Правила суммы и произведения

Теоретические сведения

Рассмотрим конечное множество А, состоящее из п элементов. Тогда говорят, что объект х из Xможет быть выбран Х = п способами.

Пусть А], Х2, ..., Хк попарно не пересекающиеся множества, т.е.А,- п А ? = 0 при / ф у. Тогда выполняется равенство

Такой выбор объектов называется несовместными событиями.

Теорема 1.9. Правило суммы

Если некоторый объект х может быть выбран из совокупности объектов т способами, а другой объект у может быть выбран п способами, то выбрать либо х, либо у можно т + п способами.

Если объект х из М может быть выбран п способами, а объект у может быть выбран т способами, то упорядоченная пара <*, у> (когда выбирается как объект*, так и объекту) может быть выбрана пт способами.

Обобщая на к объектов, получаем, что выбор упорядоченной последовательности <Х], ..., Хк> может быть осуществлен /7^2 •• -пк способами.

Теорема 1.10. Правило произведения

Если объект х можно выбрать из совокупности объектов т способами и после каждого такого выбора объект у можно выбрать п способами, то пара объектов (*, у) в указанном порядке может быть выбрана тп способами.

Рассмотрим несколько задач. Во всех случаях мы выбираем и объект*, и объекту, т.е. и то, и другое.

Задачи

Задача 1.89. Сколькими способами можно задать число палиндром длиной 5?

Решение.

Число палиндром можно читать как слева направо, так и справа налево. Число от этого не изменяется. Например, 70 507 или 93 639.

Тогда, первый разряд может быть от 1 до 9, второй и третий разряды могут быть от 0 до 9. Причем у палиндрома 1-й и 5-й разряды между собой совпадают, 2-й и 4-й также совпадают. Цифры могут повторяться, например число 00000 и 11111 также палиндромы. Тогда по правилу произведения получаем

А = 9 • 10- 10 = 900.

Задача 1.90. Сколькими способами можно в группе из 20 студентов выбрать старосту и его заместителя?

Решение.

В данном случае мы выбираем пару <*, у> без повторений. Старосту можно выбрать 20 способами, а его заместителя 20 - 1 = 19 способами. По правилу произведения 20 • 19 = 380.

Задача 1.91. В урне находится 12 шаров. Три из них красные, пять белые, остальные — синие. Мы выбираем из урны два разноцветных шара. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

В данном случае мы выбираем пару <х, у> без повторений.

Если пара скрасный, синий>, то по правилу произведения таких способов 3-4=12.

Если пара скрасный, белый>, то по правилу произведения таких способов 3-5=15.

Если пара сбелый, синий>, то по правилу произведения таких способов 5 • 4 = 20.

У нас получается три вида несовместных событий: либо пара скрасный, синий>, либо скрасный, белый>, либо сбелый, синийх По правилу суммы получаем 12 + 15 + 20 = 47 различных способов выбора.

Задача 1.92. Сколько существует четырехзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение.

В данном случае мы выбирает четверку сх, у, z, и>> с повторениями, причем последний элемент н> — либо 0, либо 5 по правилу делимости, а первый х не может быть 0, иначе число не четырехзначное.

По правилу произведения получаем 9 • 10 • 10 • 2 = 1800.

Задача 1.93. В слове НИЯУ МИФИ выбирают по две буквы (все буквы не обязательно различны) и составляют из них слова. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Мы выбираем либо пару различных букв, либо пару одинаковых. По правилу суммы получаем

N=N' + N2,

где ТУ) — количество слов из разных букв, а УУ2 — количество слов из одинаковых букв.

Количество различных букв равно 6, п = 6, из них и осуществляется выбор пары.

Результат выбора пары букв <х, у> определяется по формуле для числа сочетаний:

  • 6!
  • 2!(6 - 2)!

После того как выбор произведен, из пары букв <х, у> составляют слова. Количество таких слов вычисляем по формуле для перестановок:

Р2 = 2! = 2.

Мы совершаем два события последовательно: выбираем буквы и составляем слова, следовательно, по правилу произведения получаем решение

1=С26- Р2= 15-2 = 30.

В случае выбора одинаковых букв слов столько, сколько различных букв, т.е. п:

N2 — Н — 6.

Таким образом, общее количество слов уу=уу, + УУ2 = 30 + 6 = 36.

Задача 1.94. Сколько четыхзначных чисел, не превосходящих 2000, можно составить из нечетных цифр?

Решение.

Первый разряд числа может быть только 1, остальные — содержать любую из 10 цифр. Получаем, используя правило произведения:

А= 1 • 10- 10- 10= 1000.

Задача 1.95. Пароль, заданный для сервера, состоит из шести символов. Первые два из них — строчные латинские буквы, остальные четыре могут быть как цифрами, так и строчными буквами. Сколькими способами можно задать такой пароль?

Решение.

Первые два символа пароля могут быть в виде любой из 26 букв латинского алфавита, т.е. 26 • 26 = 676 возможностей.

С третьего по шестой разряды могут быть сформированы из 36 символов, в которые входят 26 букв и 10 цифр (правило суммы). Тогда по правилу произведения получаем решение

А = 676 • 36 • 36 • 36 • 36 = 1 135429416.

Задача 1.96. В ящике 10 качественных и 5 бракованных деталей. Опыт состоит в выборе только одной детали. Событие А — вынули качественную деталь. Событие В — вынули бракованную деталь. Тогда для этих событий неверным будет утверждение:

  • • событие А невозможно;
  • • событие В невозможно;
  • • события Л и В равновероятны;
  • • события А и В несовместимы.

Задача 1.97. В ящике 12 качественных и 7 бракованных деталей. Опыт состоит в выборе только одной детали. Событие А — вынули качественную деталь. Событие В — вынули бракованную деталь. Тогда для этих событий неверным будет утверждение:

  • • событие А невозможно;
  • • событие В невозможно;
  • • события А и В равновероятны;
  • • события А и В несовместимы.

Задача 1.98. В ящике 12 качественных и 12 бракованных деталей. Опыт состоит в выборе только одной детали. Событие А — вынули качественную деталь. Событие В — вынули бракованную деталь. Тогда для этих событий неверным будет утверждение:

  • • событие А невозможно;
  • • событие В невозможно;
  • • события ,4 и В равновероятны;
  • • события ,4 и В несовместимы.

Задача 1.99. В ящике 10 качественных и 10 бракованных деталей. Опыт состоит в выборе только одной детали. Событие А — вынули качественную деталь. Событие В — вынули бракованную деталь. Тогда для этих событий неверным будет утверждение:

  • • событие А невозможно;
  • • событие В невозможно;
  • • события А и В равновероятны;
  • • события А и В несовместимы.

Задача 1.100. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров. Во второй урне 1 белый и 9 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Сколькими способами можно выбрать один белый шар?

Задача 1.101. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров. Во второй урне 1 белый и 9 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Сколькими способами можно выбрать один черный шар?

Задача 1.102. В первой урне 3 белых и 4 черных шара. Во второй урне 2 белый и 11 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Сколькими способами можно выбрать один белый шар?

Задача 1.103. В первой урне 3 белых и 4 черных шара. Во второй урне 2 белый и 11 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Сколькими способами можно выбрать один черный шар?

Задача 1.104. Сколько существует четырехзначных чисел, которые делятся на 5?

Задача 1.105. На одной полке стоит 5 книг, на второй — 6. Известно, что 3 книги одинаковые. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы три одинаковые книги стояли вместе (рядом, одна к одной) на одной из полок?

Задача 1.106. На одной полке стоит 5 книг, на второй — 6. Известно, что 3 книги одинаковые. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы одинаковые книги не стояли все три рядом на первой полке?

Задача 1.107. На одной полке стоит 5 книг, на второй — 6. Известно, что 3 книги одинаковые. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы три одинаковые книги стояли (не обязательно рядом) на второй полке?

Задача 1.108. На одной полке стоит 5 книг, на второй — 6. Известно, что 3 книги одинаковые. Сколькими способами можно расставить книги так, чтобы три одинаковые книги не стояли ни на одной из полок?

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >