Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Гидравлика

Силы поверхностного натяжения

В жидкостях действуют так называемые поверхностные силы — силы, величины которых пропорциональны площади. К ним относят два вида сил: силы поверхностного натяжения и силы вязкого трения. Последние проявляются только при движении жидкости и не играют никакой роли, когда жидкость находится в покое. Эти силы, как свойство вязкости, были рассмотрены при изучении свойств жидкостей.

Молекулы жидкости притягиваются друг к другу с определенной силой (рис. 1.15). Причем внутри жидкости силы, действующие на любую молекулу, уравновешиваются, так как со всех сторон одинаковые молекулы, находящиеся на одинаковом расстоянии. Однако молекулы жидкости, находящиеся на границе (с газом, твердым телом или на границе двух несмешивающихся жидкостей), оказываются

Взаимодействие молекул в пограничных слоях

Рис. 1.15. Взаимодействие молекул в пограничных слоях

в неуравновешенном состоянии так как со стороны другого вещества действует притяжение других молекул, расположенных на других расстояниях. Возникает преобладание какой-то силы. Под влиянием этого воздействия поверхность жидкости стремится принять форму, соответствующую наименьшей площади. Если силы внутри жидкости больше наружных сил, то поверхность жидкости стремится к сферической форме. Например, малые массы жидкости в воздухе стремятся к шарообразной форме, образуя капли. Может иметь место и обратное явление, которое наблюдается как явление капиллярности.

В трубах малого диаметра (капиллярах) наблюдается искривление свободной поверхности, граничащей с газом или с парами этой же жидкости (рис. 1.16). Если поверхность трубки смачивается, свободная поверхность жидкости в капилляре вогнутая. Если нет смачивания, свободная поверхность выпуклая, как при образовании капель (каплеобразовании). Во всех этих случаях силы поверхностного натяжения обусловливают дополнительные напряжения рПОВ в жидкости. Величина этих напряжений определяется формулой

0-37)

Г

где о — коэффициент поверхностного натяжения; г — радиус сферической поверхности, которую принимает жидкость.

Явление капиллярности

Рис. 1.16. Явление капиллярности

Эти дополнительные напряжения легко наблюдать, если в сосуд с жидкостью погрузить капилляр.

В этом опыте возможны два варианта. В первом случае жидкость, за счет поверхностных сил, поднимется по капилляру на некоторую высоту. Тогда говорят о капиллярном поднятии, и наблюдается явление смачивания. Во втором варианте жидкость опускается в капилляре ниже уровня жидкости в сосуде. Такое явление называют капиллярным опусканием, которое происходит при песмачивании.

В обоих случаях величина А И пропорциональна дополнительному напряжению, вызванному в жидкости поверхностными силами и обратно пропорциональна диаметру капилляра. Она равна:

(1.38)

Д/г = к— (1

где а — коэффициент поверхностного натяжения; # — ускорение свободного падения; р — плотность жидкости; с1 диаметр капилляра; к коэффициент пропорциональности, который выражается следующей формулой:

(1.39)

и зависит от жидкости. Например, для воды при / = 20 °С, к спирта составляет 11,5, ртути — 10,15 а воды — 30.

Поднятие воды в капиллярах почвы и грунтов является важным фактором в распространении воды. Высота капиллярного поднятия в грунтах изменяется от нуля (галечники) почти до 5 м (глины). При этом с увеличением минерализации воды высота капиллярного поднятия увеличивается.

Поверхностное натяжение и капиллярные эффекты определяют закономерности движения жидкости в условиях невесомости.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО

Определим теперь величину давления внутри покоящейся жидкости (рис. 1.17). С этой целью рассмотрим произвольную точку А, находящуюся на глубине Иа. Вблизи этой точки выделим элементарную площадку б/А. Если жидкость покоится, то и точка А находится в равновесии, что означает уравновешенность сил, действующих на площадку.

На рис. 1.17 использованы следующие обозначения:

А — произвольная точка в жидкости;

Иа глубина точки А

Р0 давление внешней среды; р — плотность жидкости; ра давление в точке А с18 — элементарная площадка.

Схема действия давления в произвольной точке

Рис. 1.17. Схема действия давления в произвольной точке

Сверху на площадку действует внешнее давление /?0 (в случае, если свободная поверхность граничит с атмосферой, то р0 = /?атм) и вес столба жидкости. Снизу — давление в точке А. Уравнение сил, действующих на площадку в этих условиях, примет вид:

<Ш>0 + dShagp = PadS • <1-40)

Разделив это выражение на dS и учтя, что точка А выбрана произвольно, получим выражение для р в любой точке покоящейся жидкости:

Р = Ро+ О-41)

где И — глубина жидкости, на которой определяется давление р.

Полученное выражение носит название основного уравнения гидростатики.

Из основного уравнения гидростатики следует, что для любой точки жидкости в состав величины давления входит р0 — давление, которое приложено к граничной поверхности жидкости извне. Эта составляющая одинакова для любой точки жидкости. Поэтому из основного уравнения гидростатики следует закон Паскаля, который гласит: давление, приложенное к граничной поверхности покоящейся жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Следует подчеркнуть, что давление во всех точках не одинаково. Одинакова лишь та часть (составляющая), которая приложена к граничной поверхности жидкости. Закон Паскаля — основной закон, на основе которого работает объемный гидропривод, который используется в абсолютном большинстве гидросистем технологических машин.

Вторым следствием является тот факт, что на равной глубине в покоящейся жидкости давление одинаково. В результате можно говорить о поверхностях равного давления. Для жидкости, находящейся в абсолютном покое или равномерно движущейся, эти поверхности — горизонтальные плоскости. В других случаях относительного покоя, которые будут рассмотрены ниже, поверхности равного давления могут иметь другую форму или не быть горизонтальными. Существование поверхностей равного давления позволяет измерять давление в любой точке жидкости.

Существует два основных типа приборов для измерения давления в жидкости.

К приборам первого типа можно отнести пьезометры (рис. 1.18). Они представляют собой вертикальную трубку, обычно прозрачную. Если, например, нужно измерить давление в точке я, то достаточно подсоединить эту трубку к стенке сосуда так, чтобы ее конец находился на поверхности равного давления, проходящей через эту точку. В пьезометре установится уровень жидкости, пропорциональный давлению в точке а. Абсолютное давление в этой точке будет:

Рабе = Р0+ 9&К • (1 -42)

Схема измерения давления пьезометром

Рис. 1.18. Схема измерения давления пьезометром

С другой стороны, это же давление можно представить как:

Рабе = Ратм + Р^П- (1-43)

Из (1.42) и (1.43) выразим Ип:

. = РО ~ Ратм + _ Ризб “ А

'ті

атм

  • (1.44)
  • 98

Р?

Величина кп называется пьезометрической высотой. По ее величине судят о величине давления.

Если абсолютное давление меньше атмосферного ра6с < ратм, то в жидкости имеет место разрежение, или вакуум. Такое давление называют вакуумметрическим давлением ршк, а высоту в пьезометре называют вакуумметрической высотойвак. Эти величины соответственно равны:

Лзак Раш РаЪс (1.45)

И

(1.46)

Ко второму типу приборов относятся манометры (рис. 1.19), которые имеют большое разнообразие по типам, размерам и характеристикам.

Однако принципиально все эти приборы состоят из чувствительного элемента, который меняет свою форму под воздействием давления, и связанного с этим элементом передаточного механизма и регистрирующего прибора (индикатора).

Подсоединять манометры для измерения давления в определенной точке надо так же, как пьезометры, на уровне поверхности равного давления. Под действием давления гибкий чувствительный элемент — мембрана — изгибается. Размер этого отклонения пропорционален величине измеряемого давления. Вместе с мембраной отклоняется жестко соединенная с ней стрелка, которая перемещается вдоль шкалы. Такой прибор отличается небольшим отклонением регистрирующего элемента — стрелки, следовательно, точность измерения большой быть не может.

Для увеличения чувствительности прибора мембрану можно соединить с зубчатой рейкой, находящейся в зацеплении с шестерней (рис. 1.20). Если с последней жестко соединить стрелку, то при изме-

Принцип механизма преобразования манометра

Рис. 1.20. Принцип механизма преобразования манометра

нении давления она будет поворачиваться по отношению к круговой шкале. В этом случае изгиб мембраны даст большее, чем в первом случае, линейное отклонение конца стрелки. Это увеличит точность показаний прибора.

Общим недостатком таких приборов является малое исходное отклонение чувствительного элемента — мембраны. Для устранения этого недостатка используются более сложные чувствительные элементы. Чаще всего таким элементом является полая трубка, согнутая по окружности (рис. 1.21). Один конец трубки связан со штуцером для подключения к измеряемому давлению, другой — с зубчатым сектором, который связан с шестерней и стрелкой, поворачивающейся вокруг шкалы. При повышении давления трубка разгибается,

Гибкая трубка

Схема чувствительного элемента манометра

Рис. 1.21. Схема чувствительного элемента манометра

и это отклонение значительно больше, чем отклонение мембраны при таком же давлении.

Во всех случаях чувствительный элемент мембрану или гибкую трубку можно связать с индуктивным электрическим преобразователем, состоящем из сердечника и электрической катушки. Можно также использовать пьезокристаллический преобразователь. В обоих случаях будет генерироваться электрический сигнал, пропорциональный величине давления. Этот сигнал после соответствующих электрических аналоговых или цифровых преобразователей можно передавать на большие расстояния и регистрировать стрелочными или цифровыми, например жидкокристаллическими, индикаторами. Также этот сигнал несложно передавать для обработки компьютеру.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости иначе называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Они получены для общего случая относительного покоя жидкости. Возможны следующие варианты относительного покоя (рис. 1.22).

Варианты покоя жидкости

Рис. 1.22. Варианты покоя жидкости

Первый вариант соответствует абсолютному покою или равномерному движению сосуда с жидкостью. Такой вариант рассматривался при выводе основного уравнения гидростатики.

Второй вариант — вращение сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью со вокруг центральной оси. Несмотря на то что вся масса жидкости вращается вместе с сосудом, частицы жидкости друг относительно друга не перемещаются, следовательно, весь объем жидкости, как и в первом случае, представляет собой как бы твердое тело. Давление в каждой точке жидкости не меняется во времени и зависит только от координат. По этим причинам жидкость подпадает под определение покоящейся.

Третий вариант аналогичен второму, только вращение осуществляется вокруг произвольно расположенной вертикальной оси. Во втором и третьем случаях свободная поверхность жидкости принимает новую форму, соответствующую новому равновесному положению жидкости.

В четвертом варианте сосуд с жидкостью движется прямолинейно и равноускоренно. Такой случай проявляется, например, в процессе разгона или остановки автоцистерны с жидкостью. В этом случае жидкость занимает новое равновесное положение, свободная поверхность приобретает наклонное положение, которое сохраняется до изменения ускорения. Частицы жидкости друг относительно друга находятся в покое, и давление зависит только от координат.

Во всех перечисленных случаях на жидкость действуют: во-первых, силы веса, во-вторых, силы инерции, в-третьих, силы давления.

Рассмотрим в произвольной системе координат X, ?, Z произвольную точку А (рис. 1.23). Вблизи этой точки выделим элементарный объем с!х, с!у, (II в форме прямоугольного параллелепипеда, грани которого для простоты математических выражений параллельны координатным плоскостям.

Заметим следующее:

  • • давление является функцией координат (при этом в любой точке оно по всем направлениям одинаково);
  • • при переходе к точкам х, Ау, А,) меняется только одна координата на бесконечно малую величину (сЬс, (1у, йт), поэтому функция получает приращение только по одной координате;
Схема действия сил на элементарный объем

Рис. 1.23. Схема действия сил на элементарный объем

покоящейся жидкости

• это приращение равно частному дифференциалу по соответству-

др др др

ющеи координате —ах, —ау, — яг.

дх ду 01

Таким образом, разность давлений, действующих на противоположные грани параллелепипеда (внутрь рассматриваемого объема), перпендикулярные соответствующим осям, будут иметь вид:

/

др

7 = р- р + —ск

д1

др

Р + ^г(1у

др

Ару = р-

ду

др

/

Арт = р- р + —ск

дz

/

д Z др ду ЭР дz

с1г,

(1.47)

рек.

Исходя из (1.58), определим разности сил, вызванных давлением, в проекции на оси координат:

-

Р dxdydz, дх

АРу =

Р dydxdz, ду

(1.48)

щ--

-^-dzdxdy.

дz

Кроме сил давления, на параллелепипед будут действовать инерционные силы, в общем случае определяемые массой и ускорениями

Р™ = ахрс!хс1ус11,

? Т/н ур±и1у<к, (1.49)

Р*н = а:$(1хс1уск.

Учитывая, что параллелепипед находится в покое, сумма сил (1.48) и (1.49), действующих на него, равна 0:

Л

ахрс!хс1ус11—с1х(1у(11 - 0,

дх

(1.50)

до

аурс1хс1ус11—с!у(1х(11 - 0,

ду

"X

а:рс1хс1уск - скс!хс1у = 0.

Разделив систему (1.50) на массу рассматриваемого параллелепипеда, получим систему уравнений Эйлера:

<

V

(1.51)

На практике, чтобы избавиться от частных производных, используют одно уравнение, заменяющее систему. Для этого первое уравнение из системы (1.51) умножают на с1х, второе на с1у, третье на ^ и складывают их:

1

/

Эр , др , Эр

ахсіх + аусіу + а7ск-^-сіх + -^-сіу + -^-ск

Эх

ду ді

/

В этой формуле сумма в скобках является полным дифференциалом давления, который в результате оказывается равным:

с!р = р(ахсІх + ау(1у + сілі?). (1.52)

Полученное уравнение показывает, как изменяется давление при изменении координат внутри покоящейся жидкости для общего случая относительного покоя.

Простейший случай интегрирования уравнений Эйлера

Простейшими случаями покоя жидкости являются абсолютный покой или покой при равномерном движении сосуда с жидкостью. Интеграл Эйлера для этих вариантов покоя одинаков. При таком покое жидкость находится под действием только силы тяжести (рис. 1.24).

Это означает, что проекции ускорений на оси X и Тотсутствуют. Единственным ускорением является ускорение свободного падения g, т.е.:

С1Х 0, (Лу 0, (1^

Тогда полный дифференциал давления, после подстановки в него ускорений, примет вид:

с1р = -№ск. (1.53)

Жидкость под действием силы тяжести

Рис. 1.24. Жидкость под действием силы тяжести

После интегрирования (1.53) получим:

dp = J-pgdz => р = -рgz + С. (1.54)

Постоянную интегрирования, равную

С = р +pgz = А) + Р^о,

найдем, подставив параметры свободной поверхности р0 и г0.

После подстановки этих значений в интеграл (1.54) будем иметь равенство:

Р =-pgz + Ро + pgZQ. (1-55)

Переписав (1.55) в другом виде, получим

Р = Ро + PgZo - Рgz = Ро + pgU0 ~z). (1.56)

h

Если в (1.56) обозначить (zq-z) через И, то приведенное равенство примет уже знакомый вид основного уравнения гидростатики

p = p0 + pgh. (1.57)

Из этого же равенства (1.55) после переноса слагаемого -рgh в левую часть получается следующий вид

р + pgz = р0+ Р gz0.

С учетом того, что параметр z является текущим и, следовательно, относится к любой точке жидкости, интеграл (1.55) преобразуется к виду

Z + — — const. (1.58)

PS

Последнее выражение часто называют основным законом гидростатики.

Физический смысл основного закона гидростатики

Полученный выше основной закон гидростатики несложно вывести, опираясь на следующие рассуждения. Они не носят строгого математического характера, но правильно отражают физику явления.

Рассмотрим произвольную точку а внутри покоящегося объема жидкости, которая расположена на какой-то высоте относительно некоторого произвольного уровня (рис. 1.25). Этот уровень назовем нулевым уровнем (нулевой линией). Будем считать, что на этой линии потенциальная энергия, зависящая от положения рассматриваемого объема жидкости, равна 0. С точки зрения практики можно считать, что это уровень, ниже которого рассматриваемый объем жидкости не может пролиться. Например, для лабораторного стакана это уровень стола, для гидросистемы станка — уровень пола, для системы отопления — уровень земли или подвала.

Покоящийся объем жидкости оносительно нулевой линии

Рис. 1.25. Покоящийся объем жидкости оносительно нулевой линии

Вблизи точки а выберем элементарный объем (IV. Выразим потенциальную энергию этого объема как сумму двух составляющих: энергии, зависящей от положения над нулевой линией magza, и энергии сжатии (1Ура, зависящей от степени внутреннего напряжения в выбранном объеме.

Еа = та&а + с!Ура, (1.59)

где ра = р0 +ар? — давление в точке а та = <1Ур — масса объема (IV, выбранного вокруг точки а.

Тогда потенциальная энергия будет выражена

Еа = (IV + Уа (р0 + ка pg). (1.60)

Если учесть, что ка = 1о - 1а, и подставить его в (1.71), получится:

Еа = с1У^а + с1Ур{) + с1Ур?(г0 - 1а).

Раскрыв скобки, получим

Еа = с!У^1а + с1УР{] + (1У р?^о - с1У^1а.

После сокращения будем иметь

Еа = <1УРо + <1Уто. (1.61)

С другой стороны, исходное выражение для потенциальной энергии рассматриваемого объема имеет вид Еа - dУpgza + с1Ура. Тогда можно записать

(IV та + ЛУРа = ^УРо + ^У то- (1 -62)

Разделим обе части (1.62) на вес рассматриваемого объема ёУр?. В результате получится уже известное выражение основного закона гидростатики:

Za +- - Zq +-•

р g р g

Если вспомнить, что точка а была выбрана произвольно, можно записать полученное равенство в общем виде

р

z + — = const.

Р?

Из вывода ясно, что физический смысл основного закона гидростатики — закон сохранения энергии для покоящейся жидкости, который говорит о том, что механическая энергия любой частицы жидкости одинакова.

В этом выражении:

Z — потенциальная энергия единицы веса жидкости, определя-

р

емая положением над нулевой линиеи;--потенциальная энергия

Р?

единицы веса жидкости, зависящая от степени ее сжатия.

В геометрической интерпретации константу обозначают буквой Н и называют гидростатическим напором, а саму формулу записывают в виде:

Р_

Р?

г +

(1.63)

Слагаемые основного закона гидростатики в этом случае называют:

I — нивелирная высота;

Р

--пьезометрическая высота.

Р?

ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ОКРУЖАЮЩИЕ ЕЕ СТЕНКИ

Важнейшей задачей гидростатики является определение сил, с которыми жидкость действует на окружающие ее твердые стенки. Очень часто необходимо знать величину, направление и точку приложения сил, вызванных давлением, чтобы правильно провести прочностные расчеты элементов конструкции гидропривода (гидравлических машин, аппаратов и арматуры). Подобные задачи необходимо решать и в ходе проектирования гидротехнических сооружений (плотин, дамб, причалов и т.д.). Проанализируем решение наиболее часто возникающих (типовых) задач.

Сила давления жидкости на плоскую стенку

Рассмотрим произвольную площадку <&, расположенную на плоской наклонной стенке сосуда с жидкостью на расстоянии ? от оси X, и определим силы, действующие на эту площадку (рис. 1.26).

Р о

Схема действия жидкости на наклонную плоскую поверхность

Рис. 1.26. Схема действия жидкости на наклонную плоскую поверхность

Сила от давления, действующего на элементарную площадку будет описываться формулой:

(1Р = /и/5 = (Ро+ р gh)dS. (1.64)

Если проинтегрировать силу (1.64), действующую на элементарную площадку по площади, получим выражение полной силы, действующей на всю площадь целиком

F= P0dS + pghdS. (1.65)

s s

Из рисунка ясно, что в последнем выражении h = Y sin а. Подставив значение И в предыдущее выражение (1.65), будем иметь:

F = p0S + pgsinajT^/X (1.66)

S

Из теоретической механики известно, что интеграл JYdS есть

не что иное, как статический момент площади S относительно оси ОХ Он равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести, т.е. можно записать

J YdS = YCS, (1.67)

где Yc расстояние от оси Хдо центра тяжести площади S. Подставив формулу момента (1.67) в выражение силы (1.66), получим:

Лоб

F = PqS + pgFcsinaX (1.68)

V—V"

Анализ второго слагаемого показывает, что произведение Yc sin a — это глубина положения центра тяжести площадки, а pgTcsina — избыточное давление жидкости в центре тяжести площадки. С учетом этого можно записать

р = (Ро +Р?йс)5. (1.69)

Ч__ __/

V

Рс

Сумма в скобках в последнем выражении (1.69) является абсолютным давлением в центре тяжести рассматриваемой произвольной площадки. Таким образом, можно сделать вывод: полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению ее площади на величину гидростатического давления в центре тяжести этой стенки.

Однако необходимо учесть, что эта сила не сконцентрирована в точке, а распределена по площади. И распределение это неравномерно. По этой причине для расчетов, кроме величины силы, действующей на наклонную площадку, необходимо знать точку приложения равнодействующей.

Центр давления

Распределенную нагрузку, действующую на наклонную стенку, заменим сконцентрированной. Для этого найдем на наклонной стенке положение точки Д в которой приложена равнодействующая силы давления. Точку, в которой приложена эта сила, называют центром давления. Как уже неоднократно рассматривалось, давление, действующее в любой точке в соответствии с основным уравнением гидростатики, складывается из двух частей: внешнего давления Р0, передающегося всем точкам жидкости одинаково, и давления столба жидкости р, определяемого глубиной. Давление р0 передается всем точкам площадки одинаково. Следовательно, равнодействующая Рвн этого давления будет приложена в центре тяжести площадки 5. При этом надо учитывать, что в большинстве случаев это давление действует и со стороны жидкости, и с наружной стороны стенки (рис. 1.27, а). Давление р увеличивается с увеличением глубины. При этом величина равнодействующей этой силы Азб известна и равна А3б = РФс$-> а точкУ ее приложения необходимо определить (рис. 1.27, б).

Схемы действия сил давления на наклонную плоскую поверхность

Рис. 1.27. Схемы действия сил давления на наклонную плоскую поверхность

Для нахождения центра избыточного давления жидкости (рис. 1.28) применим уравнение механики, согласно которому момент равнодействующей силы относительно оси 0^равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

(1.70)

где У0 — координата точки приложения силы Ртб; У — текущая глубина.

Учтем, что если Ис выразить как координату точки С по оси У, то /'нзб примет вид:

Ртб = (р^ыпаВДУд = ^(р^таКУ) = ряыпа|у2^. (1.71)

Заменив в выражении (1.71) Ртб и У0 интегралом, в соответствии с упомянутым уравнением механики (1.80), будем иметь

зб = |Щр^іпаГ5) = р«8іпа/г2

Отсюда выразим Уп

Р?8Іпа|У2б/У у2с18

Уо =

Ро

Схема определения центра давления

Рис. 1.28. Схема определения центра давления

—. (1.72)

р^шос ГСУ

Интеграл в числителе дроби является статическим моментом инерции площади У относительно оси ОЛТ и обычно обозначается .7^:

у2с18 = У*.

Из теоретической механики известно, что статический момент площади относительно оси вращения равен сумме собственного момента инерции (момента инерции этой площади относительно оси, проходящей через ее центр тяжести и параллельной первой оси)

и произведения этой площади на квадрат расстояния от оси вращения до центра ее тяжести

+ гс2а.

С учетом последнего определения У0 окончательно можно выразить в виде:

Гс5

Ус*

(1.73)

Таким образом, разница в положениях АТ (глубинах) центра тяжести площадки (точка С) и центра давления (точка /)) составляет

ду = ^С0. (1.74)

Тс5

В итоге можно сделать следующие выводы. Если внешнее давление действует на стенку с обеих сторон, то найденная точка /) будет являться центром давления. Если внешнее давление со стороны жидкости выше давления с противоположной стороны (например, атмосферного), то центр давления находится по правилам механики как точка приложения равнодействующей двух сил: силы, создаваемой внешним давлением, и силы, создаваемой весом жидкости. При этом чем больше внешнее давление, тем ближе располагается центр давления к центру тяжести.

В гидроприводе технологического оборудования внешние давления в десятки и сотни раз превышают давления, вызванные высотой столба жидкости. По этой причине в расчетах гидравлических машин и аппаратов положение центров давления можно считать совпадающими с центрами тяжести.

Сила давления жидкости на криволинейную стенку

Чаще всего необходимо определить силу, действующую на цилиндрическую поверхность, имеющую вертикальную ось симметрии. Возможны два варианта. Первый вариант — жидкость воздействует на стенку изнутри (рис. 1.29).

Во втором варианте жидкость действует на стенку снаружи. Рассмотрим одновременно оба этих варианта.

В первом случае выделим объем жидкости, ограниченный рассматриваемым участком цилиндрической поверхности АВ, участком свободной поверхности С/), расположенным над участком АВ, и двумя вертикальными поверхностями ВС и СД проходящими через точки Ап В. Эти поверхности ограничивают объем АВСй, который

Р о

Действие давления жидкости изнутри на криволинейную поверхность

Рис. 1.29. Действие давления жидкости изнутри на криволинейную поверхность

находится в равновесии. Рассмотрим условия равновесия этого объема в вертикальном и горизонтальном направлениях. Заметим, что если жидкость действует на поверхность АВ с какой-то силой Е, то с такой же силой, но в обратном направлении и поверхность действует на рассматриваемый объем жидкости. Эту силу, перпендикулярную поверхности АВ, можно представить в виде горизонтальной Рг и вертикальной Ев составляющих.

Условие равновесия объема АВСй в вертикальном направлении выглядит так:

^В = ЛА + С, (1.75)

где р0 — внешнее давление; Уг — площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; (7 — вес выделенного объема жидкости.

Условие равновесия этого объема в горизонтальной плоскости запишем с учетом того, что силы, действующие на одинаковые вертикальные поверхности АР и СЕ, взаимно уравновешиваются. Остается только сила давления на площадь ВЕ, которая пропорциональна вертикальной проекции поверхности АВ — Ув. С учетом частичного уравновешивания будем иметь условие равновесия сил в горизонтальном направлении, в виде

^ + аАр (1-76)

где Ис глубина расположения центра тяжести поверхности АВ.

Зная Ег (1.76) и (1.75), определим полную силу/7, действующую на цилиндрическую поверхность

Р = ДТТЪ. (1.77)

Во втором случае, когда жидкость воздействует на цилиндрическую поверхность снаружи (рис. 1.30), величина гидростатического давления во всех точках поверхности АВ имеет те же значения, что и в первом случае, так как определяется такой же глубиной. Силы, действующие на поверхность в горизонтальном и вертикальном направлениях, определяются по тем же формулам, но имеют противоположное направление. При этом под величиной С надо понимать тот же объем жидкости АВС Б, несмотря на то что на самом деле он, в данном случае, и не заполнен жидкостью.

Действие давления жидкости на криволинейную поверхность снаружи

Рис. 1.30. Действие давления жидкости на криволинейную поверхность снаружи

Положение центра давления на цилиндрической стенке легко можно найти, если известны силы Рг и Рв и определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести рассматриваемого объема АВСй. Задача упрощается, если рассматриваемая поверхность является круговой, так как равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности. Это происходит из-за того, что силы давления всегда перпендикулярны поверхности, а перпендикуляр к окружности всегда проходит через ее центр.

Круглая труба под действием гидростатического давления

В гидравлических системах технологического назначения жидкость в основном передается по трубам круглого сечения. В водопроводах, канализационных и многих других трубопроводных системах, гидротехнических сооружениях широко используются трубы и различные резервуары круглого сечения. По этой причине задача определения нагрузки на трубу является весьма распространенной. В таких расчетах используется полученная ранее формула горизонтальной составляющей силы, действующей со стороны жидкости на криволинейную поверхность:

= ?вр + аА = ^в(р §ис + А))- (1 -78)

Для труб небольшого диаметра, которые применяются в машиностроительном гидроприводе, давлением столба жидкости можно пренебречь ввиду его малости. Тогда уравнение (1.78) примет вид

Ту = ^ВА), (1.79)

где р0 внешнее давление.

