ФИГУРА ЗЕМЛИ

Исходными понятиями при определении фигуры и размеров Земли служат понятия «отвесная линия» и «уровенная поверхность». Отвесная линия — это прямая, совпадающая с направлением действия силы тяжести в данной точке [2]. Уровенной поверхностью называют поверхность, в каждой точке которой нормаль к поверхности совпадает с отвесной линией. Существует бесконечное множество уровенных поверхностей: через каждую точку околоземного пространства и земной поверхности можно провести (единственную) уровенную поверхность. Уровенные поверхности всюду непрерывны, замкнуты и выпуклы (рис. 1.2). За фигуру Земли в целом принимается геоид — уро-венная поверхность, совпадающая с поверхностью Мирового океана в состоянии полного покоя и равновесия и продолженная под материками [2].

Уровенные поверхности

Рис. 1.2. Уровенные поверхности

Форма уровенных поверхностей зависит от распределения масс внутри Земли, центробежной силы, возника-

ющей вследствие суточного вращения Земли, влияния Луны и планет Солнечной системы и других менее значимых факторов, например распределения воздушных масс в околоземном пространстве. Уравнение геоида представляет собой очень сложную функцию, которая не может быть определена без знания распределения плотностей масс внутри Земли, поэтому по предложению советского геодезиста М.С. Молоденского изучение геоида заменяется изучением квазигеоида — поверхности, на океанах совпадающей с геоидом, а на материках отклоняющейся от него не более чем на 2 м.

Поверхность геоида является физической моделью Земли, она близка к поверхности сфероида, или эллипсоида вращения, полученного вращением эллипса вокруг малой оси, в связи с чем в качестве геометрической модели земной поверхности в целом принимают эллипсоид вращения. Отклонение геоида от эллипсоида не превышает 150 м. При этом различают земной эллипсоид и рефе-ренц-эллипсоид. Под земным эллипсоидом понимается эллипсоид, характеризующий фигуру и размеры Земли в целом. Референц-эллипсоид — эллипсоид, принятый для обработки геодезических

Земной эллипсоид

Рис. 1.3. Земной эллипсоид

измерении и установления системы геодезических координат в пределах страны или группы стран.

В СССР (а теперь и в России) в качестве геометрической модели Земли был принят эллипсоид Красовского, большая полуось которого а = 6 378 245 м, малая полуось Ь = 6 356 863 м, сжатие ос, называемое иногда полярным и представляющее собой отношение (рис. 1.3)

ос =

а - Ь

1 : 298,3.

а

Другими величинами, характеризующими форму эллипсоида, являются первый эксцентриситет

е -

, л/я2 - Ь2

е --

Ъ

(1.1)

и второй эксцентриситет

(1.2)

В математике эксцентриситет е эллипса определяется как отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы [7]:

е

(1.3)

Параметры эллипса

Рис. 1.4. Параметры эллипса

Можно показать, что данное определение эксцентриситета е и «геодезическое» определение первого эксцентриситета эквивалентны. Для этого запишем значение эксцентриситета эллипса для точки Р (рис. 1.4):

= (1.4)

а + 5

где 5 — расстояние от точки экватора Е2 до директрисы с12.

Значение эксцентриситета для точки Е2 на экваторе может быть представлено выражением

е =

(1.5)

где/ — фокусное расстояние.

Из сравнения двух последних выражений следует

а _ а ~ /

а + 8 8

Отсюда далее находим

Ф ~ /)

/

Подставив данное значение в (1.4) или в (1.5), получаем

е =

Новая интерпретация параметров эллипса

Рис. 1.5. Новая интерпретация параметров эллипса

а это и есть значение первого эксцентриситета, как это видно на рис. 1.4. Таким образом, мы установили эквивалентность «математического» определения эксцентриситета и «геодезического» определения первого эксцентриситета. Преимущество формулы (1.3) состоит в том, что значение эксцентриситета служит характеристикой не только эллипса, но и других конических сечений — параболы и гиперболы. Достоинство выражения (1.1) для первого эксцентриситета (как и (1.2) для второго) заключается в очевидности, оно более наглядно выражает форму эллипса: чем больше разность полуосей а и Ь, тем больше эксцентриситет, и наоборот. При е = 0 эллипс превращается в окружность.

Можно дать другую интерпретацию первого и второго эксцентриситетов. На рис. 1.5 точки У7, и Р2 фокусы эллипса; Р — полюс; отрезки прямой РУ7, и РР2 равны большой полуоси а. Легко видеть, что первый эксцентриситет

е -

  • — = БІПЄ, а
  • (1.6)

второй эксцентриситет

( = (1.7)

о

где символ Г использован для обозначения второго эксцентриситета как более удобный и как напоминание о тангенсе угла е между отрезком РР2 и малой полуосью Ь.

Таким образом, основным (или первичным) параметром формы эллипса можно считать угол е. Значения всех величин, характеризующих форму эллипса, легко могут быть получены как функции угла е, в частности формулы (1.6), (1.7), к = а / Ь = 1 / собе и т.п.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >