Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Автоматизация технологических процессов и производств

Вывод основных уравнений системы массового обслуживания

Базовые уравнения СМО используются для вычисления вероятностей состояний системы во время переходного и установившегося (стационарного) режима. Переходный процесс характеризуется пошаговым изменением вероятностей состояний системы от начального к установившемуся.

Сначала рассмотрим минимальный граф СМО с двумя возможными состояниями (рис. 3.11).

Я.0

Граф СМО

Рис. 3.11. Граф СМО

с двумя состояниями

Расчет вероятностей состояний системы за период Дг проведем, считая потоки пуассоновскими. Рассмотрим возможные ситуации.

1. Вероятность пребывания системы в состоянии ?о в момент г равна Р0(г).

Это означает, что в момент t и за период Дг в систему не поступило ни одной заявки.

  • 2. Вероятность перехода системы из Zo в 1 при поступлении заявки в период Д?. Найдем вероятность поступления заявки в систему за период Дг (аналогично вероятности появления отказа):
  • 1 -М°А' = -(-Х0АО = 'к0М,

где е~х°А' ~ 1 — Х,0 Дг — вероятность непоступления заявки.

Тогда вероятность перехода системы из г0 в 1 по теореме умножения вероятностей 1 и 2:

— Р()(/) А.0 ДЛ

Знак минус показывает уменьшение вероятности состояния г(>.

3. Вероятность перехода системы из Z в Zo при обслуживании заявки за период Дг. Вероятность пребывания системы в состоянии z^ равна Я|(0-

Вероятность обслуживании заявки за период & равна:

1 - е~^А' = 1 - (1 - щ ДГ) = М'.

Аналогично п. 2 вероятность перехода системы из 1 в ?о п0 теореме умножения вероятностей равна:

Л (ОМ'-

Знак плюс показывает увеличение вероятности состояния ?0. Вероятность состояния системы, включающего все три ситуации, находим по теореме сложения вероятностей:

Л)(/ + АГ) = Р0(0 - Р0(ї) ДГ + />, (0 (і і АГ.

Перенесем Я0(0 влево и разделим на А/:

Переходя к пределу при At —> 0, получим первое дифференциальное уравнение Колмогорова:

dP.it)

Ж

- Рок0 +

Теперь рассмотрим граф СМО с тремя состояниями, считая, что в момент М- Дг в системе находится п заявок (рис. 3.12).

Щ, Ди+1

Рис. 3.12. Граф СМО с тремя состояниями

Перечислим возможные ситуации СМО.

1. Вероятность пребывания системы В СОСТОЯНИИ ?0 в момент Ґ

Число заявок в системе не меняется и равно п.

  • 2. Вероятность перехода системы из і„ вгЛ+| при поступлении заявки за период А/:
    • п(0 А'-
  • 3. Вероятность перехода системы из іп в г„_, при обслуживании заявки за время Аґ.
  • п(0 В„Дг.
  • 4. Вероятность перехода системы из іп- в гп при поступлении заявки за время Аґ.

Рп-1(0 VIАГ.

5. Вероятность перехода системы из 1п + в 1п при обслуживании заявки за время А/:

Л,+ 1(*)Ц-Я + 1Л'-

Вероятность состояния системы, включающего все пять ситуаций, находим по теореме сложения вероятностей:

Р„и + АО = Р„(0 - Р„(О К дг - Рп( 0 цядг + Рп_{( 0 VIа' + Д+і(0 В„+іА'-

Перенесем Рп(0 влево, разделим на Д/ и, переходя к пределу при Д/ —> 0, получим второе дифференциальное уравнение Колмогорова:

- (^л + В«) + ^л-1 VI + Рл+іВя+І-

с!Рп

Решение этих уравнений производится численными методами на ЭВМ. Однако решение первого уравнения для СМО с двумя состояниями может быть выполнено с помощью формулы полной вероятности:

Р(А) = '?р(В1В1(А),

1=1

где Р(А) — полная вероятность появления события А; р(Ві) — безусловная вероятность; рВі (А) — условная вероятность.

