Надежность технических систем

Надежность — способность технических систем (устройств) безотказно (исправно) работать в течение определенного периода времени в заданных условиях эксплуатации.

Основное понятие в теории надежности — отказ, означающий полную или частичную потерю работоспособности системы (устройства). Виды отказов:

• • внезапный отказ — повреждение (например, поломка) какого-либо элемента устройства;
• • постепенный отказ возникает в результате непрерывного изменения характеристик системы, например износа в кинематических звеньях и возрастания зазоров, приводящих к поломке.

Основные параметры надежности

Надежность является комплексным показателем, который включает несколько параметров.

1. Интенсивность (или плотность) потока отказов — среднее число отказов в единицу времени:

Х(0 = 1 і т

Д/=0

Рщ ('? АО

АІ

где Р_тЦ, ДО — вероятность отказа за период Д/.

ш

Приближенно можно принять Р_оти, ДО = — , где т — число отка-

п

завших элементов за период Дг; п — общее число элементов устройст-т

ва;--относительная частота отказов.

п

Тогда интенсивность потока отказов, ч^-1:

т - •

nAt

Значения А,(0 для различных типов систем определяются опытным путем (по специальным методикам испытаний) и заносятся в справочные таблицы. Примерное распределение отказов по видам: 48 % — электронное и электрическое оборудование; 37 % — механические узлы; 15 % — гидро- и пневмоприводы.

Нормальные значения X: для отдельных элементов А.(0 = 10⁴... ...10⁶ ч^-1; для систем А,(0 = 10²... 10⁴ ч^_1(по данным японских фирм,

X для ГПС среднего уровня — не более одного отказа в год при односменной работе, т. е. Х(0 = 1/2000 = 0,0005 ч^-1). Для большинства отечественных систем удовлетворительным считается значение Х(0 = 0,0025 ч , что означает безотказную работу системы в течение одного месяца в трехсменном режиме, т. е. в течение 400 ч (20 ч х х 20 дней = 400 ч).

• 2. Средняя наработка на отказ (или математическое ожидание отказа), ч:
  • -

^от “X '

Этот параметр, как и X, характеризует запас надежности системы (в старом ГОСТе /_от назывался коэффициентом надежности). Поэтому можно использовать любую из этих двух величин для характеристики надежности элемента, устройства или системы. В соответствии с указанными X нормальные значения /_от для систем равны:

/_от = 300...10⁴ ч.

3. Коэффициент готовности системы характеризует ее ремонтопригодность, т. е. быстроту и удобство восстановления системы:

ОТ

^кг =

Л

?_от "Г

т

Т;

где /_в = V —— среднее время восстановления системы;

Я ^т

т, — время восстановления /-го элемента; т — число отказавших элементов за время /_от.

4. Долговечность технической системы — свойство сохранять работоспособность в течение всего срока службы системы:

Т,

Д =-

р

т

/ =

где Г_р — время работы системы за весь период эксплуатации в часах; т_п/ — время простоя системы по причине отказа /-го элемента;

т

х_П1 — суммарное время простоев за весь период эксплуатации

/=1

системы.

Для инженеров-разработчиков сложных автоматизированных систем большой интерес представляют две задачи, связанные с расчетом характеристик надежности.

Расчет вероятностей числа отказов к при п испытаниях системы

Для расчета вероятностей числа отказов к используется формула Бернулли, в основе которой лежит теорема умножения вероятностей независимых событий, т. е. вероятности их совместного появления

19, 101:

где р — вероятность отказа в каждом испытании (или вероятность отказа /-го элемента при п элементов системы); q — вероятность неотказа;

п — число испытаний (или число элементов системы); к — число отказов;

С„ =-^:--биномиальный коэффициент (так как (р + ц)^п —

к(п - к)

бином Ньютона).

Распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли, называется биномиальным распределением дискретной случайной величины (в нашем случае отказов), которое при п —> °° приближается к нормальному распределению вероятностей (рис. 2.2).

При больших значениях п вычисление вероятностей по формуле Бернулли затруднено, поэтому используется приближенная формула Пуассона, как предельный случай формулы Бернулли

к

Рп(к)і

• 0,3
• 0,27
• 0,1

ч-1-І-1- Т ?

2 3 4 5 6 7

&>г 1

• 0ф27 о,006 0.001
• —Т т -

к

Рис. 2.2. График биномиального распределения дискретной случайной величины

при п = 10,/? = 0,2

Рассмотрим пример. Пусть техническая система состоит из п - 500 элементов при р = 0,002.

Требуется найти следующее распределение вероятностей:

• а) откажет ровно к - 3 элемента;
• б) менее 3;
• в) более 3;
• г) хотя бы 1 элемент.

Решение. Условия задачи удовлетворяют распределению Пуассона. Определим интенсивность потока отказов: X = 500 • 0,002 = 1.

• 1. />₅₀₀(3) = 1³/3! • е~' = 0,36788/6 = 0,0613.
• 2. Сумма вероятностей, кроме к - 3:

^оо«3> = /V0) + /₅оо<1> + /*₅оо(2) = е“¹ + е~' + г“ '/2 = 0,9197.

3. Противоположное событие — отказало не более 3 элементов (это сумма вероятностей, включая к = 3):

/>₅₀₀(>3) = 1 - (? = 1 - (0,9197 + 0,0613) = 0,019 (см. п. 1 и 2).

4. Противоположное событие — не отказал ни один элемент (к = 0):

Р= 1 - />500(0) = 1 - 0,36788 = 0,632.

Если в п испытаниях вероятности р₁ появления события (отказа) не равны, то используют производящую функцию типа

Ф„(г) = (Р1 + )(р₂1 + Ь) - (Рп* + %)’

где г — некоторая переменная.

Вероятность Р„(к) равна коэффициенту при ^ в разложении производящей функции по степеням Например, для п = 2 имеем:

ф₂(г) = (р_{1 + 4|){р₂1 + ?₂) =РР2 ? + (Р Ь +Р2 д)1 + дЬ’ где Р₂(2) =р_хр₂ р₂() = (р₁ д₂+р₂Я) Р₂(®) = д Ь-

Рассмотрим пример. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов, вероятности безотказной работы которых за период / равны: р_х - 0,7; р₂ - 0,8; р_ъ - 0.9.

Найти следующее распределение вероятностей отказов за период V.

• а) все 3 элемента будут работать безотказно (к = 0);
• б) только 2 элемента (к = 1);
• в) только 1 элемент (к - 2);
• г) ни один из элементов (к - 3).

Решение. Сначала найдем вероятности отказов:

<7, = 1 -0,7 = 0,3; д₂ = 0,2; = 0,1.

Составим производящую функцию для п - 3:

Фз(*) = + 4){р& + Я₂)(Р& + Яъ) =

= (0,7* + 0,3)(0,8* + 0,2)(0,9* + 0,1) =

= 0,504г³ + 0,398*² + 0,092* + 0,006.

Таким образом, имеем:

• а) Я₃(0) = 0,504 — не отказал ни один элемент;
• б) /*3(1) = 0,398 — отказал один элемент;
• в) Р₃(2) = 0,092 — отказали 2 элемента;
• г) Я₃(3) = 0,006 — отказали 3 элемента.

Для проверки решения используем контрольную функцию

• 4
• ? р₁ = 0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1.

Расчет вероятностей числа отказов на заданном интервале времени t

Для вычисления функции Р_г(к) используют разновидность формулы Пуассона

Р (к) = 09- е~^х'.

к!

Вероятность того, что за время t не произойдет ни одного отказа

(к = 0):

P_t(0) = P(t) = e~^Xt.

В теории надежности эта формула известна как функция надежности. Она показывает экспоненциальное распределение времени между отказами (рис. 2.3, а). Противоположная функция позволяет вычислять вероятность отказа (рис. 2.3, б):

РотО) = 1 - е +

Вероятность безотказной работы системы для малых промежутков времени At можно рассчитывать по приближенной формуле [9, 10]:

P(t) = 1 -Xt_y

Рис. 2.3. Графики экспоненциального распределение времени между отказами Р(1)

для различных X (а) и вероятности отказа Р_от0) (б)

которая получается разложением показательной функции в степенной ряд

е~^ь = - Xt +

м³

3!

В этом разложении членами выше первого порядка пренебрегаем.

Приближенная формула справедлива для малых значений

X/

Расчет вероятностных характеристик с помощью функции надежности возможен при условии X = const. Известно, что по мере расходования резерва надежности значение X(t) в течение эксплуатации системы изменяется (рис. 2.4).

В начальный период повышенное значение X(t) - Х объясняется наличием скрытых дефектов в элементах системы, которые проявляются в процессе приработки узлов. В самый длительный период нормальной эксплуатации системы интенсивность потока отказов X(t) = - Х₂ снижается и остается приблизительно постоянным (Х₂ - const). Именно для этого периода справедлива функция надежности. Третий период характеризуется резким повышением X(t) = Х₃, которое объяс-

Рис. 2.4. График изменения интенсивности потока отказов за период эксплуатации

системы:

• 1 — начальный период приработки узлов; 2 — период нормальной эксплуатации;
• 3 — период катастрофического износа узлов

няется появлением недопустимо больших зазоров в кинематических парах системы в результате прогрессирующего износа деталей.

Рассмотрим пример использования функции надежности.

Испытывают два независимо работающих элемента с характеристиками:

^ = 0,02; Х₂ = 0,05.

Найти вероятность того, что за период / = 6 ч: а) оба элемента откажут; б) оба не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

Решение

1. Вероятность отказа одного элемента:

р_от1 = 1 -_е-°'^{02 6}= 1 - 0,887 = 0,113,

где р_х - 0,887 — вероятность безотказной работы; р_от2 = 1 _ _е-°'^{05 6}= 1 - 0,741 = 0,259, где р₂ = 0,741.

Вероятность отказа обоих событий рассчитаем по формуле умножения вероятностей независимых событий

Рот (2 эл) -р_от -р_от2 = 0,113 • 0,259 = 0,03.

2. Вероятность безотказной работы обоих элементов находим аналогично:

Р(Г) =р_гр₂ = 0,887 • 0,741 = 0,66.

3. Вероятность отказа только одного элемента находим как сумму произведений р_{ •

Р2' Ц⁺Р ' #2 ⁼ 0,113 • 0,741 + 0,259 • 0,887 = 0,31,

где <7[ = /?_от1; д₂=Рот2-

4. Вероятность отказа хотя бы одного элемента находим как событие, противоположное событию по п. 2:

/^(1 эл) = 1 -р_х ? р₂ - 1 - 0,66 - 0,34.

Пути повышения надежности технических систем

Статистика показывает, что затраты на восстановительные работы и производство запасных частей составляют более половины стоимости новой техники.

Основные пути повышения надежности:

• 1) снижение интенсивности потока отказов X (повышение Г_от) ^за счет применения новых материалов с высокими эксплуатационными свойствами (повышение износостойкости деталей кинематических пар);
• 2) входной контроль исходных материалов, деталей и комплектующих. Сохранение технологических и эксплуатационных норм в производстве и рабочем периоде;
• 3) сокращение числа деталей в узле (и числа узлов в системе) на стадии конструирования машин и механизмов. Следует помнить, что вероятность безотказной работы машины равна произведению вероятностей />,(г) безотказной работы ее элементов:

т=р, о.

/=1

Эта формула соответствует последовательному соединению элементов в узле (рис. 2.5, а);

4) применение принципа резервирования потенциально ненадежных элементов в особо ответственных узлах:

Р(0 = 1 - П Рои О-/ = 1

Эта формула соответствует параллельному соединению элементов, когда перемножаются вероятности отказов элементов р_от!

Э2

Рис. 2.5. Последовательное (а) и параллельное (б) соединение элементов в узле

(рис. 2.5, б). При тройном резервировании элемента с p{t) - 0,9 (вероятность отказа каждого из трех элементов p_m{t) = 1 - 0,9 = 0,1) вероятность безотказной работы элемента с резервированием равна:

/>_р(0= 1 - (0,1 )³ = 0,999;

5) обеспечение фирменного обслуживания и ремонта технических систем. Повышение надежности ведет к росту коэффициента использования оборудования.