Системы линейных уравнений

Определители п-го порядка

Говоря о вычислении определителя п-то порядка, мы имеем в виду, что нам надо вычислить не один, а целую серию (последовательность) в каком-то смысле одинаково устроенных определителей, порядки которых пробегают некоторое большое (говоря вообще, бесконечное) множество натуральных чисел (это множество должно быть, разумеется, как-то определено: например, это может быть все множество М, или множество четных натуральных чисел, или множество чисел вида Зп + 1, и т.п.).

Надо пояснить, что здесь понимается под словом "вычислить" (или "найти"). Ясно, что ответом здесь должна быть некая формула. Но определитель и так задается формулой, его определяющей, и мы можем считать, что в какой-то мере решили задачу, если мы нашли формулу, количество операций в которой либо конечно (независимо от порядка определителя), либо, по крайней мере, растет вместе с порядком п медленнее, чем п (порядок роста числа операций в формуле, определяющей определитель).

Общий вид определителя я-го порядка может быть точно описан заданием формул, определяющих каждый из его членов. Но очень часто такой определитель описывается так: выписывается несколько первых и несколько последних членов в каждой из нескольких первых и нескольких последних его строк в предположении, что решающий задачу может найти закономерность, которой определяются остальные члены. При таком задании первый этап решения состоит в определении этой закономерности (устройства определителя), в частности, в определении его порядка, который может определяться выписанными членами. Надо добиваться абсолютно ясного понимания того, как устроен определитель (возможности полностью описать его словесно и ответить себе на вопрос типа "что стоит в 23-й строке и 37-м столбце такого определителя 59-го порядка?") и только после этого начинать искать подходы к решению.

Как и в предыдущем параграфе, здесь нет никакого алгорифма, и можно лишь надеяться на срабатывание каких-то подходов (в частности, стандартных). Некоторые из таких подходов будут показаны в следующих далее примерах, но решающему такую задачу приходится самому выбирать, какой из них и как именно применить, и, м.б., придумывать собственные приемы. Как и ранее, мы будем считать буквы, входящие в запись определителя, обозначениями переменных.

  • 20.1. Найти определитель Д =
  • 1 2 3 -10 3 -1-2 О

п

п

п •

-1 -2 -3...0

Решение. Сперва опишем этот определитель. Можно быть уверенным, что в первой его строке стоят подряд натуральные числа от 1 до п (и, тем самым, иеМ), что остальные элементы главной диагонали суть нули и что в столбце с номером к элементы, стоящие выше главной диагонали, равны к, а стоящие ниже ее равны (во всяком случае, мы будем находить именно такой определитель). Порядок этого определителя, как это видно из первой строки, равен п.

Первый из стандартных подходов, применяемых при вычислении таких определителей - приведение определителя к треугольному виду. В нашем случае это сделать легко: т.к. в каждом столбце каждый его элемент, лежащий ниже главной диагонали, противоположен первому элементу этого столбца, после прибавления первой строки к каждой из остальных строк все элементы ниже главной диагонали окажутся нулями. Заметим, что при этом элементы, лежащие выше диагонали не будут играть никакой роли. Итак,

1 2 3

0 2

д=

0 0 3

0 0 0

*

Замечание. Здесь использован тот известный факт, что треугольный определитель (т.е. определитель треугольной матрицы) равен произведению его диагональных членов. Отметим еще, что определитель, треугольный

относительно другой диагонали, равен произведению членов этой диаго-

«(»-!)

нали со знаком (-1) 2 , где п - порядок определителя:

"(я-1)

= (-1) 2 аа2...ап.

  • ?
  • 1 2 2...2 2 2 2...2 2 2 3...2 .
  • 20.2. Найти определитель Д =
  • 2 2 2 ...п

Решение. В этом определителе на главной диагонали стоят подряд натуральные числа от 1 до п, а все остальные элементы равны 2. Порядок определителя равен п (это видно из главной диагонали).

Видно, что после вычитания второй строки из всех остальных везде кроме этой строки и главной диагонали будут стоять нули. После этого легко заработать нуль на первом месте второй строки, прибавляя к ней удвоенную первую строку. Итак,

  • -1 0 0.....0
  • 2 2 2.....2

1 2 *

0 0 1.....0

0 1-

0 0 0... п - 2

^ л - 2

= -2(л-2)!.

а Ь Ь ... Ь Ь а Ь ... Ь Ь Ь а ... Ь .

20.3. Найти определитель

Ь Ь Ь ...а

Решение. В таком определителе все элементы главной диагонали равны а, а все остальные элементы равны Ь. Порядок такого определителя не определяется его элементами, поэтому обозначим Д„ так устроенный определитель порядка п (конечно, вместо п можно взять любую букву, кроме а и Ь).

То, что в таком определителе все элементы выше главной диагонали одинаковы, наводит на мысль, что следует пытаться привести его к диагональному виду. Воспользуемся тем, что сумма элементов строки одинакова для всех строк, и прибавим к первому столбцу сумму всех остальных:

  • 1
  • 1

= (а + (п — 1 )Ь)(а — Ь)" 1 .

= (а + (п — 1 )Ь)

о о ... О

а-Ь 0 ... О О а-Ь... О

а + (п-)Ь Ь Ь...Ь

1 ь ь... ь

а+(п-)Ь а Ь...Ь

1 а Ь ... Ь

Л„ =

а+(п-)Ь Ь а ... Ь

II

+

«о

1

1 Ь а ... Ь

а+(п-)Ь Ь Ь ...а

1 Ь Ь ...а

  • 1 0 0 ...а-Ь
  • 1 1 1 ... 1 1
  • 1 1 0 ... О О
  • 01 1 ... О О
  • 20.4. Найти определитель

О 0 0 ... 1 О О 0 0 ... 1 1

Решение. В этом определителе в первой строке, на главной диагонали и на диагонали под главной диагональю стоят единицы, а все остальные элементы суть нули. Порядок этого определителя не определяется его элементами, поэтому, как и в предыдущем примере, обозначим Д„ так устроенный определитель порядка п.

Приведение этого определителя к треугольному виду затруднено, но его миноры, получающиеся при удалении первой строки и первого или последнего столбца, уже треугольны. Можно свести дело к этим минорам, если получить нули во всей первой строке, кроме первого и последнего ее элементов, и затем разложить определитель по этой строке. Получить нужные нули можно, как легко видеть, вычитая из первой строки сумму всех остальных строк, деленную на 2. Итак,

1

0

0...0

0

1

1

0...0

0

1

1

0...0

0

+ НГ'^

0

1

1...0

0

0

1

1...0

0

0

0

1...0

0

0

0

0...1

1

0

0

о

о

1

1 о о-о І

  • 1 1 о ... о о
  • 0 1 1 ... о о
  • 0 0 0 ... 1 о 0 0 0 ... 1 1

|0 при п четном (1 при п нечетном

Довольно часто для получения нужного результата приходится делать несколько шагов, последовательно упрощающих вид определителя.

х+а

а

... а

а

Ъ

ь

... ь

у+Ь

а

х+а

... а

а

Ь

ь

...у+Ь

Ь

а

а

... х+а

а

Ь

у+Ь

... Ь

Ь

а

а

... а

х+ау+Ь

Ь

... Ь

Ь

ъ

ь

... ь

у+Ьх+а

а

... а

а

ь

ь

...у+Ь

Ь

а

х+а

••• а

а

ъ

у+Ь

... Ь

Ь

а

а

... х+а

а

у+Ь

Ь

... Ь

Ь

а

а

... а

х+а

20.5. Найти определитель

Решение. Эта матрица естественным образом разбивается на четыре квадратных блока. Два диагональных блока одинаковы, в них по диагонали стоит х + а, а на остальных местах а, два других блока также одинаковы, в них по другой диагонали стоит у + Ь, а на остальных местах Ь. Порядок этого определителя не задается его элементами, но по устройству определителя видно, что его порядок четен, т.ч. естественно обозначить его 2/7 .

Некая регулярность в устройстве этого определителя подсказывает, с чего следует начинать приведение его к более удобному виду. А именно, все элементы суммы столбцов левого верхнего блока равны х + па, поэтому после вычитания из каждого столбца правой половины определителя суммы всех столбцов его левой половины с

коэффициентом х+па в правом верхнем блоке все Ь заменятся нулями. Сделаем такое преобразование, введя для удобства записи обозначения для левых блоков и новых элементов:

Далее, подобным образом - вычитая из каждой строки нижней половины сумму всех строк верхней половины с коэффициентом ^, получаем в правом нижнем блоке нули вместо всех г:

, где и=Ь

О

У

А

о

о

о

о

о

о

2.

$

о

о

о

о

В

х+2 2 г х+2

у+пЪ,

где 2 = а-—>-о.

х+па

  • 2
  • 2
  • 2
  • 2

. Х + 2 2

. 2 Х+2

х+па

У

Теперь делаем нулевым весь правый верхний блок, вычитая из

первой строки последнюю, из второй - предпоследнюю и т.д. (до

у

п-й строки, из которой вычитается п + 1-я) с коэффициентом -гг:

&2п -

IV

V .

. V

V

V

.

. V

V

V

V .

. ги

V

V

V .

. V

о

X

*

X

о

и у+и

где п=а-—у, 'ш=х+а--— у,

у х2—у2

'и)-У = Х—?У= ^

о

X

(здесь звездочкой помечен блок, содержимое которого далее не нужно).

Т.к. определитель полураспавшейся матрицы равен произведению определителей ее диагональных блоков,

&2п

IV

V ...

V

V

V

П) ...

V

V

V

V ...

П)

V

V

V ...

V

ги

X

X

о

о

= + (/?—! )о)( V) — д)” 'х" =

,2 и-1

х?

= ((ю-у)" + пу(ю-у)"-[)х"= (^- У

= (х2—у2)"~х2—у2+ п(ах-иу))=

= (х2 - у2)” ”' (х2 - у2 + п(ах - (Ьу - (х + па)г)) =

= (х2 - у1)"~'(х2 - у2+п(ах—Ьу+а(х+па)—Ь(у+пЬ)))=

= (х22)"~(х+па)2-(у+пЬ)2]

(первый сомножитель в произведении двух последних определителей вычислен так, как это сделано в примере 20.3).

+ ПУ х" =

20.6. Найти определитель Д„ =

С1 +1

1 ...

1

1

1

#2+1 ...

1

1

1

1 ...

Я„-1 + 1

1

1

1 ...

1

С1п +1

Решение. Здесь по главной диагонали стоит последовательность а + 1,а2+1,...,а„ + 1, а все остальные элементы равны 1. Порядок определителя, как видно по его главной диагонали, равен п (что уже отмечено в обозначении Д„).

Приведение этого определителя к треугольному виду сильно затруднено (можно даже сказать, невозможно), как и переход от него к его хорошо находимым минорам. Заметим однако, что минор этого определителя, получающийся при удалении последних строки и столбца - так же устроенный определитель порядка п-1, т.е. Д„_ь и сделаем следующее: вычтем из последнего столбца первый и разложим полученный определитель по его последнему столбцу; дальнейшие преобразования должны быть понятны.

«1 + 1 1 ... 1 -Я,

1 а2 +1... 1

О

Ац =

= (-1)"«.

  • 1 ... ап- + 1 О 1 ... 1 я
  • 1 ... О

п

= ЫГ'Ы)

  • 1 0 ... |
  • 1 о... О

т.е. Д„ = а„Д„_1 + аа-1...ап-.

  • 1 #2 +1 ... 1
  • 1 1 ... (Х}]— +1
  • 1 1 ... 1

+ апАп-1

+ апАп —( 1) ( 1) * 1'0-2 • • • &п- + &цАп 5

Полученное равенство называется рекуррентным соотношением (или рекуррентной формулой); говоря вообще, так называется формула, выражающая каждый член какой-то последовательности через несколько предыдущих ее членов. Не говоря в общем о рекуррентных формулах, мы покажем несколько приемов применения их к вычислению определителей.

Первый из таких приемов заключается в том, что мы вычисляем несколько определителей малых порядков (и заданного устройства) и пытаемся по полученным результатам угадать общую формулу для определителя п-то порядка, а затем пытаемся доказать эту формулу индукцией, используя рекуррентную формулу. В нашем случае имеем: А1 = «1 -ь 1, к2 = (а + )(а2+)-=аС12 + аЛ + а2, Дз = ЯзД2 + + аа2 = аа2а2 +аа2 +аат, +а2ат,. (Заметим, что Дз мы вычислили, используя рекуррентную формулу - а не непосредственно; впрочем, так же можно было вычислить и Д2.) Этих результатов уже хватает, чтобы заметить нужную закономерность; удобнее переписать их так: Д, =а,(1+^), Д2 = а,а2(1+-^+^-), Д3 = а|а2а3(1+-^-+-^+^).

Разумно предположить, что Д„ = ^Пй/||1 + Е^т| ; будем это доказы

вать. Предполагая, что эта формула верна для Д„_ь получаем:

л-1

а1 =

/=1

наша формула верна.

Отметим, что сам вид ответа показывает, что здесь приведение к треугольному виду практически невозможно.

Замечание. Ясно, что если мы решили искать для какого-то определителя рекуррентную формулу, то к предварительным действиям (выяснение устройства определителя и его порядка) добавляется еще одно: надо понять, какой из миноров этого определителя устроен так же, как сам определитель ("подобен" этому определителю). ?

х-а

20.7. Найти определитель Д„+1 =

О

х+а х-а

“ТГ^Г

х О 2 х

х + (—)па х+(-1)"+1А (л-1)! п

О О

О О

О О О О

О

О

• • •

х

п

О

Решение. Здесь в первой строке стоят элементы

х+(- У а

, где /

пробегает от 1 до п + 1; на остальных местах главной диагонали стоит х, и на диагонали ниже главной стоят числа от 1 до п все остальные элементы суть нули. Порядок этого определителя равен п + 1 (как видно, например, по первой строке), что отражено в его обозначении.

Поскольку видно, что не стоит надеяться привести этот определитель к треугольному виду, попробуем найти для него рекуррентную формулу. По счастью, здесь хорошо виден так же устроенный минор - он получается удалением последних строки и столбца, и можно сразу разложить определитель по последнему столбцу:

Д„ +1 = (-1)”+2 Х+( ^—— -п+ Л'Д„ = (- 1)"х - а+хАп.

п!

Угадать общую формулу для этого определителя (так, как делалось в предыдущем примере) довольно трудно. Поступим так: выпишем рекуррентные формулы для порядков п + 1, п,..., 2:

Д„+1=*Д„ + (-1)-я Д„ =лсД„_ 1 + (-1) х — а Д„_ 1 = л:Д„_ 2 + (— 1)” х-а

Дг =тД| -х — а

и прибавим к первой из них остальные с коэффициентами х,х2,..., У- соответственно. Легко видеть, что в так полученном равенстве Д„,Д„_1,...,Д2 войдут в его левую и правую части с одинаковыми коэффициентами и потому сократятся; значит,

Д„+1 =УД| + (—1)”х + (-1)” х2 +...— хп — а{ +х+...+У-1) =

= хп(х — а)—х(У-1— У-2 +...+ (— 1)" ')——^ =

X X

- ах" - х

х"-Ы)"

х+1

- а

У-1

х-

Замечания.

  • 1. То, что найденная формула выражает Ди+1, а не Д, разумеется, несущественно; впрочем, можно и заменить в ней п на /7-1. Заметим еще, что по виду этой формулы ясно, что угадать ее трудно (не говоря уже о приведении определителя к треугольному виду).
  • 2. Вычисления здесь облегчены тем, что коэффициенты в рекуррентной формуле почти не зависят от п. Но и в случае, когда такая зависимость есть, примененный прием срабатывает (хотя, конечно, формула может получиться гораздо более громоздкой) ?
  • 20.8. Найти определитель Д2„ =

а

0 ...

0

ъ

0

а ...

ь

0

0

ь...

а

0

ь

0 ...

0

а

Решение. Этот определитель устроен просто: по главной диагонали стоит а, по другой диагонали Ь, все прочие элементы - нули. Его порядок не определяется его элементами, но т.к. следует считать а и Ь различными, диагонали не могут иметь общего элемента, значит, этот порядок четен, что и отмечено в обозначении Д2„.

Хотя этот определитель и есть частный случай примера 20.5 и к тому же легко приводится к треугольному виду (сделайте это!), все же получим для него рекуррентную формулу. Ясно, что так же устроенный минор лежит посредине определителя - он получается удалением первых и последних строк и столбцов, и получить рекуррентную формулу можно сразу, раскладывая определитель по первой и последней строке (теорема Лапласа). Очевидно, единственный ненулевой минор, составленный из двух этих строк, получается при выборе первого и последнего столбца, и, т.о.,

^2« -

а

0

... 0

ъ

0

а

... ь

0

а Ь

0

ь

... а

0

Ь а

ъ

0

... 0

а

  • •Дги-2 - (я2 ~ Ь2)А2„-2 ?
  • (Конечно, этот результат можно получить, раскладывая определитель по первой (например) строке и далее раскладывая полученные при этом миноры, но полезно не забывать и про такую возможность использования теоремы Лапласа).

Полученная формула настолько проста, что не требует никаких ухищрений:

Д2„ = 2 - Ъ22п_2 = (а2 - Ъ2)2А2п_4 =... = {а - Ь2)"~2 = 2 - Ь2)”.

Если удается как-либо получить две рекуррентные формулы с одним членом рассматриваемой последовательности в правой части, то эти формулы можно рассматривать как систему уравнений, решая которую, мы и получим нужный результат. В общем случае отыскание рекуррентной формулы может потребовать значительных усилий, т.ч., вообще-то, найдя одну такую формулу, вряд ли следует начинать искать еще одну. Иногда, однако, вторая формула получается легко (так сказать, даром).

20.9. Найти определитель Д„ =

X

У

... у

У

2

X

••• У

У

2

2

... X

У

2

2

... 2

X

Решение. На главной диагонали этого определителя всюду стоит х, выше и ниже диагонали - соответственно у иг. Порядок обозначен п (он не определяется элементами определителя).

Ясно, что здесь надо прибегать к рекуррентной формуле. Минор, подобный определителю, расположен (в частности) в его верхнем левом углу, и для перехода к нему заработаем нули в последнем столбце, вычитая из него первый столбец с коэффициентом у, и

разложим определитель по этому столбцу, после чего в первом из полученных миноров вычтем первый столбец из всех остальных:

х у ... у

у

У~хт

2 X ... у

О

2 2 ... X

0

2 2 ... 2

х~гт

X ... у

г х 2 ... 2

+ (х-у)Д„_1 =

+ (х-_у)Д„_1 =

/ лп+( у

(-!) У~ХТ

г х—2 ... у—г

г 0 ...х-2 2 0 ... О

Х-2

О х-2

*

+ (х-^)Д„_,=

О 0 ...х-2

=у(х-г)п ' + (х-^)Д„_,.

Заметим теперь, что при транспонировании нашей матрицы элементы у и г меняются местами, тогда как ее определитель не меняется. Поэтому после перемены местами у и г в полученной рекуррентной формуле опять получается рекуррентная формула для того же определителя, и мы получаем систему уравнений

(А„ = (х-у)А„ _ 1 +у(х- г)" ~1

Ап=(х- г) Ап - ] + г(х - у)п 1 ’

исключая из которой понятным образом Д„_1 (достаточно найти только одно из неизвестных - на самом деле, все равно, которое), получаем

д _ у(х-г)и -г{х-у)"

А" у-г

Замечание. По виду ответа ясно, что угадать такую формулу крайне не просто (не говоря уже о приведении к треугольному виду) ?

20.10. Найти определитель Д„ =

а+Ь

аЬ

0 ...

0

0

1

а+Ь

аЬ ...

0

0

0

1

а+Ь...

0

0

0

0

0 ...

а+Ь

аЬ

0

0

0 ...

1

а+Ь

Решение. До сих пор в примерах давалось аккуратное описание устройства определителя, в частности, его порядка - даже в тех случаях, когда оно было очевидно. Делалось это для того, чтобы у читателя вырабатывалась такая привычка. Здесь уже будем считать строение определителя очевидным (как и то, что не надо пытаться привести его к диагональному виду) и сразу перейдем к получению рекуррентной формулы. Считая нужным нам минором минор, расположенный в правом нижнем углу, разложим определитель Д„ по первой строке и, рассчитывая на приобретенный читателем опыт, продолжим вычисления уже без комментариев:

А„ = (а + Ь) Д„_

1

аЬ ...

0

0

0

а+Ь...

0

0

0

0 ...

а+Ь

аЬ

0

0 ...

1

а + Ь

(а + Ь)Ап_-аЬАп_2-

Угадать здесь общую формулу нелегко, поэтому поступим примерно так же, как в примере 20.7 - выпишем сперва рекуррентные формулы для п, п - 1,..., 3:

Д„ =(а + Ь)Д„_гаМ„-2

Д„_ і = (а + Ь)Ап_2 - аЬАп_ъ

А„-2 =(а + Ь)Ап.1-аЬАп-2

Д4 = (а + Ь)А з — аЬ А2 Дз = + 6)Д2аЬА .

Прибавим теперь к первому равенству второе, умноженное на коэффициент (пока не определенный) х, третье, умноженное на х2, и т.д. (последнее - умноженное на хл_3) и в полученном равенстве перенесем все в левую часть, получая, как нетрудно видеть,

А„ + (х-а- 6)Д„_ і + (х2-х(а + Ь) + аЬ)(...)-х"_4(х(д + Ь)~ аЬ)А2 + +хп~3аЬА і = 0.

Если здесь взять х равным корню уравнения х2-х(а +Ь) + аЬ = О, то все члены в этом равенстве, замененные многоточием, пропадут. Очевидно, корни этого уравнения суть а и Ь, т.ч. положив х = а (и выписав значения Д], Д2), получаем:

Ап-ЬА„_-а" 4а22 + аЬ + Ь*) + а" 1Ь(а + Ь) = А„ -ЬАп_-ап = 0,

п-2

и при х = Ь (а и Ь меняются местами) А„- аА„_- Ь" = 0. Решая

„ (Ап-ЬАп-=ап

так полученную систему уравнении |д _^п, получаем

А„ =

ап+\_Ь»+1

а-Ь

Замечание. Хотя в этом примере и легко угадать нужную формулу, мы предпочли показать, как справляться с такой ситуацией в более общем случае (соответствующий пример появится в упражнениях) ?

В предыдущем примере дело сильно облегчилось тем, что коэффициенты рекуррентной формулы не зависели от п. Если же такая зависимость имеется, можно испробовать другой прием.

2

3

0

... 0 0

1

5

5

... 0 0

0

2

8

... 0 0

0

0

0

... 3/7-3 2/7-1

0

0

0

... /7-1 3/7-1

20.11. Найти определитель Л„ =

Решение. Раскладывая этот определитель по последнему столбцу и раскладывая затем один из полученных миноров по последней строке, получаем рекуррентную формулу:

Ап = (3 п - 1 )Д„_ 1 - (2 п - 1 )(п - 1 )Д„_2 •

Прием, примененный в предыдущем примере, здесь не срабатывает, т.ч. попробуем другой подход. Возьмем последовательность (5„), где 8„ = Д„ + , и постараемся подобрать А,,, так, чтобы

в правой части рекуррентной формулы для этой последовательности содержался только один ее член. Т.к. 5„_1 = Д„_ | + А,_|Д„_2 и

5„ = Д„ + К, Ап-1 = (3« - 1 + А,„)Д„_1 - (2л -1 )(п -1) Д/7—2 =

= (Зл - 1 + А,„)(5И_, - К-1 Д„-2) - (2л -1)(// -1 )Д„_2 =

= (3/7-1 + А,И)6Я_1 —(А.я_ ](3/7 - 1 + К) + (2п -1)(/7 - 1))Д„_2,

мы получим нужное, если А,„_ 1(3/7 — 1 +А,„)=-(2/7-1)(/7-1). Слегка поломав голову, можно увидеть, что так будет при Х„=-п, и тогда

5» = (2/7 - 1 )§„_,.

Эта рекуррентная формула очень проста; ясно, что 8„ = (2/7 - 1 )5„_, = (2/7 - 1)(2/7 - 3)5„_2 =... = (2/7 - 1 )(2 п - 3).. ,552 =

= (2/7 - 1)(2 п - 3).. .5(Д2 - 2Д0 =(2/7 - 1)(2и - 3).. .5(7—2-2) =

= (2/7 - 1 )(2/7 - 3).. .5-3 = (2/7 - 1)!!

(напомним, что т!! при натуральном т есть произведение натуральных чисел т(т-2)(т-4)... ), и теперь мы получаем такую рекуррентную формулу для Д„:

Д„ = лД„_1 + (2/?- 1)!!.

Разделим это соотношение на л! и выпишем результат для порядков п,п- 1,..., 2 (как это сделано в примере 20.10):

Д„ Л,,-, (2я-1)!!

п (л-1)! л!

Д„_1 _ А,,_2 (2л-3)!!

(л-1)! (л-2)! (л-1)!

Дз _ Дг , 5П 3! 2! 3!

Д2 = Д1 3!!

2! _ 1! + 2! •

Прибавляя теперь к первому из этих соотношений все остальные,

видим, что в так полученном равенстве Д„_1, Дя_2,..., Л2 взаимно

уничтожатся, и мы получим

д д. и п;_П!1 п г>;_пм

у-- , и, окончательно,

СЯ-1 й'')

ап я, а2... а

  • 20.12. Найти определитель Д„= а„_ а„ а, ... а„_2
  • 0,2 Я3 ^4 • • • 0

Решение. Легко видеть, что строки этого определителя получаются циклическим сдвигом первой строки на соответствующее число позиции, откуда сразу видно, что все члены суммы всех его столбцов равны Ея*. Значит, этот определитель (как многочлен от переменных а,а2,...,ап) делится на Ей/. Этот факт наталкивает на такую мысль: попытаемся найти числа к,к2,...,кп так, чтобы все члены суммы столбцов с этими коэффициентами были если не равны, то хотя бы пропорциональны. Для двух первых строк это значит, что ?,{к(1 --к2о2+&3Я3-к. .+кпи,^) = кй„--к2я 1 + к2с12^-• • кпяп-1 при некотором в, т.е. что гк=к2,ек22,...,ек„ = к, откуда, взяв к = , получаем к2 = е,к2 = е2п = еп~1 и е"=1. Легко видеть, что для любой пары соседних строк будут выполнены эти же соотношения, значит, соответствующие суммы их элементов также будут пропорциональны, т.е. все элементы суммы столбцов с такими коэффициентами делятся на Я1+?а2+?2яз+...+?" п, а значит, и определитель делится на эту сумму. Т.к в качестве ? можно взять любой корень степени п из 1, Д„ делится на каждую из

, .2 , , л-1

СуММ С1 +?/Й2 + ?( А!з + . . .+ ?/ Я„,ГДе ?0, ?| ,...,?„-1 - ВСе КОрНИ СТе-пени п из 1, а значит, и на произведение всех этих сумм (т.к. все они попарно взаимно просты), а поскольку старшие члены этого произведения и многочлена Д„ по переменной а[ (оба они равны а"), эти многочлены совпадают. Итак,

л-1

Д„ — О (^1 +?/Я2 + ?/ Лз+.. .+?,? /=0

Упражнения.

ап), где ?0, ? 1,___, ?„_ 1 - все корни

степени п из 1.

1. Найти определитель:

1

«1

а2 ...

ап

1

<7|

а2 ...

ап

1)

1

сг22...

а„

1

ал

а2 ...

ап 4“ Ъп

1

2

3 ..

п — 1

п

1

1

і ..

і

1-/7

3)

1

1

і ..

1 -п

і

1

1 — 77

і ..

1

і

1

2

3 .

. /7-1

п

X

2

1.

. і

1

5)

X

1

3 .

. і

1

X

1

1 .

. /7-1

1

X

1

1.

. і

п

1

1

0 .

. 0

0

1

4

3 .

. 0

0

7)

0

3

8 .

. 0

0

0

0

0 .

. 4 п —

4 2 п-

0

0

0 .

. 2/7-

1

4 п

а

а+Ь а

+ 2Ь...

а + пЬ

а

0 ...

0

2)

0

а

0

0

0

0 ...

а

а

Ь

X X

... X X

ь

а

У У

••• У У

а

ь

а Ь

... ь ь

4)

ь

а

Ь а

... ь ь

а

ъ

Ъ Ъ

... а Ь

ь

а

Ь Ь

... Ь а

1

і

0 ...

0

0

1

3

2 ...

0

0

6)

0

2

5 ...

0

0

0

0

0 ...

2п-3 п

-1

0

0

0 ...

п—1 2л-1

а

-1

0 ..

. 0

0

ах

а

-1 ..

. 0

0

В)

ах2

ах

а ..

. 0

0

ах

п-1

ахп~г

ах"~3..

. а

ах"

ах"~]

ах"~2..

. ах

а

2. Доказать, что многочлен

а

ь

0 .

. 0

0

1

а

0...

...0

0

с

а

ь.

. 0

0

-1

2

а...

...0

0

0

с

а .

. 0

0

10)

-1

-1

3...

...0

0

0

0

0 .

. а

ь

-1

-1

-1...

/7-1

а

0

0

0 .

. с

а

-1

-1

-1...

п

1 1 1 1

й й+Ь 0|+/?|+/?2 (і+Ь+...+Ьп-

Х а а ... а

1

і

1

1

Ь х2 а ... а

а2

а2

а2]2 '

сі2 Ь~~..

?+Ь„-

її)

Ь Ъ хг... а

12)

і

1

1

і

Яз

а3{

а3+Ь,+Ь->

Яз + &1 + ...

+Ь„-1

Ь Ь Ь ... хп

і

1

1

1

ап

апх

а

п+ъ,+ъ2-

сіп + Ь+..

?+Ь„-1

X

1

0

0

0

1 + X, 1 + х} ...

1 + х['

-п

х-2

2

0

0

13)

1 + Х~, 1 + X? ...

1+^2

14)

0

-п+ X

4... 0

0

1 + X 1 + Х?1 ...

+ Хпп

0

0

0

...х-2/7 + 2 п

г/ г/

0

0

0

... -1

х-2 п

  • (1+х)" (2+х)” ... (п+х)п
  • (1 + 2х)п (2+2х)" ...(п + 2х)"

делится на

(1 + пх)" (2 + пх)" ... (п + пх)"

и(я-1)

х 2 , а при нечетном п также и на х + 1.

V Системы линейных уравнений