Событие А может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий В,:

Приведем пример расчета вероятностей для минимального графа СМО с заданными числовыми характеристиками (рис. 3.13).

р 1=0,8 к 1=0,2 /?2=0>4

Минимальный граф СМО с заданными числовыми характеристиками

Рис. 3.13. Минимальный граф СМО с заданными числовыми характеристиками

Произвольно зададим распределение вероятностей на нулевом шаге п - 0 (начальный момент):

рп = о = (1, 0), т. е./? = 1 и /? = 0 (это безусловные вероятности).

Для 1-го шага (п - 1) находим:

Рп=(1) =РЬ Р1у + Р25 ? В2 = 1 • 0,8 + 0 • 0,6 = 0,8,

где р - 0,8 и р2 = 0,6 — условные вероятности (р2 увеличивает вероятность пребывания системы в состоянии ^).

Рп = 1(ъ) = Р26 ? Р2у+ Ри> ? ^1 = V ? + 1 • 0,2 = 0,2.

Для 2-го шага (п - 2) расчет ведем с учетом новых значений безусловных вероятностейрп= [(0,8; 0,2):

рп = 2{1) = 0,8 • 0,8 + 0,2 • 0,6 = 0,76.

Рп = 2(^2) = 0,2 • 0,4 + 0,8 • 0,2 = 0,24.

Уже при п = 5 имеем:

Р„ = 5(^1) = 0,75008 и рп = 5(12) = 0,24992.

При п —» оо получим предельные значения вероятностей, характерные для установившегося состояния системы:

Рп(1) = 0,75; р„(12) = 0,25.

Проведем проверку:

Р + р2 = 0,75 -г 0,25 = 1.

Вероятности переходов независимы от начального состояния системы. Пусть начальное состояние будет: />/г = 0 = (0,1), т. е. = 0 и/?2б= 1.

Тогда для п = 1 имеем:

Pn = 0 • 0,8 + 1 • 0,6 = 0,6;

Рп = (z2) = 1 • 0,4 + 0 • 0,2 = 0,4,

а для п = 2:

Рп = 2(^1) = О,72, Рп = г(*г) = °,28

и т. д. до р{ - 0,74976 и р2 - 0,25024.

В установившемся режиме вероятности состояний системы не меняются pn{t) = const, производная dpn(t)/dt = 0 и дифференциальные уравнения Колмогорова превращаются в алгебраические:

ЯАо — 1М-1» РпО^п Ви) ~ Рп-^п- + Рп+1 Мтн-1*

Последовательно задавая п = 1,2,... во втором уравнении, получим систему

РоЬ=Р№‘> РЬ=Рт№> - РпК=Рп+^п+-Например, при п - 1 имеем:

Р(Х +Ц,) =аАо + №-

Подставляя в это уравнение р()Х0{.х, получим р{к = р2р.2. Из полученной системы найдем значения вероятностей:

/7-1

Рп = Ро

^*0 X фА. | А, 0^. | ... А.

При вычислении р1 необходимо дополнительно использовать условие

Ро+Р1= и

откуда р,, = 1 - />0.

Используя полученные уравнения установившегося режима, вычислим предельные значения вероятностей РИр2 СМО с двумя состояниями (см. рис. 3.13):

А., ,

Р2=Р — И Р = 1 2.

М- 2

Подставив р| в первое уравнение, получим

р2 = ( -р2) — ,

^2

откуда

/>2= =1/4 = 0,25

р2 +А,!

и

/>, = 1 - 0,25 = 0,75.

Как видим, эти значения вероятностей Рир2 совпадают со значениями, полученными с помощью формулы полной вероятности.

Таким образом, задавая входную (А,) и выходную (р) характеристики стационарной СМО с двумя состояниями, можно легко вычислять вероятности состояний системы.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы