Множества, отношения, функции

Множества

Понятие множества является базисом современной математики, теория множеств — ее фундамент.

Определение 1.1. Множество — это совокупность вполне оп-ределе нныхи различимых между собой объектов любой природы, мыслимых как единое целое.

Главное в этом определении то, что некоторая совокупность (собрание) объектов рассматривается как единое целое. В эту совокупность могут входить как реально существующие объекты, так и воображаемые. Например, можно определить множество студентов данного университета, множество его преподавателей, множество аудиторий, множество учебников, которыми пользуются студенты, множество автомобилей данного города, множество звезд Солнечной галактики, множество песчинок на берегу моря и т.д.

Все это — реально существующие множества. Воображаемые множества, с которыми мы будем иметь дело, — это объекты математики. Можно привести такие примеры этих множеств: множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел, множество точек плоскости площадью 1 см х 1 см, множество кривых, проходящих через данную точку прямой, множество окружностей диаметром меньше 1 мм с центром в одной точке плоскости. И этот перечень легко продолжить.

Любое множество состоит из его элементов. Оно считается заданным, если известны эти элементы. Поэтому термин «вполне определенных и различимых между собой», фигурирующий в определении множества, следует понимать как то, что для любых двух элементов множества можно сказать, различимы они или одинаковы и является ли конкретный предмет элементом множества.

Множество принято задавать двояко: либо перечислением его элементов, которые записываются в фигурных скобках, либо специальным правилом, по которому можно отнести элемент к множеству. Само множество при этом обозначается прописной (большой) буквой русского или латинского алфавита.

Вот примеры записи множеств первым способом:

А = {а, б, в} — три начальные буквы русского алфавита;

С= {0, 1,2, 3,... ,9} — цифры десятичной системы счисления;

В = {0, 1} — цифры двоичной системы счисления;

D = {0, 1} — значения корней уравнения х2 -х - 0;

N = {1, 2, 3, ... } — натуральные числа;

М = (2, 4, 6, ... } — четные натуральные числа;

L = {0, 1, -1, 2, -2, ... } — целые числа;

К = {а, Ь, с, d, t,f ... ,х, у, z} — буквы латинского алфавита.

При втором способе множество задается так: X - {х|/>(х)}. Это означает, что X — множество всех элементов х таких, что высказывание Р(х) истинно. Например, Y - {у|1 < у < 10} — множество значений у из интервала [1,10]; / = {/|/}, / — цифра десятичной системы счисления — множество десятичных цифр 0, 1, 2, ... ,9; X - {х|х}, х — действительный корень уравнения х2 + х + 2 = 0 — множество действительных корней указанного уравнения.

Запись множества перечислением его элементов характерна для множеств с небольшим количеством элементов. Второй способ задания более общий и может быть использован всегда.

Тот факт, что некоторый элемент х принадлежит множеству X, записывают так: х е X, где е — так называемый квантор принадлежности, заменяющий слово «входить». Если же элемент х не принадлежит множеству X, то применяется запись х г X.

Пусть задано числовое множество X - {х|х <1 и х > 2}. Это множество не содержит никаких элементов, так как нет чисел, которые бы одновременно были больше 2 и меньше 1. Такое множество называется пустым и обозначается знаком 0.

Таким образом, X = {х|х <1их>2} = 0, X - {х|х = х} = х. Однако множество X = {0} ^ 0, поскольку это множество содержит один элемент, а именно число 0. Пустое множество {0} ф 0, так как0 — множество, а 0 множеством не является по обозначению. Далее {0} ф 0, поскольку множество {0} содержит один элемент, а именно пустое множество 0. При этом любое множество А всегда содержит пустое множество 0.

Элементы множества могут быть записаны в любом порядке. Например, {1, 2, 3} и {3, 2, 1} — одно и тоже множество, содержащее три элемента.

Определение 2.1. Два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Множества А = {1, 2, 3}, В = {3, 1,2}, С = {1, 2, 3, 3} — равны. Множество С есть, в сущности, множество А, только в нем элемент 3 записан дважды, т.е. две тройки в нем неразличимы. Множества А = {1, 2}, В = {1, 2, 3} — не равны.

Определение 3.1. Семейством множеств называется множество, элементы которого сами являются множествами.

Например, А = [1] — с мейство,состоящее из трех множеств. Очевидно, что 2 е X = {1, 2, 3} и в то же время {1, 2} [2], М = [3], Р = [4], тогда N с М, N с Р, М^Р.

Основные свойства включения следующие: Х<^Х если X с У, а У с X, то X с если X с У и У с X, то X - У.

Определение 5.1. Каждое непустое подмножество А ф 0 имеет по крайней мере два различных подмножества: само множество А и пустое множество 0. Кроме того, каждый элемент множества А определяет некоторое его подмножество. Например, если «е4, то {а} с А.

