Центр тяжести

Центром тяжести называют центр сил притяжения к Земле отдельных частиц тела в предположении, что все эти силы параллельны. Это предположение справедливо для тел, размеры которых малы в сравнении с радиусом Земли.

Разделяя тело на малые частицы весом б, (рис. 1.74), найдем:

Х*д Х^Д.

хс = —п—; ус = м;,—; гс = —п—. (і.зб)

X 0і X X 0-

/=І 1=1 /=|

где хп уп і; — координаты частиц весом б(; хс, ус, іс — координаты центра тяжести тела.

К определению положения центра тяжести тела

Рис. 1.74. К определению положения центра тяжести тела

Центр тяжести однородного тела. Плотность для однородного тела в отдельных точках постоянна, поэтому вес его элементарного объема (рис. 1.75,я) равен Gi = yVn где у = const — удельный вес тела; К — элементарный объем.

Соответственно для плоской фигуры толщиной 8 вес элементарного объема (рис. 1.75, b) Gi = уба,, где а, — элементарная площадь.

Для линии (прутка) вес элементарной длины /( (рис. 1.75,с) равен G. = у/.с, где о — площадь сечения прутка.

центр тяжести площади

  • (1.38)
  • (1.39)

п / п

(1.37)

К определению центра тяжести однородных тел

Рис. 1.75. К определению центра тяжести однородных тел

Используя формулу (1.36) получаем: центр тяжести объема

/=1 / /=1

центр тяжести линии (прутка)

/=1 / / = 1

Для однородных тел задача нахождения центра тяжести является чисто геометрической. Поэтому можно говорить о центрах тяжести геометрических фигур.

Примечание. Если тело разбивают на бесконечно большое число бесконечно малых элементов, то во всех формулах конечные суммы заменяют интегралами.

Практические способы определения положения центра тяжести:

? использование симметрии. Пусть Оху — плоскость материальной симметрии, т. е. тогда

и/2 / и/2

гс = 1«2л-с;г;)/Х(с;+с,о=о.

/=1 / /= 1

Таким образом, если тело имеет плоскость материальной симметрии, то центр тяжести лежит В ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ 1С = 0 (рис. 1.76).

2

К определению центра тяжести симметричных тел

Рис. 1.76. К определению центра тяжести симметричных тел

Если тело имеет две плоскости симметрии, то центр тяжести лежит на прямой их пересечения. Если тело имеет больше двух плоскостей материальной симметрии, то все эти плоскости имеют одну общую точку, которая и есть центр тяжести (например, однородный шар);

? способ разделения тела на части, положения центра тяжести которых известны. В соответствии с выражением для центра тяжести плоской фигуры, состоящей, например из двух частей, имеем:

0,^+0^.

а,+а2

а,+а2

Вычислим координаты центра тяжести фигуры (рис. 1.77). Целесообразно выполнять вычисления в табличной форме (табл. 1.1). Оси координат при этом следует направлять так, чтобы вычисления были как можно проще: через точки С, и С2, положения которых находят из соображений симметрии.

Таблица 1.1

хі

а

у.

<*іУі

16а2

0

0

За

48 а3

16а2

5 а

80а3

0

0

32а2

80а3

48а3

(3/2

ІОо

Рис. 1.77. Определение центра тяжести плоской фигуры

Из рис. 1.77 видно, что центр тяжести фигуры может находиться вне ее контура;

? способ дополнения. При использовании этого способа отдельные части тела (вырезы), незаполненные материалом детали, считают «отрицательными». Для плоских фигур этот способ называют способом отрицательных площадей.

Например, для тела, показанного на рис. 1.78, первой частью считаем прямоугольник без выреза, а второй — квадратный вырез, ему присваиваем отрицательную площадь.

Фигура для определения центра тяжести

Рис. 1.78. Фигура для определения центра тяжести

способом дополнения

Имеем: а, = 32а2; а, = - 4а2; а = а, + а, = 28а2.

Для данного тела в силу симметрии: х, = 0; х, = 2а;

а,х, + а2х2

а,+а2

32а2 • 0 + (- 4а2)2а 28а2

? интегрирование. Для тел простой геометрической формы, которая может быть описана аналитически, координаты центров тяжести находятся путем интегрирования:

для тела пространственной конфигурации интегрирование выполняется по всему объему V хс - хйУ / Г(IV;

V / V ^

для плоской фигуры интегрирование выполняют по площади Ъ хс = ^xdo /|^а;

I /I

для линии интегрирование выполняют вдоль линии длиной /,

Центры тяжести некоторых однородных фигур простейшей геометрической формы:

? дуга окружности (рис. 1.79). В рассматриваемом случае: ус = 0 — в силу симметрии; dl = Rdq> х ~ /(costp;

а

а

у = ^_

ЛС ос

J/?COS(p /fo/(p J COSCp - /?^/ф -= -

= R

J Rd

J Rd

sin a a

  • (1.40)
  • -a
  • -a

где a, рад, — половина центрального угла;

К определению центра тяжести дуги окружности

Рис. 1.79. К определению центра тяжести дуги окружности

? треугольник (рис. 1.80). Разделяя треугольник на элементарные полоски высотой dh, параллельные основанию АВ, замечаем, что центр тяжести его должен лежать на медиане 7)К, поскольку все центры тяжести элементарных полосок лежат на ней. Аналогичным образом, выделяя элементарные прямоугольники, параллельные другой стороне треугольника, можно показать, что центр тяжести должен лежать на другой его медиане.

Итак, центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан, точка пересечения которых делит их в отношении 1:2. Таким образом, можно сказать, что центр тяжести треугольника находится на

расстоянии 1/3 высоты И от его основания, или 2/3 высоты И от его вершины;

D

К определению центра тяжести треугольника ? сектор (рис. 1.81). Для этой фигуры у = 0 в силу ее симметрии

Рис. 1.80. К определению центра тяжести треугольника ? сектор (рис. 1.81). Для этой фигуры ус = 0 в силу ее симметрии.

К определению центра тяжести сектора

Рис. 1.81. К определению центра тяжести сектора

Разделяя сектор на элементарные треугольники и замечая, что центр тяжести каждого такого треугольника находится на расстоянии (2/3)/? от центра круга, можно утверждать, что центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги окружности радиуса (2/3)/?:

(1.41)

  • 2 „ sin ос
  • -/?-;
  • 3 а
  • ? конус (рис. 1.82). Выбирая систему координат, как показано на рис. 1.82, получим в силу симметрии хс = 0; ус = 0.

Далее имеем:

іс = і(1У , где с1У = кг сії.

V IV

Из подобия треугольников: г//? = г/Я, или г = ^/?/Я. Подстановка дает:

К определению центра тяжести конуса

Рис. 1.82. К определению центра тяжести конуса

Вынося из-под знаков интегралов постоянные величины, производя сокращения и интегрирование по получим:

1с=-.Н. (1.42)

Решение задач. Рассмотрим определение положения центра тяжести тел сложной нерегулярной формы.

Задача 1.4. Найти центр тяжести ломаной линии (рис. 1.83): хс, ус.

с

ВЗ. К определению центра тяжести

Рис. 1.ВЗ. К определению центра тяжести

ломаной линии

Дано: <7 = 8, Ь = 6, с- 14, с! -4.

Данная фигура (плоская линия) осей симметрии не имеет. Координаты центра тяжести С однородной линии определяют по формулам:

п

п

п

п

ХМ / Х;<; Ус = Хм / Х;< ’

/=1

/=1

/=|

/=1

где хп у, — координаты центра тяжести /-го участка длиной /.; п = 4 — число участков.

Выберем оси координат так, как это показано на рис. 1.84. Разделим линию на четыре участка.

Расчеты представим в табл. 1.2.

Таблица 1 .2

Участок

*/

У<

V,

М

номер 1

длина /,

1

8

4

6

32

48

2

6

0

3

0

18

3

14

7

0

98

0

4

4

14

2

56

8

4

I

-М-

32

186

74

Итак, координатами центра тяжести С этой плоской фигуры будут:

хс = 186/32 = 5,8125; ус = 74/32 = 2,3125.

Задача 1.5. Определить центр тяжести хс, ус заштрихованной площади детали (рис. 1.85).

К примеру определения центра тяжести «площади» детали

Рис. 1.85. К примеру определения центра тяжести «площади» детали

Заштрихованную площадь можно рассматривать как фигуру, составленную из прямоугольника с высотой и основанием, равными 8 и 4 см, из которого вырезана слева площадь полукруга радиусом 7? = 3 см, а справа добавлен треугольник, имеющий высоту 8 см и основание 3 см. Координаты центра тяжести С плоской фигуры определим по формулам:

п / п п / п

= ??*,?<*/ ХаУс =

1=1 / 1=1 /=1 / /=1

где х(, — координаты центра тяжести /'-й элементарной фигуры

(прямоугольника, полукруга, треугольника) площадью а; п — число участков (в задаче п — 3).

Выберем оси координат так, как это показано на (рис. 1.86). Используя метод отрицательных площадей, считаем, что площади прямоугольника и треугольника положительны, а площадь полукруга отрицательна.

Разделение фигуры на элементы Расчеты представим в табл. 1.3

Рис. 1.86. Разделение фигуры на элементы Расчеты представим в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Участок

*/

Уi

У,- А

номер/

площадь А,-

1

32

2

4

64

128

2

К*2 - 14 1

2/?эта

За

  • 2/?5Ш^
  • - 2 =1,27
  • 3 —

4

-17,9

-56,4

2

3

12

  • 2
  • 4+-3=5
  • 3

^8 = 5,3

60

63,6

4

I

29,9

106,1

135,2

Итак, координатами центра тяжести С этой плоской фигуры будут:

хс = 106,1/29,9 = 3,55; = 135,2/29,9 = 4,52.

В справочной литературе, а также в учебниках и учебных пособиях можно найти выражения для определения координат центров тяжести различных тел, фигур и линий.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >