ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОТОКАХ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

В предыдущей главе была приведена система уравнений идеальной нетеплопроводной жидкости. При выполнении некоторых условий эта система уравнений в частных производных позволяет получить ряд алгебраических соотношений, связывающих гидродинамические параметры. Эти соотношения, которые называют интегралами движения, широко применяются при исследовании взаимного влияния разных физических величии в потоках идеальной жидкости. Во многих случаях их использование позволяет упростить решение конкретных гидродинамических задач.

В настоящей главе дается вывод интегралов движения идеальной нетеплопроводной жидкости. Исследуется влияние термического и калорического уравнений состояния на вид этих интегралов. Рассматривается скорость распространения малых возмущений в идеальной жидкости и оценивается ее влияние на поведение соответствующих интегралов движения. Приводятся наиболее распространенные примеры использования интеграла Бернулли.

АДИАБАТА

В § 1.2 отмечалось, что уравнение состояния (1.2.10) позволяет считать температуру функцией от давления р и плотности д. В этих условиях уравнение (1.2.9) можно переписать в виде

дЕ др дЕ дд р

др дд дд дд д

или с учетом уравнения неразрывности (1.2.1) в виде

дЕ др дЕ дд др дд дд дд

Из (2.1.1) следует соотношение

др ( р дЕ

(2.1.1)

р дд

д² дд

(2.1.2)

дЕ

дд

дд) др'

которое является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Это уравнение связывает изменения давления и плотности при движении жидкой частицы по траектории. Интегрируя (2.1.2), получим

Т(р,е) = С, (2.1.3)

где С — некоторая постоянная, которая может иметь различные значения в разных частицах.

Равенства (2.1.3) получены для нетеплопроводной жидкости при отсутствии объемных источников энергии. Если жидкость не приобретает энергии извне и не отдает ее, такое течение называется адиабатическим. Поэтому интеграл (2.1.3) называется адиабатой.

Из (2.1.3) следует, что на траекториях жидких частиц имеет место баротропность, и плотность может быть представлена в виде

_е = Ф(р,С). (2.1.4)

В ситуации, когда постоянная С одинакова для всех частиц жидкости, соотношение (2.1.4) принимает вид (1.2.16), т. е. жидкость является баротропной во всем пространстве.

Наибольшее применение интеграл (2.1.3) (или (2.1.4)) получил при описании течений идеальных газов с термическим уравнением состояния, которое соответствует закону Клапейрона^[1], и постоянными теплоемкостями. В этом случае уравнения (1.2.10), (1.2.11) и (1.2.15) имеют вид

- = — T, Е = C_v T, Н = С_РТ, (2.1.5)

в д

где R — универсальная газовая постоянная; /х — масса моля рассматриваемого газа; Су и С_р — его удельные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно.

Согласно (2.1.5), будем иметь

Е = Су^ , Н = СЛ*-. (2.1.6)

Kg Kg

В то же время выражение (1.2.15) для удельной энтальпии Н может быть записано в виде

Я = (с„ | + l) ^Р~. (2.1.7)

Сопоставление (2.1.6) и (2.1.7) приводит к соотношению

С_р - Су =

R

(2.1.8)

известному из термодинамики (см., например, [10]).

В результате подстановки производных дЕ/дд и дЕ/др в соотношение (2.1.2) и учета формул (2.1.6), (2.1.7) и (2.1.8) придем к уравнению вида

dp Ср р р

_ _ ‘ _ _ 00 _

dg Су g g

(2.1.9)

Коэффициент зз называется показателем адиабаты. В рассматриваемом случае 32 = Ср/Су = const.

Интегрируя уравнение (2.1.9), получим равенство

р = Сд^ге. (2.1.10)

Здесь С — постоянная величина, которая присутствует в (2.1.3). Соотношение (2.1.10) называется адиабатой Пуассона^[2].

Замечание 1. Адиабата Пуассона была получена с учетом предположения о постоянстве удельных теплоемкостей Су и С_р. Следует отметить, что это предположение справедливо лишь в тех условиях, когда в каждой частице газа (в каждом физически бесконечно малом объеме) имеет место локальное равновесие, и энергию молекул газа можно описывать классически или квазиклассически.

Замечание 2. Применение адиабаты Пуассона наиболее важно в тех условиях, когда формирование газового потока осуществляется таким образом, что постоянная С имеет одинаковое значение в разных частицах, т. е. газ можно считать баротропным во всем пространстве.

• [1] Benoit Paul Emile Clapeyron (1799-1864) — французский физик и инженер.
• [2] Simeon Denis Poisson (1781-1840) — французский математик, механик и физик.