Рассмотрим трубу длиной / с внутренним диаметром /), и толщиной стенок 5, находящуюся под действием гидростатического давления Р (рис. 1.31). Это давление порождает разрывающие силы Рх. Из-за симметричности трубы такие разрывающие силы будут действовать одинаково во всех направлениях. Для вертикальной плоскости эта сила будет равна

Рх = рШ, (1.80)

где произведение /)/ есть вертикальная проекция площади стенки трубы.

Круглая труба под действием внутреннего давления

Рис. 1.31. Круглая труба под действием внутреннего давления

Разрывающей силе будут противодействовать силы реакции Рк, возникающие в стенках трубы. Площадь стенок трубы 58 в любом осевом сечении составит:

(1.81)

= 2/6.

Под действием разрывающих сил в стенках трубы будет возникать суммарная сила реакция Рк, равная по величине разрывающей силе, но направленная в противоположную сторону:

РК = РХ. (1.82)

Из (1.80), (1.81) и (1.82) находится напряжение о в стенках трубы, вызываемое давлением внутри трубы. Оно равняется:

(1.83)

[я_ _ рМ_ _ р®_

2/6 26 '

ЗАКОН АРХИМЕДА, ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ СИЛА

Будем считать, что в жидкость плотностью р погружено тело объемом IV. Выберем систему координат, ось Zкоторой направим вниз, а осиХи У— вдоль свободной поверхности (рис. 1.32). Рассмотрим усилия, действующие на тело со стороны жидкости.

Схема действия сил на тело, погруженное в жидкость

Рис. 1.32. Схема действия сил на тело, погруженное в жидкость

Все горизонтальные составляющие, как было установлено выше, будут уравновешиваться. Для определения вертикальных составляющих выделим в твердом теле элементарный цилиндрический объем с площадью поперечного сечения с13. На торцевые поверхности этого объема действуют силы с1Р{ сверху и с1Р2 снизу.

Вертикальная составляющая силы с!Р будет

^/[собос, = р#/?^, собос, = с!8. (1-84)

Вертикальная составляющая силы ёР2 будет

с1Р2со$а2 = -р^б/^соБаг = (1.85)

Будем считать, что погруженное в жидкость тело находится в равновесии. Поэтому вес выделенного элементарного цилиндра сЮ будет уравновешиваться действующими на него силами.

сЮ = ряг^ - р?г2^ = -р(1.186)

Проинтегрировав это выражение по площади горизонтальной проекции тела, получим:

С = -р^|ы5 = -р?К. (1.187)

Это выражение называется законом Архимеда: погруженное в жидкость тело теряет в своём весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Другими словами на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости. Эта сила приложена в точке, которая называется точкой водоизмещения.

В зависимости от отношения веса и выталкивающей силы возможны три состояния тела:

  • • если вес больше выталкивающей силы — тело тонет,
  • • если вес меньше выталкивающей силы — тело всплывает,
  • • если вес равен выталкивающей силе — тело плавает.
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ

В общем случае течение жидкости, конечно же, является многомерным и определяется в различной степени влияния большим числом независимых параметров, таких как пространственные координаты, время, температура и др. В геометрическом смысле любой поток жидкости является трехмерным. При решении огромного количества технических задач жидкость течет по трубопроводам, которые характеризуются тем, что:

  • • имеют достаточную протяженность;
  • • имеют незначительную кривизну;
  • • на достаточно больших участках не имеют резких изгибов и изменений формы;
  • • параметры сечений потоков малы по сравнению с протяженностью.

Учитывая перечисленные характеристики, можно считать, что такие потоки движутся практически вдоль одной координаты, прямолинейной или криволинейной. В таких потоках распределение давления по сечению потока можно считать постоянным. Скорость движения жидкости в сечении также можно считать постоянной, имея ввиду некое усредненное значение скорости. Это позволяет ввести понятие «одномерного движения». Ярким примером такого движения являются плавно меняющиеся потоки. Большинство потоков в объемном гидроприводе технологического оборудования можно считать одномерными.

Течение жидкости в трубах

Основная задача описания движения жидкостей состоит в определении скорости и и давления р в каждой точке потока жидкости, которые являются функциями времени / и координат X, у, 1‘.

и = /„(*, У, 1,0 и р = /р(х, у, О-

Изучение этих зависимостей начнем с рассмотрения идеальной жидкости, под которой понимают воображаемую жидкость, не имеющую вязкости и, следовательно, не имеющую сил трения между слоями, т.е. касательные напряжения в которой раны нулю. Давление в такой жидкости имеет свойства гидростатического давления, т.е. направлено по внутренней нормали и передается одинаково во всех направлениях.

Виды движения (течения) жидкости

Течение жидкости вообще может быть неустановившимся (нестационарным) или установившимся (стационарным).

Неустановившееся движение (рис. 1.33) — такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени изменяются, т.е. и и р зависят не только от координат точки в потоке, но и от момента времени, в который определяются характеристики движения.

Неустановившееся движение

Рис. 1.33. Неустановившееся движение

и = /и(х, у, 1,0 и р = /р(х, у, г, О-

Примером неустановившегося движения может являться вытекание жидкости из опорожняющегося сосуда, при котором уровень жидкости в сосуде постепенно меняется (уменьшается) по мере вытекания жидкости.

Установившееся движение (рис. 1.34) — такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени не изменяются, т.е. и и р зависят только от координат точки в потоке, но не зависят от момента времени, в который определяются характеристики движения.

и = /„'(*, У, I) И р = /'(х, у, г),

и, следовательно,

др

Э/

(1.88)

Пример установившегося движения — вытекание жидкости из сосуда с постоянным уровнем, который не меняется (остается постоянным) по мере вытекания жидкости.

В случае установившегося течения в процессе движения любая частица попадая в определенное место потока, имеет строго определенные параметры движения. Следовательно, каждая частица имеет определенную траекторию.

Траекторией называется путь, проходимый данной частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени.

При установившемся движении форма траекторий не изменяется во время движения. В случае неустановившегося движения величины направления и скорости движения любой частицы жидкости непрерывно изменяются, следовательно, и траектории движения частиц в этом случае также постоянно изменяются во времени.

Поэтому для рассмотрения картины движения, образующейся в каждый момент времени, применяется понятие линии тока.

Линия тока — это кривая (рис. 1.35), проведенная в движущейся жидкости в данный момент времени так, что в каждой точке векторы скорости совпадают с касательными к этой кривой.

Линия тока

Рис. 1.35. Линия тока

Нужно различать траекторию и линию тока. Траектория характеризует путь, проходимый одной определенной частицей. Линия тока характеризует направление движения в данный момент времени каждой частицы жидкости, лежащей на ней.

При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости. При неустановившемся движении они не совпадают, и каждая частица жидкости лишь один момент времени находится на линии тока, которая сама существует лишь в это мгновение. В следующий момент возникают другие линии тока, на которых будут располагаться другие частицы. Еще через мгновение картина опять меняется.

Если выделить в движущейся жидкости элементарный замкнутый контур площадью <4со, через все точки этого контура провести линии тока, то получится трубчатая поверхность, которую называют трубкой тока (рис. 1.36). Часть потока, ограниченная поверхностью трубки тока, называется элементарной струйкой жидкости.

Таким образом, элементарная струйка жидкости заполняет трубку тока и ограничена линиями тока, проходящими через точки выделенного контура с площадью ^/со. Если ^/со устремить к 0, то элементарная струйка превратится в линию тока.

Из приведенных выше определений вытекает, что в любом месте поверхности каждой элементарной струйки (трубки тока) в любой момент времени векторы скоростей направлены по касательной (и, следовательно, нормальные составляющие отсутствуют). Это означает, что ни одна частица жидкости не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу.

При установившемся движении элементарные струйки жидкости обладают рядом свойств:

  • • площадь поперечного сечения струйки и ее форма с течением времени не изменяются, так как не изменяются линии тока;
  • • проникновение частиц жидкости через боковую поверхность элементарной струйки не происходит;
  • • во всех точках поперечного сечения элементарной струйки скорости движения одинаковы вследствие малой площади поперечного сечения;
  • • форма, площадь поперечного сечения элементарной струйки и скорости в различных поперечных сечениях струйки могут изменяться.

Трубка тока является как бы непроницаемой для частиц жидкости со стороны боковой поверхности, а элементарная струйка представляет собой как бы элементарный поток жидкости очень маленького сечения, в котором скорость течения можно считать постоянной.

При неустановившемся движении форма и местоположение элементарных струек непрерывно изменяются.

Кроме того, установившееся движение подразделяется на равномерное и неравномерное.

Равномерное движение характеризуется тем, что скорости, форма и площадь сечения потока не изменяются по длине потока.

Неравномерное движение отличается изменением скоростей, глубин, площадей сечений потока по длине потока.

Среди неравномерно движущихся потоков следует отметить плавно изменяющиеся движения, характеризующиеся тем, что:

  • • линии тока искривляются мало;
  • • линии тока почти параллельны, и живое сечение можно считать плоским;
  • • давления в живом сечении потока зависят от глубины. Совокупность элементарных струек жидкости представляет собой

поток жидкости. Различают следующие типы потоков (или типы движений жидкости).

Напорные потоки (движение) (рис. 1.37, а) — это такие, когда поток ограничен твердыми стенками со всех сторон, при этом в любой

Виды потоков жидкости

Рис. 1.37. Виды потоков жидкости

точке потока давление отличается от атмосферного обычно в большую сторону, но может быть и меньше атмосферного. Движение в этом случае происходит за счет напора, создаваемого, например, насосом или водонапорной башней. Давление вдоль напорного потока обычно переменное. Такое движение имеет место во всех гидроприводах технологического оборудования, водопроводах, отопительных системах и т.п.

Безнапорные потоки (движение) (рис. 1.37, б) отличаются тем, что поток имеет свободную поверхность, находящуюся под атмосферным давлением. Безнапорное движение происходит под действием сил тяжести самого потока жидкости. Давление в таких потоках примерно одинаково и отличается от атмосферного только за счет глубины потока. Примером такого движения могут быть река, канал, ручей.

Свободная струя (рис. 1.37, в) не имеет твердых стенок. Движение происходит под действием сил инерции и веса жидкости. Давление в таком потоке практически равно атмосферному. Пример свободной струи — поток жидкости из шланга.

Гидравлические характеристики потока жидкости

В гидравлике различают следующие характеристики потока: живое сечение, смоченный периметр, гидравлический радиус, расход, средняя скорость.

Живым сечением потока называется поверхность (поперечное сечение), нормальная ко всем линиям тока, его пересекающим, и лежащая внутри потока жидкости. Площадь живого сечения обозначается буквой со. Для элементарной струйки жидкости используют понятие живого сечения элементарной струйки (сечение струйки, перпендикулярное линиям тока), площадь которого обозначают через с/со.

Смоченный периметр потока — линия, по которой жидкость соприкасается с поверхностями русла в данном живом сечении. Длина этой линии обозначается буквой %.

В напорных потоках смоченный периметр совпадает с геометрическим периметром, так как поток жидкости соприкасается со всеми твердыми стенками.

Гидравлическим радиусом потока называется часто используемая в гидравлике величина, представляющая собой отношение площади живого сечения со к смоченному периметру X

Я = ~. (1.89)

X

При напорном движении в круглой трубе диаметром (1 гидравлический радиус будет равен:

кс!2

Я = - = -4-= -,(1.90)

X кс1 4

т.е. четверти диаметра, или половине радиуса трубы.

Для безнапорного потока прямоугольного сечения с размерами Их Ь (рис. 1.38) гидравлический радиус можно вычислить по формуле

(1.91)

со _ ИЬ X 2 И + Ь

1 >

Рис. 1.38. Поток жидкости прямоугольного сечения

Свободная поверхность жидкости при определении смоченного периметра не учитывается.

Расход потока жидкости {расход жидкости) — количество жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение потока.

Различают объемный, массовый и весовой расходы жидкости.

Объемный расход жидкости — это объем жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение потока. Объемный расход жидкости измеряется обычно в м3/с, дм3/с или л/с. Он вычисляется по формуле

IV

<2 = — (1.92)

где (9 — объемный расход жидкости; IV — объем жидкости, протекающий через живое сечение потока; t — время течения жидкости.

Массовый расход жидкости — это масса жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение потока. Массовый расход измеряется обычно в кг/с, г/с или т/с и определяется по формуле:

где 0М — массовый расход жидкости; М — масса жидкости, протекающий через живое сечение потока; t — время течения жидкости.

Массовый расход 0М, в отличие от объемного, зависит от плотности р жидкости и определяется зависимостью:

Ом = р КР<*’ (1 -94)

где Уср — средняя скорость потока жидкости; со — площадь живого сечения потока.

Нетрудно заметить, что между объемным и массовым расходами существует следующее соотношение:

Р

Весовой расход жидкости — это вес жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение потока. Весовой расход измеряется обычно в Н/с, кН/с. Формула для его определения выглядит так:

где 0С весовой расход жидкости; (7 — вес жидкости, протекающей через живое сечение потока; / — время течения жидкости.

Чаще всего используется объемный расход потока жидкости. С учетом того что поток складывается из элементарных струек, то и расход потока складывается из расходов элементарных струек жидкости (10.

Расход элементарной струйки — объем жидкости, проходящей через живое сечение струйки в единицу времени. Таким образом:

е = !

0)

Применение формулы (1.10) в расчетах весьма затруднительно, так как расходы элементарных струек жидкости в различных точках живого сечения потока различны. Поэтому в практике чаще пользуются понятием средней скорости потока.

Средняя скорость потока жидкости в данном сечении — это не существующая в действительности скорость потока, одинаковая для всех точек данного живого сечения, с которой должна была бы двигаться жидкость, чтобы ее расход был бы равен фактическому.

Струйная модель потока

В гидравлике рассматривается струйная модель движения жидкости, т.е. поток представляется как совокупность элементарных струек жидкости, имеющих различные скорости течения ^(рис. 1.39). Индекс со означает (напоминает), что в каждой точке живого сечения скорости различны. Элементарные струйки как бы скользят друг по другу. Они трутся между собой, и вследствие этого их скорости различаются. Причем в середине потока скорости наибольшие, а к периферии они уменьшаются.

Струйная модель потока

Рис. 1.39. Струйная модель потока

Распределение скоростей по живому сечению потока можно представить в виде параболоида с основанием, равным со. Высота его в любой точке равна скорости соответствующей элементарной струйки г/ю. Площадь элементарной струйки равна ^/со. В пределах этой площади скорость можно считать постоянной. Понятно, что за единицу времени через живое сечение потока будет проходить объем жидкости IV, равный объему параболоида. Этот объем жидкости и будет равен расходу потока.

^параболоида = 0 = № = ^(0. ( 1 -96)

СО со

С учетом понятия средней скорости, которая во всех точках живого сечения одинакова, за единицу времени через живое сечение потока будет проходить объем жидкости (обозначим его И^ср), равный:

^ср = соКСр. (1.97)

Если приравнять эти объемы (1.96) и (1.97)

^ср ^параболоида’

можно определить значение средней скорости потока жидкости:

В дальнейшем среднюю скорость потока жидкости будем обозначать буквой V без индекса «ср».

При неравномерном движении средняя скорость в различных живых сечениях по длине потока различна. При равномерном движении средняя скорость по длине потока постоянна во всех живых сечениях.

Уравнение неразрывности

В технологическом оборудовании чаще всего рассматривают потоки, в которых не образуются разрывы жидкости, т.е. жидкость в таких потоках сплошь заполняет весь объем гидросистем.

Рассмотрим элементарную струйку несжимаемой жидкости при установившемся движении (рис. 1.40), в которой выделим два произвольных сечения 1—1 и 2—2, расположенные на некотором расстоянии одно от другого.

Элементарная струйка жидкости

Рис. 1.40. Элементарная струйка жидкости

Здесь ?/(?>! И с10)2 площади, И и2 скорости, (10| И с!()2 — расходы элементарной струйки в соответствующих живых сечениях.

Очевидно, что

^0 = ^С°1^1 и (102 = с10)2и2

причем с!0 втекает в рассматриваемый участок элементарной струйки, а с102 — вытекает.

Учитывая, что форма элементарной струйки не изменяется с течением времени, поперечный приток и отток невозможен, так как скорости на боковой поверхности струйки направлены по касательным к линиям тока, из которых состоит эта боковая поверхность, получаем, что расходы с10х и (102 равны, т.е.

Вследствие того что сечения 1—1 и 2—2 выбраны произвольно, подобные соотношения справедливы для любых сечений элементарной струйки. Следовательно, можно записать:

с/со,«, = const

или

dQj = const. (1.100)

Последнее соотношение называется уравнением неразрывности для элементарной струйки в гидравлической форме несжимаемой жидкости при установившемся движении.

Уравнение неразрывности в гидравлической форме для потока жидкости при установившемся

движении жидкости

Если просуммировать расходы всех элементарных струек в каждом живом сечении потока, то получится уравнение неразрывности для потока при установившемся движении. Обычно его записывают в следующих видах:

Q- const,

или

или

0)iVi = const,

J w,c/co = const. (1.101)

CO

Из сказанного видно, что для несжимаемой жидкости при установившемся движении жидкости расход во всех живых сечения потока одинаков, несмотря на то что площади живого сечения и средние скорости в каждом сечении могут быть разными.

Из уравнения неразрывности (1.101) вытекает следующее важное соотношение:

(1.102)

Yl=

V2 со,’

т.е. средние скорости в живых сечениях потока обратно пропорциональны их площадям.

Уравнение неразрывности потока жидкости в гидравлической форме очень часто применяется в гидравлике для описания движения жидкости в каналах и трубопроводах.

Дифференциальные уравнение неразрывности движения жидкости

Уравнения, рассмотренные выше (1.99), (1.100), (1.101) и (1.102), представлены в интегральной форме и не учитывают всех особенностей движения потока жидкости.

Рассмотрим то же самое движение жидкости, опираясь на важнейший закон механики — закон сохранения массы.

Рассмотрим движение со скоростью и некоторого произвольного объема IV плотностью рср (рис. 1.41). Масса этого объема равна М- рср№. Условием сплошности (неразрывности) какой-либо среды является

йМ

(1.18)

т.е. масса объема ?не меняется во времени. Однако неизменность массы не означает, что составляющие, определяющие массу, тоже должны быть постоянны. Причем в общем случае изменяются во времени как объем IV, так и плотность жидкости р. Тогда можно записать:

(1.104)

Iт _ сдур) _ ^ 4> ш_ Ш си си сИ

Движущийся произвольный объем жидкости

Рис. 1.41. Движущийся произвольный объем жидкости

Первое слагаемое в этом уравнении описывает изменение

массы за счет изменения плотности при постоянном объеме, а второе с/Г

слагаемое

сИ

р описывает изменение массы за счет изменения

объема при постоянной плотности.

Учитывая то, что = — и р = —, подставив эти значения в по-

р IV

следнее уравнение, преобразуем его к виду:

с!М М с1о с1У М л

  • (1.105)
  • -=--- +--= 0.

Ж р Ж & IV

Разделим обе части уравнения (1.105) на М, приведя его тем самым к уравнению для единичной массы:

(1.106)

с1М _ }_с!р 1 сПУ

& р Ж IV &

Первое слагаемое показывает изменение плотности во времени, т.е. в процессе движения (по мере перемещения) жидкости. Второе слагаемое — изменение объема в процессе движения.

Рассмотрим подробно второе слагаемое. Для этого возьмем некоторую произвольную точку А с координатами X, У, Z (рис. 1.42).

Окрестность произвольной точки А

Рис. 1.42. Окрестность произвольной точки А

Через нее (и вблизи нее) в момент времени Г течет жидкость со скоростью и. В проекции на оси координат в точке А жидкость имеет скорости их, иу, и1 соответственно. Выделим вокруг точки А бесконечно малый объем в форме параллелепипеда с размерами с1х, ёу, с11. Будем считать этот объем неподвижным, а жидкость — протекающей через него. Определим величину объема жидкости, который поступает в рассматриваемый объем и который вытекает из него за время Ж.

В проекции на ось X в точке А горизонтальная составляющая скорости будет их. В точке А2 (расположенной на грани с]у—с!1), находящейся на расстоянии —с1х от Л горизонтальная составляющая будет:

^(Я2=вых) = их(А) +СЬС~^- (1.107)

В точке А1 (расположенной на другой грани (1у—(11) горизонтальная составляющая этой скорости будет равна:

  • (1.108)
  • 1 , диу

их(А{=вх) ~ их(А) ~

В проекции на ось ? в точке А у-составляющая скорости будет равна иу. В точке, расположенной в центре грани (1х—(1ъ находящейся

на расстоянии ^с]у от А, у-составляющая скорости будет:

Му( вых) ^у(А)

1 Э и

+ —сіу

У

  • (1.109)
  • 2 ' Эу

В точке, расположенной в центре противоположной грани с1х—ск,

также находящейся на расстоянии ^с1у от А, у-составляющая скорости будет:

  • (1.110)
  • 1 . диу

ЫУ(вх) Ыу(А)

В проекции на ось Z в точке А ^-составляющая скорости будет равна иг В точке, расположенной в центре грани с!х—с!у, находящейся

на расстоянии от А, ^-составляющая скорости примет вид:

  • (1.1П)
  • 1 ,

Мг(вых) иі(А) + 2^

В точке, расположенной в центре противоположной грани (1х—с1у,

также находящейся на расстоянии ^ от А, ^-составляющая скорости будет:

и1(ВХ) - и1(А)

  • 1 / ди1 ~2*-Ъ
  • (1.112)

В выражениях (1.105), (1.106), (1.107), (1.108), (1.109), (1.110),

описывают законы изменения

(1.111), (1.112) величины ——, —

дх Эу Эг

величин их, иу и и, соответственно, приходящиеся на единицу длины, измеренную вдоль оси, проходящей через точку А и параллельно соответствующим координатным осям.

Объемы жидкости, вытекшие через соответствующие грани (1у— (к, с1х—(11, и с1х(1у, будут равны произведениям соответствующих

проекций скоростей (1.105), (1.107), (1.109), (1.111) на площади граней:

IV

у-Цвых)

IV,

х-Цвых)

IV.

х-у(вых)

/ 1 , и.. + —ах

1 ,

иу + -сіу 1 .

иі + -ск

СІуСІІСІГ,

  • (ІХ(ІІ(ІҐ,
  • (Іхсіусії.
  • (1.113)

Аналогично объемы жидкости, входящие через соответствующие грани (1у—(11 с1х—с11, (1х—(1у, будут равны проекциям соответствующих скоростей (1.106), (1.108), (1.110), (1.112) на такие же по размерам площади граней:

у-г(вх)

IV

х-Цвх)

IV.

г-у{ вх)

-

и„ -

У

и, -

  • 1 , ди 4 -ах—+-
  • 2 дх у
  • 2 ЭУ ; 1, Эи,' 2 ді у

dydzdt;

dxdzdt;

dxdydt.

(1.114)

Легко видеть, что изменение объемов жидкости, проходящей через противолежащие грани за время dt, будут соответственно равны разности объемов, помеченных в выражениях (1.114) и (1.115) индексами «(вых)» и «(вх)». Подробно запишем эту разность для объемов, протекающих через поверхности, параллельные плоскости у—х-

= И^вых) - И/у_г(вх)

/

V

1 , дих

и„--ах—^

2 дх

У

ґ і .

и,. + —dx

2 дх

V

dydzdt -ди

«X - СІХ^^іуСІіСІЇ =

„ 1 , Эиг

- иг + -dx—л? х 2 дх

dydzdt =

(1.115)

ґ 1 , ди 1 ди л -ах—- + -dx—- 2 дх 2 дх у

dydzdt = <^Ldxdydzdt. дх

Два других выражения, описывающих объемы жидкости, протекающей через поверхности, параллельные плоскостям х—і и х—у, запишем по аналогии (1.115) без подробного вывода.

ди

= —-dxdydzdt; дУ

^х-Цвых) ^х-г(вх)

Полный объем жидкости, протекающей за время Ж через выбранный произвольным образом неподвижный элементарный объем пространства сіх, сіу, сії, будет равен сумме объемов, протекающих через все три пары противолежащих граней

(1.117)

ст^х_у = №Х_У(ВЫХ) - Ух_у{вх)

ді

СІХСІуСІІХІЇ.

(1.116)

сП? = (НУ + (ПУХ_; + сПУх_у.

Подставив в выражение (1.117) значения соответствующих объемов (1.115) и (1.116), получим:

с!У = ^^(1хс1у(11& + —^(1хс1усШ1 + ^^-с1хс!ус1гсИ = ах ду 01

с

д их ди х + —- +

ди

дх ду Эг у

сіхсіусіїск.

(1.118)

В выражении (1.118) произведение дхс!у(1і(1( — не что иное, как весь объем жидкости IV, протекающей через рассматриваемый параллелепипед за время б/Л Таким образом, подставив формулу (1.118)

1 с!1У

в исходное выражение (1.106) ( второе слагаемое — учитыва

ющее изменение объема в законе сохранения массы), анализом которого мы занимаемся, получим:

1 сПУ

дих диу Эу

+

+

дх ду ді

/

сіхсіусіїсіі

У/ сії сіхсіусії сії

После сокращения последнее выражение примет вид

  • (1.119)
  • 1 сПУ _ дих диу ди,

IV Ж дх ду ді

Равенство 0 этого выражения называют уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме и записывают следующим образом:

(1.120)

Эи, { Эиу | Э»г _ 0 Эх Эу ді

К такому же выводу можно прийти, основываясь на следующих рассуждениях: если считать жидкость несжимаемой, то условием неразрывности (сплошности) потока можно считать равенство втека-

ющих и вытекающих объемов, т.е. изменение объема должно равняться 0. В выражении для (1У величины с!х, (1у, (11, Ж обязательно имеют положительные (ненулевые) значения. Тогда для того, чтобы

обеспечивалось равенство = 0, необходимо выполнение следу

ющего условия:

Ж

Эм.. Э«„ Э и

+

У

+

г _

= 0, которое и есть уже упомянутое

Эх Эу дz

выше уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме.

Если в полученное уравнение неразрывности добавить слагаемое,

, по

учитывающее изменение плотности жидкости во времени

лучим формулу, выражающую изменение единичной массы жидкости, протекающей за время сИ через объем дх, с1у, с1г, и приравняем всю полученную сумму к 0:

1 | Эих | Эиу | ди1 _ о р Ш Эх Эу Э^

получим уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости в дифференциальной форме.

Его физический смысл заключается в том, что изменение плотности во времени обратно изменению объема жидкости во времени. Объем же меняется из-за изменения скоростей во времени, т.е. вследствие изменения формы потока.

Описание течения жидкости

Цель этого описания состоит в установлении связей между силами, существующими в потоке жидкости, и характеристиками движения этой жидкости. В общем виде эти связи представляются уравнениями вида:

их = Лх(*> У» Ъ О,

иу = /иу(х> У> Ъ О,

иг = У> *)’

р = /Р(х, у, z, 0- (1.122)

Нахождение этих функций является весьма сложной задачей. Поэтому для упрощения Л. Эйлер предположил, что жидкость является идеальной, т.е. не имеющей вязкости, а также то, что все перечисленные функции — непрерывные и дифференцируемые, хотя физической причиной непрерывности распределения скоростей в движущейся жидкости является именно вязкость.

Дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости

Рассмотрим произвольную точку А в потоке жидкости (рис. 1.43). Давление в этой точке обозначим буквой р. Выделим вблизи этой точки прямоугольный объем жидкости размерами с!х, (1у, (к.

Схема действия сил в произвольной точке потока жидкости

Рис. 1.43. Схема действия сил в произвольной точке потока жидкости

Так же как и в случае вывода дифференциальных уравнений для покоящейся жидкости, систему уравнений, выражающую силы, действующие на выделенный объем, получим в проекциях на оси координат. Определим разность давлений, действующих на противолежащие грани:

/

Арх = р-

Ару = р-

др

р + —с!х дх

Эр

Р + ^-с1у

др

дх

др

с1х,

дУ

др

Ар7 = Р- Р + —ск

01

/

дУ

др

Лу,

дz

(1.123)

Эти уравнения получены с учетом предположения, что давление, как и в статике, действует по нормали внутрь рассматриваемого объема, а изменение давления по каждой координате равно частному

дифференциалу по соответствующей координате —(И. Тогда разно-

Э/

сти этих сил, в проекциях на оси координат, будут:

др

дх

(1хс1у(к,

л/7,, = —^йуЛхик,,

оу

Д У7 = - ^ с11(1хс1у. (1-124)

Кроме сил давления на выделенный объем будут действовать инерционные силы, в общем случае определяемые ускорениями ах, ау, ас

Рхн = ахрсШус11,

/7ИН = аурсШуск,

Т7™ = а:рсЫуск. (1.125)

Под действием этих сил рассматриваемый объем жидкости дви-

жется с ускорением

сій

ЇЙ'

систему уравнении:

или

У

<1их (1иу

(1иг

ЯЯ

сії

(1.125) в

др 1

(1их

дх р

(11

др 1

(1иу

дур

(11

др 1

(1иг

дг р Ж

в проекциях на оси коор-

(1.126)

которая носит название «дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости». Эти уравнения справедливы для идеальной жидкости, т.е. для движения без внутреннего сопротивления, и они описывают связь между силами в жидкости и законами ее движения.

Так же как и в статике, чтобы избавиться от частных производных, умножим эти уравнения соответственно на (1х, (1у и и сложим их:

др , Эр , др

ахс1х + а Я у + а (к—сіх + —сіу + —<к

дх

(їй.

х (їх Л--—сіу +

дУ

  • (їй.
  • (к.

ді

/

(1.127)

Я Я <7/

Проанализируем полученное выражение (1.127).

Первые три слагаемых х(1х + ау(1у + а Яр) по существу являются суммой инерционных сил или веса, действующих в жидкости. Обо-

значим эту сумму и назовем ее силовой функцией или, точнее, силовой потенциальной функцией.

Вспомним из статики,

— есть полный

дифференциал давления бр.

Учтем также, что каждое слагаемое в правой части можно переписать в другом виде. Например, -*-бх представить как сій

Ж ' ^

о <*Х ІЛ

В свою очередь — = их. И тогда окончательно

——^-бх = и..бих - —сій:. СІЇ X х 2 х

Применив такие же преобразования ко всем трем слагаемым, получим:

  • —би2 + -би2 + -би2 = -б(их + и2 + и2) = — с1и2. (1.128)
  • 2 2 2 2 2

С учетом проведенного анализа преобразуем «сложенные уравнения» к виду, который называют обобщенной формой уравнений Эйлера:

(1.129)

сіФ - —сір - -би2 = 0. Р 2

Интегрирование уравнений Эйлера

Интегрирование уравнений Эйлера рассмотрим на широко распространенном примере движения жидкости под действием силы тяжести. Примерами такого движения могут служить: течение реки, ручья или любого другого потока жидкости, течение жидкости в водопроводе, работающем от водонапорной башни.

Движение жидкости описывается обобщенной формой уравнений Эйлера (1.129). В рассматриваемом случае, когда движение жидкости осуществляется исключительно под действием силы тяжести, силовая потенциальная функция

6Ф = ахбх + аубу + а,б1

принимает вид:

бФ = -%б1, (1.130)

где# — ускорение свободного падения.

Подставив это выражение в уравнение Эйлера и умножив на «-1» для того, чтобы избавиться от знаков «минус» перед каждым слагаемым, получим:

После интегрирования придем к виду:

  • = О,
  • (1.132)

сій1

(1.131)

р и2

& + - + — Р 2

где С — постоянная интегрирования (знак «-» перед ней не имеет физического значения и поставлен только для удобства последующих математических преобразований).

Разделив равенство (1.132) на#и обозначив постоянную интегрирования буквой Н, придем к окончательному виду:

р и2

1 + — + — = Н. (1.133)

ЯР 2#

Полученное выражение называется интегралом Бернулли, а постоянная величина //носит название «гидродинамический напор». Другое название интеграла Бернулли, которое применяется значительно чаще, — уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли

Выше уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости получено строгими математическими методами, использующимися в классической гидромеханике. То же уравнение можно получить (нестрого), используя рассуждения, которые часто применяются в гидравлике.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении (рис. 1.44), в которой выделим два сечения 1 — 1 и 2—2. Площади живых сечений потока обозначим с!(0 и (1со2-Положение центров тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0— Охарактеризуется величинами 1 и г2- Давления и скорости жидкости в этих сечения имеют значения рь р2, и иь и2 соответственно.

Будем считать, что движение струйки жидкости происходит только под действием силы (внутреннее трение в жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического, действует по нормали внутрь рассматриваемого объема.

1

Поток жидкости относительно нулевой линии

Рис. 1.44. Поток жидкости относительно нулевой линии

За малый промежуток времени ^/частицы жидкости из 1 — 1 переместятся в 1'— У на расстояние, равное idt, а частицы из 2—2... 2'—2' — на расстояние — и2Ж.

Согласно теореме кинетической энергии приращение энергии тела (в данном случае выделенного объема жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил.

Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых живых сечениях струйки 1 — 1 и 2—2, а также силы тяжести. Тогда работа сил давления в сечении 1 — 1 будет положительна, так как направление силы совпадает с направлением скорости струйки. Она будет равна произведению силырхс1СО] на путь ихс1г.

рхс1(дхихШ.

Работа сил давления в сечении 2—2 будет отрицательной, так как направление силы противоположно направлению скорости. Ее значение

- Р2с1^2и2^ ?

Полная работа, выполненная силами давления, примет вид:

рхс1(?>хщЖ - р2с1(й2и2М. (1.134)

Работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объема жидкости при перемещении из сечения 1 — 1 в сечение 2—2. С учетом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объемы будут равны и, следовательно, будут равны их веса сЮ:

сЮ = р^и^со^ = р?и2*/со2Л.

При перетекании от сечения 1 — 1 в сечение 2—2 центр тяжести выделенного объема переместится на разность высот - ?2) и Ра_

бота, произведенная силами тяжести, составит:

2). (1.135)

Проанализируем теперь изменение кинетической энергии рассматриваемого объема элементарной струйки жидкости.

Приращение кинетической энергии выделенного объема за ?// равно разности его кинетических энергий в сечениях 1—1 и 2—2. Это приращение составит

сЮ 2 Щ

А_

СЮ 2

-«2

А_

2

(1.136)

Приравнивая приращение кинетической энергии (1.136) сумме работ сил тяжести (1.134) и сил давления (1.135), придем к виду

СЮ(і - її) + РСІ(йЩСІІ - р2СІСд2и2СІҐ =

сЮ_

  • 2&
  • (1.137)

Разделив обе части (1.137) на вес сЮ, т.е. приведя уравнение к единичному весу, получим

сЮ(і -12) РСІщиЖ сЮ

Р2(10д2и2&

сЮ 1 2 8сЮ'

(1.138)

После сокращения и преобразований в (1.138) придем к искомому виду

Р щ

гі+5-+т"

РЯ

= р2 +

Р2

+

РЯ 2^

(1.139)

Если учесть, что сечения 1 — 1 и 2—2 выбраны произвольно, можно

прийти к выводу, что сумма приведенных в (1.139) величин

_ „2

. Р . Щ

gZ + — + описывающих движение жидкости под действием сил Р 2

давления и сил тяжести, есть величина постоянная для элементарной струйки, т.е.

1 + — н--= соп5Й= Я). (1.140)

ЯР ч

Таким образом, снова получено то же (ранее полученное интегрированием уравнений Эйлера) уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0—0 определяется вертикальной координатой г (рис. 1.45). Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.

Г идродинамическая линия

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Рис. 1.45. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

• Как и в гидростатике, величину г называют нивелирной высотой.

Второй член —— носит название пьезометрической высоты. Эта

ЯР

величина соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его установить в рассматриваемом сечении.

• Сумма первых двух членов уравнения 1 + —пьезометрический

ЯР

напор.

и

Третье слагаемое в уравнения Бернулли — называется скоростной

высотой или скоростным напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость и при отсутствии сопротивления движению.

• Сумму всех трех членов (высот) называют гидродинамическим напором и, как уже было сказано, обозначают буквой Н.

Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины, и их можно изобразить графически.

?/2

Значения I, —,--нивелирную, пьезометрическую и скоростную

ЯР 2#

высоты можно определить для каждого сечения элементарной струйки жидкости. Геометрическое место точек, высоты которых

равны I + —, называется пьезометрической линией. Если к этим вы-ЯР

сотам добавить скоростные высоты, равные —, то получится другая

линия, которая называется гидродинамической или напорной линией.

Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости (и графика) следует, что гидродинамический напор по длине струйки постоянен.

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

Выше было получено уравнение Бернулли с использованием энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости, которая показана на рис. 1.46, является ее гидродинамический напор.

С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. Для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли — это закон сохранения энергии для движущейся жидкости.

РЯ 2#

Физический смысл слагаемых, входящих в уравнение, следующий:

  • I — потенциальная энергия единицы веса жидкости (удельная энергия) — энергия, обусловленная положением (высотой) единицы веса жидкости относительно плоскости сравнения (нулевого уровня), принимаемой за начало отсчета;
  • --потенциальная энергия единицы веса жидкости — энергия,

Р?

обусловленная степенью сжатия единицы веса жидкости, находящейся под действием давления р

тт^^^^^

Рис. 1.46. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

полная потенциальная энергия единицы веса жидкости;

  • --кинетическая энергия единицы веса жидкости — энергия,
  • 2 8

обусловленная движением единицы веса жидкости со скоростью и;

Н — полная энергия единицы веса жидкости (полная удельная энергия).

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости

Поток идеальной жидкости, как указывалось ранее, можно представить совокупностью элементарных струек жидкости. Скорости по сечению потока неодинаковы, причем в середине потока скорости наибольшие, а к периферии они уменьшаются (рис. 1.39). Это означает, что различные струйки в одном сечении имеют различные значения кинетической энергии. Отсюда следует, что кинетическая энергия, посчитанная с использованием скоростей элементарных струек и кинетическая энергия, посчитанная с использованием значения средней скорости потока V, будет иметь разные значения. Выясним, какова эта разница. Кинетическая энергия элементарной струйки Еэс

эс = ^, (1.141)

где б/т масса жидкости плотностью р, протекающей через живое сечение элементарной струйки б/со со скоростью за время б//, равная:

<1т = ию рб/соб/Л (1-142)

Подставив (1.142) в (1.141), и проинтегрировав полученное выражение, будем иметь выражение для кинетической энергии потока

идеальной жидкости Е“.

Еип = с1Е“С = 1^- = = Р|м^б/соб//. (1.143)

2 2 2 со со со

Если принять в (1.143) / = 1, получим:

(1.144)

Последняя формула (1.144) определяет энергию потока с использованием скоростей элементарных струек иьу

Если записать значение кинетической энергии потока с использованием средней скорости потока К, получим формулу:

(1.145)

где т — масса жидкости плотностью р, протекающей через живое сечение потока со со скоростью Vза время і, равная:

т = Ерсо/. (1.146)

После подстановки при ґ= 1 окончательно получим:

= -Е3со.

(1.147)

Отношение Е“ (1.145) и Еуп (1.147), равное:

(1.148)

Полученная величина а носит наименование «коэффициент кинетической энергии» или «коэффициент Кориолиса». Смысл этого коэффициента заключается в отношении действительной кинетической энергии потока в определенном сечении к кинетической энергии в том же сечении потока, но при равномерном распределении скоростей. При равномерном распределении скоростей его значение равно единице, а при неравномерном — всегда больше единицы и для любого потока его значение находится в пределах от 1 до 2 и более.

Учитывая коэффициент кинетической энергии, приведем уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, которое примет вид

Р У2

Я = г + — + а—. (1.149)

98 2#

Надо учесть, что в общем случае в разных сечениях потока коэффициент а будет иметь различные значения.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока в направлении потока постоянно уменьшается. То есть напор потока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1 — 1 и 2—2, то потери гидродинамического напора составят

АН = Я - Я2_2, (1.150)

где Я|_| — напор в первом сечении потока жидкости; Я2_2 — напор во втором сечении потока; АИ — потерянный напор — энергия, потерянная каждой единицей веса движущейся жидкости на преодоление сопротивлений на пути потока от сечения 1—1 до сечения 2—2.

С учетом потерь энергии (1.56) уравнение Бернулли для потока реальной жидкости будет выглядеть следующим образом:

у2 у2

Z н—~ + ОС| —— = 7*2 н—~ + ОС2 —?—ь АН. (1.151)

98 2 8 98 28

Индексами 1 и 2 обозначены характеристики потока в сечениях 1-1 и 2-2.

Если учесть, что характеристики потока Vи а зависят от геометрии потока, которая для напорных потоков определяется геометрией трубопровода, понятно, что потери энергии (напора) в разных трубопроводах будут изменяться неодинаково. Показателем изменения напора потока является гидравлический уклон / (1.152), который характеризует потери напора на единице длины потока. Физический смысл гидравлического уклона — интенсивность рассеяния энергии по длине потока. Другими словами, величина / показывает, как быстро трубопровод поглощает энергию потока, протекающего в нем:

/ =

Ah

Ц-1

(1.152)

Изменение энергии по длине потока удобно проследить на графиках.

Из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (закона сохранения энергии) (1.151) видно, что гидродинамическая линия (рис. 1.47) для потока реальной жидкости (с одним источником энергии) всегда ниспадающая. То же справедливо и для пьезометрической линии, но только в случае равномерного движения, когда ско-

V2

ростной напор ос— = const и уменьшение напора происходят только

2g

Геометрическая интерпретация уравнение Бернулли

Рис. 1.47. Геометрическая интерпретация уравнение Бернулли

для потока реальной жидкости

за счет изменения потенциальной энергии потока, главным образом за счет уменьшения давления р.

Уравнения движения вязких жидкостей

До сих пор движение жидкости рассматривалось без учета влияния сил вязкого трения. Теперь учтем эти силы. Для простоты рассмотрим движение реальной (вязкой) жидкости в проекции на одну координату (одномерное движение). Будем считать, что частица в форме параллелепипеда с размерами сіх, сіу, сії движется вдоль оси Z(рис. 1.48).

Действие сил вязкости при одномерном движении

Рис. 1.48. Действие сил вязкости при одномерном движении

За счет сил вязкого трения на верхнюю и нижнюю поверхности рассматриваемого объема будут действовать силы трения с1Тк и с1Тн соответственно. Эта сила зависит от площади трения с1ус11 и величины касательного напряжения на поверхностях трения т. На нижней поверхности сила трения будет:

с!Тн = хАхАу, (1.153)

на верхней она будет отличаться на величину приращения касательных напряжения вдоль оси 2.

с

т +

V

АхАу.

(1.154)

Равнодействующая этих сил, действующая на рассматриваемый объем, будет равна разности сил трения (1.153) и (1.154):

сіТк - с1Тн =

А ^

т + —Аг

V ск

сіх

Ах Ау - хАхАу -АхАуАі,

СІІ

или

сіх

СІТХ = —А1Г, х сії

где ЛІК— величина рассматриваемого объема жидкости.

(1.155)

Напряжение внутреннего трения, обусловленного вязкостью, по закону жидкостного трения на основании (1.28) имеет вид:

т = р

аи

X

(1.156)

где р — динамический коэффициент вязкости. После подстановки (1.156) в (1.155) получим:

с1Тх = * йу

с1и

X

/

АЖ = р^-% А1? <1уг

(1.157)

В уравнениях Эйлера (1.126) все силы отнесены к единичной массе, поэтому и силы, обусловленные вязким трением, приведем к такому же виду:

йТх

рДИ^

(1.158)

где V — кинематический коэффициент вязкости.

Если подобные рассуждения провести для остальных координат, т.е. перейти к общему случаю пространственного движения, когда составляющие скорости их, иу, и: являются функциями трех координат X, У, Z. В таком случае проекция силы вязкого трения на ось X в пересчете к единице массы дает величину

V

( л2

V

Эх2

+

(1.159)

Аналогичные выражения можно записать для двух других координат. Если уравнения Эйлера для движущейся жидкости дополнить проекциями сил вязкого трения на оси координат, получатся дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости, которые носят название — «уравнения Навье—Стокса» и имеют следующий вид:

(1.160)

Характер течения жидкостей

Возьмем прозрачную трубу (рис. 1.49), в которой, с небольшой скоростью К,, течет прозрачная жидкость, например вода. В этот поток поместим небольшие, существенно меньшие, чем диаметр потока, трубки. В трубках под напором находится подкрашенная жидкость, например, цветные чернила, которая может из них вытекать, если открыть краны К. Будем открывать их на короткое время (1—3 секунды) и прекращать подачу чернил через какие-то промежутки времени, так чтобы можно было проследить движение цветной жидкости.

А

'////////Л/////////////////Л////////////////////Л

777777777777777777777/

'/////////. У////////////////А У////////////////////.

У//////// *777777777777777777,

к

1 2

Рис. 1.49. Схема эксперимента для изучения режимов движения жидкости

В таком случае в потоке будут возникать разноцветные струйки, причем цветная жидкость будет явно показывать распределение скоростей (эпюра скоростей) по сечению потока. Это распределение будет соответствовать рассмотренной ранее струйной модели потока. Если наблюдать за движением жидкости, то можно явно видеть, что при перемещении от сечения 1 к сечению 2 эпюра скоростей будет оставаться постоянной, а движение жидкости будет слоистым, плавным, все струйки тока будут параллельны между собой. Такое движение носит название «ламинарное» (от латинского слова lamina — слой).

Если увеличить скорость основного потока до величины V2 и повторить эксперимент с цветными струйками, то эпюры скоростей как бы вытянутся, а характер движения останется прежним, ламинарным. Попутно заметим, что коэффициент кинетической энергии а, входящий в уравнение Бернулли и учитывающий отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, посчитанной с использованием средней скорости, при «вытягивании» эпюры скоростей возрастает.

Если еще больше увеличить подачу жидкости до скорости К3, то эпюры скоростей могут вытянуться еще больше и при этом течение будет спокойным, плавным — ламинарным. Коэффициент а приближается к значению 2.

Однако до бесконечности увеличивать скорость при ламинарном режиме движения потока невозможно. Обязательно наступит такой момент, когда характер движения жидкости радикально изменится. Цветные струйки начнут сначала колебаться, затем размываться и интенсивно перемешиваться. Течение потока будет становиться неспокойным, с постоянным вихреобразованием. Эпюра распределения скоростей по сечению потока приблизится к прямоугольной форме, а значения скоростей в разных сечениях потока станут практически равны средней скорости движения жидкости. Значение коэффициента кинетической энергии а приближается к 1. Такое течение жидкости называется турбулентным (от латинского слова turbu-lentus — возмущенный, беспорядочный).

Если снова уменьшить скорость течения жидкости, восстановиться ламинарный режим движения. Переход от одного режима движения к другому будет происходить примерно при одной и той же скорости, которую называют критической скоростью и обозначают Ккр. Эксперименты показывают, что значения этой скорости прямо пропорциональны кинематическому коэффициенту вязкости жидкости v и обратно пропорциональны диаметру трубопровода d (для наиболее часто применяемых труб круглого сечения) или гидравлическому радиусу потока R (для других потоков).

Кр = к~’ илиЕкр = к^. (1.161)

В этих выражения коэффициенты к и кх — безразмерные величины, одинаковые (близки по данным различных экспериментов) для всех жидкостей (и газов) для любых размеров труб и сечений потока. В дальнейшем мы будем рассматривать только напорные потоки в трубах круглого сечения.

УкпН

Безразмерный коэффициент к = —-— называется критическим

V

числом Рейнольдса по имени английского ученого физика, исследовавшего в 1883 г. два режима течения жидкости. Этот коэффициент обозначается:

УКГ)Н

Яекр=^-. (1.162)

Опытным путем установлено, что критическое число Рейнольдса для круглых труб — 2320 и 580 для других сечений.

Для определения режима движения в потоке, надо найти фактическое число Рейнольдса Яе, которое можно установить для любого потока по формуле

Яе =

УН

V

(1.163)

и сравнить его с критическим числом Яекр. При этом, если

Яе < Яекр,

режим движения ламинарный, если

Яе > Яекр,

то режим движения турбулентный.

Физический смысл числа Рейнольдса

Физический смысл числа Рейнольдса заключается в смене режимов течения жидкости. В настоящее время не существует строгого научного доказанного объяснения этому явлению, однако наиболее достоверной гипотезой считается следующая: смена режимов движения жидкости определяется отношением сил инерции к силам вязкости в потоке жидкости. Если преобладают первые, то режим движения турбулентный, если вторые — ламинарный. Турбулентные потоки возникают при высоких скоростях движения жидкости и малой вязкости, ламинарные потоки возникают в условиях медленного течения и в вязких жидкостях. На практике в различных газопроводах, водопроводах, и подобных им системах чаще встречаются турбулентные потоки даже при скоростях менее 1 м/с. В гидросистемах технологического оборудования, в которых в качестве рабочих жидкостей используются минеральные масла, турбулентный режим возникает при скоростях более 15 м/с, тогда как при их проектировании чаще всего закладывают скорости 4—5 м/с. Режим движения в таких трубопроводах, как правило, ламинарный.

Так как силы инерции и силы вязкости в потоке жидкости зависят от многих причин, то при скоростях, близких к критической, могут возникать переходные режимы, при которых наблюдается неустойчивое ламинарное или турбулентное движение. Эти режимы отражены на схеме (рис. 1.50).

V

п

Турбулентный режим

А

V'

кр

у Ламинарный кр режим

Турбулентный режим

Ламинарный режим

кр

Рис. 1.50. Схема зоны неустойчивых режимов движения жидкости

Если скорость потока увеличивать, то ламинарный режим (зоны 1 и 3) переходит в турбулентный (зона 2) при скорости У'кр верхняя критическая скорость. Ей соответствует верхнее число Рейнольдса. Если скорость уменьшать, то переход из турбулентного потока в ламинарный происходит при скорости Укр нижняя критическая скорость. Ей соответствует нижнее число Рейнольдса. Зону 3 называют неустойчивой или переходной зоной. При скоростях, которые к ней относятся, могут существовать как ламинарные, так и турбулентные потоки. Однако ламинарный режим в этой зоне весьма неустойчив и любое возмущение, например колебание трубы, моментально приводит к возникновению турбулентного потока. По этой причине на практике эту зону всегда относят к турбулентной, а под критерием Рейнольдса понимают нижнее число Кекр. В зонах же 1 и 2 режимы движения всегда устойчивы. Даже если режим движения в зоне 1 принудительно изменить, например, с помощью специальных устройств — турбулезаторов потока, то через очень короткое время поток снова станет ламинарным.

Особенности турбулентного течения жидкостей

Как уже отмечалось выше, на практике встречаются оба режима движения жидкости, однако наибольшие особенности имеют турбулентные потоки. Перечислим основные из них.

По характеру движения частицы жидкости в турбулентном потоке ведут себя примерно так, как молекулы в представлении кинетической теории газов: они находятся в состоянии беспорядочного хаотического движения. В случае, например, трубопроводов с этим связано существенное возрастание потерь энергии при движении жидкости по сравнению с ламинарным потоком.

  • • В турбулентном режиме происходит выравнивание эпюры распределения скоростей по сечению потока.
  • • С турбулентным движением связаны также усиление теплопередачи внутри жидкости.
  • • Перемешивания в турбулентно движущейся жидкости приводят к взвешиванию находящейся в потоке в дисперсном состоянии фракции другой фазы (твердые, газообразные и т.п.).
  • • Это определяется наличием в турбулентном потоке уже упомянутых выше перпендикулярных основному направлению движения жидкости составляющих скоростей.
  • • Турбулентное движение по самой своей сущности является движением неустановившимся; все гидравлические характеристики и, в частности, скорости в каждой точке занятого турбулентным потоком пространства изменяются с течением времени.

Таким образом, турбулентное движение можно определить как

движение жидкости с пульсацией скоростей, приводящей к перемешиванию жидкости.

Возникновение турбулентного и ламинарного потоков

Если на каком-то участке трубопровода существует турбулентный поток, то это не значит, что такой же характер сохраняется во всей трубе. На различных участках трубопровода и даже на одних и тех же участках в разные периоды времени поток может иметь различный характер. Это может определяться либо различными диаметрами трубопроводов, либо изменением скорости течения жидкости. Во всех случаях при возникновении условий турбулентного режима он устанавливается в трубе не мгновенно. Это происходит в течение некоторого времени на участке трубы определенной длины. Рассмотрим процесс возникновения турбулентного режима движения.

Переход к турбулентному режиму может происходить из ламинарного, например, в результате плавного или внезапного изменения диаметра трубы (рис. 1.51). Такой же переход возможен за счет изменения скорости движения жидкости. К образованию турбулентного режима может приводить также и изменение формы потока жидкости.

Кроме перечисленных возможны и другие причины, особенно при режимах, характеризующихся числами Рейнольдса, близкими к критическому. На основании опыта установлено следующее. Когда создаются условия для такого перехода, например сужение проходного сечения трубы достигает значения, при котором поток может стать турбулентным, по периферии потока ламинарный слой нарушается и дальше по течению развивается турбулентный пограничный слой. Толщина этого слоя из-за турбулентного перемешивания достаточно быстро увеличивается, и турбулентный поток заполняет все сечение трубопровода. Участок, на котором происходит превращение ламинарного режима движения в турбулентный, называется разгонным участком. Его длина /разг по экспериментальным данным равна

(1.164)

Ламинарный

поток

Турбулентный

поток

Возникновение турбулентного потока

Рис. 1.51. Возникновение турбулентного потока

/разг ~ <40 - 5°)^

где с! — диаметр трубопровода.

В реальных гидросистемах, даже при ламинарном режиме течения жидкости в круглых трубах, на пути потока встречаются участки с другой геометрией. Это могут быть соединения труб, изгибы, гидроаппараты и т.п. На таких участках характер потока меняется, режим движения становится турбулентным. Однако после прохождения такого участка при входе жидкости в прямую трубу при соответствующей скорости устанавливается параболическое распределение скоростей. Поток снова стремится к ламинарному режиму движения (рис. 1.52). Происходит это не моментально, а в течение некоторого времени на отрезке трубы определенной длины. Такой отрезок называют начальным участком ламинарного течения /нач.

Длину такого участка можно определить из формулы Шиллера

^ = 0,029Яе (1

где (I — диаметр трубы.

'////////////////////У.

У/////////////У

'///////////////у

У//////////////У

*

У

А-

&

_

» ь

^-/ N

(-

-1-

-

--

V

1

?

»

*

N.

* Ч У

/ V

, У

{ ч

1

—1—

?

У ч

V

-

- )

1

*

1

*

- - "

* /

- - - - '

т - - "

У

'//у

'////////////////////у

-<-

'//////////////У

^нач

-?

У//////////////У

V

-<-

Рис. 1.52. Возникновение ламинарного потока

Отсюда, если в качестве Яе взять критическое число Рейнольдса (1.59), легко получить, что максимально возможная длина такого участка равна

/нач = 0,02911е

Потери энергии на этом участке будут несколько больше, чем в остальной части трубы. С учетом этого, формула для расчета потерь напора на трение при ламинарном движении в круглых гладких трубах принимает вид

/

0,165 +

V

Яе (3) 2g

(1.167)

Для коротких труб такое уточнение потерь напора может иметь существенное значение, для длинных труб величину 0,165 можно не учитывать.

Сопротивление течению жидкости

Гидравлическая жидкость в гидросистемах технологического оборудования, как уже обсуждалось ранее, играет роль рабочего тела. Она обеспечивает перенос энергии от источника гидравлической энергии к потребителю (в большинстве случаев к гидродвигателю). Для такого переноса используются напорные потоки. В подобных потоках жидкость со всех сторон ограничена твердыми стенками трубопроводов, каналов гидроаппаратов и полостей гидромашин. В дальнейшем мы будем ориентироваться именно на такие случаи, хотя аналогичные процессы сопровождают и движение безнапорных потоков.

Естественно, что твердые стенки препятствуют свободному движению жидкости. Поэтому при относительном движении жидкости и твердых поверхностей неизбежно возникают (развиваются) гидравлические сопротивления. На преодоление возникающих сопротивлений затрачивается часть энергии потока. Эту потерянную энергию называют гидравлическими потерями удельной энергии или потерями напора. Гидравлические потери главным образом затрачиваются на преодоление сил трения в потоке и о твердые стенки и зависят от ряда факторов, основными из которых являются:

  • • геометрическая форма потока;
  • • размеры потока;
  • • шероховатость твердых стенок потока;
  • • скорость течения жидкости;
  • • режим движения жидкости (который связан со скоростью, но учитывает ее не только количественно, но и качественно);
  • • вязкость жидкости;
  • • некоторые другие эксплуатационные свойства жидкости.

Но гидравлические потери практически не зависят от давления в жидкости.

Величина гидравлических потерь оценивается энергией, потерянной каждой весовой единицей жидкости. Из уравнения Бернулли, составленного для двух сечений потока, обозначенных индексами 1 и 2 потери энергии потока жидкости АИ можно представить как

/

*1 +

+ а

V,

/

2 ?

^2 +

(1.168)

Напомним, что в этом уравнении Z + — + а--энергия еди-

Р? 2 g

нипы веса жидкости, движущейся в поле сил тяготения; I — потенциальная энергия единицы веса жидкости, зависящая от ее положения над уровнем нулевого потенциала (линией отсчета); —— потен-

Р?

циальная энергия единицы веса жидкости, зависящая от степени ее сжатия (от давления); р — давление в потоке жидкости; р — плот-

ос V2

ность жидкости;--кинетическая энергия единицы веса потока

2&

жидкости; а — коэффициент кинетической энергии; V — средняя скорость потока жидкости; g — ускорение свободного падения.

Если учесть, что труба в обоих сечениях 1 и 2 имеет одинаковые площади поперечных сечений, а жидкость является несжимаемой и выполняется условие сплошности (неразрывности) потока, то, несмотря на гидравлические сопротивления и потери напора, кинетическая энергия в обоих сечения будет одинаковой. Учтя это, а также то, что при больших давлениях в напорных потоках и небольшой (практически нулевой) разнице нивелирных высот ^ и потери удельной энергии (рис. 1.53) можно представить в виде

АИ = —— —(1.169)

Рс? Р?

Опыты показывают, что во многих (но не во всех) случаях потери энергии прямо пропорциональны квадрату скорости течения жидкости, поэтому в гидравлике принято выражать потерянную энергию в долях от кинетической энергии, отнесенной к единице веса жидкости

V2

Ак = ^—, (1.170)

где с, — коэффициент сопротивления.

Таким образом, коэффициент сопротивления можно определить как отношение потерянного напора к скоростному напору.

Гидравлические потери в потоке жидкости разделяют на 2 вида:

  • • потери по длине;
  • • местные потери.

Гидравлические потери по длине

Потери напора по длине, иначе их называют потерями напора на трение Итр, в чистом виде, т.е. так, что нет никаких других потерь, возникают в гладких прямых трубах с постоянным сечением при равномерном течении. Такие потери обусловлены внутренним трением в жидкости и поэтому происходят и в шероховатых трубах и в гладких. Величина этих потерь выражается зависимостью где ^тр — коэффициент сопротивления, обусловленный трением подлине.

При равномерном движении жидкости на участке трубопровода постоянного диаметра с] длиной / этот коэффициент сопротивления прямо пропорционален длине и обратно пропорционален диаметру трубы

(1.172)

/ V

'тр Л 2?

где Xкоэффициент гидравлического трения (иначе его называют коэффициентом потерь на трение или коэффициентом сопротивления трения).

Значение X — коэффициент трения участка круглой трубы, длина которого равна ее диаметру.

С учетом выражения (1.172) для коэффициента сопротивления потери напора по длине выражаются формулой Дарси:

I V2

Кр = Х-—. (1.173)

с1

Эту формулу можно применять не только для цилиндрических трубопроводов, но тогда надо выразить диаметр трубопровода <7 через гидравлический радиус потока Я (1.89) и (1.90)

Я = — или Я = —,

4 X

где, напомним, со — площадь живого сечения потока; % — смоченный периметр.

Гидравлический радиус можно вычислить для потока с любой формой сечения, и тогда формула Дарси (1.173) принимает вид

(1.174)

_ XI V2 'тр " 4 Я 2%

Эта формула справедлива как для ламинарного, так и для турбулентного режимов движения жидкости, однако коэффициент трения по длине X не является величиной постоянной.

Для определения физического смысла коэффициента X рассмотрим объем жидкости длиной /, который равномерно движется в трубе диаметром сі со скоростью V(рис. 1.54).

На этот объем действуют силы давления рх и р2, причем рх > /?2, и силы трения рассматриваемого объема о стенки трубы, которые определяются напряжением трения на стенке трубы т0. Условием равномерного движения под действием сказанных сил будет следующее равенство:

(1.175)

Объем жидкости, движущийся в трубе

Рис. 1.54. Объем жидкости, движущийся в трубе

(р. р ^2

к—рх - к—р2 - кс11х0 = к—Ар - кс!1х0 - 0. Если учесть (1.82) и (1.86), можно записать:

, Ьр Л Л1 V2 /?_ = —, то Ар = X-—pg,

?тр

р

и, подставив эту величину в уравнение сил (1.175), действующих на рассматриваемый объем, получим:

  • 2, <1/ V2
  • 71-Л.--Р? - 7Ш/Т0 - 0.
  • 4 (12%
  • (1.176)

и выразив

(1 у2 Л

Сократив последнее выражение —X—р - т0 = 0

14 2

из него X, окончательно будем иметь

(1.177)

Из полученного выражения (1.177) следует, что коэффициент гидравлического трения есть величина, пропорциональная отношению напряжения трения на стенке трубы к динамическому давлению, посчитанному по средней скорости потока. Приведенные выше рассуждения и полученные в результате них формулы справедливы как для ламинарного, так и для турбулентного потоков. Однако коэффициент X не является величиной постоянной и зависит от многих факторов. Для выяснения его величины и связанных с ним потерь энергии необходимо подробно проанализировать режимы движения жидкости.

Сопротивление при ламинарном течении жидкости

Напомним, что ламинарное течение — это упорядоченное слоистое течение, математическое описание которого основано на законе трения Ньютона.

Для начала рассмотрим установившееся ламинарное течение в круглых трубах (рис. 1.55). В трубе диаметром 0 выделим цилиндрический объем жидкости между сечениями 1 и 2 длиной / и диаметром 2г. Отметим, что давления в сечениях 1 и 2 соответственно равны р 1 и р2. Распределение скоростей по сечению потока на всей длине трубы одинаково, поэтому одинаково и значение коэффициента кинетической энергии а. На рассматриваемый объем, движущийся со скоростью V, действуют силы давления (на торцевые поверхности) и силы сопротивления, вызванные вязким трением т на боковой поверхности.

Установившееся ламинарное течение в круглой трубе

Рис. 1.55. Установившееся ламинарное течение в круглой трубе

Как уже было получено выше,

(1.178)

Уравнение сил, действующих на выделенный объем, будет выглядеть:

(р - р2)кг2 = 2пг1х. (1.179).

Если подставить (1.179) в (1.178) и выразить т, получим:

Из (1.180) следует, что касательные напряжения трения линейно зависят от радиуса потока. Это показано на рис. 1.55. С другой стороны, касательные напряжения по закону Ньютона равны

сЫ с1и

т = (I— или, в нашем случае т = -р—. с1у (1г

Знак «-» в формуле означает, что отсчет по г направлен от оси к стенке, а при отсчете по у — от стенки к оси потока. Тогда

(1.181)

Из соотношения (1.181) можно найти приращение скорости сій

(1.182)

т.е. при увеличении радиуса скорость уменьшается, что соответствует эпюре скоростей (рис. 1.55).

После интегрирования (1.182) получим

-гс!г = ?> 2ц/

г2

  • 2ц/ 2
  • (1.183)

Постоянную интегрирования С в (1.183) легко определить из известных условий у стенки трубы, т.е. при г - г0, и = 0. С учетом этих

И № 2

условий С примет вид С = 4 - г0. И тогда скорость в ламинарном

потоке в зависимости от радиуса (а практически это скорость цилиндрического слоя жидкости, состоящего из элементарных струек, расположенных на одном радиусе в цилиндрическом потоке) будет описываться формулой

и =

(1.184)

которая, с математической точки зрения, является квадратной параболой и очерчивает эпюру распределения скоростей по сечению потока (рис. 1.55). Максимальное значение скорости достигается в центре потока при г= 0 и составляет

и

шах

(1.185)

Используя значение скорости и, определим величину расхода через кольцевую площадь 8сос. шириной с!г, находящуюся на расстоянии г от центра трубы (рис. 1.56).

Выше было отмечено, что скорость в любой точке этого кольца одинакова и тогда

(1.186)

Кольцевая поверхность в потоке жидкости

Рис. 1.56. Кольцевая поверхность в потоке жидкости

= ис1ыс = ~ г )2тRclr.

Проинтегрировав (1.186) по всей площади трубы (т.е. от г = О до г= г0), получим

0 = 1

Кж

  • 4 ц/
  • (/(,2 - г2)2кгс1г = к*Х>82п{г} - г)гс1г =

^грР

2(ы/

ТТЛ

о

4ц/

}яЛ._^еИ1[ЬЛ.= *»И

1 0.1 / .1

О

,2 4)

4 Л

о

2ц/

о

2ц/

Л1 'о -г- - ^

/

(1.187)

_ ^грР? 'о _ ^РЯ

  • 2ц/
  • 71— =
  • 8ц/

о

Средняя скорость в таком потоке будет

(1.188)

V = _ Ур^ ..2

71Г02 8ц/ 0

Заметим, что средняя скорость потока с параболическим распределением скоростей вдвое меньше максимальной.

Из выражения (1.188) легко получить закон сопротивления потоку, т.е. зависимость потерь энергии от размеров и параметров движения жидкости

Заменив в (1.189) динамический коэффициент вязкости р = vp кинематическим и выразив радиус трубы г0 через диаметр d, получим

128у/

nd4g

(1.190)

Полученное выражение (1.190) носит название закона Пуазейля и применяется для расчета потерь энергии с ламинарным течением.

Эту же величину потерь на трение ранее мы выразили формулой Дарси. Если приравнять правые части формулы Дарси (1.73) и закона Пуазейля (1.190), получится:

К = х

I V2 _ 128V/Q d 2g nd4g Kd

(1.191)

Заменим расход произведением —^~V и подставим в равенство (1.191)

, ,/К2 ll&vlnd2,, 64Viv ,,

И- = Х^^Г = ~Г4--ТУ = ~ГГT- <1-192)

d 2g nd4g 4 d2g 2

xp

Искусственно умножим и разделим числитель и знаменатель (1.192) на V

, ,1V2 64vlVV с v IV2 CA IV2 .. _.

d 2g d2g 2 V Очевидно, что в этом случае

Vd d 2g Re d 2g

kr = Х-—== 64—-— = 64-—7—. (1.193)

  • 64
  • ?. = — • (1.194)

Re

Это выражение для коэффициента гидравлического трения при ламинарном движении жидкости хорошо подтверждается экспериментом и используется на практике для определения потерь энергии в потоке при ламинарном течении. Иногда этот коэффициент обозначается Хл.

Зная полученные выше выражения для скорости элементарной струйки и (1.184) и для средней скорости потока V (1.188), можно вычислить значение коэффициента кинетической энергии а в уравнении Бернулли, который является отношением действительной кинетической энергии к кинетической энергии, посчитанной с применением средней скорости

|с/3с/со

а = -

(1.195)

Уо ‘

Учтем, что со = л/*02, с/со = 2кгс1г. Переменную интегрирования со — площадь живого сечения, заменим радиусом. После подстановки в выражение (1.195) получим

I

/

а = -

V

^грР^ 2 2

~4(дГ Г° >

2кгс1г

У

^трРВ

  • 8ц/
  • 3
  • (1.196)

о

/

кг,

о

Раскроем интеграл в числителе (1.196)

Л ^(Го2 - г2) I 2пЫг = 2п

= 2 к

4ц/

/

{(г022)3гс/г =

I Г/..6 о„4„2 . о..2..4 „6

4ц/

|(г06 - Зг04г2 + Зг02И - гв)гс1г =

= 2 71

1 ^|/()6гс/г - |3/*04г2гс//' + |Зг02И/г/г - |Лт/аЛ

V

4р/

У

Проинтегрируем эту функцию в пределах от 0 до г0, т.е. по сечению потока

2 л

^трР

Ч^У /

/

Г|/о6гйг -1Зг$г2гс1г + |Згц г4гс1 г -1 г6гс!г

V г г г г

- 2л:

= 2л

УР?

4ц/

/

3

V

  • 1/-06/-2 2 0

Г КрР8

1

1 4ц/ J

V

ЧрРяУУ

4р/

'О о

- -г04г4 о 4 0

'О о

Э 2 6

+ тъг

О 6

1

о

  • 8
  • -'О --'о + --'о I =
  • 2 о 4 о 6 о 8 О I

!_з з_1

2 4+ 6 8

У

У

Л

о )

= 2л

V

4ц/

у

г8

О

т

,8у

(1.197)

Теперь рассмотрим знаменатель выражения (1.196)

V

КрР& 2

Г0

8 ц/

У

/рз/

2^

Крр§

4ц/ г8 'О •

у

Разделив полученные числитель (1.197) на знаменатель (1.196), будем иметь значение коэффициента кинетической энергии а

(1.199)

Это значит, что кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей вдвое превышает кинетическую энергию того же потока с равномерным распределением скоростей.

В некоторых случаях удобно знать другой поправочный коэффициент, который учитывает отличие действительного количества движения потока от его значения, посчитанного с использованием средней скорости потока V. Этот коэффициент обозначают а0, называют коэффициентом количества движения и вычисляют по формуле

2?/ СО

«о = -^772—• (1-200)

V со

По аналогии с вычислением коэффициента а (1.195) подставив вместо и и Ксоответствующие выражения (1.84) и (1.188), после возведения в квдрат и замены переменной интегрирования, получим для числителя

I

/

  • 4 ЧоР?
  • 2 ш(1г - 2 к

V

/

V

4(1/

| I('о - г2 )гйг =

=

V

4(1/

|(/(,4 - 2/()2/-2 + г4 )п1г =

/

- 2л

КРР8 4 р/

2

/

|/(4/г/г - 12г1г2Г(1г + | г4гс1г

(1.201)

После интегрирования (1.201) в пределах от 0 до г0 числитель примет вид:

Г Афр8Л

2

Г 4_2 •

'О э

/ М2И4

'о і

? 1 „6

1 J

Г0Г і V /

~4Г°Г

0 4

о Ь

о,

-'о “-'о + 7Г0

= 2п

/

Знаменатель выражения (1.196) для а0 перепишем в виде

ЧрР? 2

’о

3

/ }3/

8ц/

/

пг0 - к

V

2^

^грР

  • 4 ц/
  • 4) •
  • (1.203)

После деления числителя (1.202) на знаменатель (1.203) получим значение коэффициента количества движения а0:

а0 =

к

3

/п6

ГМ

1 4ц/ J

70

1б;

/1

V

о

/

ЭЛ

к2у

3%р^3

= 8

V О /

  • 3
  • (1.204)
  • 4ц/

Эта величина для ламинарного потока с параболическим распределением скоростей, так же как и ос, является величиной постоянной.

Все приведенные зависимости справедливы для участков прямых гладких труб постоянного сечения с параболическим распределением скоростей по живому сечению потока.

Турбулентное течение в трубах

Несмотря на то что в общем случае турбулентное движение жидкости является неустойчивым, если рассматривать некоторые усредненные по времени характеристики потока, среднюю скорость, среднее распределение скоростей по сечению, среднее давление, средние величины пульсаций, а также среднее значение расхода, то во многих случаях они могут оказаться постоянными. Именно такие характеристики мы и будем использовать при описании турбулентных потоков.

Многочисленными опытами установлено, что турбулентный поток, как правило, не соприкасается со стенками трубы, а занимает только центральную часть. Между стенками трубы и турбулентным потоком существует тонкий слой жидкости, течение в котором является ламинарным (рис. 1.57).

Причем внешняя часть этого слоя, соприкасающаяся с поверхностью трубы, неподвижна (имеет нулевую скорость), а его внутренняя часть, непосредственно взаимодействующая с потоком, имеет

Ламинарный слой в турбулентном потоке

Рис. 1.57. Ламинарный слой в турбулентном потоке

скорость, соизмеримую со средней скоростью жидкости в данном сечении. Таким образом, турбулентный поток движется как бы в трубе из ламинарного слоя той же жидкости. Толщина этого слоя весьма мала. Ее можно определить по формуле:

5= 32,^_, (1.205)

Re^

где d — внутренний диаметр трубы; Хт коэффициент потерь на трение при турбулентном режиме течения.

Можно считать, что скорость жидкости внутри этого слоя по толщине меняется по линейному закону. Надо также отметить, что число Рейнольдса Re^ (число Рейнольдса для ламинарного слоя), подсчитанное по толщине слоя 5ЛС, скорости внутренней части ламинарного слоя илс и кинематическому коэффициенту вязкости v есть величина постоянная:

Яелс = = const. (1.206)

Эта величина имеет постоянное значение для любых турбулентных потоков. Поэтому при увеличении скорости потока растет скорость ламинарного слоя, а его толщина уменьшается. При больших значениях Re (больших скоростях) ламинарный слой практически исчезает.

Вязкое трение при турбулентном движении

Выделим в турбулентном потоке, движущиеся параллельно твердой стенке (рис. 1.58), элементарную площадку AS и определим касательное напряжение т, возникающее за счет пульсаций скоростей и'х, и'у. Через площадку в перпендикулярном потоку направлении проходит расход жидкости

Схема турбулентного потока, движущегося параллельно стенке

Рис. 1.58. Схема турбулентного потока, движущегося параллельно стенке

= «'ДД.

Масса жидкости, проходящая через площадку за время Д/, равна

Ат = рАс/уАГ = ри'у Д5ДГ.

За счет составляющей пульсаций скорости и'х эта масса получит приращение количества движения

Ати'х = /?«'«'ДДД/.

Приращение количества движения равно импульсу силы, т.е.

Ати'х = Д/’ДГ = рихи'у ДДД/,

где сила Д/7 = тДД, и тогда касательное напряжение будет равно

тДДД/ = ри'хи'уАЗА( => т = рихи'у,

а его осредненное по времени значение можно представить в виде

т = рихи'у.

Определенное таким образом касательное напряжение вычислить очень трудно из-за неизвестных значений и'х и и', поэтому чаще всего рассматривается приближенное решение.

Представим, что малый объем жидкости, находящийся в точке А и имеющий скорость и, в результате турбулентного перемешивания переместился в точку В, расположенную на расстоянии / от точки А

и приобрел скоростью + —I.

Ву

Будем считать, что пульсации скоростей их и и'у пропорциональны приращению скорости рассматриваемого объема жидкости, т.е.

их *

с1и

с!у

I,

с1и

с!у

I.

= 2п

= 2к

3/

1 4ц/ )

V

V 2

  • 2
  • •л* 6
  • 4 ^/?трРяУ йпл
  • 4 ц/

о

ОУ

(1.202)

Тогда х можно представить в виде

х = ри'хи'у = р1

ґ Ли л2

/

где коэффициент пропорциональности включен в величину /, знак х

совпадает со знаком производной —. Величина / носит называние

Лу

«путь перемешивания».

Последнее уравнение обычно преобразовывают к виду

х = рі

/ СІи 2 л ( сій (1и Х

СІу

= Р1

Лу Лу

= С

т

Ли Лу

(1.207)

где Ст — коэффициент перемешивания, или коэффициент турбулентного обмена, который равен

/ лгг Л

Ст = рі

Ли

Лу

/

(1.208)

Полученное уравнение аналогично уравнению касательного напряжения при ламинарном режиме. Коэффициент Ст значительно превышает по величине динамическую вязкость р и зависит от числа Рейнольдса.

Сопротивление при турбулентном течении жидкости

Напомним, что турбулентное движение жидкости отличается интенсивным вихреобразованием, приводящим к перемешиванию слоев. В потоке наблюдаются постоянные пульсации давлений и скоростей как по величине, так и по направлению. Турбулентное течение имеет неустановившийся характер, а траектории движения частиц жидкости постоянно и хаотически меняются. На практике такое движение встречается достаточно часто при высоких скоростях потока и малой вязкости жидкости. Вследствие того что при турбулентном течении потока нет слоистости, закон трения Ньютона неприменим. По причине сложности турбулентного движения и его аналитического исследования пока нет достаточно строгой теории этого течения. Существует полуэмпирическая приближенная теория Прандтля, элементы которой будут затронуты ниже, при рассмотрении вопроса о вязком трении в турбулентных потоках.

Потери энергии (потери напора на трение) при турбулентном течении жидкости (рис. 1.59) больше, чем при ламинарном, из-за зна-

Ламинарный ^кр Турбулентный режим режим

Рис. 1.59. Зависимость потерь энергии потока жидкости от режима ее движения

чительных потерь на вихреобразованне, перемешивание и изменение траекторий.

В гидравлике для практических расчетов турбулентного течения жидкости в трубах используют экспериментальные систематизированные данные, применяемые на основе теории подобия. Основной расчетной формулой для определения потерь напора в круглых трубах является уже известная формула Дарси (1.86). Однако коэффициент А.т — в данном случае это коэффициент на трение по длине при

турбулентном течении

существенно отличается от Хл

ис

пользуемом при ламинарном движении жидкости.

Турбулентное течение в гладких трубах

Гладкие или, точнее, технически гладкие трубы — это такие, шероховатость внутренних поверхностей которых настолько мала, что практически не влияет на потери энергии на трение. К таким трубам относят:

  • • цельнотянутые трубы из цветных металлов;
  • • трубы из алюминиевых сплавов;
  • • стальные высококачественные бесшовные трубы;
  • • новые высококачественные чугунные трубы;
  • • новые неопинкованные трубы.

В основном трубы, используемые в гидросистемах технологического оборудования, можно отнести к технически гладким.

Потери напора при турбулентном течении жидкости, как уже отмечалось ранее, могут быть определены по формуле Дарси (1.173) или в виде потерь давления на трение

л *

(1.209)

ДРтр = Р^Т^у-

Однако коэффициент потерь на трение по длине в этом случае будет значительно больше, чем при ламинарном движении.

Причем сам коэффициент будет существенно зависеть от числа Рейнольдса. Эту зависимость можно представить в виде графика, представленного на рис. 1.60.

Зависимость коэффициента потерь на трение

Рис. 1.60. Зависимость коэффициента потерь на трение

по длине от числа Рейнольдса

Наиболее применимыми формулами для определения А.т являются следующие эмпирические и полуэмпирические зависимости:

  • (1.210)
  • (1,81ёКе-1.5)2

применяемая для чисел Рейнольдса в пределах 2300 — несколько миллионов, или

(1.211)

используемая в интервале 2300—100000.

Турбулентное течение в шероховатых трубах

Исследования течения жидкости в шероховатых трубах практически полностью основываются на экспериментальных исследованиях. На их результатах основаны зависимости и расчетные формулы, применяющиеся для определения потерь энергии в подобных условиях. Основная формула для определения потерь напора — формула Дарси. Отличие заключается только в коэффициенте потерь на трение. В отличие от турбулентных потоков

в гладких трубах, где коэффициент на трение полностью определяется числом Рейнольдса Яе, для потоков в трубах, имеющих шероховатые внутренние поверхности, Хт зависит еще и от размеров этой шероховатости. Установлено, что решающее значение имеет не абсолютная высота неровностей {абсолютная шероховатость) к, а отношение высоты этих неровностей к радиусу трубы г0. Эта ве-й к

личина обозначается — и называется относительной шероховатого

стыо. Одна и та же абсолютная шероховатость может практически не влиять на коэффициент трения в трубах большого диаметра и существенно увеличивать сопротивление в трубах малого диаметра. Кроме того, на сопротивление потоку жидкости влияет характер шероховатости. По характеру шероховатость разделяют на естественную, при которой величина неровностей к по длине трубы различна, и регулярную, при которой размеры неровностей по всей трубе одинаковы (рис. 1.61).

Регулярная шероховатость создается искусственно и характеризуется тем, что имеет одинаковую высоту и форму неровностей по всей длине трубы. Шероховатость такого вида называют равномерно распределенной зернистой шероховатостью. Коэффициент потерь на трение в этом случае описывается функцией

А'

'о,

Экспериментальным изучением влияния числа Рейнольдса и относительной шероховатости занимался Никурадзе И.И., который

к 1 1

проводил опыты для диапазонов Яе = 500— 1 000000 и — =--5- —.

г0 500 15

Результаты этих исследований сведены к графику (рис. 1.62) в логарифмических координатах.

Графики Никурадзе

Рис. 1.62. Графики Никурадзе

На графике цифрами обозначены:

1 — зона ламинарного течения, коэффициент А,л вычисляется по формуле

3 — зона доквадратичного течения, коэффициент Хт вычисляется по формуле

4 — зона квадратичного сопротивления, коэффициент Хт вычисляется по формуле

На практике для определения потерь напора в реальных шероховатых трубах чаще всего используют формулу Лльдшуля

г

А,т = 0,1

  • 1,46 Кэ 100 - +
  • 0,25

с1 Яе /

В приведенных выше формулах Кэ эквивалентная абсолютная шероховатость в миллиметрах (абсолютная шероховатость, которая эквивалентна регулярной шероховатости, определяемая из таблиц), с1 — диаметр трубы.

Выводы из графиков Никурадзе

  • • При ламинарном течении шероховатость практически не влияет на сопротивление. Эксперимент практически полностью совпадает с теоретическими формулами.
  • • Критическое число Рейнольдса от шероховатости не зависит (штриховые кривые отклоняются от прямой Л в одной точке).
  • • В области турбулентных течений при небольших числах Рейнольдса и малой шероховатости сопротивление от шероховатости не зависит (штриховая линия совпадает с прямой В), а с увеличением Яе сопротивление возрастает.
  • • При больших значения чисел Рейнольдса Хт перестает зависеть от Яе и становится постоянным для определенной шероховатости.

Местные гидравлические потери

Местные гидравлические потери возникают при протекании жидкости через местные гидравлические сопротивления. Местными гидравлическими сопротивлениями называются любые участки гидравлической системы, где имеются повороты, местные преграды на пути потока рабочей жидкости, расширения или сужения, вызывающие внезапное изменение формы потока, скорости или направления ее движения. В этих местах интенсивно теряется напор. Примерами местных сопротивлений могут быть искривления оси трубопровода, изменения проходных сечений любых гидравлических аппаратов, стыки трубопроводов и т.п. Потери напора на местных сопротивлениях АИМ определяются по формуле Вейсбаха

ДАм=1„^ 0-212)

через коэффициент местного сопротивления ?м.

Коэффициент местного сопротивления зависит от конкретных геометрических размеров местного сопротивления и его формы. В связи со сложностью процессов, которые происходят при движении жидкости через местные сопротивления, в большинстве случаев его приходится определять на основании экспериментальных данных с помощью формулы:

(1.213)

Однако в некоторых случаях величины коэффициентов местных сопротивлений можно определить аналитически.

Из определения коэффициента видно, что он учитывает все виды потерь энергии потока жидкости на участке местного сопротивления. Его физический смысл состоит в том, что он показывает долю скоростного напора, затрачиваемого на преодоление данного сопротивления.

Коэффициенты различных сопротивлений можно найти в гидравлических справочниках. В том случае, если местные сопротивления находятся ближе (25 + 50)с1 друг от друга (с/ — диаметр трубопровода, соединяющего местные сопротивления), весьма вероятно их взаимное влияние друг на друга, а их действительные коэффициенты будут отличаться от табличных. Такие сопротивления нужно рассматривать как единое сложное сопротивление, коэффициент ?,м которого определяется только экспериментально. Нужно отметить, что из-за взаимного влияния местных сопротивлений, расположенных вблизи друг друга в потоке, во многих случаях суммарная потеря напора не равна простой сумме потерь напора на каждом из этих сопротивлений.

Местные потери напора можно выразить как через скоростной напор, соответствующий скорости до препятствия в потоке, так и через скоростной напор, подсчитанный по скорости за этим препятствием. Обычно в формулу Вейсбаха подставляют среднюю скорость за препятствием У2 ив справочниках приводят коэффициент местных

сопротивлений применительно к скоростному напору —. Иногда

коэффициенты местных потерь даются в справочниках для скорост-

V2

ного напора —, где V, — средняя скорость до препятствия. Это об-

2#

стоятельство нужно учитывать при использовании справочников.

Учитывая условие неразрывности потока, можно найти соотношения между коэффициентами местных сопротивлений, определенных по отношению к разным скоростным напорам (до и после сопротивления). Понятно, что при постоянном расходе (2, скорости в двух сечениях относятся обратно пропорционально площадям живых сечений. Тогда если одну и ту же местную потерю напора выразить через средние скорости ДО препятствия К] и после него У2, то получим:

у*

после г 2

2&

Если выразить отношение между по-разному определенными коэффициентами, то

? ДО

V-

У ПОСЛе

V,

  • ?ДО
  • 2 или

у после

СО

<2

^ со, л2

V 0)2 )

(1.214)

где СО] и со2 — площади живых сечении до и после препятствия соответственно.

Отметим, что для большинства местных сопротивлений ?,м не зависит от числа Рейнольдса при Яе > 5000. При меньших значениях Яе коэффициент увеличивается.

Виды местных сопротивлений

Внезапное расширение потока

Для внезапного расширения потока (рис. 1.63) выражение потери напора можно найти теоретическим путем. При внезапном расширении потока в трубке от сечения 1 до сечения 2 жидкость не течет по всему контуру стенок, а движется по плавным линиям токов.

Вблизи стенок, где внезапно увеличивается диаметр трубы, образуется пространство, в котором жидкость находится в интенсивном вращательном движении. При таком интенсивном перемешивании происходит очень активное трение жидкости о твердые стенки трубы, об основное русла потока, трение внутри вращающихся потоков, вследствие чего происходят существенные потери энергии. Кроме того, какая-то часть энергии жидкости затрачивается на фазовый переход частиц жидкости из основного потока во вращательные и наоборот. На рисунке видно, что показания пьезометра во втором сечении больше, чем в первом. Тогда появляется вопрос, о каких потерях идет речь? Дело в том, что показания пьезометра зависят не только от потерь энергии, но и от величины давления. А давление во втором сечении становится больше из-за уменьшения скоростного напора за счет расширения потока и падения скорости. В этом случае надо учитывать, что если бы не было потерь напора на местном сопротивлении, то высота жидкости во втором пьезометре была бы еще больше.

Происходящая при внезапном расширении потеря напора может быть найдена с помощью уравнения Бернулли для потока реальной жидкости, записанного для сечений 1 и 2, где движение основного потока занимает все сечение трубы, которое будет иметь вид:

( л/2

Р2 | У~7у2 ,?Р Ч /

Внезапное расширение потока

Рис. 1.63. Внезапное расширение потока

(1.215)

Применим теорему механики об изменении количества движения к выделенному цилиндрическому объему, заключенному между сечениями 1 и 2. На рассматриваемый объем действуют силы давления и силы трения. Силами трения из-за малости рассматриваемого участка можно пренебречь. Тогда импульс внешних сил, действующих на рассматриваемый объем в направлении его движения, — это разность сил давления /?, я р2 в сечениях 1 и 2, которые действуют на равные по размеру торцевые площади со, = со2. Разность этих сил составляет величину

(Р-Р2) Юн (1.216)

Этому импульсу соответствует секундное изменение количества движения жидкости, втекающей в рассматриваемый объем и вытекающей из него. Если считать, что скорости по сечениям распределены равномерно, получим:

0рУ2-0рУ1=0р(У21). (1.217)

Приравняем импульс сил (1.216) и изменение количества движения (1.217) по теореме об изменении количества движения

12)со2=0р(К21). (1.218)

Разделим уравнение (1.218) на со2 и учтем, что 0 = со2К2:

(А “А)

со2 _ со2У2

со2 со2

Р(У2-У1) = Р(У22-УУ2)-

(1.219)

Произведем в (1.219) сокращения, величину У2 заменим суммой 2 + — У2, искусственно добавим в правую часть и тут же вычтем 1 .,2

величину-^1 :

/

Р-Р2=Р

V

  • 2 +-У2 - УУ2 +-У2 --У2 2 2 2 2
  • (1.220)

Перегруппируем члены в правой части равенства (1.220):

/

Р ~ Р2 = Р

/

+ РЬ2-Р^'-

(1.221)

Заметим, что величина в скобках (1.221) может быть упрощена

- т + '-У2 = '-(У2 - 2У1У2 + V2) = Ууг - У,) Проведя замену, получим

рх-Р2 = р(У2-уо2 + рг2-У-у2.

После перегруппировки членов равенство примет вид:

РI + р^,2 = Р2 + Р^22 + Р^(Г> - К)2- (1-222)

Разделим все члены равенства (1.222) на р#

— + -2 = ^- + —^К22 + -2-1^2 - »О- 0-223)

Р? Р? 2 РЯ РЯ 2 РЯ 2

Окончательно уравнение (1.223) примет вид

(1.224)

Р, , У± Рг , У± ,

р? Ч р? ч ч

Сравним полученное уравнение с исходным уравнением (1.155). Если допустить, что форма эпюр скоростей в первом и втором сечении одинаковы, т.е. оц = а2 и приближается к единице, так как поток турбулентный, и, поменяв местами У{ и У2, так как

(У[ - У2)2 = (У2 - У1)2, то из сравнения уравнений (1.215), (1.224) можно получить, что

(1.225)

Назвав разность (К, - У2) потерянной скоростью, можно сказать,

что потеря напора при внезапном расширении равна скоростному напору, подсчитанному по потерянной скорости. Это утверждение носит название теоремы Борда—Карно.

Формулу (1.225) можно переписать в виде:

г

=

V

V

Л2К2

/

ч

илиА/гм -

V,

  • 2 гг2
  • -1

К

Ч

(1.226)

С учетом уравнения неразрывности (1.101), те же потери напора можно представить в виде:

А/гм =

  • 1-
  • О)!

2 У2

/

V

СО

  • 2)
  • — и А И., =

Ч

со2

  • -1
  • 2 V}

Vю!

Ч

(1.227)

Сравнивая последние выражения с формулой Вейсбаха (1.212), можно выделить выражения для коэффициента местного сопротивления при внезапном расширении потока :

=

=

  • 1 -
  • (О,

со2

СО

со2у 2

, если АИМ определять ПО скорости У у,

-1

, если АИМ определять по скорости У2.

Внезапное сужение потока

При внезапном сужении потока (рис. 1.64), также как и при внезапном расширении, создаются пространства с завихрениями вращающейся жидкости, которые образуются в пристенном пространстве широкой части трубы.

Такие же завихрения образуются в начале узкой части трубы за счет того, что при входе в нее (узкую часть) жидкость продолжает некоторое время двигаться по инерции в направлении центра трубы и основное русло потока еще некоторое время продолжает сужаться. Следовательно, при внезапном сужении потока возникают как-бы два подряд идущих местных сопротивления. Местное сопротивление за счет сужения основного русла и сразу же за ним местное расширение, уже рассмотренное выше. С учетом этого потери напора при внезапном сужении примут вид:

(1.228)

Внезапное сужение потока

Рис. 1.64. Внезапное сужение потока

К2 (У„-У2)2

где Е,'м коэффициент местного сопротивления за счет сужения потока; У — средняя скорость потока в самом узком месте основного русла (в сечении у); У2 — средняя скорость потока в сечении 2.

Для практических расчетов чаще всего пользуются следующей полуэмпирической формулой:

% = -2

ґ

1 -

со2

X

со

1 У

Ф-Г

  • 2 V п )
  • (1.229)

где п — степень сужения трубы.

Постепенное расширение потока

Постепенное расширение (рис. 1.65) трубы называется диффузором.

Движение жидкости в диффузоре сопровождается уменьшением скорости и повышением давления. Частицы жидкости движутся вперед, в сторону более высокого давления, по инерции, за счет своей кинетической энергии, которая уменьшается по направлению движения. Кроме того, за счет расширения трубы частицы жидкости

Постепенное расширение потока

Рис. 1.65. Постепенное расширение потока

движутся не только вдоль оси потока, но и в направлении от оси к стенкам. В каком-то сечении инерция жидкости уменьшается до такой степени, что ее не хватает для преодоления повышающегося давления. Тогда такие частицы жидкости останавливаются или даже начинают двигаться в обратном направлении. В результате возникают вихревые потоки и потоки, отрывающиеся от стенки. Эти явления зависят от скорости и интенсивности расширения потока. Кроме того, в диффузоре происходят обычные потери на трение, подобные потерям по длине в трубах постоянного сечения. Таким образом, потери энергии в диффузоре Д/?м складываются из потерь на трение подлине и потерь на вихреобразование за счет расширения

~ ^^расширения • (1.230)

Для определения этих величин рассмотрим круглый диффузор с углом отклонения стенки от оси, равным ос, и параметрами, приведенными на рисунке. Определим потери на трение на произвольном элементарном участке диффузора длиной Ш. Увеличение радиуса диффузора на этом участке составит с1г. С учетом этого

с1г

Бтос

(1.231)

Тогда потери энергии на этом элементарном участке по формуле Дарси (1.173) составят

б//?тр - А.т

  • (11 У2 2 (1г 2 g
  • (1.232)

Из условия постоянства расхода (1.101) можно записать

со, К] = со У = щ2У{ = кг2У, (1.233)

выразив из (1.218) У, получим

  • 1
  • (1,81ё Ке —1.5)[1]

или Хт -

  • 0,3164
  • 4/яё ’

у = у,

г )

  • 9
  • (1.234)

где V и г — соответственно скорость жидкости и радиус диффузора в начале произвольно выбранного участка (11. Их можно рассматривать как текущие значения параметров.

Подставив полученные выражения (1.231) и (1.234), в формулу (1.232) будем иметь

с!г

/„Л

2г8Н1(Х

Г У

с!г К

28та 2#

V/*5

(1.235)

после интегрирования (1.235) по радиусу в пределах от до г2 получим

с1И.р - А.т

1 V,

Хт V,

  • 281па 2g
  • 2 /
  • 1

I

(Уг -

X

т

4 -1

  • 88та 2g 1 И
  • 88та 2g

+

1 У

X

т

V2 ' Ч „4

  • 881па 2g
  • 1

V

X

т

  • 88та
  • 1 -

.4 Л

V,

  • 2#
  • (1.236)

Если учесть, что

С02 _ Щ _ г2

со

= “V = П,

71/Г

где п — степень сужения диффузора, то формулу потерь на трение в диффузоре можно переписать в виде

с//7гр

X

т

88та

г

1 -

.4

V,

I _

X

т

  • 2 У
  • 2,? 88та

/72 У

2&

Второе слагаемое в формуле потерь напора в диффузоре представляет собой потери энергии на расширении потока. Эти потери похожи на потери при внезапном расширении

V п ]

2 однако имеют несколько меньшую величину, поэтому в формулу для их определения вводят поправочный коэффициент к. Численное

ПО значение этого коэффициента можно определить по формуле Идель-чика:

к = 3,2tga^/tga, или приближенно по формуле Флигнера:

к = sin 2a.

В итоге формула для определения потерь напора в диффузоре примет вид:

/

м

  • 8sina
  • 1 - л

/

Г? J

+ к

1 --

п;

V,

J2 g

Сравнивая это выражение с формулой Вейсбаха (1.212), легко выявить коэффициент потерь на местном сопротивлении, который для диффузора будет равняться:

8sina

1 2

fi-i)

+ к

V п )

^ п)

Постепенное сужение потока

Такое сопротивление представляет собой коническую сходящуюся трубку — конфузор (рис. 1.66).

Постепенное сужение потока

Рис. 1.66. Постепенное сужение потока

Течение в конфузоре сопровождается постепенным увеличением скорости и одновременным снижением давления. По этой причине условия для вихреобразования на конической поверхности отсутствуют. Потери в этой части местного сопротивления происходят только за счет трения. Вихреобразование может происходить только в узкой части трубы. Его природа аналогична природе подобного вихря при внезапном сужении потока, однако величина существенно меньше. В большинстве работ по гидравлике указывается, что эта величина столь незначительна по сравнению с потерями на трение в конической части конфузора, что ей рекомендуется пренебречь.

С учетом сказанного, величину этих потерь можно определить по формуле, вывод которой аналогичен выводу формулы потерь на трение в диффузоре. Она имеет вид

г

т

ЗБІпа

1-

у

п у

Выражение коэффициента потерь на трение в конфузоре выглядит так:

А,

/

Збіпос

1 -

п у

Внезапный поворот потока

Внезапный поворот потока (рис. 1.67) — это такое местное сопротивление, которое очень сильно влияет на потери напора.

М»

Рис. 1.67. Внезапный поворот потока

В нем происходит отрыв потока от стенки трубы, и создаются две сложные вихревые зоны, в которых интенсивно теряется энергия. Степень интенсивность сильно зависит от угла поворота а. Коэффициент местного сопротивления очень сильно возрастает с увеличением угла поворота, и его можно определить по эмпирической формуле

= 0,95зіп

/аЛ

2)

+

2,05біп4

В гидросистемах подобных местных сопротивлений рекомендуется избегать.

Плавный поворот потока

Постепенный поворот трубы (закругленное колено) значительно уменьшает вихреобразование и, следовательно, потери энергии (рис. 1.68).

Плавный поворот потока

Рис. 1.68. Плавный поворот потока

Величина потерь существенно зависит от отношения — и угла а.

с1

Коэффициент местного сопротивления для плавного поворота можно определить по экспериментальным формулам. Для поворота

Л

под углом 90° и — > 1 он равен

сI

5Г=0,51 + 0,19|; для угла поворота более 100°

/

0,7 + 0,35— %

а

о

90°

/

90е

м

для угла поворота менее 70°

= Осыпай00.

Истечение жидкости через отверстия и насадки

Истечение жидкости из отверстий и насадков (коротких трубок различной формы и сечений) характерно тем, что в этом процессе потенциальная энергия жидкости на очень коротком расстоянии и за очень короткое время превращается в кинетическую энергию струи (или капель в общем случае). При этом происходят какие-то, большие или не очень, потери напора. Подобные режимы течения жидкости возникают при вытекании жидкости из резервуаров, баков, котлов в атмосферу или пространство, заполненное жидкостью. Аналогичные явления происходят при протекании жидкости через малые отверстия и щели в направляющей, контрольной и регулирующей аппаратуре различных гидравлических систем.

Основной вопрос, на который нужно найти ответ, заключается в том, как определить расход и скорость истечения через отверстия или насадки различной формы.

При вытекании жидкости из резервуара через отверстие в тонкой стенке, диаметр которого значительно меньше размеров резервуара, а края отверстия имеют прямоугольную форму, диаметр вытекающей струи будет меньше размеров диаметра отверстия (рис. 1.69).

Совершенное сжатие струи

Рис. 1.69. Совершенное сжатие струи

Это происходит потому, что жидкость, вытекающая из резервуара, попадает в отверстие со всех направлений, а после прохождения отверстия направление движения всех частиц жидкости становится одинаковым. Изменение направления движения частиц жидкости в силу их инерционности мгновенно произойти не может. Поэтому сжатие струи обусловлено необходимостью постепенного изменения направления движения жидкости при прохождении отверстия. Так как размеры резервуара много больше размеров отверстия, боковые поверхности и свободная поверхность не могут оказывать влияния на направление входа жидкости в отверстие, то в этом случае наблюдается совершенное сжатие струи. Такое сжатие является наибольшим, и оно достигается на расстоянии, примерно равном диаметру отверстия. Степень сжатия выражается коэффициентом сжатия е:

8 =

фс

со0

4^0 У где со0, с/0 площадь и диаметр отверстия; сос., <1С — площадь и диаметр совершенно сжатой струи.

В том случае если истечение происходит из резервуара такой формы, что его стенки влияют на траекторию движения частиц при входе в отверстие, наблюдается несовершенное сжатие струи (рис. 1.70).

Ч^ЧЧЧЧЧ^ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ^чЧЧЧЧЧ*

т

ч

ч

Ч

Ч

ч

ч

..... ;

1 4 ч Ч

1 ” » ф ф і

.......

1 - * * *

{ ..... :

------ N

ч

Ч

ч

Ч

Ч

Рис. 1.70. Несовершенное сжатие струи

Вследствие того что боковые стенки резервуара перед отверстием формируют направление движения жидкости, струя после отверстия сжимается в меньшей степени, чем при вытекании из практически бесконечного резервуара. По этой причине меняется коэффициент сжатия струи. Формулы для определения этого сжатия для разных жидкостей и разных условий истечения — эмпирические. Например, для круглого центрального отверстия в тонкой торцевой стенке трубы И ДЛЯ маловязких жидкостей коэффициент сжатия 8] можно находить по следующей эмпирической формуле в долях от коэффициента сжатия 8 при совершенном сжатии струи

где п =

о

со

; где, в свою очередь, со0 — площадь отверстия;

резервуара

СО

резервуара

— площадь сечения резервуара (в приведенном примере

площадь поперечного сечения трубы).

Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке

Рассмотрим большой резервуар с жидкостью, из которого через малое отверстие в боковой стенке вытекает струйка (рис. 1.71). Термины «большой резервуар» и «малое отверстие» означают, что эти размеры не сказываются на изменении высоты жидкости (напора)

Истечение через малое отверстие в тонкой стенке

Рис. 1.71. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке

в резервуаре при вытекании из него жидкости. Термин «тонкая стенка» означает, что после сжатия струя вытекающей жидкости не касается цилиндрической поверхности отверстия.

Рассмотрим два сечения в этом резервуаре, обозначенные индексами 0 и 1. Запишем уравнение Бернулли для этих условий:

+

(1.237)

Для описанных условий можно считать, что движения жидкости в сечении 0 нет, следовательно, скоростной напор равен нулю. Разницей пьезометрических высот из-за их малого влияния можно пренебречь. Коэффициентом ?, в данном случае обозначено сопротивление отверстия. Этот коэффициент учитывает потери энергии жидкости на сжатие струи и трение в струйках жидкости вблизи отверстия при формировании вытекающей струи. С учетом этого уравнение (1.237) примет вид:

— = — + а —

рг рг Н

После перегруппировки членов получим и сокращения на?

= (а, + Е)

V;

(1.238)

Выразим из (1.238) скорость

Ро-Рс 2 р(ас + ?)

(1.239)

Заменим в (1.239) скорость отношением расхода к площади живого сечения потока и вновь перегруппируем

Ос =

Ро-Рс

  • •2 =
  • (1.240)

Проанализируем полученное выражение (1.240). Заметим, что индекс «с» относится к струе, и это единственный индекс, относящийся к движущейся жидкости «на выходе» рассматриваемого проходного сечения (определение приведено ниже). Опустим этот индекс.

Величина . = ср — называется коэффициентом скорости.

л/(«с + ?)

Если считать распределение скоростей в струе равномерным (а = 1), а жидкость — идеальной, в которой нет потерь на трение, то коэффициент ?, = 0. Тогда коэффициент скорости ср = 1.

Отсюда становится понятным физический смысл коэффициента скорости. Он выражает отношение действительного расхода через проходное сечение к теоретическому расходу. Действительным расходом называют расход, который на самом деле проходит через проходное сечение. Теоретический расход — это такой, который мог бы протекать через проходное сечение в отсутствие потерь. Учтем, что сос = со0е, где 8 — коэффициент сжатия струи. После подстановки этих обозначений в коэффициент перед знаком радикала получим

. г(ос = срсо08. Произведение ере = р носит название «коэффи-

л/(ас + ?)

циент расхода». Тогда окончательно вместо (1.240) будем иметь формулу

О = со0р^Лр,

или в другой форме, с учетом ТОГО, ЧТО Р? = у,

(1.241)

В этих формулах Ар — разница в давлениях до проходного сечения и после него.

С помощью полученного выражения решается задача определения расхода для всех случаев течения жидкости под действием разности давлений. Кроме того, из данного выражения видно, что причиной течения жидкости является разница давлений. Жидкость всегда движется из области высокого давления в область низкого давления. По существу приведенное выражение можно считать инженерной формой уравнения Бернулли.

При прохождении жидкости через малое отверстие происходит «смятие» струи. На немецком языке «душить, давить, мять» — «drosseln». Поэтому в технике истечение через малое отверстие называют дросселированием. Гидравлический аппарат, предназначенный для дросселирования, называется дросселем, а отверстие в этом гидроаппарате называется проходным сечением.

Наиболее сложной задачей практического применения этого уравнения является определение коэффициента р, значение которого зависит от степени сжатия струи и режима ее течения, структуры распределения скоростей вблизи проходного сечения, которая в свою очередь зависит от формы входа в проходное сечение. Этот коэффициент определен экспериментально. Он зависит от числа Рейнольдса, и его можно представить с помощью графика (рис. 1.72).

График зависимости р, ф, г от числа Рейнольдса

Рис. 1.72. График зависимости р, ф, г от числа Рейнольдса

На графике буквами Яет обозначено число Рейнольдса, посчитанное по теоретической скорости, соответствующей теоретическому расходу.

С увеличением скорости истечения и связанным с этим увеличением Яет коэффициент скорости ср быстро нарастает и при Яет —> °° стремится к значению ф = 1,0. Это свидетельствует о значительном уменьшении гидравлического сопротивления отверстия за счет снижения влияния вязкости.

Коэффициент сужения струи е с увеличением Яет уменьшается и при Яет —> °° стремится к значению е = 0,6.

Коэффициент расхода р, являясь произведением коэффициентов ф и є, на первом этапе растет, достигая максимального значения р = 0,69 при Яет ~ 350, а затем плавно снижается до р « 0,6.

Таким образом, только за счет коэффициента р величина расхода уменьшается на 30—40% относительно теоретически возможного.

Истечение через насадки

Насадком называется короткая трубка длиной от двух до шести диаметров, присоединенная к выходу отверстия, через которое истекает жидкость. Насадки отличаются формой и размерами. Наиболее существенные отличия между насадками состоят в форме входного отверстия, которая, как уже отмечалось выше, может существенно влиять на величину расхода при той же самой площади проходного сечения. Простейшим насадком является цилиндрический насадок. Течение в нем может происходить в двух разных режимах.

В первом случае (рис. 1.73) на острых входных кромках насадка происходит совершенное сжатие струи и далее она движется, не касаясь стенок насадка. В этом случае истечение ничем не отличается от истечения через малое отверстие в тонкой стенке. Скорость при этом истечении высокая, а расход минимален.

1

»

%

V

ф т

*

/

/

  • *
  • *
  • 1
  • 1

* '

; :

Рис. 1.73. Течение из цилиндрического насадка

Во втором случае (см. рис. 1.73), как и при истечении через отверстие в тонкой стенке, струя жидкости сжимается на некотором удалении от входного сечения, образуя вихревую зону, давление в этом сечении струи становится меньше атмосферного. Далее струя постепенно расширяется и заполняет все сечение насадка. Из-за того, что сжатия на выходе насадка нет в = 1,0, коэффициент расхода через такой насадок равняется р = ф = 0,8.

При этом расход жидкости через насадок при прочих равных условиях превышает расход в первом случае, а скорость жидкости становится меньше из-за более высокого сопротивления.

Еще лучшие условия истечения через так называемый тороидальный насадок (рис. 1.74), который обеспечивает более высокий коэффициент расхода.

Тороидальный насадок

Рис. 1.74. Тороидальный насадок

Его значение, в зависимости от увеличения радиуса скругления кромки, доходит до р = 0,95.

Когда радиус кривизны становится больше длины насадка, насадок становится коноидалъным (рис. 1.75).

Коноидальный насадок

Рис. 1.75. Коноидальный насадок

Коэффициент расхода в таких условиях истечения, приближается к значению р = 0,98.

РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ

Жидкость движется по трубопроводу благодаря тому, что ее энергия в начале трубопровода (у источника гидравлической энергии) больше, чем в конце. Этот перепад (разница) уровней энергии может быть создан тем или иным способом: работой насоса, за счет разности уровней жидкости, давлением газа.

Важнейшей задачей, возникающей при проектировании множества гидросистем различного назначения, является задача определения энергетических характеристик источника гидравлической энергии. К таким системам относятся гидросистемы цехового технологического оборудования, мобильные гидрофицированные машины, системы водоснабжения и отопления и др. Источниками энергии таких гидросистем являются насосные станции, газобаллонные системы, водонапорные башни. Энергетические характеристики источника энергии — подача (расход) и давление — должны быть такими, чтобы обеспечивались необходимые расход и давление на выходе системы — гидродвигателе, водопроводном кране и т.п.

Реже встречается обратная задача, когда при известных энергетических характеристиках источника энергии необходимо узнать, какими будут максимально возможный расход и давление на выходе гидросистемы.

В машиностроении приходится иметь дело чаще всего с такими трубопроводами, движение жидкости в которых создается работой насоса. В гидротехнике и водоснабжении, а также во вспомогательных устройствах течение жидкости происходит, как правило, за счет разности уровней давлений (разности нивелирных высот).

Простые трубопроводы постоянного сечения

Все трубопроводы могут быть разделены на простые и сложные. К простым трубопроводам (рис. 1.76) относятся трубопроводы без разветвлений, а к сложным — трубопроводы, имеющие хотя бы одно разветвление (или место соединения труб).

Пусть простой трубопровод постоянного сечения расположен произвольно в пространстве, имеет общую длину / и диаметр с1 и содержит ряд местных сопротивлений В начальном сечении (1 — 1) имеем нивелирную высоту 1 и избыточное давление /?|,ав конечном (2—2) — соответственно ?2 и Ръ Скорость потока в этих сечениях вследствие постоянства диаметра трубы одинакова и равна V.

Запишем уравнение Бернулли сечений 1 — 1 и 2—2

*1 +

(1.242)

В этом выражении ^ Д/г — суммарные потери на трение по длине

/

и на местных сопротивлениях на участке трубы длиной /. Потери по длине будут описываться формулой Дарси (1.173). Потери на местных сопротивлениях формулой Вейсбаха (1.212).

Учитывая уравнение неразрывности потока (1.101) и постоянство диаметра трубы, т.е. У{ = У2 и = а2, скоростные напоры в обеих частях можно сократить. Кроме того, величины и 22, выражающие удельную потенциальную энергию положения, для гидросистем технологического оборудования, как уже не раз отмечалось, много

Р

меньше потенциальной энергии сжатия —, и отличаются они между

Р?

собой очень незначительно. По этой причине в дальнейшем их можно не учитывать. Тогда уравнение Бернулли (1.242) примет вид

Р ~ Рі _ Ы + ^

  • 98
  • (1 2%

»М

2 8

или

Ар = — 2

ґ

XI

+

м

/ У

У2.

Выразив величину У через расход (7

У =

О

ПСІ

и подставив ее в предыдущее выражение, получим

ҐХІ Л1^2

Ар = — 2

V

+

м

  • 16(2
  • 2 „,4 •
  • (1.243)

Введем обозначение

кт =? т 2

/

V

XI ^ ?

~7 +

а I у

К (1

(1.244)

Величину кт будем называть гидравлическим сопротивлением трубопровода.

Подставив (1.244) в (1.243), получим

(1.245)

Ар = кТ02.

Последнее выражение называется характеристикой трубопровода (рис. 1.77).

<2

Рис. 1.77. Характеристика трубопровода

Эта характеристика представляет собой зависимость суммарных потерь давления (напора) от расхода в трубопроводе Ар = /(?))

(ал = /т.

Если в трубопроводе установлены гидравлические аппараты, имеющие свои сопротивления, то их необходимо добавить к коэффициенту сопротивления трубопровода, и в результате получится суммарное гидравлическое сопротивления.

Последовательно соединенные трубопроводы

Последовательно соединенные трубопроводы (рис. 1.78) состоят из нескольких труб различной длины и различного диаметра, соединенных между собой.

Последовательное соединение трубопроводов

Рис. 1.78. Последовательное соединение трубопроводов

В каждом из этих трубопроводов могут иметься свои местные сопротивления. Течение в жидкости в такой трубе подчиняется следующим условиям:

  • • расход во всех сечениях одинаковый, т.е. 0Х = 02 = (?з;
  • • потери давления (напора) во всем трубопроводе Ар равны сумме потерь на каждом участке Ар,:

Ар = Ар + Ар ^ + Ару

С учетом сказанного нетрудно получить уравнение для определения суммарных потерь давления, которое примет вид:

АР = кХТ02 + к02 + кгт02 = хт + к + кът)02 = кут02,

где к, к2т, кгт гидравлическое сопротивление соответственно первого, второго, и третьего участков трубопровода; кут — суммарное гидравлическое сопротивление всего трубопровода.

Величина суммарного сопротивления, с учетом ранее полученной формулы для простых трубопроводов (1.244), составит:

ґґ

/

Л

^2

/

р 16

2 71

, 1ЧыЛ + _]_

+

(1

і

4

+

. Х^ЗмЛ

Мз + _6

V

4

/4

с13

(1.246)

В общем случае выражение (1.246), описывающее суммарное гидравлическое сопротивление сложного трубопровода, можно представить в виде

(1.247)

Полученное уравнение (1.247), определяющее суммарные потери давления, представляет собой характеристику сложного трубопровода (рис. 1.79), которая является суммой характеристик простых трубопроводов.

Это уравнение позволяет узнать, какие энергетические характеристики должен иметь источник энергии, чтобы жидкость могла

Характеристика сложного трубопровода с последовательным соединением

Рис. 1.79. Характеристика сложного трубопровода с последовательным соединением

протекать по всему трубопроводу. Однако в конечной точке этой трубы энергия жидкости будет равна нулю. Если в конце трубы необходимо иметь какое-то давление рнагр (например, чтобы преодолевать нагрузку), к величине Ар нужно добавить эту величину. Кроме того, так как в общем случае величина скоростного напора в начале V2 V2

—— и в конце —— трубопровода из-за разных диаметров различна, 28 2#

необходимо добавить эту разницу к Ар. В результате энергия, которой должен обладать источник, должна составлять

Ар = к^т02 + рнагр +

V2 - Vі

  • 7 нач г кон
  • 2&
  • (1.248)

Если переписать уравнение (1.248), заменив скорость жидкости

(3

отношением расхода к площади живого сечения —, получим

со,

/

Ар = к^т0 + рнагр+ —

где коэффициент ку =

2&

О2 о

2 л

V ®нач

СО

/

1 кон / Л

= к^Т@2 + ку02 + Рнагр

V ®нач

СО

кон /

Окончательно характеристику сложного трубопровода можно записать в виде

Ар = (к^т + ку)02 + рнагр.

Сумма к^т + ку в этом выражении — суммарное гидравлическое сопротивление сложного трубопровода.

Параллельно соединенные трубопроводы

Отличительной особенностью таких трубопроводов является то, что поток жидкости делится в одной точке на несколько самостоятельных потоков, которые позже сходятся в другой точке (рис. 1.80).

Каждый из этих потоков может содержать свои местные сопротивления. Наиболее часто возникающей задачей, связанной с расчетом таких трубопроводов, является определение расхода в каждой ветви. Рассмотрим движение жидкости по этим трубопроводам, считая, что потенциальная энергия положения г много меньше потенциальной энергии сжатия, которая определяется давлением и ею можно пренебречь. Если считать, что в точках разветвления и соединения трубопроводов, обозначенных буквами ник, расход 0 одинаков, а давления равны рн и рК, можно записать

И

Параллельные трубопроводы

Рис. 1.80. Параллельные трубопроводы

0-01+02+03

Ар = А»! + Ар2 + Д/?3,

где 1,2, 3 — номера параллельных ветвей трубопровода.

Представляя каждую из параллельных ветвей как простой трубопровод (1.245), можно записать характеристики каждой ветви

Ар — кт(2 5 Ар — ^27"02 » — ^37"03 •

На основании этих равенств можно получить уравнения вида

ктО — ^2Г02 и ^2Т02 к

(1.249)

Добавим к уравнениям (1.249) условие равенства расходов в начале и конце разветвленных трубопроводов

(1.250)

В итоге получилась система уравнений (1.250), из которой при известной подаче жидкости от источника энергии и известных гидравлических сопротивлениях параллельно соединенных трубопроводов можно определить расходы в каждом из них. Подобную систему уравнений можно записать для любого числа параллельно соединенных труб.

Из приведенных уравнений вытекает следующее важное правило: для построения характеристик параллельного соединения нескольких трубопроводов (рис. 1.81) следует сложить абсциссы (расходы) характеристик этих трубопроводов при одинаковых ординатах (потерях).

Характеристика сложного трубопровода с параллельным соединением

Рис. 1.81. Характеристика сложного трубопровода с параллельным соединением

Разветвленные трубопроводы

Разветвленные трубопроводы (рис. 1.82) отличаются тем, что они имеют одну общую точку, из которой расходятся разные потоки, или общую точку, в которой несколько разных потоков сходится. Этот вариант наиболее часто встречается в гидросистемах технологического оборудования, где от одной насосной станции питается сразу несколько одновременно работающих потребителей.

Разветвленные трубопроводы

Рис. 1.82. Разветвленные трубопроводы

Для разветвленных трубопроводов, так же как для параллельных, можно записать уравнение расходов

0 - (?1 + (?2 + С?3’

где (2|, С?2’ (?з расходы в соответствующих ветвях.

Составим также уравнение Бернулли для любой из ветвей. Будем считать: давление в трубопроводе таково, что нивелирной высотой можно пренебречь. Примем также, что давление в конце каждой ветви (в сечении к), необходимое для преодоления нагрузки, равно Лнагр- Уравнение Бернулли для сечений ник будет выглядеть следующим образом:

где / — индекс, соответствующий определенной ветви.

Если считать, что рассматриваемая система трубопроводов принадлежит гидросистеме технологической машины, в которых давления, как правило, составляют десятки атмосфер, а скорости течения жидкости по трубам чаще всего невысокие (1—3 м/с), скоростным напором можно пренебречь. В самом деле, например, при скорости 1 м/с и коэффициенте кинетической энергии, равном 2, величина скоростного напора составит 0,1 м. С учетом этого и после обычных преобразований получим

Рн = Лнагр + А/>- (1.252)

Величина Ар, в данном случае (1.252), представляет собой характеристику простого трубопровода и равна кт02. Таким образом, для каждой ветви разветвленного трубопровода можно написать подобное уравнение. Если добавить к ним уравнение расходов, то можно получить систему уравнений вида

(1.253)

Лнагр

Р?

+

Ар

Р?

(1.251)

Рн = Р нагр + КтО> Рн = ^2 нагр + к2Т@2 ’ Рн = РЗнагр + кЗтОз ’

О = 0 + 02 + О?,-

Подобную систему уравнений (1.253) можно записать для любого разветвления трубопроводов. Решая ее, можно определить, какой расход и какое давление должен обеспечивать источник гидравлической энергии, чтобы на выходе трубопроводов получалось заданное давление при заданном расходе.

Трубопроводы с насосной подачей жидкости

В большинстве гидравлических систем технологического оборудования в качестве источника энергии используются насосы различного принципа действия. Важнейшей задачей, которая возникает при проектировании каждой гидросистемы, является согласование работы насосной станции и системы трубопроводов, гидроаппаратов и гидромашин, входящих в ее состав. Это многообразные и сложные задачи, которые подробно рассматриваются в курсах, связанных с изучением гидропривода. Здесь мы познакомимся лишь с общим принципом таких расчетов.

Для этого рассмотрим наиболее простой случай разомкнутого трубопровода, по которому насос перекачивает жидкость из гидробака в емкость или полость с заданными величинами давления и расхода (рис. 1.83).

К таким емкостям можно отнести, например, гидроцилиндр. Нивелирными высотами и скоростными напорами, как и в предыдущих случаях, пренебрежем из-за их малости.

Запишем сначала уравнение Бернулли для сечений 2 и 3:

(1.254)

Рі + а^=?шЕ + а/1 + ^2г1! Р 8 2# pg 2% №

где Д/?2—з — суммарные потери давления в напорном трубопроводе (характеристика напорного трубопровода).

Теперь запишем уравнение Бернулли для сечений 0 и 1:

Ро_=Р]_ Рс? Р?

АРо-1

Р?

(1.255)

где Ар0 атмосферное давление; Ар0_{ — суммарные потери давления во всасывающем трубопроводе (характеристика всасывающего трубопровода).

Из уравнения (1.255) выделим напор (энергию), которым обладает жидкость при входе в насос, в сечении 1. Тогда оно примет вид

(1.256)

А = а Уі2 = Ро 4Ро-1

Р? 1 2# р? р?

В процессе своей работы насос передает жидкости дополнительную энергию #насоса, в результате чего напор жидкости в сечении 2 становится равным

Рі Уі

  • (1.257)
  • + ос,— 98

Приведенные рассуждения означают, что, опираясь на равенства (1.254), (1.255), (1.256), и (1.257), описывающие изменение энергии потока жидкости в сечениях 0—1—2—3, можно записать

Ро ААы

+ н

98 98

= Р2 98

насоса

Р У = — + щ —

+ Н

  • 98
  • 2 8

насоса

+ «У = Лшф+ +

3 2#

V,

3 , ^2-3

Р?

(1.258)

Выделим из полученного равенства (1.258) величину напора

Н

насоса

н

Уз + ^Р 2-3

А) ! Ар()_{

Р? 98

Р?

(1.259)

_ ^нагр _

насоса ' ^3 Л

98 2 8

насоса

Ачагр

Ро)

+

( ур

аз V"

+

Ар 2-3

, АРо-1)

1 98

98)

1«)

1 98

98 )

Г Атгр " А) ]

+

ур

3

+

( ЛАы + Ар2-3 >

1 Р? )

1 2gJ

1 Р? )

Перегруппируем члены в выражении (1.259)

Н

(1.260)

Если в (1.260) принять, что:

  • • в первом слагаемом атмосферное давление р0 равно 0;
  • • второе слагаемое, скоростной напор на выходе из напорного трубопровода, можно переписать через расход и представить в виде
  • 2 1

кс0 , где кс = ос—;— можно считать коэффициентом скоростного

со2 2 8

напора (со — площадь сечения);

• третье слагаемое представить в виде суммарной характеристики всасывающего и напорного трубопровода,

то последнее выражение примет вид:

  • 22 насоса = — + *-сО2 + т^'? 0-261)
  • 98 Л

Последнее выражение (1.261) можно считать характеристикой нагруженного трубопровода с насосной подачей (рис. 1.84). Другими словами, это выражение можно считать потребной энергией насоса

Н(Р)

Характеристикой нагруженного трубопровода с насосной подачей

Рис. 1.84. Характеристикой нагруженного трубопровода с насосной подачей

(энергией, которую должен генерировать насос), т.е. энергией, необходимой для преодоления сопротивления трубопроводов и обеспечения требуемой нагрузки и скорости на выходе из трубопровода. Для разных трубопроводов и различных режимов их работы эта характеристика будет разной.

С другой стороны, величину //насоса можно рассматривать как добавку к величине энергии в сечении 1 — 1 (на входе в насос), чтобы была создана достаточная энергия в сечении 2—2 (на выходе из насоса) для того, чтобы поток жидкости мог преодолеть сопротивление трубопровода и обеспечить требуемую нагрузку и скорость на выходе из трубопровода. Разностью уровней г можно пренебречь из-за их малости.

А

98

+ Н

насоса

насоса

А

98

+ а2

2

Выразим отсюда Н,

Я.......= — + а2

насоса

98 " Ч

Перегруппируем и получим:

н

насоса

/

р У

+ оц —

V

Р?

ч

Р2-Р У22 V-

= —-1 + а2 - а, —

  • 98
  • 28 '2 8

Если всасывающая и напорная трубы одинаковые и не учитывать потери расхода (утечки), то можно записать:

Н

насоса

_ Р2 ~ Р

Р 8

+

/

V

а2*2 ~ ауі

  • 2 8
  • 2 Л

Теперь выразим V, через

Н

насоса

и перегруппируем:

(1.262)

В результате получилось квадратное уравнение, которое можно представить в виде параболы, ветви которой направлены вниз (рис. 1.85).

Эта парабола — характеристика насоса. Ее вид зависит от конструкции насоса и режима его работы. На ее форму влияет также характеристика приводного двигателя.

Определение рабочей точки насоса

Рис. 1.86. Определение рабочей точки насоса

Приравняв характеристику трубопровода (1.246) и характеристику насоса (1.247), можно найти так называемую рабочую точку, которая означает, что при давлении и расходе, соответствующих этой точке, будет обеспечиваться работа насоса с требуемыми характеристиками (рис. 1.86). Чтобы получить другую рабочую точку, нужно изменить или рабочую характеристику насоса, или характеристику трубопровода. Это можно сделать различными способами, например, изменив сопротивление трубопровода или режим работы насоса.

ОДНОМЕРНОЕ НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ

Понятие «неустановившееся движение» было описано ранее. Напомним, что такое течение отличается тем, что в любой точке потока, координаты которой зафиксированы в пространстве, например в системе координат, жестко связанной с твердыми стенками трубы, значения давления и скорости зависят от времени.

Неустановившееся движение жидкости в трубопроводах

В общем случае такое движение настолько сложно, что описывается и решается с большими трудностями. Поэтому для технических задач принимаются некоторые допущения, в основном сводящиеся к следующему:

  • • рассматривается одномерное движение в трубах;
  • • отклонения переменных от установившихся значений невелики;
  • • движение жидкости происходит без теплообмена с окружающей средой (процесс адиабатный);
  • • жидкость считается идеальной.

Для перечисленных ограничений рассматриваемая задача описывается системой, состоящей из двух дифференциальных уравнений в частных производных, которая в литературе известна как уравнения Н.Е. Жуковского:

(1.263)

где р — давление в жидкости; V — средняя скорость жидкости в потоке; р — плотность жидкости; ?ад — адиабатический модуль упругости жидкости; t — время; х — координата вдоль оси потока.

В общем случае решение системы уравнений (1.263) представляет определенные трудности.

Ниже рассмотрим наиболее простые, но весьма важные для технических задач случаи — неустановившееся движение по простому трубопроводу постоянного сечения (рис. 1.76) и по последовательно соединенным трубопроводам (рис. 1.78).

Для решения технических задач, связанных с так называемыми «переходными процессами», которые относятся к неустановивше-муся движению, в гидромеханических системах приходится применять некоторые допущения. В некоторых случаях, например при медленно текущих процессах, можно не учитывать сжимаемость жидкости и упругость твердых стенок потока. Если процессы быстротекущие и учитывается сжимаемость жидкости и упругость стенок, можно рассматривать два разных варианта моделей «рабочая жидкость — трубопровод»:

  • • модель с сосредоточенными параметрами;
  • • модель с распределенными параметрами.

Переходные процессы в трубопроводе без учета сжимаемости жидкости

Как уже отмечалось выше, переходные процессы в трубопроводе без учета сжимаемости жидкости описываются уравнениями Н.Е. Жуковского.

Умножим обе части первого уравнения системы (1.263) на с1х, а обе части второго — на Ж и сложим оба выражения:

др_

дх

с1х +

(1.264)

Условием отсутствия сжимаемости жидкости, при движении по трубе постоянного диаметра, является постоянство средней скорости потока, т.е.

дУ_

дх

Следовательно, последний член уравнения (1.264) в этом случае обращается в 0 и уравнение принимает вид:

г^-сЫ + = -р^-сбс. (1.265)

Эх дt Э/

В рассматриваемом нами случае функция р зависит только от двух переменных t их. Это справедливо, при рассмотрении одномерного движения. С учетом сказанного правая часть уравнения (1.265) яв-

ляется полным дифференциалом с1р функции р. С физической точки зрения этот дифференциал полностью описывает изменение давления в зависимости от изменения обоих параметров: времени / и координаты вдоль оси потока х.

В правой части уравнения (1.265) частную производную

Э V Э/

можно заменить полной производной

(IV (И

так как скорость потока

в данном случае является только функцией времени / и не зависит от других факторов.

С учетом последних рассуждений уравнение (1.265) преобразуется к виду:

(1.266)

Проинтегрируем уравнение (1.266) в пределах участка трубы, ограниченного сечениями 1 — 1 и 2—2:

В результате интегрирования получим:

СІЇ

(IV, ч ёУ, ч (IV,Р~ Р2= -р—(*і -*2) = Р-М*2 ~х) = Р—Л (1.267)

где / — длина рассматриваемого участка потока.

Последнее выражение (1.267) получено математически достаточно строго путем интегрирования уравнения Н.Е. Жуковского.

Чтобы оказался очевидным физический смысл уравнения (1.267), рассмотрим его, опираясь на следующие простейшие рассуждения.

Для этого обратимся к рис. 1.87 и запишем уравнение движения объема несжимаемой жидкости, выделенного на рисунке:

с!

V

7 I

,

-— (

>•

г

)

7777777?.

'///////////////////////ЛГ/У/У/А

7УУУУУУУУ7УУУУУ.

X

  • 1
  • -ч---и

х2 х,

где Ра — сила, приводящая рассматриваемый объем в движение, в на-

с12

тем случае равная рхк—; Рс сила сопротивления движению, в на-

с12

тем случае сила противодавления, равная р2к—; гт сила инерции рассматриваемого объема жидкости, в нашем случае равная

М—.

А

Будем считать массу этого объема равной М. С учетом размеров рассматриваемого объема с! и / и плотности жидкости р величину инерционной силы можно представить как:

„(IV , сі2 (IV М- = р/71

(1.269)

А 1 4 А

Тогда уравнение движения выбранного объема жидкости (1.268) можно переписать в виде

(1.270)

сі2 сі2 АЛУ , сі2 СІУ

р,к--р1 к— = М— = рік--

1 4 2 4 А 4 А

Преобразуем последнее уравнение (1.270), перенеся р2 в правую

часть, разделив обе части на величину р?, а ускорение обозна-

А

чив у:

(1.271)

А = & + 1,7.

Р? 98 8

Заметим, что все слагаемые в этом уравнении имеют размерность

длины, а величины — и — представляют собой пьезометрические

98 98

высоты (напоры). Сравним выражение (1.271) с уравнением Бернулли (1.151) и добавим в него, учитывая описание общего случая:

  • • геометрические высоты (напоры) Z1 и 22,
  • • скоростные высоты (напоры) а, —— и а2
  • 2 8 Ч
  • • потери напора между сечениями 1 — 1 и 2—2 Д/г.

Слагаемое —у/ обозначим /гин и назовем его инерционным напором. 8

Физический смысл этой величины состоит в том, что /гин, как это видно из последнего уравнения (1.271), представляет собой разность

удельных потенциальных энергий жидкости в сечениях 1 — 1 и 2—2 в данный момент времени. Эта разность возникает не из-за потерь энергии на преодоление трения, как А/г, а вследствие ускорения или торможения потока жидкости в трубопроводе. При ускоренном движении потока эта разность положительна, т.е. удельная энергия жидкости вдоль потока уменьшается, а при замедлении движения — отрицательна, что означает увеличение удельной энергии жидкости отсечения 1 — 1 к сечению 2—2.

С учетом последних замечаний уравнение (1.271) преобразуется к новому виду:

+

А

Р?

+ Ак + 1т.

(1.272)

Полученное уравнение описывает неустановившееся движение несжимаемой жидкости в трубопроводе постоянного сечения.

Уравнение (1.272) справедливо лишь для простых трубопроводов постоянного сечения (см. рис. 1.76), заметим, в скобках, что скоростные напоры в этом случае могут быть опущены. При движении жидкости по последовательно соединенным трубопроводам (рис. 1.78), состоящим из нескольких участков с разными площадями сечений (о)[, со2 и т.д.), очевидно, что инерционный напор для всего трубопровода должен быть найден как сумма инерционных напоров для каждого участка /гин/. При этом на каждом участке будет свое ускорение у), которое можно определить из уравнения неразрывности потока (1.101):

(? = *>, = У2 со2 = У1 со,-, (1.273)

где V/ и со, — средняя скорость и площадь живого сечения на /-м участке трубопровода.

Дифференцируя равенства (1.273) по /, получаем:

йо (IV, — - —— со, сИ сИ 1

сИ

(1.274)

С учетом обозначения, принятого в (1.271), равенства (1.274) примут вид:

сЮ

сИ

  • — У) 0)1 — У2С02 — У/СО/.
  • (1.275)

Зная ускорение для каждого участка трубопровода, можно определить суммарное значение инерционного напора /гинсумм для составного трубопровода:

И

инсумм

(1.276)

где /^Ш( = -^7, — инерционный напор на /'-м участке последовательно соединенных трубопроводов.

Учтя (1.276), уравнение (1.272) запишем в виде уравнения неуста-новившегося движения несжимаемой жидкости для последовательно соединенных трубопроводов, состоящих из нескольких участков с разными площадями сечений:

*1 +

А

Р?

5> + 5Х/.

/ /

(1.277)

Приведенное математическое описание позволяет решать достаточно сложные практические задачи, связанные с неустановившимся движением жидкости в трубопроводах, в тех случаях, когда можно не учитывать сжимаемость жидкости.

Гидравлический удар в трубопроводе.

Переходные процессы в трубопроводе с учетом сжимаемости жидкости

Примером неустановившегося движения жидкости, которое невозможно объяснить и описать без учета сжимаемости как самой жидкости, так и окружающих ее твердых стенок, является гидравлический удар. Теоретическое и экспериментальное исследование гидравлического удара в трубопроводах впервые было проведено Н.Е. Жуковским в 1899 г. Это явление связано с тем, что при быстром закрытии трубопровода, по которому течет жидкость, или быстром его открытии (т.е. соединении тупикового трубопровода с источником гидравлической энергии) возникает резкое, неодновременное по длине трубопровода изменение скорости и давления жидкости. Если в таком трубопроводе измерять скорость жидкости и давление, то обнаружится, что скорость меняется как по величине, так и по направлению, а давление — как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения по отношению к начальному. Это означает, что в трубопроводе возникает колебательный процесс, характеризующийся периодическим повышением и понижением давления. Такой процесс очень быстротечен и обусловлен упругими деформациями стенок трубы и жидкости.

Подробно рассмотрим его для случая полного или прямого гидравлического удара.

Трубопровод открыт (рис. 1.88). Жидкость движется по трубе со скоростью V. Давление в жидкости р0.

Трубопровод мгновенно закрывается (рис. 1.89).

Начало первой фазы гидравлического удара

Рис. 1.89. Начало первой фазы гидравлического удара

Слои жидкости, натолкнувшись на заслонку, останавливаются. Кинетическая энергия жидкости переходит в деформацию стенок трубы (труба у заслонки расширится) и жидкости (давление у заслонки повысится на величину Ар). На остановившиеся у заслонки слои жидкости будут набегать следующие, вызывая сжатие жидкости и рост давления, который будет распространяться в противоположную по отношению к направлению скорости сторону, со скоростью а. Переходная область в сечении Л—А называется ударной волной. Скорость перемещения сечения А—А называется скоростью распространения ударной волны и обозначается буквой а. Такой процесс про-

ходит в период времени 0 < / < —. В момент времени / < — весь тру-

а а

бопровод окажется расширенным (рис. 1.90), а жидкость сжатой и ее скорость равной 0.

Но такое состояние неравновесное. Поскольку у источника давление р0, а в трубе р = р0 + Ар, то жидкость начнет двигаться в сторону меньшего давления, т.е. из трубы (рис. 1.91).

Этот процесс начинается от начала трубы, а жидкость будет вытекать со скоростью К0. Сечение А—А (ударная волна) начнет перемещаться к концу трубы со скоростью а. Этот процесс будет проис-

Конечное состояние первой фазы гидравлического удара

Рис. 1.90. Конечное состояние первой фазы гидравлического удара

Вторая фаза гидравлического удара

Рис. 1.91. Вторая фаза гидравлического удара

ходить в период времени — < / < —. Энергия деформации жидкости

а а

переходит в кинетическую энергию, и жидкость приобретает первоначальную скорость К0, но направленную в обратную сторону (рис. 1.92).

Во всем трубопроводе устанавливается давление р0. По инерции жидкость продолжает двигаться к началу трубы и начинает испытывать деформации растяжения, что приводит к уменьшению давления.

Возникает отрицательная ударная волна, движущаяся от конца трубы к началу со скоростью а, и за волной остается сжатая труба (рис. 1.93). Кинетическая энергия снова превращается в энергию деформации.

В момент времени / = — вся труба окажется сжатой, а волна до-

а

стигает начала трубы (рис. 1.94).

Давление вблизи источника становится выше, чем в области фронта. Из-за этого слои жидкости под действием перепада давления начинают двигаться, а давление поднимается до величины /?0 (рис. 1.95).

= Ро~Ар

Рис. 1.93. Начало третьей фазы гидравлического удара

/ =

а

Р о

V- О, р-Ро - Ар

Рис. 1.94. Завершение третьей фазы гидравлического удара

У=0,р=р0 + Ар

г, 31 41

Поэтому в период времени — < ( < — происходит процесс вы-

а а

равнивания давления в трубопроводе. То есть ударная волна движется со скоростью а от начала трубы к ее концу. В момент времени

4 ь

Г = — ударная волна достигает конца трубы (рис. 1.96). а

Завершение четвертой фазы гидравлического удара

Рис. 1.96. Завершение четвертой фазы гидравлического удара

Далее весь процесс начинается сначала. При исследовании этого процесса возникает три основных вопроса. Первый — какова скорость протекания этого колебательного процесса и от чего она зависит? Второй вопрос — как сильно меняется давление в трубопроводе за счет описанного процесса? И третий — как долго может протекать этот процесс?

Скорость распространения гидравлической ударной волны в трубопроводе

Изменения давления и скорости потока в трубопроводах происходят не мгновенно в связи с упругостью твердых стенок трубы и сжимаемостью рабочей среды, а с некоторой конечной скоростью, обусловленной необходимостью компенсации упругих деформаций жидкости и трубы. Рассмотрим случай, когда в трубопроводе длиной Ь и площадью сечения со под давлением р находится жидкость, плотность которой р. Предположим, что в момент времени Г в сечении 1 — 1 давление повысится на величину (1р (рис. 1.97).

Это повышение вызывает увеличение плотности на величину с/р, а также расширение внутреннего диаметра трубы. Следовательно, площадь проходного сечения увеличится на величину с/со. В результате увеличится объем участка трубы на величину с1?. За счет этого произойдет увеличение массы жидкости находящейся в трубе на участке длиной Ь. Масса увеличится за счет увеличения, во-первых, плотности жидкости, во-вторых, за счет увеличения объема.

Такая ситуация рассматривалась при выводе уравнения неразрывности в дифференциальной форме, с той только разницей, что там рассматривалось лишь изменение массы во времени (1.104), без учета

, ст . г/р спу .

вызвавших это изменение причин (напомним,-- у — +-р).

сИ Л А к

По аналогии с приведенным уравнением (1.104) запишем выражение, описывающее изменение массы за счет изменения давления

(1.278)

Схема деформации стенок грубы и жидкости в зоне повышенного давления

Рис. 1.97. Схема деформации стенок грубы и жидкости в зоне повышенного давления

Р а IV п

-= IV—+-р = о

с1Р с!Р с1Р У

Жидкость под действием указанного повышения давления устремится, с некоторой скоростью а, в слои с меньшим давлением, в которых также будет повышаться плотность и увеличиваться напряжение в стенках трубопровода, способствующее увеличению площади трубопровода. В связи с этим потребуется некоторое время на распространение этих деформаций вдоль трубопровода. А скорость этого распространения будет:

а = —. (1.279)

А

С другой стороны, перемещение массы с1М за время А происходит под действием равнодействующей сил давления, действующих в направлении движения, на торцевые поверхности цилиндрического объема длиной Ь

со(р + Ар) - сор.

В этом случае уравнение импульса силы может быть представлено в следующем виде:

со (1рй1 = (1Ма. (1.280)

с/А/ _ сое// ф а

(1.281)

Имея в виду, что с// получим

Отсюда

—, и подставив (1.281) в выражение (1.280), а

СІМ со!

Ф

(1.282)

а

Заметим, что в (1.282) произведение

со! = IV,

(1.283)

где IV— рассматриваемый цилиндрический объем жидкости. Приравняем выражения (1.278) и (1.282) с учетом (1.283)

IV сір с1М -Т = И/— + р-.

а2 сір К сір

Выразим из равенства (1.284) величину а2

(1.284)

а2

IV

... сір сіУУ

Нф + р

(1.285)

Разделим числитель и знаменатель в (1.285) на IV, а первое слагаемое в знаменателе искусственно умножим и разделим на р. В результате получится:

1 сір сі№'

р—- + р--

р сір IV сір

(1.286)

Обратим внимание на то, что IV = со!, а с/IV = с/со!. После подстановки этих равенства в выражение (1.286) и извлечения квадратного корня получим выражение для скорости распространения ударной волны, которая, по сути, является скоростью распространения упругих деформаций жидкости в трубе.

1

а =

+

1 с/со!" со! сір у

^с/со"'

со сір у

(1.287)

Здесь первое слагаемое в скобках под корнем характеризует упругие свойства рабочей среды (жидкости), а второе — упругие силы материала трубы.

Рассмотрим подробнее эти слагаемые.

Как известно из гидростатики, сила, действующая на цилиндрическую поверхность, равна произведению давления на проекцию площади в направлении действия силы. На рассматриваемый участок трубы с толщиной стенок 5, длиной / и диаметром /) действует изнутри давление р (рис. 1.98).

Деформация трубопровода под действием давления внутри него

Рис. 1.98. Деформация трубопровода под действием давления внутри него

Вследствие этого возникает разрывающая сила /’(1.80) (напомним, Р = рРЬ). В стенках трубы возникает сила сопротивления 7^, равная произведению площади сечения стенок трубы 2(8/) на внутренние напряжения ат в материале стенок трубы

Рс = 2(5/)от. (1.288)

Если приравнять силы (1.81) и (1.274), получим равенство

ат2(8/) = рРЬ,

из которого найдем выражение, определяющее внутренне напряжение в стенках трубы от

(1.289)

Полагая, что относительное увеличение диаметра трубы, равное 2АЯ

——, прямо пропорционально напряжению в стенках трубы, можно записать где Е1 коэффициент пропорциональности, который является модулем упругости материала трубы.

Из выражений (1.289) и (1.290) следует, что абсолютное приращение радиуса сечения трубы может быть выражено формулой

D pD _ D2 2Ет 25 " ГЬ Р'

  • 2 AR D
  • (1.290)
  • (1.291)

Запишем выражение, определяющее увеличение площади сечения трубы, которое возникает за счет действия давления, внутри трубы

СО — СО^ =71

D

— + AR 2

D1

  • - к— = 4
  • (1.292)

D2 D 2 D2 2

= л--271—А/? + 71 Д/с - 71— = к DAR + kAR2 ,

4 2 4

где со — начальная площадь сечения трубы; со^ — площадь сечения трубы при давлении р.

Пренебрегая малой величиной высшего порядка А/?2 и подставив в (1.292) выражение (1.291), получим

(1.293)

Продифференцировав выражение (1.293) по р и рассматривая со как функцию, зависящую отр, получим

с/со kD

dp

  • 4 Ет8
  • (1.294)

В итоге слагаемое, описывающее упругие свойства материала трубы в выражении (1.287) для скорости распространения ударной волны, с учетом (1.294) и выражения для площади сечения трубы, можно представить в следующем виде

  • (1.295)
  • 1 с/со _ 1 kD3 _ D
  • О) dp ~ D2гд ~ ЕГЬ

к——

Теперь рассмотрим первое слагаемое в скобках под знаком ради-

1 c/o

кала в (1.287), описывающее упругость жидкости —-. Ранее, при

Р dp

рассмотрении свойств жидкости было установлено, что если изменение объема происходит за счет изменения плотности, то можно определить коэффициент сжимаемости жидкости |3 (1.19) (напом-М

НИМ, $р

<г/р 1 _ сі р 1 М с/р р сір

р

Часто этот коэффициент выражают через обратную величину, называемую модулем упругости жидкости Еж, т.е.

Из сказанного следует, что второе слагаемое, характеризующее упругие свойства рабочей среды в (1.287), может быть представлено в виде

  • (1.296)
  • 1 сір _ 1 Р сір Еж

Таким образом, окончательно выражение для скорости распространения ударной волны в упругом трубопроводе (1.287) с учетом (1.295) и (1.296) можно переписать в следующем виде:

(1.297)

где р — плотность жидкости; /) — диаметр трубопровода; 8 — толщина стенки трубопровода; Ет — объемный модуль упругости материала трубы; Еж объемный модуль упругости жидкости.

Из формулы (1.297) следует, что скорость распространения ударной волны зависит от сжимаемости жидкости и упругих деформаций материала трубопровода.

Ударное давление

Для выяснения величины, на которую поднимается давление АР при распространении ударной волны, применим теорему о сохранении количества движения (импульса). Для этого рассмотрим элементарное перемещение ударной волны сИ за время Ш. Учтем, что при прямом гидроударе кинетическая энергия ударной волны полностью превращается в потенциальную, т.е. скорость распространения ударной волны, равная ^ = а, становится равной 0.

Импульс силы, под действием которого происходит это движение, равен

(со(/? + Ар) - = соД9б/Л (1.298)

Изменение количества движения рассматриваемого объема длиной (11 будет

(сог/1р У) - ((ш/1р0) = <ш/1рК, (1.299)

Повторимся: скорость во второй скобке равна 0, так как рассматриваемый объем останавливается.

Приравнивая выражения (1.298) и (1.299) по теореме о сохранении количества движения, получим

соД/?^ = (ыЛр У. (1.300)

Отсюда выразим величину повышения давления

Ар = рУ

сИ

  • (И‘
  • (1.301)

После замены дроби с учетом (1.279), окончательно будем иметь

Ар-рУа, (1.302)

где V — скорость жидкости в трубопроводе до возникновения гидроудара; р — плотность жидкости; а — скорость распространения ударной волны.

Если в равенство (1.302) подставить выражение (1.297), то придем к формуле, носящей имя Жуковского:

Ар = рУ

1

(1.303)

Протекание гидравлического удара во времени

Рассмотренный ранее процесс распространения ударной волны в трубопроводе не происходит бесконечно долго. В опытах Жуковского было зарегистрировано по 12 полных циклов. При этом величина ударного давления Ар постепенно уменьшалась.

Уменьшение давления вызвано трением в трубе и рассеиванием энергии в резервуаре, обеспечивающем исходный напор. На графике

(рис. 1.99) сплошной заштрихованной областью показано теоретическое изменение давления при гидроударе. Штриховой линией показан примерный вид действительной картины изменения давления.

а а а а

Рис. 1.99. Изменение давления при протекании гидравлического удара

Разновидности гидроудара

Если трубопровод перекрыть не полностью, то скорость жидкости изменится не до нуля, а до значения В этом случае может возникнуть неполный гидроудар, при котором величина повышения давления будет меньше, чем в первом случае, а формула Жуковского примет вид:

(1.304)

Ар = р{У-Ух)а.

Приведенные формулы справедливы только в том случае, если время закрытия крана /зак меньше фазы гидравлического удара —,

^зак ^

а

а

В том случае, если /

зак

>

а

, возникает непрямой гидроудар. Для

него характерно то, что отразившаяся от резервуара в начале трубы ударная волна возвращается к крану раньше, чем он будет полностью закрыт. Величина повышения давления Ар в этом случае будет меньше, чем при прямом гидроударе. Ее приближенно (считая, что изменение р в трубопроводе происходит по линейному закону) можно определить по формуле:

/

Ар = рУ

V ^зак У

(1.305)

В гидроприводах технологических машин, станков и т.п. очень часто возникает так называемый гидроудар в тупиковом трубопроводе. В этом случае возможно увеличение ударного давления в 2 раза. Пояснить это можно рис. 1.100—1.102.

Трубопровод до возникновения тупикового гидравлического удара

Рис. 1.100. Трубопровод до возникновения тупикового гидравлического удара

Возникновение ударной волны при тупиковом гидравлическом ударе

Рис. 1.101. Возникновение ударной волны при тупиковом гидравлическом ударе

Возникновение отраженной ударной волны при тупиковом гидравлическом ударе

Рис. 1.102. Возникновение отраженной ударной волны при тупиковом гидравлическом ударе

Трубопровод с низким начальным давлением отделен от источника гидравлической энергии высокого давления (см. рис. 1.100).

При мгновенном (в реальных гидросистемах 0,008—0,001 с) открытии крана давление в начале трубопровода внезапно возрастает на величину Ар-Р- Ро- Возникает волна повышенного давления, которая движется к концу трубопровода со скоростью а (см. рис. 1.101).

Скорость же движения жидкости становится равной V = —,

ря

Л п ?

а давление отличается от р0 на величину Ар. В момент времени t - —

а

волна достигнет тупика, и вся труба окажется расширенной. Так как дальнейшее движение жидкости невозможно, то передние ее слои остановятся, а последующие по инерции будут набегать на них. Это вызовет в конце трубы дополнительное повышение давления на величину Ар. Возникнет вторая, отраженная волна (см. рис. 1.102), которая движется к началу трубопровода со скоростью а. Давление за фронтом ударной волны становится р2 = Ро +р, а скорость жидкости V— 0.

Далее весь процесс продолжается как в случае полного гидроудара, но колебания давления происходят относительно величины рх =/?0 + Ар, а не относительнор0.

ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В процессе проектирования различных гидросистем, трубопроводов, гидротехнических сооружений, гидравлических и газовых систем химических и нефтехимических предприятий нередко возникает необходимость не только математического, но и натурного моделирования. В таком случае необходимо, чтобы работа гидросистемы действующей модели соответствовала функционированию реального объекта. Это означает, что различные характеристики потоков жидкости, которые имеют место в модели и в реальной системе, должны описываться одинаковыми закономерностями, хотя их численные значения могут существенно различаться. В натурной модели они меньше (как правило) или больше (встречается реже), чем в действительности. Для этого необходимо иметь критерии, которые позволяли бы «масштабировать» реальную систему. Эти критерии устанавливаются в теории подобия потоков жидкости.

Гидродинамическое подобие — это подобие потоков несжимаемой жидкости, включающее в себя подобие геометрическое, кинематическое и динамическое.

Из геометрии известно, что геометрическое подобие означает пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. В гидравлике под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки жидкости (рис. 1.103). Таким образом, в гидравлике геометрическое подобие означает подобие русел или трубопроводов, по которым течет жидкость.

Подобные потоки

Рис. 1.103. Подобные потоки

Кинематическое подобие — это подобие линий тока и пропорциональность сходственных скоростей. Это значит, что для кинематического подобия потоков требуется соблюдение геометрического подобия.

Динамическое подобие заключается в пропорциональности сил, действующих на сходственные элементы кинематически и геометрически подобных потоков, и равенство углов, характеризующих направление действия этих сил.

В потоках жидкостей (в нашем случае в трубопроводах, в гидромашинах и т.д.) обычно действуют разные силы — силы давления, силы вязкого трения, силы тяжести, инерционные силы. Соблюдение пропорциональности всех сил, действующих в потоке, означает полное гидродинамическое подобие.

На практике полное гидродинамическое подобие достигается редко, поэтому обычно приходится ограничиваться частичным (неполным) гидродинамическим подобием, при котором имеется пропорциональность лишь основных сил.

Записывается подобие следующим образом: например, пропорциональность сил давления р и сил трения Т, действующих в потоках I и II, можно записать в виде

м

I

кт)

Критерии подобия для потоков несжимаемой жидкости

Критерий подобия Ньютона

Р V

В подобных потоках силы, с которыми поток воздействует на препятствия — твердые стенки, лопасти гидромашин, обтекаемые потоком тела и другие преграды, должны быть пропорциональны. Этими силами являются силы инерции движущейся жидкости, которые пропорциональны произведению динамического давления 2

на преграду при площади воздействия 5.

Рассмотрим, как поток жидкости наталкивается на безграничную стенку, установленную нормально к нему, и в результате, растекаясь по ней, меняет свое направление на 90° (рис. 1.104).

Действие струи на безграничную стенку

Рис. 1.104. Действие струи на безграничную стенку

На основании теоремы механики о количестве движения секундный импульс силы 1Р, с которой поток действует на стенку, равен:

1Г = р0у = ру2з,

где р — плотность жидкости; 0 — секундный расход жидкости; V — средняя скорость жидкости; 5 — площадь воздействия струи на преграду.

Это и есть сила воздействия на преграду. Для подобных потоков 1 и II должно выполняться равенство

г, (рф)| р» <рф)„’

или

/

Р

Л

II

Последнее отношение, одинаковое для подобных потоков, называется числом Ньютона и обозначается Ие.

Критерий подобия Эйлера

Вначале рассмотрим наиболее простой случай — горизонтальное напорное движение идеальной жидкости, при котором отсутствуют силы вязкости. Для этого случая уравнение Бернулли для сечений 1 — 1 и 2—2 будет иметь вид:

(1.306)

д + !л1 = + Х1.

pg 2g pg 2g'

Из условия неразрывности потока (1.101) расходы в сечениях 1 — 1 и 2—2 с площадями соответственно со, и со2 одинаковы, а это значит, что

УХ = У2^. (1.307)

" со,

Подставив соотношение (1.307) в уравнение Бернулли (1.306), после переноса членов, получим

/

Р~Р2

Р

Иг - И,

2 X

С02

СО

  • 1 У
  • (1.308)

После очевидных преобразований и сокращений в (1.295) придем к виду

Р ~ Рг

(1.309)

Если два потока геометрически подобны, то правая часть уравнения имеет одно и то же значение, следовательно, левая часть тоже одинакова, т.е. разности давлений пропорциональны динамическим давлениям

(1.310)

Таким образом, при напорном движении идеальной несжимаемой жидкости для обеспечения гидродинамического подобия достаточно одного геометрического подобия. Безразмерная величина, представляющая собой отношение разности давлений к динамическому давлению (или разности пьезометрических высот к скоростной высоте), называется коэффициентом давления, или числом Эйлера, и обозначается Ей.

В случае напорного движения в уравнениях (1.309), (1.310) подр1? р2, Ар можно понимать полное давление (на жидкость действует также сила тяжести, но в напорных потоках ее действие проявляется через давление, т.е. оно сводится лишь к соответствующему изменению давления за счет глубины потока), так как при высоких давлениях величина давления, зависящая от глубины потока, несоизмеримо мала и величина гидростатического напора практически полностью определяется избыточным давлением. Следовательно, для Ей можно записать:

(1.311)

Ей = = 2яАН,ст,

ргК2 V2

где А#ст — разность статических напоров.

Критерий подобия Рейнольдса

Посмотрим, какому условию должны удовлетворять те же геометрически и кинематически подобные потоки, для того чтобы было обеспечено их гидродинамическое подобие при наличии сил вязкости, а следовательно, и потерь энергии, т.е. при каком условии числа Ей будут одинаковыми для этих потоков.

Уравнение Бернулли для этого случая примет вид:

К

Р?

или по аналогии с предыдущими рассуждениями (1.312), учтя, что

_ а

к =

можно написать

со

' 22^ = Ей = а2 - оц Щ +

со,

(1.313)

Как видно из уравнения (1.74), числа Ей будут иметь одинаковые значения для рассматриваемых потоков, а сами потоки будут по-

добны друг другу гидродинамически при условии равенства коэффициентов сопротивления (равенство коэффициентов оци а2 для сходственных сечений двух потоков следует из их кинематического подобия). Таким образом, коэффициенты сопротивлений ?, в подобных потоках должны быть одинаковыми, а это значит, что потери напора для сходственных участков пропорциональны скоростным напорам.

(К-2]

(К-2 Л

У2

VI

12?;

I

1 2# )

п

(1.314)

Рассмотрим очень важный в гидравлике случай движения жидкости — движение с трением в цилиндрической трубе, для которого коэффициент трения описывается формулой

Х-.

с!

Для геометрически подобных потоков отношение — одинаково,

с/

следовательно, условием гидродинамического подобия в данном случае является одинаковое значение для этих потоков коэффициента X. Он выражается через напряжение трения т0 на стенке и динамическое давление следующим образом:

0

Следовательно, для двух подобных потоков 1 и II можно записать

(1.315)

т.е. напряжения трения пропорциональны динамическим давлениям.

Учитывая закон трения Ньютона и тот факт, что в последних уравнениях V = Кср, предыдущие отношения (1.315), равные к, можно выразить

(1.316)

где индекс у = 0 означает, что производная взята при у = 0, т.е. у стенки трубы. В скобках заметим, что закон трения Ньютона применим лишь при ламинарном течении. Однако, как будет показано ниже, при турбулентном течении в трубах вблизи стенок образуется тонкий ламинарный слой, внутри которого справедлив закон трения Ньютона. Поэтому напряжение трения т0 на стенке может определяться по этому закону также и при турбулентном течении.

После умножения и деления (1.316) на диаметр трубы б и перегруппировки множителей

V

'с1У сі |і 1

^ КР Р V

'у}

с

V

(1.317)

Т=0

Здесь буквой С обозначено выражение в квадратных скобках, представляющее собой безразмерный градиент скорости вблизи стенки.

Для кинематически подобных потоков величина С одинакова, поэтому после сокращения (1.317) на С условие динамического подобия потоков перепишем в виде

/

V

/

V

У^уц

или, переходя к обратным величинам,

Яе| — Яе 11.

В этом заключается критерий подобия Рейнольдса, который можно сформулировать следующим образом: для гидродинамического подобия геометрически и кинематически подобных потоков с учетом сил вязкости требуется равенство чисел Рейнольдса, подсчитанных для любой пары сходственных сечений этих потоков.

Критерий подобия Фруда

В тех случаях, когда движение жидкости является безнапорным и происходит под действием разности нивелирных высот, условие подобия потоков описывается иначе, с помощью другого критерия подобия — числа Фруда. Этот критерий учитывает пропорциональность в отношениях сил инерции к силам тяжести. Однако для подавляющего большинства интересующих нас задач в области машиностроения этот критерий не имеет значения и рассматриваться не будет.

Итак, в подобных напорных потоках имеет место равенство безразмерных коэффициентов и чисел а, ?, X, Ей, Яе, Л^е. Изменение Яе означает, что меняется соотношение основных сил в потоке, в связи с чем указанные коэффициенты могут также несколько меняться. Поэтому все эти коэффициенты следует рассматривать как функции Яе (хотя в некоторых интервалах Яе они могут оставаться постоянными).

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ

Кроме достаточно подробно рассмотренных в настоящем курсе видов движения жидкости: в гладких и шероховатых трубах, движения жидкости при прохождении различных сопротивлении, истечений через насадки и др., существуют и другие виды. Они описываются гораздо более сложным математическим аппаратом, или не описываются вообще, либо требуют сложного экспериментального изучения. Здесь рассматриваются некоторые из них, нередко проявляющиеся в гидросистемах технологического оборудования.

Ламинарное течение в плоских зазорах

Рассмотренные выше зависимости, как уже отмечалось, действительны для труб круглого сечения, но они нуждаются в уточнении, если форма сечения потока отличается от окружности. Такие потоки имеют место в каналах и проходных щелях гидроаппаратуры, в гидромашинах и во многих других устройствах.

Вначале рассмотрим ламинарное течение в плоском зазоре с неподвижными стенками (рис. 1.105), расстояние между которыми равно а.

кУ

1 2 і і

У

Ламинарное течение в плоском зазоре

Рис. 1.105. Ламинарное течение в плоском зазоре

Начало системы координат для простоты поместим в середину зазора. В этом зазоре рассмотрим два поперечных сечения потоков

1 и 2, находящихся на расстоянии / друг от друга. Ширину рассматриваемой части потока обозначим Ь. На участке / выделим объем жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющего размеры 1 х х Ь и симметрично расположенного в зазоре. Условием равномерного движения параллелепипеда будет являться равенство сил давления и сил вязкого трения, действующих в направлении движения

р1Ь2ур2Ь2у - р

с1и (1у

  • 21 = 0.
  • (1.318)

Знак «-» перед силой вязкого трения означает, что производная (1и

— отрицательна, т.е. с ростом у, в принятой системе отсчета, ско-с!у

рость слоя жидкости уменьшается. По аналогии с зависимостями для трубы круглого сечения Ар = /г^р#, поэтому приращение скорости можно представить в виде

с1и -

уйу-

(1.319)

После интегрирования (1.319) по у получим

К.ЖЬ у2

КРР&

и - —-

Ц/

аУ =

У

р/ 2

+ С.

(1.320)

Постоянную интегрирования С в (1.320) определим из условий

а

движения жидкости у поверхности стенки, где у = — а и = 0, тогда

С =

КРЬ а2

2р/ 4

_ тр

(1.321)

После подстановки С (1.321) выражение (1.320) элементарного слоя жидкости выражение для и примет вид:

р/ 2 2р/ 4

Кр№ь [ 2р/ 14

(1.322)

Последняя формула (1.322) определяет то, как связана скорость жидкости с расстоянием от середины потока, т.е. от положения слоя жидкости в зазоре. Зная это, нетрудно определить расход жидкости в зазоре. Для этого определим сначала элементарный расход (10 через площадку высотой (толщиной) ёу и шириной Ь, который будет равен

После интегрирования (1.323) по у в пределах половины высоты

а

= и* = К^Ь

( 2

а

2|і/

V

/

  • 4У-
  • (1.323)

щели, от у = 0 до у = —, получим половину расхода через щель

а/2

о

^грР

  • -Но - 1 ^ ^
  • 2ц/

V

о

/

Афр. ф

( 3 3

а у

а і 2 ^

0 )

_ КрФ

(3 2 Л

а а

_ /ppgba3

(1 1 ^

2ц/

8 3

2ц/

ГД оо

2ц/

^8 24 ^

КуРЯ^СГ (_1_Л

2ц/ V12 у

_ "тр

(1.324)

Тогда полный расход через щель будет в два раза больше

рР^Д3

12ц/

Если учесть, что средняя скорость в щели будет V напора в щели с плоскими стенками составят

(1.325)

то потери

_ 012ц/ _ УаЬ2л1 _ 12Кц/ тр ^Ьа2 р?/>я3 р 2

(1.326)

Ламинарное течение в плоских зазорах с подвижной стенкой

В процессе работы гидроаппаратов и гидромашин может встречаться ситуация, когда одна из плоских поверхностей, образующих зазор, перемещается параллельно другой попутно или встречно направлению потока жидкости. Движущаяся поверхность за счет сил вязкого трения увлекает за собой жидкость. Если при этом давление в жидкости постоянно, то возникает так называемое фрикционное безнапорное движение (рис. 1.106).

Эпюра распределения скоростей в этом случае примет треугольный вид, причем надо заметить, что скорости относительного движения в прилегающих к стенкам слоях жидкости равны нулю. Внутри потока жидкости выделим некоторый объем прямоугольного сечения и рассмотрим действующие на него силы. В принятых условиях на торцевые поверхности действует одинаковое давление, сле-

довательно, одинаковыми будут и силы. Тогда для достижения равновесия рассматриваемого объема необходимо равенство касательных напряжения на его нижней и верхней поверхностях. Отсюда следует, что (1х - 0 и т — величина постоянная. Следовательно, по закону жидкостного трения Ньютона т = -р— = С. В этом выраже-

йу

нии С постоянная, а знак «-» означает, что при увеличении (1у приращение скорости с!и становится отрицательным (скорость уменьшается). В таком случае выражение для скорости примет вид

Фрикционное безнапорное движение в зазоре

Рис. 1.106. Фрикционное безнапорное движение в зазоре

(1.327)

После интегрирования (1.327), получим

Сс1и

С

и =

У + с>.

(1.328)

р р

Постоянные интегрирования С и Сх (1.328) найдем из условий на границах потока, где при у = ^ и = 0, а при у = ~ и = Устст скорость движения стенки).

Подставив эти значения в выражение для скорости (1.328), получим систему из двух уравнений

с

(1.329)

после

Выразив из первого уравнения системы (1.329) С) подстановки его во второе запишем

С а С а С

(1.330)

. Подставив эту фор

---1---— —О.

|12 ц 2 ц

Отсюда постоянная С примет вид С =

а

мулу в выражение для С1? будем иметь значение постоянной интег-

V [і а V рирования С, = -і"11— = —

а. 2 2

После выяснения значений для постоянных С и С! подставим их в (1.328) и получим формулу скорости и

и Ест

(1.331)

Средняя скорость такого фрикционного потока жидкости составляет половину скорости подвижной поверхности, что нетрудно видеть на эпюре распределения скоростей по сечению зазора (рис. 1.106)

а величину расхода можно вычислить по формуле

(1.332)

Вывод из сказанного состоит в том, что в зазоре между подвижной и неподвижной поверхностями даже при отсутствии разности давления всегда будет поток жидкости, скорость которого определяется относительными скоростями поверхностей.

Если фрикционное движение происходит при перепаде давлений, то скорости движения слоев в таком потоке складываются из скоростей, обусловленных фрикционным движением (1.331) и скоростей (1.332), обусловленных напором (рис. 1.107).

Скорость подвижной поверхности щели Кст может быть направлена попутно или встречно фрикционному потоку (рис. 1.107).

В этом случае скорости слоев жидкости определяются сложением или вычитанием скоростей, обусловленных фрикционным движением (1.331), и скоростей обусловленных напором (1.322).

При попутном движении

и -

^тпР

  • 2ц/
  • 7

+ к

ст

/1

V 2

9

Варианты напорно-фрикционного движения

Рис. 1.107. Варианты напорно-фрикционного движения

при встречном

^грР

Ы -

2(ы/

- У

— К

ст

У

2

Расход жидкости через плоскую щель, при напорно-фрикционном движении складывается из суммы расходов (1.311) и (1.318) при двух движениях в отдельности и составляет

ЬрРёЬа3 12 ц/

Первое слагаемое в формуле называется напорным расходом, а второе — фрикционным, который добавляется или вычитается при попутном или встречном направлении движения подвижной стенки щели.

Ламинарное течение в кольцевых зазорах

Зазоры в виде цилиндрического кольца встречаются практически в каждом конструктивном элементе гидросистем: в любых гидравлических аппаратах, гидромашинах, гидравлической арматуре. Эти зазоры могут быть как с подвижными, так и с неподвижными поверхностями. Все рассуждения и полученные формулы могут быть применимы к движению жидкости в кольцевых зазорах (при условии, что это движение направлено вдоль осей поверхностей, которые образуют зазор) для тех случаев, когда толщина зазора мала по сравнению с радиусами поверхностей, образующих зазор, и не меняется в направлении движения жидкости. Однако все рассуждения вполне применимы к зазорам, образованным поверхностями, расположенными эксцентрично.

Рассмотрим общий случай (рис. 1.108), когда поверхности, образующие зазор, расположены с эксцентриситетом е и, следовательно, его величина переменна и зависит от угла (3.

Варианты кольцевых зазоров

Рис. 1.108. Варианты кольцевых зазоров

а

Если обозначить — = є и учесть, что а0 = Я - г, то величина зазора

о будет описываться выражением

а = Я + ссобР - г - я0(1 + есозР).

Рассматривая кольцевой зазор как плоскую щель шириной /г/(3,

можно получить следующее выражение для расхода

Л7__и?Г?/3 '? 3

<Ю =

  • - жр = ^(1+ еСовР)>пф.
  • 12 р/
  • 12 р/
  • (1.333)

В результате интегрирования (1.333) по окружности получим

е = ^ ^+есоф)з^ =

  • 12ц/ ' м н 12ц/ I
  • 1 + ’е’ 2

.3 2л ^___л___3 / 1 Л

(1.334)

/

271/^^00

Величина---в (1.334) представляет собой расход через

12р/

кольцевой зазор при одинаковой ширине по окружности а0. Это значит, что при максимальном эксцентриситете є = 1 (и при той же площади) величина расхода в 2,5 раза больше, чем при величине зазора а0.

Ламинарное течение в трубах прямоугольного сечения

Для определения потерь в таких трубах используют формулу

/ V2

сі2§

Дарси (напомним, И = А,л--) при условии, что коэффициент по- терь на трение будет вычисляться по формуле А. = к—. Коэффици-

Яе

ент к в этом выражении есть функция, зависящая от соотношения

сторон трубы — . Его значение можно определить по табл. 1.1:

Ь)

Таблица 1.1

а/Ь

1

1,5

2

3

4

5

6

оо

к

0,89

0,92

0,97

1,07

1,14

1,19

1,32

1,5

Число Рейнольдса для этого случая надо подсчитывать по учетверенному отношению площади поперечного сечения к его периметру

  • 2 аЬУ (а + Ь)у’
  • 2 аЬ а + Ь

а вместо сі в формуле Дарси (1.173) использовать величину

С учетом перечисленного формула Дарси для труб прямоугольного сечения принимает вид:

  • 64 / V2
  • 2аЬУ 2аЪ 2#' (іа + Ь)у а + Ь

Кавитационное течение

В некоторых случаях при движении жидкости возникают явления, связанные с изменением ее агрегатного состояния, а именно с превращением некоторых ее частиц в газообразное состояние.

Например, при течении жидкости через местное сужение трубы происходит увеличение скорости и падение давления. Если абсолютное давление при этом уменьшается до значения, равного упругости насыщенных паров этой жидкости при данной температуре, или давлении, при котором начинается интенсивное выделение из нее газов, то в данном месте потока начинается интенсивное парообразование и выделение газов. В расширяющейся части потока скорость уменьшается, а давление возрастает, и выделение паров и газов прекращается; выделившиеся пары частично или полностью конденсируются, а газы постепенно растворяются.

Это местное нарушение сплошности течения с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), обусловленное местным падением давления в потоке, называется кавитацией.

Если в прозрачной трубке, диаметр которой сначала плавно уменьшается, а затем еще более плавно увеличивается, течет поток жидкости, скорость которого регулируется, то можно визуально наблюдать следующие явления.

При малой скорости жидкости падение давления в узком месте трубки незначительно, поток вполне прозрачен. При увеличении скорости в трубке абсолютное давление в соответствии с уравнением Бернулли будет падать и при некотором значении

Рабе ~ Рп

где рт упругость насыщенных паров, в трубке появляется отчетливо видимое помутнение жидкости (рис. 1.109), обусловленное появлением пузырьков газа — это и есть зона кавитации.

Течение с кавитацией

Рис. 1.109. Течение с кавитацией

При дальнейшем увеличении скорости размеры зоны кавитации возрастают. Кавитация сопровождается характерным шумом, а при длительном ее воздействии также эрозионным разрушением твердых, как правило металлических, стенок. Последнее объясняется тем, что конденсация пузырьков пара (и сжатие пузырьков газа) происходит со значительной скоростью, частицы жидкости, заполняющие полость конденсирующего пузырька, устремляются к его центру и в момент завершения конденсации вызывают местный гидравлический удар, т.е. значительное местное повышение давления. Разрушение материала при кавитации происходит не там, где выделяются пузырьки, а там, где они конденсируются.

Кавитация в обычных случаях — явление нежелательное.

При кавитации также возрастает сопротивление трубопроводов и, следовательно, уменьшается их пропускная способность.

«Кавитация может возникать во всех устройствах, где поток претерпевает местное сужение с последующим расширением, например в кранах, вентилях, задвижках, диафрагмах, жиклерах и т.п. В отдельных случаях возникновение кавитации возможно также и без расширения потока вслед за его сужением, а также в трубах постоянного сечения при увеличении нивелирной высоты и гидравлических потерь.

Кавитация может иметь место в гидромашинах (насосах и гидротурбинах), а также на лопастях быстровращающихся гребных винтов. В этих случаях следствием кавитации является резкое снижение коэффициента полезного действия машины и затем постепенное разрушение ее деталей, подверженных воздействию кавитации. В гидросистемах кавитация может возникать в трубопроводах низкого давления — во всасывающих трубопроводах. В этом случае область кавитации распространяется на значительную часть всасывающего трубопровода или даже на всю его длину. Поток в трубопроводе при этом становится двухфазным, состоящим из жидкой и паровой фаз.

В начальной стадии паровыделения паровая фаза может быть в виде мелких пузырьков, распределенных по объему движущейся жидкости приблизительно равномерно. При дальнейшем парогазовыделен ии происходит укрупнение пузырьков, которые в случае горизонтального расположения трубы движутся преимущественно в верхней части ее сечения.

В дальнейшем возможны случаи полного разделения парогазовой и жидкой фаз и их движение самостоятельными потоками. Первая фаза движется в верхней, а вторая в нижней части сечения трубопровода. При небольших диаметрах трубопровода возможно образование парогазовых пробок и движение фаз, жидкой и газовой, чередующимися столбиками.

С увеличением парогазовой фазы пропускная способность трубопровода значительно уменьшается. Конденсация выделившихся паров и растворение газа происходит в насосах, где давление значительно повышается, и в напорных трубопроводах, по которым жидкость движется под высоким давлением от насоса к потребителю.

Кавитация, обусловленная выделением паров жидкости, происходит по-разному в однокомпонентных (простых) и многокомпонентных (сложных) жидкостях. Для однокомпонентной жидкости давление, соответствующее началу кавитации, вполне определяется упругостью насыщенных паров, зависящей только от температуры, и кавитация протекает так, как было описано выше.

Многокомпонентная жидкость состоит из так называемых легких и тяжелых фракций. Первые обладают большим значением упругости паров, чем вторые, поэтому при кавитации сначала вскипают легкие фракции, а затем тяжелые. Конденсация же паров происходит в обратном порядке: сначала выпадают тяжелые фракции, затем — легкие.

При наличии легких фракций многокомпонентные жидкости более склонны к кавитации, и паровая фаза в них удерживается дольше, но процесс кавитации выражен менее резко, чем у однокомпонентных жидкостей.

Для характеристики течения в отношении кавитации применяется безразмерный критерий, называемый числом кавитации и равный

у-Р-Рп 1 рУ^_ ’ гдер — абсолютное давление; рп давление парообразования; V — скорость потока.

Обычно число кавитации х определяют на входе в тот или иной агрегат, внутри которого возможно возникновение кавитации.

Значение х, при котором в агрегате начинается кавитация, называется критическим числом кавитации. При % > хкр коэффициент агрегата ?, от % не зависит, а при % < %кр возрастает с уменьшением

Обычно стремятся к тому, чтобы кавитацию в гидросистемах не допускать.

Но можно отметить, что иногда это явление оказывается полезным. Его используют в так называемых кавитационных регуляторах расхода, обеспечивающих практически постоянный расход через зону кавитации. На принципе использования гидравлических микроударов, происходящих при кавитации, построены устройства для регенерации (очистки от загрязнений) фильтровальных элементов фильтров.

Течение с облитерацией

При течении жидкости через капилляры, а также малые зазоры наблюдается явление, которое нельзя объяснить законами гидравлики. Это явление заключается в том, что расход жидкости через капилляр или зазор с течением времени уменьшается, несмотря на то что перепад давления, под которым происходит движение жидкости, и ее физические свойства остаются неизменными. Причина этого явления кроется в том, что при определенных условиях происходит как бы засорение (заращивание) канала твердыми частицами, причем в зазорах и капиллярных каналах размером меньшим 0,01 мм может произойти полное заращивание проходного сечения и уменьшение расхода до нуля. Этот процесс носит название облитерации и заключается в том, что на поверхности раздела твердого тела и жидкости происходит под действием молекулярных и электромагнитных сил, возникающих между стенкой и жидкостью, адсорбция, т.е. уплотнение жидкости до практически твердого состояния на поверхности стенки.

Степень облитерации зависит от молекулярной структуры жидкости, причем это явление в большей степени проявляется в сложных, высокомолекулярных жидкостях типа масляной смеси на керосиновой основе, применяемой в силовых гидросистемах. Толщина адсорбционного слоя для жидкостей этого типа составляет несколько микрометров. Поэтому при течении через капилляры и малые зазоры этот слой может существенно уменьшить площадь поперечного сечения канала или даже полностью его перекрыть.

С повышением температуры интенсивность адсорбции, а следовательно, и облитерации, понижается. Повышение перепада давления, под которым происходит движение жидкости через зазор или капилляр, наоборот, увеличивает степень облитерации.

Если одна из стенок, образующих зазор, приводится в движение, т.е. происходит сдвиг, то образованные адсорбционные слои разрушаются, облитерация устраняется и восстанавливается первоначальный расход жидкости через зазор. Однако для такого сдвига обычно требуется значительное усилие. В зазорах между подвижной и неподвижной стенками облитерации не происходит.

Для избегания облитерации каналов жиклеров и дросселей рекомендуется их отверстия выполнять не меньше 0,2—0,4 мм. Для устранения облитерации через дросселирующее отверстие пропускают стержень, перемещающийся возвратно-поступательно и обеспечивающий автоматическую прочистку отверстия (разрушение адсорбционного слоя).

Течение с теплообменом

В рассмотренных выше случаях ламинарного течения не учитывалось изменение температуры и, следовательно, изменение вязкости жидкости, как в пределах поперечного сечения, так и вдоль потока, т.е. предполагалось постоянство температуры во всех точках потока. Подобное течение называют изотермическим. В общем случае, конечно, течение жидкости по гидросистеме сопровождается изменением температуры.

Очевидно, что если по трубопроводу движется жидкость, температура которой значительно выше температуры окружающей среды, то такое течение сопровождается теплоотдачей через стенку трубы во внешнюю среду и, следовательно, охлаждением жидкости. Когда же температура движущейся жидкости ниже температуры окружающей среды, то происходит приток тепла через стенку трубы. В результате жидкость в процессе течения нагревается.

В обоих указанных случаях при течении жидкости осуществляется теплообмен с внешней средой. Температура и вязкость жидкости непостоянны, а течение не изотермическое.

Поэтому зависимости, полученные в предположении постоянства вязкости по сечению потока, при течении со значительным теплообменом нуждаются в поправках. При течении жидкости, сопровождающемся ее охлаждением, слои жидкости, непосредственно прилегающие к стенке, имеют температуру более низкую, а вязкость более высокую, чем в основном ядре потока. Вследствие этого происходит более интенсивное торможение пристенных слоев жидкости и уменьшение градиента скорости у стенки.

При течении же, сопровождающемся нагреванием жидкости, обусловленным притоком тепла через стенку, пристенные слои жидкости будут иметь более высокую температуру и пониженную вязкость, вследствие чего градиент скорости у стенки будет более высоким. Таким образом, вследствие теплообмена через стенку трубы между жидкостью и внешней средой происходит нарушение параболического закона распределения скоростей по сечению потока.

На рис. 1.110 показаны сравнительные графики распределения скоростей при изотермическом течении (линия 1), при течении с охлаждением жидкости (линия 2) и при течении с ее нагреванием (линия 3). Из рисунка следует, что охлаждение жидкости влечет за собой

I

Течение с теплообменом

Рис. 1.110. Течение с теплообменом

увеличение неравномерности распределения скоростей, а нагревание — уменьшение, по сравнению с обычным параболическим распределением скоростей.

Изменение профиля скоростей при отклонении от изотермического течения вызывает изменение закона сопротивления потоку жидкости.

При ламинарном течении вязких жидкостей в трубах с теплообменом (охлаждением) сопротивление получается больше, а при течении с притоком тепла (нагреванием) меньше, чем при изотермическом течении.

Ввиду того, что точное решение задачи о течении жидкости с теплообменом представляет большую сложность, так как приходится учитывать переменность температуры и вязкости жидкости по поперечному сечению и вдоль трубы, а также рассматривать тепловые потоки в разных сечениях трубы, в практических расчетах пользуются следующей приближенной формулой для определения коэффициента потерь на трение с учетом теплообмена

где 11еСр ж — число Рейнольдса, подсчитанное по средней вязкости жидкости; уср/ст — вязкость жидкости, соответствующая средней температуре стенки; уср — средняя вязкость жидкости.

Течение при больших перепадах давления

В высоконапорных гидромашинах, например гидравлических прессах, может происходить ламинарное течение жидкости через малые зазоры при больших перепадах давлений порядка нескольких сотен атмосфер.

Опыт показывает, что в таких случаях падение напора вдоль потока оказывается существенно нелинейным, а закон Пуазейля дает заметную погрешность.

При таких течениях необходимо учитывать нагревание жидкости, которое ведет к уменьшению ее вязкости, причем степень влияния этого фактора будет нарастать вдоль потока жидкости. С другой стороны, с увеличением давления вязкость жидкостей возрастает. Таким образом, вязкость жидкости переменна вдоль потока и, как результат одновременного действия двух указанных факторов, продольный

градиент давления

(11

стоянным.

Указанные факторы действуют и на расход: повышение температуры способствует его увеличению, а высокое давление в жидкости — его уменьшению, по сравнению со значением, вытекающим из закона Пуазейля. Таким образом, влияние этих двух факторов на расход является противоположным.

Рассмотрим задачу (рис. 1.111) о ламинарном течении в зазоре толщиной а, длиной / и шириной b с учетом влияния на вязкость давления и температуры. При этом допускаем, что плотность жидкости не зависит от давления и температуры, а размеры зазора таковы, что его толщина существенно меньше ширины.

I

Течение при больших перепадах давления

Рис. 1.111. Течение при больших перепадах давления

Ранее было установлено, что расход через плоскую щель (1.325) составляет

= /?трР?^3 = /?трр? Ъаъ

У 12 р/ / 12р.

Физическая сущности первого сомножителя в этом произведении — потери на трение по длине щели. Он показывает, как быстро теряется энергия по ходу течения жидкости. Причем потери на трение рр? есть не что иное, как уменьшение давления по длине щели /. Если учесть сказанное и перейти к пределу, эту величину можно характеризовать падением давления по длине зазора вида

Ш'

Знак «-» в этой формуле показывает, что давление по длине зазора уменьшается.

С учетом последнего и в пересчете на единичную ширину зазора = 1) расход через щель можно записать в виде

Ш 12ц'

При рассмотрении свойств жидкости упоминались формулы, учитывающие изменение коэффициента динамической вязкости р от температуры

-к,(Т-Т0)

и давления

Для одновременного учета влияния на вязкость жидкости давления и температуры можно принять

(1.336)

кр(р-Ро)-к,(Т-Т0)

В приведенных формулах, напомним, использованы следующие обозначения:

р, — динамический коэффициент вязкости при заданной температуре;

рр — динамический коэффициент вязкости при заданном давлении;

Т00, р0 — температура, давление и динамический коэффициент вязкости жидкости в начале зазора;

Т, р, р — температура, давление и динамический коэффициент вязкости жидкости в конце зазора;

к, — коэффициент, для минеральных масел равный 0,02—0,03;

кр коэффициент, для минеральных масел равный 0,002—0,003;

е — основание натурального логарифма, равное 2,718282.

Теперь запишем уравнение тепловой энергии, т.е. равенство между потерей энергии на трение, превратившейся в тепло, и приростом тепловой энергии жидкости за единицу времени:

ОрС(Т0) = к(р0 - р)0, (1.337)

где С — теплоемкость жидкости; к — коэффициент, учитывающий долю работы сил вязкости, которая идет на нагревание жидкости.

При к = 1 теплоотдача в стенку отсутствует, и вся теряемая энергия, обусловленная вязким трением, идет на нагревание жидкости. При к = 0 происходит максимальная теплоотдача в стенку, в результате чего повышения температуры жидкости не происходит (изотермическое течение).

Из (1.337) можно получить

Т-Т0 = —(р0 - р). Р С

После подстановки выражения (1.338) в выражение (1.336) получим:

кр(р-Ро)-к, —(р0-р) (Ро-Р),

Р = Ро^ УР ~ Рое

, к,кЛ кп+— р Р С

(1.339)

Разделим переменные в уравнении расхода через зазор (1.335)

  • (1.340)
  • 2Q_dl =

<г р

Используем полученную связь (I и р (1.339) выполним подста-

новку в (1.340)

  • =
  • (1р

а

(Ро~Р)

Ро^

(. к,к ' кп+—

Р РС

(1.341)

Произведем алгебраические преобразования: умножим обе части

  • 1
  • (1.341) на р0 и поменяем знак степени при е (ху = —)

У

(1.342)

кр+Щ Р *сЫр.

а

Проинтегрируем выражение (1.342)

120р.. - (р~р^

= -

к,к кп+— р рс

(1р.

Результатом интегрирования будет равенство

120ро . _

я3

(Р-Ро)

к,к_

РС

*,+М

" рс

+ С(.

(1.343)

Постоянную интегрирования Сх найдем, учитывая, что в начальном сечении потока при 1 = 0 р=р0, следовательно,

С, =

кр + м

' рс

Подставив постоянную интегрирования С. в (1.343), получим

/

12(?Ио

/

(Р-Ро)

" Рс

уе

, к,к кп+— Р Р С

Выразим отсюда О

{

а

/

Л

(Р-Ро)

кр?

12 IV

V

' рс

/

Уе

к{к

рс

Приведенную формулу можно анализировать с различных позиций. Мы посмотрим на нее только с одной точки зрения. Сравним ее с формулой расхода через щель, полученную на основании закона Пуазейля. Расход по закону Пуазейля линейно изменяется при изменении давления. Последняя же формула, учитывающая изменение вязкости при изменении давления и теплообмен в потоке, что имеет место, когда жидкость движется с большими скоростями и при больших перепадах давления, описывает связь давления и расхода степенной функцией. При этом чем выше давление, тем больше отклонение расхода от линейной зависимости, соответствующей закону Пуазейля. Объясняется это тем, что расход жидкости при ламинарном течении пропорционален перепаду давления Ар, а величина потерянной энергии, равная произведению А/?(), пропорциональна квадрату перепада давления. По этой причине потеря энергии на единицу расхода жидкости растет пропорционально перепаду давления.

ЗАЧЕМ ГИДРАВЛИКА В МАШИНОСТРОЕНИИ?

Важнейшей частью почти любого технологического оборудования, станка, пресса, робота и т.д. является привод. Простейшим образом привод можно понимать как совокупность устройств, предназначенных для преобразования и передачи энергии, необходимой для осуществления технологического движения с заданными характеристиками, кинематическими и силовыми. В технике широко применяются механический, электрический, пневматический (газовый, чаще всего воздушный) и гидравлический приводы и их комбинации. Важнейшей характеристикой любого привода является момент или сила, которую он может обеспечивать при одних и тех же размерах или весе. Попытаемся сравнить по этому показателю электрический, пневматический и гидравлический приводы.

Для подобного анализа приводов рассмотрим основной, наиболее часто встречающийся элемент привода — двигатель вращения. Любой такой двигатель принципиально состоит из неподвижного статора и вращающегося внутри него ротора (рис. 1.112). При этом в любом двигателе можно считать, что ротор отталкивается от статора, в результате чего создается вращение.

Принципиальное устройство двигателя вращения

Рис. 1.112. Принципиальное устройство двигателя вращения

Таким образом, можно считать, что между статором и ротором есть какая-то рабочая среда (рабочее тело), которая, упираясь в статор, толкает ротор. В электродвигателе это электромагнитное поле, в пневматическом двигателе это воздух, в гидродвигателе это жидкость. Чем больше сила отталкивания, тем больший крутящий момент развивает двигатель. Величина силы отталкивания зависит от того, как сильно сжата рабочая среда, т.е. от того, каковы внутренние напряжения рабочей среды.

Для любого двигателя, с некоторыми непринципиальными допущениями, можно считать, что крутящий момент описывается функцией вида

Мкр = F(L, г, 5, п, р),

где L — отталкивания ротора от статора; г — радиус ротора; 5 — радиальный зазор между ротором и статором; р — напряженность рабочей среды; п — количество пар элементов, взаимодействующих в процессе отталкивания ротора от статора (пары полюсов, пластины гидро- или пневмодвигателя и т.п.).

Опираясь на эту функцию, легко определить предельно возможные максимальные напряжения для любого двигателя, как отношение развиваемого им крутящего момента к его геометрическим размерам. Эта формула будет иметь вид:

«кр

Р = Т*п

Величина р будет выражаться в единицах напряженности рабочей среды Н/м2.

Если таким способом проанализировать двигатели всех трех типов, разделив их максимальные крутящие моменты на соответствующие геометрические характеристики, то можно установить следующее:

  • р электромагнитного поля около 1 МПа;
  • р газовой среды около 1 МПа;
  • р жидкостной среды 6,3—40 МПа и выше.

Следовательно, гидравлический привод во многие разы и даже

десятки раз более энергоемкий, чем электрический и пневматический.

При этом гидравлический привод имеет еще одну, очень важную особенность, которую можно проиллюстрировать на следующем опыте. Возьмем три одинаковых цилиндра (рис. 1.113). В первый цилиндр поместим два магнита, одноименными полюсами навстречу друг к другу, так, чтобы верхний магнит мог играть роль подвижного поршня. Во втором, заполненном воздухом, и третьем, заполненном жидкостью, установим плотно пригнанные поршни. Ко всем трем поршням приложим силы, сжимающие рабочие среды: электромаг-

?

I I ш

'?I ы

9 Ч

Рис. 1.113. Схема опыта

нитное поле, воздух и жидкость. При увеличении сил поршни начнут опускаться, а напряжение рабочих сред р будет расти. В цилиндре с жидкостью перемещение будет практически незаметным, по сравнению с остальными цилиндрами. То еесть жидкость, по сравнению с газом и электромагнитным полем, практически несжимаема в большом диапазоне сил. Последнее проиллюстрировано на графике. Это качество обеспечивает высокую жесткость гидропривода в большом диапазоне нагрузок.

Описанные особенности гидравлического привода определяют область его использования в технике. В большинстве случаев его применение обусловлено необходимостью в высоких энергетических показателях при малом весе или габаритах.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
  • 1. В чем заключается «гипотеза сплошности»?
  • 2. Каковы основные свойства жидкости?
  • 3. За счет чего на поверхности жидкости создается поверхностное натяжение?
  • 4. Что такое кавитация?
  • 5. Что характеризует модуль объемной упругости жидкости?
  • 6. В чем отличие законов сухого и вязкого трения?
  • 7. Чем различаются динамический и кинематический коэффициенты вязкости?
  • 8. Какие жидкости называют аномальными и что это означает?
  • 9. Какие силы действуют в жидкости?
  • 10. Что такое давление?
  • 11. Что показывает пьезометрическая высота?
  • 12. Что такое вакуумметрическая высота?
  • 13. Может ли жидкость сопротивляться растяжению?
  • 14. Какими свойствами обладает гидростатическое давление?
  • 15. Каким образом можно измерить давление в любой точке жидкости?
  • 16. Что описывает система уравнений Эйлера для покоящейся жидкости?
  • 17. Основное уравнение гидростатики и его следствия.
  • 18. Основной закон гидростатики и его физическая и геометрическая интерпретации.
  • 19. Как действует покоящая жидкость на окружающие ее стенки?
  • 20. Зачем нужно знать положение центра давления?
  • 21. Почему труба, находящаяся под действием давления, разрушается вдоль образующей?
  • 22. Что описывает система уравнений Эйлера для движущейся жидкости?
  • 23. Что описывают прямые и косые частные производные в дифференциальных уравнениях Эйлера?
  • 24. Что описывают уравнения Навье—Стокса?
  • 25. Что означает установившееся и неустановившееся течение жидкости?
  • 26. Что такое линия тока и чем она отличается от траектории?
  • 27. Понятие трубки тока.
  • 28. Три типа потоков жидкости.
  • 29. Основные характеристики потока жидкости.
  • 30. Понятие средней скорости потока жидкости.
  • 31. Уравнение неразрывности потока и его различные формулировки.
  • 32. В чем состоит геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости?
  • 33. В чем состоит энергетическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости?
  • 34. Уравнение Бернулли для потока жидкости.
  • 35. В чем смысл коэффициента кинетической энергии в уравнении Бернулли?
  • 36. Два режима течения жидкости.
  • 37. В чем физический смысл числа Рейнольдса?
  • 38. Каково назначение теории подобия потоков? Критерии подобия.
  • 39. Причины возникновения сопротивления потоку жидкости.
  • 40. Виды потерь энергии в потоке жидкости и причины их возникновения.
  • 41. Как описываются математически и от чего зависят потери при ламинарном движении жидкости?
  • 42. В чем заключаются особенности течения жидкости в зазорах?
  • 43. Что такое фрикционное движение жидкости и как оно возникает?
  • 44. В чем особенности турбулентного течения жидкости?
  • 45. В чем особенности пристенного слоя при турбулентном течении и от чего зависит его толщина?
  • 46. Какие зоны существуют на графиках Никурадзе?
  • 47. Что такое местные гидравлические сопротивления и чем они характеризуются?
  • 48. Виды местных сопротивлений.
  • 49. Что такое насадки и как они влияют на расход жидкости при истечении?
  • 50. Формула расхода через дроссель.
  • 51. Какие задачи решаются с помощью гидравлического расчета трубопроводов?
  • 52. В чем отличие уравнения Бернулли и уравнения неустановившегося движения несжимаемой жидкости в трубопроводе?
  • 53. Как протекает гидравлический удар в трубопроводе?
  • 54. Разновидности гидравлического удара.
  • 55. Что такое ударная волна и как определяется ее скорость?
  • 56. Что такое ударное давление и как оно определяется?

  • [1] — зона турбулентного гладкостенного течения, коэффициент кт вычисляется по формуле
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы