ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОТОКАХ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
В предыдущей главе была приведена система уравнений идеальной нетеплопроводной жидкости. При выполнении некоторых условий эта система уравнений в частных производных позволяет получить ряд алгебраических соотношений, связывающих гидродинамические параметры. Эти соотношения, которые называют интегралами движения, широко применяются при исследовании взаимного влияния разных физических величии в потоках идеальной жидкости. Во многих случаях их использование позволяет упростить решение конкретных гидродинамических задач.
В настоящей главе дается вывод интегралов движения идеальной нетеплопроводной жидкости. Исследуется влияние термического и калорического уравнений состояния на вид этих интегралов. Рассматривается скорость распространения малых возмущений в идеальной жидкости и оценивается ее влияние на поведение соответствующих интегралов движения. Приводятся наиболее распространенные примеры использования интеграла Бернулли.
АДИАБАТА
В § 1.2 отмечалось, что уравнение состояния (1.2.10) позволяет считать температуру функцией от давления р и плотности д. В этих условиях уравнение (1.2.9) можно переписать в виде
дЕ др дЕ дд р
др дд дд дд д
или с учетом уравнения неразрывности (1.2.1) в виде
дЕ др дЕ дд др дд дд дд
Из (2.1.1) следует соотношение
др ( р дЕ
(2.1.1)
р дд
д2 дд
(2.1.2)
дЕ
дд
дд) др'
которое является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Это уравнение связывает изменения давления и плотности при движении жидкой частицы по траектории. Интегрируя (2.1.2), получим
Т(р,е) = С, (2.1.3)
где С — некоторая постоянная, которая может иметь различные значения в разных частицах.
Равенства (2.1.3) получены для нетеплопроводной жидкости при отсутствии объемных источников энергии. Если жидкость не приобретает энергии извне и не отдает ее, такое течение называется адиабатическим. Поэтому интеграл (2.1.3) называется адиабатой.
Из (2.1.3) следует, что на траекториях жидких частиц имеет место баротропность, и плотность может быть представлена в виде
е = Ф(р,С). (2.1.4)
В ситуации, когда постоянная С одинакова для всех частиц жидкости, соотношение (2.1.4) принимает вид (1.2.16), т. е. жидкость является баротропной во всем пространстве.
Наибольшее применение интеграл (2.1.3) (или (2.1.4)) получил при описании течений идеальных газов с термическим уравнением состояния, которое соответствует закону Клапейрона[1], и постоянными теплоемкостями. В этом случае уравнения (1.2.10), (1.2.11) и (1.2.15) имеют вид
- = — T, Е = Cv T, Н = СРТ, (2.1.5)
в д
где R — универсальная газовая постоянная; /х — масса моля рассматриваемого газа; Су и Ср — его удельные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно.
Согласно (2.1.5), будем иметь
Е = Су^ , Н = СЛ*-. (2.1.6)
Kg Kg
В то же время выражение (1.2.15) для удельной энтальпии Н может быть записано в виде
Я = (с„ | + l) Р~. (2.1.7)
Сопоставление (2.1.6) и (2.1.7) приводит к соотношению
Ср - Су =
R
(2.1.8)
известному из термодинамики (см., например, [10]).
В результате подстановки производных дЕ/дд и дЕ/др в соотношение (2.1.2) и учета формул (2.1.6), (2.1.7) и (2.1.8) придем к уравнению вида
dp Ср р р
_ _ ‘ _ _ 00 _
dg Су g g
(2.1.9)
Коэффициент зз называется показателем адиабаты. В рассматриваемом случае 32 = Ср/Су = const.
Интегрируя уравнение (2.1.9), получим равенство
р = Сдге. (2.1.10)
Здесь С — постоянная величина, которая присутствует в (2.1.3). Соотношение (2.1.10) называется адиабатой Пуассона[2].
Замечание 1. Адиабата Пуассона была получена с учетом предположения о постоянстве удельных теплоемкостей Су и Ср. Следует отметить, что это предположение справедливо лишь в тех условиях, когда в каждой частице газа (в каждом физически бесконечно малом объеме) имеет место локальное равновесие, и энергию молекул газа можно описывать классически или квазиклассически.
Замечание 2. Применение адиабаты Пуассона наиболее важно в тех условиях, когда формирование газового потока осуществляется таким образом, что постоянная С имеет одинаковое значение в разных частицах, т. е. газ можно считать баротропным во всем пространстве.
