Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Гидромеханика идеальной жидкости. Постановка задач и основные свойства

ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА И СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Пусть в однородной неподвижной жидкости, имеющей плотность ?>о ИРИ давлении pq и температуре То, возникли некоторые слабые возмущения, которые привели к изменению состояния жидкости. При этом гидродинамические параметры можно представить в виде

V = V7 (,x,y,z,t),

в = Qo + в' {x,y,z,t),

р = Р0+р' {x,y,z,t), (2-4.1)

Е = Е0 + Е' (х, у, z,t),

где у', д',р' и Е' — малые изменения скорости, плотности, давления и энергии.

В рассматриваемых условиях, пренебрегая малыми величинами второго порядка у' • V д, у' ? Vр и у'-У?, уравнение неразрывности (1.2.1) и уравнение энергии (1.2.14) можем записать в виде

сід

сИ

  • (1Н

+ ^сііуу' = О,

  • (2.4.2)
  • (2.4.3)

Если возмущенное движение является безвихревым, адиабатическим и происходит в консервативном поле массовых сил, то в жидкости справедлив интеграл Лагранжа в форме (2.3.14). В рассматриваемых условиях можем записать

+ и + Н = О,

(2.4.4)

где у' = функция ^ — введенный специальным образом потенциал скорости у' (см. (2.3.13)).

Пренебрегая не только в гидродинамических уравнениях, по и в равенстве (2.4.4) малыми величинами второго порядка, будем иметь

^ + и + Я = 0. (2.4.5)

По аналогии с |4| продифференцируем выражение (2.4.5) по времени. В условиях, когда потенциал массовых сил и не зависит от времени, получим соотношение

д2ф дН

Ж2~ + Ж

которое с учетом (2.4.3) может быть записано в виде

(2.4.6)

д2р 1 сір

ді2 д (И

Для адиабатических течений были получены соотношения (2.1.3), которые можно рассматривать как неявные функции, определяющие зависимости р(д) на каждой из траекторий жидких частиц. В случае распространения в жидкости малых возмущений можно считать, что производная др/ді определяет изменение давления при движении по траектории жидкой частицы. При этом будем иметь

др сір дд

ді сід ді

Соответственно, можем переписать соотношение (2.4.6) в виде

д2 1 сір дд

ді2 д сід ді

Затем, используя уравнение неразрывности (2.4.2), придем к равенству

д2р

ді2

(2.4.7)

Так как справедливы равенства

divv/ = divV = Аїр,

соотношение (2.4.7) может быть записано в виде

д2

~dW

(2.4.8)

Формула (2.4.8) соответствует классическому волновому уравнению для потенциала <р. Это уравнение описывает распространение малых возмущений в жидкости. При этом скорость распространения малых возмущений а определяется из условия

(2.4.9)

где dp/dg — обыкновенная производная, величина а в изотропной жидкости ассоциируется со скоростью звука.

Скорость звука является важной характеристикой рассматриваемых сред. Теоретические и экспериментальные исследования показали, что картина течения резко меняется в зависимости от того, меньше скорость жидкости скорости звука или больше.

В связи с этим Эрнст Мах[1] ввел величину М = г;/а, впоследствии названную числом Маха. Число Маха является одним из основных критериев подобия в гидроаэродинамике. При М < 1 течение называется дозвуковым, а при М > 1 — сверхзвуковым.

В [1] отмечается, что плотность д' и давление р' также удовлетворяют волновому уравнению. Эти уравнения можно получить из системы (1.2.12), подставляя в уравнения неразрывности и движения равенства (2.4.1) и пренебрегая членами второго порядка малости. Исключая из этих уравнений v' и р', придем к волновому уравнению для да в результате исключения v' и д' — к волновому уравнению для р'.

В §2.1 для идеального газа с постоянными теплоемкостями была получена адиабата Пуассона (2.1.10). Из нее и формулы (2.4.9) следует соотношение

v С

а2 = ее—, зе = = const. (2.4.10)

д Су

Справедливость формулы (2.4.10) для скорости звука в идеальных газах с постоянными теплоемкостями, когда справедливы соотношения (2.1.5), неоднократно была подтверждена для разных газов.

Для установившихся адиабатических течений таких газов в консервативном поле массовых сил интеграл Бернулли (2.2.15) может быть записан в виде

тр + С” + = С, (2.4.11)

Z 30 I

С = const на линии тока.

В случае безвихревых адиабатических течений этих газов в консервативном поле массовых сил интеграл Лагранжа (2.3.10) примет вид

d2 тт а2

Ж + 2 +U+—l=S(t)-

(2.4.12)

Замечание. В высокотемпературных идеальных газах с физико-химическими процессами уравнение состояния может совпадать с уравнением Клапейрона- Менделеева15 (2.1.5), а теплоемкости при этом не будут постоянными (см. [13, 14|). В этих условиях доказать баротропиость газа и найти функцию (1.2.16) довольно трудно. Однако в уравнениях, полученных на основе методов кинетической теории для описания локально равновесных течений таких газов, отсутствуют касательные напряжения и векторы переноса энергии. Это означает, что при исследовании течений газов [2] с физико-химическими явлениями в основном нужно использовать интеграл Бернулли в форме (2.2.8) и интеграл Лагранжа в формах (2.3.6) или (2.3.14).

Так как отношение Ср/Су в реагирующих газах с внутренними степенями свободы молекул не является постоянным и жидкость не всегда является баротропиой, представление квадрата скорости звука а2 в виде обыкновенной производной с1р/с1д не всегда правомерно.

Однако и в этом случае, используя интеграл Лагранжа в форме

(2.3.14) и методы кинетической теории, удалось доказать, что можно представить а2 в виде (2.4.9) и (2.4.10), но при этом с!р/с1д будет отношением полных дифференциалов давления и плотности [15], а коэффициент ее будет зависеть от температуры и давления, а в некоторых ситуациях — и от других дополнительных параметров [16].

  • [1] Ernst Mach (1838-1916) — австрийский физик и механик.
  • [2] Дмитрий Иванович Менделеев (1834-1907) — русский ученый.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
 

Популярные страницы