Введение

Математика — это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Наука эта древняя, хотя и не так стара, как старо все человечество.

Когда-то очень давно, когда люди стали нуждаться в подсчете количеств некоторых предметов, они придумали числа 1, 2, 3, ... . При помощи этих чисел они и отражали то или иное количество предметов, непосредственно абстрагируясь от самих предметов. Позже указанные числа были названы числами натурального ряда.

Арифметические операции над числами натурального ряда, и в первую очередь вычитание, привели к необходимости ввести в обиход числа отрицательные -1, -2, -3, ... ,а также число нуль, отображающее отсутствие количества, т.е., просто говоря, означающее «ничего». Полученная совокупность чисел натурального ряда, нуля и чисел отрицательных была названа множеством целых чисел.

Практическая необходимость измерять величины, например, длины, веса, площади, объемы и т.п. привела к выработке понятия меры и единицы измерения. При помощи единицы измерения та или иная величина указывалась числом соответствующих единиц. Однако на практике это число часто оказывалось не целым. Тогда решили ввести понятие правильной дроби, как части целой единицы измерения. В результате оказалось возможным указывать измеряемую величину целым количеством единиц измерения и количеством частей этих единиц. Совокупность правильных дробей и целых чисел получила название множества рациональных чисел.

Введенный набор рациональных чисел был весьма широк, однако практически оказался недостаточным для выражения всех величин. Например, никакое рациональное число не подходило для выражения длины диагонали квадрата через его единичную сторону. Таким образом, понадобилось ввести понятие множества иррациональных чисел, как множества правильних и бесконечных дробей.

Все вместе перечисленные классы получили название множества действительных чисел, которое тем не менее не является достаточным для отображения количественных связей между всеми объектами, которыми оперирует математика. Есть еще числа недействительные — комплексные.

Беглый взгляд на возникновение чисел, изложенный выше, свидетельствует о том, что математика не принадлежит к естественным наукам, таким, например, как физика, биология, астрономия, геология и др. Это наука, основанная на абстракции и воображении, и она, вводя в естественные науки количественные связи, обслуживает их. Такова роль математики и в пространственных, т.е. геометрических, формах действительного мира.

Современная математика объединяет много разделов. В средней школе изучают арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию. Программы высших учебных заведений в зависимости от специализации их выпускников предлагают различную глубину изучения аналитической геометрии, высшей алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, теории чисел, функционального анализа, численных методов анализа, топологии и др. Однако по современным воззрениям в основе всех математических дисциплин лежит понятие множества и основные положения теории множеств, впервые изложенные немецким математиком Г. Кантором (1845—1918).

Дискретная математика — это раздел математики, который опирается на понятие дискретного множества. К этому разделу мы относим элементы теории конечных множеств как фундамента дискретной математики, теорию графов как наглядное представление дискретных множеств, имеющую широкое практическое применение комбинаторику, элементы математической логики, включающие булеву алгебру и алгебру высказываний, теорию алгоритмов и экстремальные задачи дискретной математики, результаты решения которых имеют важные практические приложения.

С определенной степенью полноты указанные разделы дискретной математики изложены в данном учебном пособии. Оно предназначено для учащихся средних специальных заведений, обучающихся по специальностям: 2202 — автоматизированные системы обработки информации и управления, 2203 — программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем.