равно к = А,/р = р. Эта формула верна для любой СМО с неограниченной очередью. Среднее число заявок в очереди ?оч и среднее число заявок в системе Ьс определяются по следующим формулам:

п ? «!(1 - р/«)

  • 2 ’
  • (6.7)

к = к, + Р- (6-8)

Формулы (6.3), (6.5) и здесь остаются в силе.

Возвращаясь к задаче о загрузке оператора, рассчитаем по этим формулам основные характеристики процесса сортирования деталей при наличии двух операторов. Имеем, следовательно, двухканальную СМО: п = 2. Подставив это значение в формулу (6.6), найдем вероятность того, что в системе — в очереди и на сортировании — нет ни одной детали. Получаем р0 = 0,429. Иными словами, оба оператора будут простаивать почти 43% рабочего времени. По формулам (6.7) и (6.8) рассчитаем среднее число деталей в очереди и в системе: кч = 0,152; Ьс = 0,952, т.е. очередь почти ликвидирована. Воспользовавшись формулами (6.3) и (6.5), найдем среднее время пребывания деталей: в системе ?с = 0,238 мин; в очереди Жоч = 0,038 мин.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >