СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ
Уравнения гидроаэромеханики, представляющие собой запись основных законов сохранения, при отсутствии объемных источников массы и энергии имеют вид 11—5|
о1д (ІІ
+ рбгулг = О,
в
ду
СІІ
= РЕ +
дтх дт„ дт
дЕ
0-Г7 = тх
дх
дч
+
у
сИ
дх
+ т
У
ду
д
ду
+
дг ’
- (1.2.1)
- (1.2.2)
д до + тг • — +
х дЧу дд.
дг дх ду дг
(1.2.3)
Здесь р, V, Е — массовая плотность, скорость и удельная энергия жидкости; Е — сила, действующая на единицу массы. В левых частях уравнений (1.2.1)—(1.2.3) присутствуют материальные (индивидуальные) производные
+ V •
(1.2.4)
Закону сохранения момента количества движения при отсутствии внутреннего момента соответствует условие симметрии тензора напряжений
Т~ік = Ткіі І Ф к. (1.2.5)
Очевидно, что компоненты тензора напряжений (1.1.4) удовлетворяют условию (1.2.5).
Подставляя соотношения (1.1.3) в уравнение (1.2.2), будем иметь
- 9
- (Ы
- (И
(1.2.6)
Уравнение движения (1.2.6) для идеальной жидкости, которое обычно записывается в виде
(Ы
СІІ
(1.2.7)
называется уравнением Эйлера[1].
Подстановка равенств (1.1.3) и (1.1.5) в (1.2.3) приводит к уравнению
О
- (Ш
- (И
- — р сііуу.
- (1.2.8)
Обычно уравнение энергии (1.2.8) записывают в виде
ЕЕ
сіі
- - СІІУУ. 9
- (1.2.9)
Система пяти уравнений (1.2.1), (1.2.7) и (1.2.9) является системой уравнений в частных производных относительно шести неизвестных функций Е и р. Для ее замыкания нужно знать уравнение состояния рассматриваемой жидкости. Обычно это уравнение определяет связь между плотностью ?, давлением р и температурой жидкости Т. Оно называется термическим уравнением состояния и записывается в виде
/ (р, е, Г) = 0. (1.2.10)
В связи с появлением в уравнении (1.2.10) температуры Т для замыкания системы уравнений (1.2.1), (1.2.7), (1.2.9) и (1.2.10) необходимо определить связь этого параметра с введенными ранее параметрами ?>, р и Е. Эта связь известна, если задано соотношение
Е = Е(р,в,Т). (1.2.11)
Уравнение (1.2.11) часто называют калорическим уравнением состояния.
Замечание. Уравнение состояния (1.2.10) позволяет исключить в соотношении (1.2.11) один из параметров и заменить калорическое уравнение состояния одним из соотношений
Е = Е(е,Т), Е = Е(р,Т), Е = Е(р.е).
Система уравнений
с1д
- (ІІ
- (ІМ
СІІ
- (Ш
- (И
+ ?к:1і^ = 0,
= Р - - V?, О
(1.2.12)
= —— сііуу, 9
/ (р, 0, Т) = 0,
Е = Е(р,Г)
является замкнутой системой, описывающей течения идеальной нетеплопроводной жидкости.
Если выразить из уравнения неразрывности (1.2.1), подставить в (1.2.8), добавить в обе части полученного равенства слагаемое (1 /о)с1р/сИ и ввести в рассмотрение функцию
которая соответствует удельной энтальпии, то вместо уравнения энергии в системе (1.2.12) можем записать уравнение
- (1.2.14)
- (1Н 1 dp
dt д dt
При записи уравнения энергии в форме (1.2.14) вместо калорического уравнения состояния (1.2.11) нужно использовать соотношение (1.2.13), записанное в виде
Н(р,д,Т) = Е{р,д,Т) + -. (1.2.15)
9
Следует отметить, что термическое и калорическое уравнения состояния (1.2.10) и (1.2.11) могут оказывать существенное влияние па характер течения жидкости. В некоторых случаях их конкретизация может привести к упрощению постановки задач. Для иллюстрации рассмотрим два примера.
Баротропная жидкость. Если уравнение (1.2.10) не содержит температуры, его можно заменить уравнением
(1.2.16)
в = Ф(2>)
и считать, что плотность жидкости зависит только от давления. Такая жидкость называется баротропной. В противном случае ее называют бароклипной.
В этом случае система уравнений (1.2.12) «расщепляется». Уравнения неразрывности (1.2.1), движения (1.2.7) и состояния (1.2.16) составляют замкнутую систему относительно плотности д, скорости v и давления р. Их можно решать отдельно, не обращая внимания па происходящие в жидкости энергетические процессы.
Однородная несжимаемая жидкость. Если термическое уравнение состояния (1.2.10) имеет вид
Q = бо = const, (1.2.17)
такая жидкость называется несжимаемой.
В этом случае индивидуальная производная dg/dt равна нулю, и уравнение неразрывности (1.2.1) принимает вид
Уравнение Эйлера (1.2.7) сохраняет свой вид, но перед градиентом давления в его правой части присутствует постоянный множитель 1/^о- Соответственно, можем записать
- (Ы
- (И
(1.2.19)
Уравнения (1.2.18) и (1.2.19) составляют замкнутую систему относительно скорости V и давления р.
- [1] Леонард Эйлер (1707-1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик.
