Имитационное моделирование объектов автоматизированного производства с использованием сетей Петри

При использовании сетей Петри моделируемые объекты (или процессы) описываются причинно-следственными отношениями на множестве: «события (переходы) — условия (позиции)». Исходя из цели модели, сначала составляется множество событий {/,•}, последовательность которых определяет функционирование системы, а затем — множество условий {/?,}, выполнение которых обеспечивает наступление того или иного события.

Последовательность событий, характеризующая процесс функционирования системы в реальном времени, отображается срабатыванием переходов. Графически сеть Петри изображается двухдольным графом с вершинами двух типов: позиции — переходы. Выполнение какого-либо условия (позиции) связано с появлением маркера (метки) в соответствующей позиции. В сетях Петри имеется ресурс меток или обеспечивается их регенерация.

Сеть Петри формально описывается набором вида

и=(Р, Т, Р, Н, р₀),

где Р{р) — конечное непустое множество позиций (условий);

Т- {/} — конечное непустое множество переходов (событий);

Я: Рх Г—» {0, 1, 2, ...} — функция входных инциденций (отношений);

Н: Тх Р —»{0, 1, 2, ...} — функция выходных инциденций;

р₀: Р —^ {0, 1,2, ...} — начальная маркировка сети Петри;

{О, 1, 2, ...} - N — множество натуральных чисел.

Переход г может сработать при маркировке р, если он является возбужденным, т. е.

Д(Д) - Р(р, 0 > 0, УреР,

где квантор V: для любого р, принадлежащего множеству Р.

Это условие означает, что в каждой входной позиции Р перехода t число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей Я с г. В результате срабатывания возбужденного перехода t маркировка р заменяется маркировкой р¹ по правилу

р'(я) = В(Я) - Р(Р, 0 + НЦ, р), Ур е Р.

В результате срабатывания перехода из всех входных позиций г изымается Р(р, 0 маркеров, а в каждую выходную позицию перехода г добавляется //(г, р) маркеров. Это означает, что маркировка р¹ непосредственно достижима из маркировки р: р —> р¹. Функционирование сети Петри — это последовательная смена маркировок в результате срабатывания возбужденных переходов /. Маркеры могут интерпретировать движение деталей или информационных данных.

Пусть произвольный граф Петри характеризуется множеством ПОЗИЦИЙ Р= {/?!, р₂, р₃, р₄, р₅}, множеством переходов Т= {Г,, Г₂, Г₃, Г₄} и начальной маркировкой р₀ = (1, 1, 0, 0, 0). Это ординарная сеть Петри, у которой кратность дуг п - 1 (рис. 3.3). Такие дуги на графе не отмечаются. Если п > 1, то ее значение указывается над дугой. Такие сети называются обобщенными сетями Петри.

'з

Рис. 3.3. Пример ординарной сети Петри с кратностью дуг а? = 1

Матрицы входных (Т) и выходных (Н) инциденций представлены с помощью табл. 3.1 и 3.2.

Таблица 3.1. Матрица входных инциденций Т

Таблица 3.2. Матрица выходных инциденций Н

Возможные варианты функционирования сети Петри описываются с помощью графа достижимости, вершинами которого являются возможные маркировки (рис. 3.4). Если для некоторой маркировки ни один из переходов t сработать не может, то такая маркировка называется тупиковой.

(1,1,0,0,0)

I-

• (0,0,1,2,0) (
• (1,0,0,2,1) (1,1,1,1,0)

/ N4 --³

(1,0,0,3,0) (2,1,0,1,1) (0,0,2,3,0) (2,2,1,0,0)

'4 Уп Ч У Ч У Ч

Рис. 3.4. Фрагмент графа достижимости

Множество всех маркировок, достижимых из начальной р₀, называется множеством достижимости сети Петри и обозначается /?(УУ).

Рассмотрим основные переходы фрагмента графа достижимости (см. рис. 3.4).

• 1. Произошло событие ^ (переход г, открылся). Маркеры из позиций р и р₂ перешли в позиции /?₃ (1 метка) и р₄ (2 метки, так как в р₄ входят 2 дуги).
• 2. Затем, если сработал переход і₂, то 1 метка из р₃ вернется в р_{ и 1 метка попадет вр₅ (генерация меток).
• 3. Если вместо /2 сработает переход /₃, то 1 метка вернется в/?, и 1 метка — в р₂. По одной метке остается в р_ъ и в р₄.
• 4. После срабатывания перехода г₄ (при открытых ї₁ и ґ₂) 1 метка остается в р_{ (циркуляция по кругу), отсутствуют метки в р₂, р_ъ и р₅. К двум меткам в р₄ добавится 1 метка из р₅ (в р₅ будет 3 метки).

Далее события могут развиваться в зависимости от срабатывания Г₃, /₂ и т. д.

Управление технологической системой в терминах сети Петри описывается функцией Р: Рх Г —> {0, 1,2, ...} и сводится к управлению переходами tj сети в зависимости от маркировки ее позиций. Многообразие динамических объектов в сети Петри отображается разноцветными маркерами, например, маркировка р(/?,со) показывает число маркеров цвета ш в позиции р.

Временные сети Петри используются для анализа периодических режимов функционирования системы (циклических процессов), так как в них переходы /? срабатывают сразу, как только выполняются условия их возбуждения. В частности, с помощью временных сетей Петри моделируются системы конвейерного типа, которые связаны с тактовой частотой появления меток. Сети Петри позволяют моделировать процессы с конфликтными ситуациями, однако они не пригодны для моделирования событий с приоритетами (это недостаток сетей Петри).

Имитационное моделирование объектов ИПС с использованием сети Петри рассмотрим на примере модели обрабатывающего центра (ОЦ) в составе гибкого производственного комплекса (ГПК) механообработки. ГПК включает два ОЦ с операционными накопителями (ОН) заготовок и деталей (на 2 места), автоматический склад (АС) с приемно-передающим устройством (ППУ) и транспортный робот (ТР) для обслуживания ОЦ (рис. 3.5).

Имитационную модель ГПК можно построить по частям в виде модулей ОЦ, ТР, АС. Для построения модели объекта необходимо сначала составить перечень событий, а затем перечень условий. В ка-

Рис. 3.5. Схема ГПК механообработки

честве примера составим перечень событий для модуля ОЦ, предварительно построив циклограмму его работы (рис. 3.7). Начало цикла работы ОЦ: событие ^ — заготовка загружена из ОН в рабочую зону ОЦ и зафиксирована. Процесс фиксации спутника с заготовкой можно выделить в отдельное событие. Минимально необходимые условия выполнения события /,:/?, — в ОН имеется требуемая заготовка; р₂ — место в ОЦ свободно. Событие t₂ — заготовка обработана согласно операционной технологической карте. Условия выполнения события /₂: Ръ ~ наличие полного комплекта необходимого инструмента в инструментальном магазине; р₄ — во время обработки поломки инструмента не было. Событие /₃ — спутник с деталью расфиксирован и выгружен в ОН. Основное условие этого события р₅ — место в ОН свободно. Следующее событие — ОН сменил позицию для загрузки в ОЦ новой заготовки. Условием события г₄ может бытьр_в — наличие детали и новой заготовки в ОН.

Общий вид ГПК механообработки показан на рис. 3.6.

Событие /₅ — «ОН раз гружен-загружен с помощью ТР» не влияет на время цикла работы ОЦ, так как эту операцию ТР выполняет во время обработки заготовки (см. циклограмму на рис. 3.7). Поэтому событие /5 не включено в граф сети Петри модуля ОЦ (рис. 3.8). В графе стрелка с события ^ замыкается на модуль ТР. Покажем нештатную ситуацию на графе, которую представим в виде события 1₂ — обработка заготовки прервана, ОЦ остановлен по блокиро-

Рис. 3.6. Общий вид ГПК механообработки:

/ — ОЦ; 2— ОН; 3 — ТР; 4 — накопитель ГПК

Л Ръ

Рис. 3.7. Циклограмма работы ГПК

вочному сигналу «Стоп», дан сигнал вызова ремонтной бригады. Условие останова ОЦ р₄ — поломка инструмента. Событие /_р означает — бригада прибыла, ремонт произведен и ОЦ продолжает работу в штатном режиме. Условием для события /_р служит р_р6 — наличие ремонтной бригады. На графе выход /_р замыкаем на условие р₄.

Имитационная модель сборочной системы на основе сети Петри представлена в [Н].