Определение 6.1. Семейство всех подмножеств данного А называется множеством-степенью множества^ и обозначается Р{А).

Например, если А - {1,2, 3}, то Р(А) = {А, 0, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}}.

То, что 0 с А доказывается просто. Предположим, что 0 не включено в А, т.е. 0 <2 А. Это может быть только в том случае, когда существует некоторый элемент А е 0, не являющийся элементом множества А. Но это невозможно, так как множество 0 не имеет элементов, оно пустое. Значит А 0 и, следовательно, 0 А ложно. Таким образом, 0с1

На практике весьма часто используются индексированные множества. Например, запись X = {эс,-1/ = 1, 2, ..., п) означает, что X— множество, состоящее из элементов х{, х2, ... рс,. ,..., х„. При этом / = {/|/ = 1, 2, ..., п) — индексное множество.

Различают множества конечные и бесконечные.

Определение 7.1. Множество называется конечным, если количество его элементов может быть выражено некоторым положительным числом.

При этом совершенно неважно, известно это число или нет. Важен лишь факт существования такого числа. В качестве примеров конечных множеств можно привести такие: множество букв русского алфавита, множество страниц данной книги, множество домов некоторого поселка, множество пчел в данном улье, множество студентов и стульев данной аудитории. Этот список, безусловно, можно продолжать. Для конечного множества А, содержащего п элементов, его множество-степень Р(А) равна 2".

Бесконечные множества — это тоже объекты математики. Бесконечны множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Бесконечно множество всех точек плоскости, множество всех точек прямой, длиной, например, 1 мм, множество всех непрерывных функций, множество прямых, пересекающихся в одной точке и т.д.

Дискретная или, как часто говорят, конечная математика оперирует с конечными множествами, т.е. с множествами, элементы которых можно сосчитать.

Безусловно, дискретность (прерывность) более свойственна окружающему нас миру, а понятия бесконечности, непрерывности, предела, которыми оперирует континуальная математика, введены специально для упрощения изучения явлений, которые лишь кажутся нам непрерывными.

Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел, а также производные от них упорядоченные наборы чисел (множества векторов), которые используются как в непрерывной, так и частично в дискретной математике, получили название числовых (!) множеств. Оно происходит от того, что любое число из названных множеств или упорядоченный их набор можно изобразить точкой на геометрической оси или в я-коорди-натном пространстве.

Однако среди названных числовых множеств непрерывностью обладает лишь множество действительных чисел или соответствующий упорядоченный их набор. Это проявляется в том, что для множества действительных чисел между точками на геометрической прямой, отображающей некоторые числа, не существует просвета. Говоря строго, каждому числу соответствует точка на геометрической прямой, и любой точке на прямой соответствует свое действительное число. Все остальные числовые множества этим свойством взаимной однозначности точек и чисел не обладают. Даже для всюду плотного множества рациональных чисел, т.е. такого, что для двух его чисел г, < г2 всегда найдется третье число Г{ +Г"2, существует точка — длина диагонали квад-

рата с единичными сторонами, которая не отображается в рациональное число. Поэтому, определяя дискретное множество, часто говорят, что оно состоит из множества изолированных точек, отталкиваясь при этом именно от геометрической интерпретации элементов числовых множеств.

Существует ряд так называемых теоретико-множественных операций над множествами. В результате этих операций получаются новые множества из уже существующих. Теоретико-множественные операции в некотором отношении аналогичны операциям сложения, вычитания и умножения целых чисел.

Определение 8.1. Объединением (суммой) множеств А и В (обозначается А и В) называется множество тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. Иными словами, А{] В - {х|л: е А или х е В}. При этом подразумевается неисключающий смысл слова «или».

При выполнении операции объединения могут встретиться три случая: 1) А с В и Я с Д, т.е. А = В 2) множества имеют общие элементы; 3) множества не имеют общих элементов.

В первом случае объединение А и В — суть одни и те же элементы А и В. Например, А - {1,2, 3}, В = {1, 2, 3}. Тогда АН В = {1,2, 3}.

Во втором случае только часть элементов общая. Например, А = {1,2,3}, В = {2, 3,4, 5,6}. Тогда АПВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. При этом общий элемент 2 включается в объединение А и В один раз.

Третий случай демонстрируется следующим примером А = {1, 2, 3}, В = {4, 6, 8}, АП В = {1, 2, 3, 4, 6, 8}.

Рассмотренные случаи наглядно проиллюстрированы на рис. 1.1 при помощи диаграмм Венна-Эйлера.

Заштрихованные окружности представляют собой объединения множеств.

случай 1 случай 2 случай 3

Рис. 1.1. Графическая иллюстрация операции объединения множеств

Объединением (суммой) любой совокупности множеств А1,

А2,... Д, ...Ап называется множество А таких элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из слагаемых множеств. Объединение многих множеств записывается так: А - А, ПА2 II...114 О-.иАп = и?., Д. Например, Д = {а, Ь}, А2 = {Ь, с, (1), А3 = {с, (1, е, /}. Тогда А = А1 []А2 ПА3 = {а, Ь, с, с/, е, /}.

Нетрудно видеть, что А11А = А. Это отличает свойства теоретико-множественного сложения от алгебраического. Кроме того, А1)0 = А.

Определение 9.1. Пересечением (произведением) множеств А и В (обозначается АП В) называется множество тех элементов, которые одновременно принадлежат как множеству А, так и множеству В. Иными словами, АП В - {х|х е А и х е В}.

При выполнении операции пересечения могут встретится также три случая: 1)4с 5и 5с4, т.е. А - В; 2) множества имеют часть общих элементов; 3) множества не имеют общих элементов.

В первом случае пересечение АП В — это либо элементы А, либо элементы В, которые неразличимы. Например, А - {1, 2}, В ={1,2}. Тогда АПВ = {1,2}.

Во втором случае пересечением являются общие элементы для А и В. Например, А = {1, 2, 3}, В - {2, 3, 4, 5}. Тогда АП В = {2, 3}.

В третьем случае пересечение А[В не имеет общих элементов, т.е. АГВ = 0. Такие множества называют непересекающи-мися.

Рассмотренные случаи пересечения множеств проиллюстрированы на рис. 1.2. Заштрихованные части — пересечения множеств.

случай 1 случай 2 случай 3

Рис. 1.2. Графическая иллюстрация операции пересечения множеств

Пересечением (произведением) любой совокупности множеств А|, А2, ... ,Д, ... п называется множество А, состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат каждому из этих множеств. Пересечение многих множеств записывается так: А = А, П А2 П-ПД П..ЛД = П"=1 Д. Например, Д = {а, Ь), А2 = {Ь, с, с1), Д = {Ь, е). Тогда А = Д П А2 ПД = {Ь}.

Очевидно, что АПА - А и АП0 - 0. Из определений операций объединения и пересечения множеств следует, что они обладают свойствами переместительности и сочетательности, что характерно для алгебраических операций сложения и умножения. так, Аив = в и а, апв = впа, (Аив)ис = Ащвисх

(АГ)В)ПС = АП(ВПС).

Определение 10.1. Разностью множеств А и В называется множество, которое содержит все элементы А, не входящие в В: АВ = {х е Д х ? В}, т.е. получается в результате удаления из множества А всех точек его элементов, которые принадлежат множеству В.

При выполнении операции разности множеств могут встретиться следующие случаи: 1) В с А, А с В, т.е. А-В 2) В с Д

3) АГ В Ф0,но В & А; 4) АГ В - 0. В первом случае разность множеств АВ = 0. Например, А = {1,2}, В - {1, 2}. Удаляем из А элементы 1, 2, в результате чего получаем А = 0. Во втором и третьем случаях разность множеств равна АВ. Например, А-{ 1,2, 3}, В ={2,3}. Тогда ДЯ={1}. Или А = {1,2,3}, В = {3, 4, 5}. Тогда АВ = {1, 2}. В четвертом случае Д? = А. Например, А = {1, 2, 3},

случай 2

случай 3

случай 4

Рис. 1.3. Графическая иллюстрация операции вычитания множеств

В = {5,7}, АВ- {1,2,3}. Случаи 2), 3), 4) проиллюстрированы на рис. 1.3.

Определение 11.1. Разбиением множества А называется семейство Д, / е / непустых и различных подмножеств А, таких, что и/(=/ Д - А и Д П Д = 0 для всех/, у е /(/ * у). Множества Д называются классами разбиения. Приведем некоторые разбиения множества А = {1,2, 3, 4}. Д = [5], А2 = [6]. Заметим, что все объединения разбиений дают множество А, а все их пересечения пусты.

Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества и, то это множество называют универсальным множеством. Например, для арифметики универсальным множеством служит множество действительных чисел, так как натуральные, целые и рациональные числа являются его подмножествами.

Рассмотрим два конечных множества А и В с числом элементов тип. Между этими числами возможно одно из трех соотношений: 1) т - п 2) т <п 3) т > п. Вопрос о том, какое из них имеет место, решается просто: подсчетом количества элементов А и В. Однако можно поступить иначе, не считая эти элементы. Для этого между элементами множеств А, В необходимо попытаться установить взаимно однозначное соответствие, при котором каждому элементу множества А отвечает один и только один элемент множества В и, наоборот, каждому элементу множества В соответствует один и только один элемент множества А.

Иными словами, каждому элементу множества А необходимо «поставить в пару» элемент множества В. Ясно, что такое соответствие можно установить тогда и только тогда, когда число элементов в этих множествах одинаковое, т.е. т - п. Когда же после «постановки в пару» остались элементы множества В, то т < п. Если же полностью исчерпаны элементы В и остались лишние элементы множества А, то т > п.

Например, для того чтобы проверить, одинаково ли число студентов в группе и стульев в аудитории, можно не пересчитывая тех и других, посадить каждого студента на определенный стул. Если мест хватит всем и не останется ни одного лишнего стула, то тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие и, следовательно, равенство элементов в множествах студентов и стульев.

Определение 12.1. Если между элементами двух различных множеств А и В можно установить взаимно однозначное соответствие по любому закону, то эти множества называются эквивалентными, или равномощными. Это записывается так: А ~ В.

Характерно, что установление взаимно однозначного соответствия между элементами множеств пригодно для сравнения не только конечных множеств, но и бесконечных.

Приведем примеры эквивалентных бесконечных множеств. Множество всех натуральных чисел эквивалентно множеству всех четных чисел, так как каждому натуральному числу п соответствует одно и только одно четное число 2п, и каждому числу 2/7 соответствует его половина, являющаяся натуральным числом. Множество всех целых чисел эквивалентно множеству натуральных чисел. Соответствие между целыми и натуральными числами устанавливается по следующей схеме:

О, -1, 1, -2, 2 ...

1,2, 3, 4, 5,..., т.е. неотрицательному числу п > 0 ставится в соответствие нечетное число 2/7 + 1, а отрицательному п < 0 — четное число 2п.

Определение 13.1. Счетным множеством называется всякое множество, элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие со всеми числами натурального ряда. Иначе говоря, счетное множество — это такое множество, элементы которого можно последовательно пронумеровать числами натурального ряда. Приведенные выше примеры множеств четных и целых чисел являются счетными множествами.

Таким образом, множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Если эквивалентны между собой два конечных множества, то, как указывалось выше, они состоят из одинакового числа элементов.

Определение 14.1. Эквивалентные между собой бесконечные множества называются множествами равной мощности.

Таким образом, мощность — это то общее, что есть у всех эквивалентных между собой множеств. Для конечных множеств мощность совпадает с числом их элементов. Например, для множества комбинаций 2" при п = 8 мощность множества, т.е. число комбинаций, равно 256.

О множествах, эквивалентных множеству всех действительных чисел, принадлежащих интервалу [0,1], говорят, что они имеют мощность континуума. Название «континуум» происходит от латинского слова continuum, что значит «непрерывное».

Для конечных множеств часто возникает необходимость подсчитывать число элементов объединения (суммы) ряда множеств. Обозначая число элементов (мощность) конечного подмножества А через 14 для мощности двух множеств А и В можем записать АЦВ = А + В-АГВ. Иными словами, число элементов объединения двух множеств равно сумме количеств их элементов за вычетом числа общих их элементов.

Лх U4 U...U4 } + {|Ах П4 П4| +

При помощи этой формулы можно вывести формулу для определения числа элементов объединения любого количества множеств. Например, для трех множеств А, В, С она имеет вид АивиС^А + В + С-АПВ-АПС-ВПС + АПВПС.

Для п множеств Ах, ..., Ап она будет такой:

Ах |+.. .+|41 — {|Д| П А2 -т [4 П Aj + ... +14_! П4

Ах П4 П41 + •••+ [4-2 П4-1 П41}-•••+ (-1)" |Ах П4 П...П4

+

[20].

  • [1] 0}, {1, 2}, {3, 4, 5
  • [2] 1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}, так как среди элементов семейства X нет множества {1, 2}.

    Определение 4.1. Если А и В — множества, то говорят, что множество А содержится в В или включено в множество В и пишут А с В в том и только в том случае, если каждый элемент множества А является элементом множества В.

    Множество А в этом случае называется подмножеством В. Когда же множество А содержит только часть элементов множества В, оно называется собственным подмножеством множества В и записывается так: А с В.

    Пусть заданы множества А = {а, Ь, с}, В = {а, Ь, с}, С = {а, Ь, с, с!, е}, тогда А с В, А с С, В с С. Пусть X = {х|1 < л: < 2}, У - {у|1 < у < 2}, X - {^|0 < ^ < 3}, тогда X с У, X с I, У с X. И если N = {{1, 2

  • [3] 1, 2
  • [4] 1, 2}, {1, 2, 3
  • [5] 1,2}, {3, 4
  • [6] 1}, {2, 4}, {3
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >