НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Рис. 7

Для исследования напряженного состояния в окрестности некоторой точкой выделяется бесконечно малый параллелепипед. На гранях этого параллелепипеда могут действовать нормальные и касательные напряжения (рис. 7).

При повороте параллелепипеда вокруг координатных осей напряжения меняются. Можно найти такое положение, при котором все касательные напряжения на гранях параллелепипеда будут равны нулю.

Главными площадками называются площадки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие на главных площадках.

Главные напряжения обозначают ст15 о2, ст3, причем > о2 > а3.

Различают три вида напряженного состояния:

  • 1) линейное - напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис. 8);
  • 2) плоское - напряженное состояние, при котором одно из главных напряжений равно нулю (рис. 9);
  • 3) объемное - напряженное состояние, при котором все главные напряжения не равны нулю (рис. 10).

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Линейное напряженное состояние

Нормальные напряэ/сения, действующие по двум наклонным взаимно перпендикулярным площадкам:

ох = о1‘ соб2 а, оу = • ьіп2 а.

Касательные напряжения по наклонным площадкам:

о

о

:ху = —510 2«,^.*. = — —-зіп2а.

С-л

Нормальное напряжение ах положительно, если оно растягивающее; касательные напряжения тху положительны, если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент по часовой стрелке (рис. 11). Угол а считается положительным, если поворот от поперечного сечения к наклонному сечению - против хода часовой стрелки.

Наибольшее нормальное напряжение равно max o.Y = Oi и действует в поперечном сечении.

Наибольшее касательное напряжение равно max тху= в/2 и действует в сечении, составляющем угол 45° к поперечному сечению.

Закон парности касательных напряжений:

Т-ух ТУу

Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и обратны по знаку.

Плоское напряженное состояние

При плоском напряженном состоянии решаются две задачи: прямая задача, когда по известным главным напряжениям определяются напряжения в произвольных площадках; обратная задача - по напряжениям в произвольных площадках определяются главные напряжения.

Прямая задача. Известны главные напряжения Oj, а 2- Нормальные

напряжения, действующие по наклонным площадкам (рис. 12), равны:

ох = cos2 а + а2 sin2 оу = o1 sin2 а + а2 cos2 а.

Касательные напряжения равны:

CJ1 CJ 2

  • —-—sin 2а,
  • (У 0~2
  • —-—sin 2а.

Сумма напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам не зависит от положения этих площадок:

°х + °у°1 + °2-

Максимальные касательные напряжения равны ттах = °1 °г и

действуют по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом а = 45°.

Обратная задача. Известны нормальные и касательные напряжения ох, оу, тху, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам.

Главные напряжения определяются по формуле

Ох + Gy

О max = -—-

min 2

Положение главной площадки определяется углом do,

tg2a0 = -

ху

Ох

Объемное напряженное состояние

Напряжения на произвольной площадке:

Ga = ох cos2 аг + о2 cos2 а2 + о3 cos2 а3, та = Jaf cos2 ах + оcos2 а2 + о2 cos2 а3 — аа,

где cti, а2, а3 - углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главных напряжений.

Наибольшее касательное напряжение равно ттах = qh0 действует по площадке, параллельной главному напряжению 02 и наклоненной на угол 45° к главным напряжениям Oi и 03.

Главные деформации при объемном напряженном состоянии определяются по обобщенному закону Гука:

  • 1
  • ?1 = - К - у (.о 2 + Стз)]»

ь

  • 1
  • ?2 =-р1°2- + а3)],

ь

?з =-^[о3- у(стх + а2)].

Относительная объемная деформация

АУ 1 -

в = — = ?г + е2 + ?3 в = —-— (ах + а2 + а3).

V Ь

При деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона V = 0,5 (например, резина), объем тела не меняется. Такие материалы называются несжимаемыми.

Удельная потенциальная энергия (количество потенциальной энергии в единице объема) при линейном напряженном состоянии определяется по формуле

Удельная потенциальная энергия при объемном напряженном состоянии

и =

а1?1 а2?2 2 2

а3?3

или

Го? + о? + о? — 2у(ол о-?

Удельную потенциальную энергию деформации можно представить состоящей из двух составляющих:

1) и0 - удельная потенциальная энергия изменения объема (т.е. энергия, которая накапливается в параллелепипеде единичных размеров при изменении объема параллелепипеда без изменения формы):

ио = О1 + + <*з)2;

2) Иф - удельная потенциальная энергия изменения формы (т.е. энергия, которая накапливается в параллелепипеде единичных размеров при изменении формы параллелепипеда без изменения объема):

  • 1 + V
  • 3 Е
  • (о^ + ст| + ст| - ого2 - а^з - о2о3).

Чистый сдвиг

Чистым сдвигом называется частный случай плоского напряженного состояния, при котором на гранях параллелепипеда действуют только касательные напряжения (рис. 13). Площадки, на которых действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига.

Площадки чистого сдвига повернуты на угол 45° к главным площадкам.

Главные напряжения равны по величине, но противоположны по знаку (рис. 14):

а1 = -<*з > °2 = 0.

Закон Гука при сдвиге

Т = ву,

где у - угол сдвига; С - модуль сдвига.

Рис. 13

т / и /

I

Рис. 14

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >