ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ

Кривую линию называют плоской, если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости. Примеры плоских кривых — эвольвента, циклоида, спираль Архимеда, синусоида; кривые второго порядка — эллипс, гипербола, парабола, различные овалы и другие; примеры пространственных кривых — винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса, оси которых не пересекаются. Рассмотрим некоторые из них, применяемые в конструкциях деталей.

Построение эвольвенты. Эвольвентой ц называется кривая, которую описывает точка М прямой рм линии, катящейся без скольжения по неподвижной кривой д (эволюте) АВ (рис. 3.4). Центр Ом радиуса кривизны рм точка М. Эвольвента окружности широко (рис. 3.5) применяется в технике для выполнения зубчатых колес (рис. 3.6). Утолщенной линией выделены участки профилей зубьев, выполненных по эвольвенте.

Построение эвольвенты окружности выполняют следующим образом (см. рис. 3.5). Окружность делят на п равных частей, например 12, в точках делений проводят полукасательные и откладывают на последней, 12-й полукасательной отрезок, равный длине окружности. Отрезок делят на п равных частей. На 11-й полукасательной откладывают 11 частей отрезка, на 10-й — 10 и т.д. Через полученные точки проводят с помощью лекала плавную кривую. На рисунке показано построений касательной в произвольной точке М эвольвенты.

Рис. 3.6

Построение циклических кривых (греч. цикл — колесо, круг). Эти кривые составляют обширный класс кривых, образованных траекториями точек плоскости круга, катящегося без скольжения по какой-либо компланарной с ним направляющей линии. Если эта линия — прямая, траектории точек — обыкновенная циклоида (рис.

3.7, а); укороченная циклоида — точки лежат внутри круга (рис. 3.7, б); удлиненная циклоида — точки лежат вне круга (рис. 3.7, в).

Построение циклоиды: на направляющей прямой откладывают отрезок, равный длине окружности катящегося круга, и делят его на п равных частей (рис 3.7, а). В точках делений восставляют перпендикуляры. На п равных частей делят окружность и через них проводят прямые, параллельные направляющей. Когда круг из положения О переместится в положение Ор точка 8 поднимется до

Вершина арки 4

б) б)

параллели 7. На этом основании засекают из центра О, радиусом, равным радиусу круга, точку на параллели 7, из 02 засекают точку на параллели 6 и т.д. Через полученные точки проводят плавную кривую.

Построение касательной в произвольной точке М циклоиды: находят положение катящегося круга, когда он проходит через точку М, и проводят через найденный центр Ом диаметр АА,. Отрезок АЛ/ определит полунормаль, а N,М — полукасательную.

Подобным же образом строят укороченную и удлиненную циклоиды, но параллели проводят через точки деления вспомогательного круга радиусом гх = ОМ (см. рис. 3.7, б, в). Этим радиусом и делают засечки из центров О,, 07,... на соответствующих горизонталях.

Построение спирали Архимеда. Траектория точки, равномерно передвигающейся по равномерно вращающемуся радиусу вокруг неподвижного центра, представляет собой плоскую кривую, называемую спиралью Архимеда. Расстояние между точками, лежащими на одном радиусе, называют шагом спирали. На это расстояние точка удаляется от центра при повороте на 360°. Спираль Архимеда имеет две ветви, одна из них образуется при вращении радиуса по часовой стрелке, вторая — против часовой. Построение спирали Архимеда при заданном шаге Я показано на рис. 3.8. Окруж-

ность радиуса Я и шаг спирали делят на одинаковое количество равных частей (например, на 12). Пересечение концентрических дуг, проведенных радиусами 01, 02, 03,... с лучами 01, ОН, ОШ,..., определяет точки А123,... спирали. Для построения касательной и нормали к любой точке используют окружность радиуса Яг длина которой равна шагу Я спирали. Касательная к окружности радиуса Я} является нормалью к спирали в точке их пересечения, например нормаль ММ в точке Л1 спирали. Касательная в точке Л1 перпендикулярна нормали ММ.

IX

III

Рис. 3.8

Эвольвенты также относятся к спиралям; они имеют две ветви в зависимости от направления развертывания кривой.

На практике используют и спирали, составленные из дуг окружностей (их называют завитками), проводимых из двух, трех и более центров, расположенных в вершинах правильных многоугольников (на рис. 3.9 из двух центров — О, и 02).

На рис. 3.10 — пример использования четырехцентрового завитка в очертании центробежного вентилятора.

Синусоиду (рис. 3.11) строят по заданному диаметру начальной окружности. Выбирают начало координат, совпадающее с точкой А на окружности заданного радиуса Я, и на продолжении оси ОА откладывают отрезок АА1 = 2пЯ (равный длине окружности). Делят окружность и отрезок АА1 на одинаковое число равных частей и

пронумеровывают точки деления. Через точки деления окружности проводят ряд прямых, параллельных АА{; из точек деления прямой АА] ряд прямых, перпендикулярных ЧД,. На пересечении этих вспомогательных прямых, имеющих одноименные номера, отмечают точки синусоиды.

Вид синусоиды имеют многие кривые, изображающие гармонические колебательные процессы или являющиеся проекциями винтовых линий. Для их построения выполнение условия АА1 = = 2пЯ не является обязательным, но принцип деления исходной окружности и прямой АА] сохраняют.

Кривые 2-го порядка. Их свойства — геометрические, баллистические, оптические, акустические и др.— широко используют в самых разнообразных отраслях науки и техники.

Эллипс — множество точек плоскости, сумма расстояний (радиусов-векторов) каждой из которых до двух данных точек той же плоскости (фокусов1) есть величина постоянная (равная 2Я — большой оси эллипса).

Рис. 3.11

От лат .focus — огонь, очаг.

Один из вариантов построения эллипса по большой (2/?) и малой (2г) осям приведен на рис. 3.12. При построении проводят окружности радиусами г и Я из одного центра О и произвольный радиус ОА. Из точек пересечения 1 и 2 проводят прямые, параллельные осям эллипса, и в точке их пересечения отмечают точку М эллипса. Аналогично строят необходимое число точек.

Построение осей эллипса по заданным его сопряженным диаметрам. Поворачивают один из сопряженных полудиаметров на 90° (рис. 3.13). Полученную точку Я, соединяют с точкой Е и из точки О,, делящей отрезок Я,Я пополам, проводят дугу радиуса 00,. Точки I и К определят направлений осей, а их величины — отрезки КН] и Н{Ь. Построение не изменится, если использовать острый угол между сопряженными полудиаметрами.

Гипербола — множество точек плоскости, разность расстояний (радиусов-векторов) которых до двух данных точек той же плоскости (фокусов) есть величина постоянная (равная 2а — действительной оси гиперболы, рис. 3.14).

Построение гиперболы, когда задана ее действительная ось и фокусы. Отмечают точки 1, 2, 3,... (рис. 3.15), постепенно увеличивая расстояния между ними, и проводят из фокуса Т7, дуги радиусами, равными отрезкам Л/, А2,..., а из Р2 отрезкам В1, В2,... Пересечения дугу!/с В1,А2с В2т.а. — точки гиперболы.

Для построения левой ветви кривой из точки проводят дуги радиуса Д/, А2, ..., а из радиуса В1, В2, ... Но можно использовать осевую или центральную симметрию, как это сделано на чертеже. Мнимую ось С/) и асимптоты а{ и строят одним из приемов, показанных на верхней и нижней частях рис. 3.16. Если даны только оси, то фокусы определяют пересечением окружности, описанной вокруг построенного на осях прямоугольника, с осью х.

Построение гиперболы по ее точке Ми асимптотам. Проводят через точку М параллели асимптотам и произвольные полудиамет-ры гиперболы 01, 02ит.ц. (рис. 3.17, а), пересекающие эти параллели. Построение точек гиперболы показано на чертеже стрелками. Если спроецировать рис. 3.17, а на пл. не параллельную п, то

Рис. 3.16

получим рис. 3.17, б. Следовательно, указанное построение действительно для любого угла между асимптотами. Теперь можно построить ее фокусы и мнимую ось (см. рис. 3.16).

Парабола — множество точек плоскости, равноудаленных от точки (фокуса) и прямой (направляющей, директрисы), лежащих в этой же плоскости (рис. 3.18). Величина р — расстояние между фокусом и направляющей — параметр параболы. На этом свойстве основано построение параболы по заданным фокусу Р и направляющей (рис. 3.19). Через фокус проводят главный диаметр (ось) параболы перпендикулярно направляющей. Отрезок Я/7делят пополам и находят вершину А параболы. На оси вправо от точки А отмечают несколько произвольно выбранных точек, проводят через них вспомогательные прямые, перпендикулярные оси, и делают на них из фокуса Я засечки; на первой — радиусом, равным отрезку Я/, на второй — отрезку Н2 и т.д. Через полученные точки проводят плавную кривую.

а> б)

Построение параболы по двум касательным и точкам касания на

них (рис. 3.20). Каждую сторону угла делят на одинаковое число равных частей. Прямые, соединяющие одинаково обозначенные точки,— касательные, обвертывающие параболу. Этот прием используют при построении очертаний по параболе ребер жесткости (рис. 3.21) и в других подобных случаях.

Если дано очертание параболы и требуется провести ее ось, то проводят две любые параллельные хорды и через их середины — диаметр. Ось пройдет через середину любой хорды, перпендикулярной диаметру.

Рис. 3.20

Рис. 3.21

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >