Функции и пространства

В школьном курсе математики и в курсах анализа для высших учебных заведений понятие функции чаще всего вводится следующим образом. Пусть X — некоторое множество на числовой оси. Говорят, что на этом множестве определена функция /, если каждому числу х е X поставлено в соответствие определенное число у = /(х). При этом множество X называется областью определения (задания) функции /, а совокупность значений у = /(х) — множество ? — областью ее значений. Для наглядности функцию у - /(х) представляют ее графиком в координатных осях хОу. На рис. 1.5, в качестве примера, изображена функция у = |х|. Область определения этой функции — интервал (-°°, °°). Область значений — интервал (0, °°).

Переменную х называют аргументом функции, а у — ее значением. Значок / интерпретируется как правило преобразования

аргумента х в значение у, т.е. представляет собой способ реализации соответствия. Этот способ может быть задан аналитически (формулой), в виде таблицы или специальной вычислительной процедурой. Важно только то, что для каждого значения х е X он должен давать одно и только одно значение у = /(х).

Функция многих переменных у - /(х,, х2, ..., х„) вводится аналогичным способом. Пусть задано множество Х{ х Х2 х ... Xп. Тогда, если любому упорядоченному набору < х,, х2, ..., хп > с X! хХ2 х ... хХп по определенному правилу / поставлено в соответствие число у - /(х,, х2, ..., х„), то говорят, что на множестве Хх хХ2х ... хХ п определена функция многих переменных Дх,, х2, Х„).

Рассматривая вместо числовых множеств Хх х Х2 х ... х Xп множества любой природы, приходим к самому общему определению функции. Пусть М и N — два произвольных множества.

Определение 34.1. Если каждому элементу х е М по некоторому правилу поставлен в соответствие один и только один элемент у е N,70 на множестве М определена функция /, принимающая

значения из множества N.

Вместо термина «функция» часто употребляют термин «отображение», понимая под ним отображение одного множества в другое. В данном случае имеем отображения одного множества М в множество N. Записывают это так: /:М —» N.

В последнее время часто говорят, что заданная функция / возвращает некоторое значение /(х). Все эти различные термины имеют один и тот же смысл, который передан выше в определении функции.

Рассмотрим теперь, как представляются функции в терминах отношений. Пусть задано декартово произведение множеств Ах В и отношение на нем /? с Ах В. Пусть О, и Ог левая и правая части этого отображения, т.е. множества первых и вторых элементов во всех парах < а, Ь > е Я. Определим некоторое подмножество X с /), и построим подмножество К с /)г, как множество вторых элементов всех пар < х, у > е Я. Множество У называют образом множества Хпри отношении /?. На рис. 1.6 представлено декартово произведение множеств Ах В, А - {1, 2, 3, 4, 5}, В = {1,2, 3, 4} и отношение Я с А х В. Отношение как множество пар < а, Ь>е Я отмечено символом «х».

X

X

X X X X

3

X

  • 1
  • 5

А

1

Для образа применяют специальное обозначение /?' (х). Пусть Xе множество всех первых элементов пар < х, у > е Я, для которых у еУ. Это множество называют прообразом множества ? при отношении Я. Его обозначают символом /?-1(У). Полагая I = (2, 3) с /1, для образа х получим /?1 (х) = {3, 4}. Полагая У = {3, 4}, для прообраза У получим У?-1 (У) = {1, 2, 3, 4}. Из этого примера видно, что множества Хи X с в общем случае не равны.

Определение 35.1. Отношение Я X х?, т.е. множество упорядоченных пар < х, у >, х е X, у е У называется функцией тогда и только тогда, когда первые элементы этих пар не повторяются.

Из рис. 1.6 видно, что приведенное отношение не является функцией, так как оно представлено следующими парами: < 1, 2 >, < 1, 3 >, < 2, 3 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >, < 3, 4 >, < 4, 2 >, < 4, 3 >.

Примером функции на том же декартовом произведении Ах В является отношение Я с Ах В, представленное на рис. 1.7.

Необходимо сказать, что требование неповторяемости первых элементов упорядоченных пар, представляющих отношение, гарантирует однозначность отображения, т.е. именно функцию Г-Х^У.

X X • •

• • X •

X

1

А_1_1_

  • 2 3 4
  • 5

А

Рис. 1.7. Отношение Я с А х В как пример функции

При использовании термина «отображение» различают отображение X в У и отображение X на У. В том случае, когда X отображается на некоторое собственное подмножество Ус с У, — это отображение X в У В противном случае, т.е. когда Ус - У, — это отображение X на У. Оно называется сюръекцией.

Если для любых двух различных х, их2 функции /(х,)и /(х2) также различны, такая функция / называется инъективной. Функция называется биективной или взаимно однозначной, если она съюрективна и инъективна.

В зависимости от того, какой характер имеют множества задания функций X и множества ее значений Y, выделяют функции числовые (X и Y— числовые множества), функционалы (множество X — любой природы, а множество Y — числовое), операторы (множества X, Y — любой природы). Примерами числовых функций являются все элементарные функции, например, у-х2, у = logx, у = sinx и т.д., а также их суперпозиции.

В качестве примера функционала можно привести такой. Пусть в некотором городе N между двумя пунктами А и В имеется множество дорог X, каждой из которой поставлено в соответствие время t е Т передвижения по ней автомобиля. Тогда множество пар < х, t >, х е X, t е X — функционал от /, определенный на множестве X. Примером оператора может быть телефонная книга, в которой каждой фамилии абонента поставлен в соответствие один и только один номер его телефона.

Пусть на некотором множестве ^задана числовая функция /(х).

Определение 36.1. Верхней гранью (границей) функции /(х)

называется такое число С, что для любого элемента х е X С > f{x).

Определение 37.1. Нижней гранью (границей) функции /(х)

называется такое число d, что для любого элемента х е X d < fix).

Таким образом, можно сказать, что границы С, d оценивают значение функции /(х) сверху и снизу.

Первым и важнейшим математическим пространством является трехмерное эвклидово пространство, предоставляющее собой приближенный абстрактный образ реального пространства. Общее понятие пространства в математике сложилось в результате обобщений и изменений понятий геометрии эвклидова пространства.

В современной математике пространство — это множество объектов, называемых точками, введенными отношениями между точками и теми или иными операциями над элементами множеств.

Примерами пространств могут служить метрическое пространство, нормированное пространство, пространство событий, пространство состояний и целый ряд других пространств. Метрическое пространство — это множество точек Хс расстоянием между ними d > 0, удовлетворяющем трем аксиомам:

  • 1) d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х - у (аксиома идентичности);
  • 2) d(x, у) = d(y, х) (аксиома симметрии);
  • 3) d(x, у) = d(x, z) + d(y, z) + d(y, z), где x, y, z e X (аксиома треугольника).

Расстояние d(x, y) называется метрикой, a пара (x, d)метрическим пространством. Простейшим примером метрического пространства является множество действительных чисел X с расстоянием между ними d = |х - у.

В двумерном эвклидовом пространстве Е2 (плоскости) расстояние между двумя точками Мххух), М2ху2) определяется по выражению d - ^/(х, 2)2 +(у, -у2)2 • Эта же формула распространяется на трехмерное эвклидово пространство d = лДх, — х2)2 + (у, -у2)2 +(zі ~Z2У и на много-

мерное его обобщение Еп, в котором элементами множества X являются упорядоченные наборы < х,, х2, ..., х,?,..., х„ > действительных чисел: расстояние между двумя точ

ками этого пространства определяется по выражению

с1 = л](хх -х[)2 +(х2 -х'2)2+...+(хх -х')2+...+(х„ -х'п)2 .

Линейные пространства — это такие множества, элементы которых удовлетворяют следующим условиям:

  • 1) для каждой пары элементов х, у є X определен третий элемент z є X, называемый их суммой и обозначаемой как х + у. При этом сумма удовлетворяет следующим условиям: х + у = у + х, х + (у + т) = + у) + т;
  • 2) во множестве X существует такой элемент 0, что х + 0 = х для всех х є X;
  • 3) для всех х є X существует такой элемент -х, что х + (-х) = 0;
  • 4) для любого числа а и любого элемента х є X определен элемент ах є X такой, что (а + (3)х = ах + (Зх, а(х + у) = ах + ау.

Очевидным примером линейного пространства является множество действительных чисел с обычными правилами их сложения и умножения. Если в л-мерном эвклидовом пространстве Еп упорядоченные наборы чисел < х,, х2, ..., х,, ..., хп > є X считать координатами векторов с условием, что нулевой вектор — это вектор с нулевыми значениями < х{, х2, ..., X,,..., хп >, то такое векторное пространство линейное, потому что операции действия с вектором отвечают перечисленным выше аксиомам.

Дальнейшим расширением понятия линейного пространства является линейное нормированное пространство. Это такое пространство, в котором для каждого элемента х е X существует неотрицательное число х, называемое его нормой и удовлетворяющее следующим условиям:

х

= 0, тогда и только тогда, когда х = 0;

ох

= а

X + у

<

х

, где а — некоторое число;

X

+

У

Линейное нормированное пространство является метриче ским пространством с нормой (1 - ||х - у ||, так как эта норма удов летворяет аксиомам метрического пространства:

||х - у | = 0, если х = у; |х - у = ||у - х||; х - у < х - 1 + 1 - у

Нормой ||х|| в одномерном векторном пространстве Е' является абсолютная величина |х|. Нормой двумерного пространства (плоскости) Е2 является длина вектора, вычисляемая по выраже-

х,2 + х2

нию х =

Для я-мерного векторного пространства

норма х определяется по аналогии с двухмерным пространством х

В заключение следует сказать, что в терминах линейных векторных пространств формулируются задачи математического программирования, и в частности, дискретного программирования, которое относят к задачам дискретной математики.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >