ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Применение общих теорем динамики для исследования движения системы твердых тел. Под системой твердых тел будем понимать совокупность твердых тел, соединенных между собой различного рода связями. Естественно, что для исследования движения системы твердых тел можно использовать те же методы, что и для системы материальных точек, в частности, общие теоремы динамики системы. Как и для любой механической системы, в системе твердых тел главный вектор и главный момент внутренних сил всегда равны нулю,

т.е. Яи) = 0; = 0. Однако, в отличие от одного твердого тела,

мощность внутренних сил, возникающих во внутренних связях, может быть отлична от нуля. Поэтому теорема об изменении кинетической энергии для общего случая записывается так:

Вместе с тем, если отдельные твердые тела соединены в систему абсолютно жесткими связями, или с помощью контактов без трения (идеальные внутренние связи), то мощность внутренних сил будет

п

равна нулю: ^Я(/) =0. Следовательно, теорема об изменении ки-

/=і

нетической энергии формулируется так же как и для одного твердого тела.

С помощью теоремы об изменении количества движения и момента количества движения во многих случаях удобно составлять дифференциальные уравнения движения системы твердых тел, поскольку при этом всегда исключаются внутренние силы взаимодействия между отдельными телами. Кроме того, в некоторых случаях применение общих теорем динамики и особенно теоремы об изменении кинетической энергии позволяет исключить и реакции ряда внешних связей.

Рассмотрим несколько примеров:

? применение теоремы об изменении количества движения. Пусть система, состоящая из трех тел, соединенных между собой нерас-

тяжимой нитью, движется по шероховатой поверхности под действием силы /Дрис. 3.31).

Да но:/— коэффициент трения, тг т2, пц, Р.

Найти: ускорение движущихся масс а.

Если нить нерастяжима, то ускорения всех тел будут одинаковыми я, = а2г =а. Выразим внешние силы трения: Р{ = /т^

У = М#; У =

Используем теорему об изменении количества движения системы:

Ж

Поскольку в силу нерастяжимости нити скорости отдельных тел равны, имеем:

(2Л. = ту + т2У + т2У = V (т} + т2 + /и3); I рь = р-/?{т+ т2 + тз).

с!У

1=1

Поэтому-(аи, + т2 + т,) = Р - + т2 + тЛ, т.е.

а =

+пг2 з)

т{+ т2 + т.

В рассмотренном примере применение теоремы об изменении количества движения позволило исключить внутренние силы взаимодействия между телами, т.е. отпала необходимость рассматривать движение каждого тела в отдельности. Заметим, что не при любом значении силы возможно движение. Если Р < + т2 + /и,), то

система будет находиться в равновесии;

? применение теоремы моментов. Эту теорему применяют для систем, имеющих вращающиеся тела. При этом выбор неподвижной оси, по отношению к которой составляют уравнение вращения тела, позволяет исключить неизвестные реакции связей.

Рассмотрим систему, состоящую из шкива, на который намотана невесомая нить с прикрепленными на ее концах грузами (рис. 3.32). Вращению шкива препятствует момент сопротивления в оси.

Дано: /л1? т2 —массы грузов, — момент инерции шкива; Мдг — момент сопротивления, г — радиус шкива.

Необходимо найти угловое ускорение шкива е. Запишем теорему об изменении момента количества движения относительно оси вращения шкива:

Момент количества движения системы будет равен:

К0, = -т2Уг -туг- У0,со = -V (т2г + т{г + J0z / л),

так как со = V/г.

Знак «минус» для момента количества движения шкива и грузов определяет выбранное направление вращения. Запишем выражение для первой производной от К:

СІУ

Ж

т{г + т2г +

Выражение для главного момента внешних сил имеет вид:

  • 3 _
  • (^

/=1

где использовано принятое еще в главе «Статика» правило знаков.

Подстановка дает: -я+ т2г + 3/г) = -т^г + т^г + М(1г.

тг - т^г - М ,

Поскольку а - гг, имеем: г = ,-7-—.

т/ + т2г + J0z

Выбор оси вращения, используемой при записи уравнений моментов, позволил исключить из уравнений неизвестные реакции Ха и Уа. Отметим также, что при 8 = 0 система будет находиться в равновесии или вращаться с постоянной угловой скоростью;

? применение теоремы об изменении кинетической энергии. С помощью этой теоремы удобно составлять дифференциальные уравнения движения таких систем, в которых значения мощностей реакций внешних связей равны нулю. Вместе с тем следует помнить, что при наличии упругих внутренних связей между телами мощность их реакций не равна нулю.

К использованию теоремы об изменении кинетической энергии

Рис. 3.33. К использованию теоремы об изменении кинетической энергии

в дифференциальной форме

Пусть каток, являющийся однородным цилиндром, к которому приложен момент двигателя МтоП поднимается по наклонной шероховатой плоскости вместе со скользящим телом (рис. 3.33).

Дано: Мто1, тх, т2, а, /5/, г.

Найти: ускорение центра катка а, пренебрегая трением качения, считая нить нерастяжимой и качение катка происходящим без скольжения, т.е. Ус = со/*.

Выразим внешнюю реакцию неидеальной связи — силы трения. Поскольку ускорение точки С направлено параллельно плоскости имеем: Л^2 - m2gcosa = 0.

Выразим отсюда Ы2, а затем силу трения = Л^2/л/ = /х1т2&со8а.

Горизонтальная реакция неизвестна. Ее значение зависит от всех приложенных сил и ускорений точек системы. Так как внутренние связи системы (стержни С, С, и шарниры) абсолютно жесткие и без

с[Г_

dt

/7

трения, то

  • ?/>(/)=0, поэтому
  • 1=1

Выразим кинетическую энергию системы через скорость Ус:

(1,5т, + /и2).

_ ту} | JCzсо[1] | /п2У([1] _ 2 2 2 , 1 Ус ,

1 2 1 г 2

Здесь учтено, что со = Ус/г.

Найдем производную по времени от выражения кинетической энергии системы, учитывая, что Кс[1] является сложной функцией времени (функцией от функции):

dT 2 ycdVc,_ л/ Ur Ч

— = 2 ^ (U5/H, + т2 ) = Усас (1,5/и, + т2).

Выразим мощность внешних сил:

(?) = N2Vccos— -m2gVcsxa-m2gfs,yccosa +

71

+7V, Ус cos- + Л/,ио, (Ec /г)- Ус since + /• 0.

Здесь учтено, что реакция Ft приложена в мгновенном центре скоростей, где скорость равна нулю. Подстановка дает:

Усас (1,5т, -г т2) = Мто1 с/г)~ m2gyc sin a - m{gVc sin a - m2gfs,yc cosa.

окончательно ac =

Mnu,< ir - fn2gs'm a - m2gfsl cosa

1,5m, + m2

Применение теоремы об изменении кинетической энергии системы позволило исключить из решения неизвестную внешнюю реакцию и внутренние силы взаимодействия между телами.

Использование некоторых первых интегралов при решении второй задачи динамики системы. В некоторых случаях общие теоремы динамики системы удается представить в конечной форме, куда не входят ускорения, т.е. в виде первых интегралов уравнения движения.

Применение теоремы об изменении кинетической энергии в конечной форме. Покажем, как найти первый интеграл уравнения движения системы, используя интегральную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии. Для этого запишем теорему, раскрывая выражения для мощностей:

сГГ

где п — число сил.

Учитывая выражение для элементарной работы силы 5Д = ? бгп

можно записать:

/=1

Проинтегрируем обе части равенства (а) вдоль путей точек приложения сил при перемещениях из положения 1 в положение 2, где кинетическая энергия соответственно равна Тх п Т2

/=1

/=1

Отсюда следует, что изменение кинетической энергии системы на конечном участке пути равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на том же участке пути.

Если все внешние и внутренние силы зависят только от положения их точек приложения, или постоянны, то работа всех сил может быть вычислена без знания законов движения точек приложения сил, поэтому именно в этом случае теорема позволяет получить соотношение между скоростями и координатами, т.е. дает первый интеграл.

Пусть, например, дана механическая система, все части которой соединены гибкой нерастяжимой нитью, состоящая из груза массой 3/и, блока массой 2/и и катка массой /и, расположенного на наклонной плоскости. Блок представляет собой однородное кольцо, а каток — однородный диск. Необходимо определить скорость груза массой 3т в положении, когда он опустится на у, при условии, что его начальная скорость была равна нулю, а каток катится без скольжения. При расчете учесть сопротивление катка качению (рис. 3.34). Даны: а, /*, у, т, /п. Найти: скорость груза У, считая Ух = 0.

В данном случае Т{ = 0, так как в начальный момент скорости

п

всех точек равны нулю и Т2-Т. Кроме того, А = 0, так как нить

/=1

нерастяжима, шарниры без трения и все тела абсолютно твердые, т.е. внутренние связи идеальные.

По теореме об изменении кинетической энергии в конечной

п

форме для рассматриваемой задачи имеем: Т =

/=1

Применение теоремы об изменении кинетической энергии

Рис. 3.34. Применение теоремы об изменении кинетической энергии

в конечной форме

Запишем выражение для кинетической энергии в положении 2, учитывая, что для блока угловая скорость со = VIг и при качении без скольжения для катка та же самая угловая скорость со:

Т = Т2 = тУ2

ЗтV2 2тг2 V2

  • - + -
  • 2 2

'3,1 1Л —г 1 н— + —

2 2 4

V

т V2 н--

/пУ2.

1 тг2 У2

н----г-

2 2 г2

Вычислим работу всех внешних сил с учетом того, что момент трения качения в данной системе можно представить следующим образом: Л/п = Nfn = mgfrs cosa. А его работа при качении без скольжения равна: Ап = Л/^ф^ = М пу/г.

Работу внешних сил можно записать а виде:

X А ?) = 3mgy - mgy sin a - —mgfn cosoc.

/=1 ’ r

Таким образом:

mV - mgy

/

3-sina-

V

3- sina -

cosa

V

/

frs

cosa

Отметим, что в окончательный результат не вошли силы реакций N, Fn9 XQ9 Y0, так как их работа равна нулю. Поэтому они даже не показаны на рис. 3.34.

Законы сохранения. Как уже указывалось ранее, из общих теорем динамики в ряде случаев можно получить соотношения, в которые не входят вторые производные. Кроме того, при определенных условиях в эти соотношения входят некоторые постоянные характеристики движения, сохраняющие свои значения. Указанные соотношения называют законами сохранения.

? Закон сохранения количества движения системы. Известно,

__ п

что dQ/dt = R(E где Q = Т/яУ — геометрическая сумма количе-

/=1

ства движения отдельных точек системы (количество движения механической системы); R,E) главный вектор внешних сил.

Пусть /?,?) = 0, тогда dQ/dt = 0, т.е. Q = const. Следовательно, получаем закон сохранения количества движения: если главный вектор внешних сил равен нулю, то количество движения системы сохраняется по величине и направлению в любой момент времени, т.е. если

RU) = 0, то Q(/) = const.

В частном случае, если главный вектор внешних сил R(F) в проекции на какую-либо ось равен нулю, то проекция количества движения системы Qx на эту ось сохраняет свою алгебраическое значе-

п

ние, т.е. если RXE) - ^FXE) = 0, то Qx = const.

/=1

Пример 3.2. Рассмотрим использование закона сохранения количества движения системы. Сверху на тележку массой /и,, движущуюся со скоростью Vt, упал груз массой т2, двигавшийся по вертикали (рис. 3.35). Пренебрегая сопротивлением, определить скорость Ктележки после падения на нее груза.

В данном случае проекция главного вектора внешних сил системы на ось х равна нулю, так как все внешние силы параллельны оси у.

п

Имеем: ^ Fxf] = 0, и тогда Qx = const.

;=1

К закону сохранения количества движения системы

Рис. 3.35. К закону сохранения количества движения системы

Иначе говоря:

а(о)=о.(о. (з-43)

т.е. тхУ{ = ту + т2У.

Отсюда У = т,^/(/п1 + т2).

С помощью закона сохранения количества движения удалось найти скорость тележки с грузом, исключая внутренние силы взаимодействия между платформой тележки и катками не производя никаких процедур интегрирования.

? Закон сохранения движения центра масс. Было установлено,

п

что 0 = тсУс, где тс = ^ті — масса системы.

/=і

По определению, скорость центра масс равна:

(3.44)

Таким образом, на основе закона сохранения количества движения системы можно выразить закон сохранения движения центра

масс, т.е. при /?(?) = 0, Q = mcKc=const и Кс= const: если главный вектор внешних сил равен нулю, то скорость центра масс системы сохраняется по величине и направлению.

В частном случае, если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на

эту ось сохраняет свое алгебраическое значение: т.е., если R[E) = О, то VCx = const.

С помощью закона сохранения движения центра масс системы можно объяснить возникновение силы тяги в самодвижущихся экипажах. Например, при ходьбе человека выдвигается нога, следовательно, меняется положение центра масс (рис. 3.36). Изменить это положение может только внешняя сила, в данном случае — это сила трения (сцепления) между поверхностью и опорой человека.

К объяснению механизма движения человека

Рис. 3.36. К объяснению механизма движения человека

Сила тяги локомотива — внешняя сила, она является реакцией рельса на колесо (рис. 3.37). И вообще, единственной внешней силой, вызывающей изменение движения самодвижущихся экипажей является сила реакции среды. Только внешние силы могут изменить движение центра масс. Однако возникновение внешних сил тяги обусловлено действием внутренних сил.

К объяснению возникновения силы тяги локомотива

Рис. 3.37. К объяснению возникновения силы тяги локомотива

С помощью теоремы о движении центра масс можно решать как первую, так и вторую задачу динамики. При использовании закона сохранения движения центра масс иногда удается найти законы движения отдельных частей системы, не производя специальных процедур интегрирования.

Пример 3.3. Рассмотрим электромотор с рукоятью, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности. Рукоять длиной / вращается с постоянной угловой скоростью со (рис. 3.38). Определить закон движения корпуса мотора, пренебрегая массой рукояти.

Дано:/, /и,, т2, со. Н а й т и: х, =/(/).

Так как все внешние силы имеют вертикальное направление, имеем:

тсхс = ^/Fcx) = 0, т.е. хс = 0.

(=1

Отсюда следует, что хс = const, т.е. имеет место закон сохранения движения центра масс. Считая, что в начальный момент Vc = хс = 0 (система неподвижна), будем иметь xc=const. Если отсчет координат производить от начального положения центра масс, то хс = хс (0) = хс (/) = 0. Выразим координату центра масс всей системы и приравняем ее нулю.

В общем случае хс = (х,ш, + х2т2)/(ли, + т2) = 0, откуда следует, что х, и х2 имеют разные знаки.

Применение закона сохранения движения центра масс

Рис. 3.38. Применение закона сохранения движения центра масс

Из рис. 3.38, предполагая, что точка Одвижется влево, получим: х, < 0; х2 = /собсо/ -х,. Подстановка дает:

]т] + (/ cos со/ - х,) т2 т] + т2

md coscat

Jc.=-=—-•

m] +m2

Таким образом, при вращении рукояти корпус мотора будет совершать гармоническое колебательное движение, причем при положительном смещении массы т2 (х2 >0) корпус мотора движется в отрицательном направлении и наоборот.

? Закон сохранения момента количества движения. Относительно какого-либо центра момент количества движения системы сохраняется по величине и направлению, если главный момент внешних сил относительно того же центра равен нулю. Известно,

что dK0/dt = МоЕ), где К0 = х /и V,; М(0Е) = ?r0/ х Fr

/=1 /=1

Если М(аЕ) = 0, го К0 = const. В частном случае, если главный момент внешних сил относительно оси z равен нулю, то момент количества движения относительно этой же оси сохраняет свое алгебраическое значение:

=0, Л^= const. (3.45)

/=і

Например, поворот человека на абсолютно гладкой поверхности возможен благодаря тому, что можно создавать момент количества движения в определенном направлении отдельными частями тела. Тогда остальные части человека будут вращаться в обратном направлении (рис. 3.39).

К закону сохранения момента количества движения системы

Рис. 3.39. К закону сохранения момента количества движения системы

Если рукой совершать поворот со скоростью[4] соаг, то ^ М[Е 1 = 0; К, = const = 0 в предположении, что в начальный момент скорости всех точек равны нулю. Поэтому имеем: Jаг (соаг - со b)-Jb (coft) = 0, где соЛ — скорость поворота корпуса[5].

Отсюда можно найти угловую скорость корпуса:

со, = У со /(J +Л).

? Закон сохранения механической энергии. В природе существуют силы, величины которых зависят от положений их точек приложения (например, сила упругости, электростатическая сила и т.п.). Причем, во многих случаях при перемещениях точек приложения таких сил их характеристики меняются непрерывно.

Часть пространства, ограниченная или неограниченная, в каждой точке которой на находящуюся там материальную частицу действует сила, зависящая от положения частицы, называют силовым полем.

Если проекции силы поля могут быть выражены как взятые с обратным знаком частные производные Fx =-ЭП/Эх, F =-ЭП/ду, F, = -dU/dz от некоторой функции П(х,у,?), то силу называют потенциальной, а функцию П(л:,у,г) —потенциалом.

В случае, когда функция П не зависит от времени явно, потенциал называют стационарным.

Свойства стационарной потенциальной силы. По определению элементарная работа потенциальной силы выражается следующим образом:

5/1 = Fdx + Fdy + FMz = -

/anJ ап, эпл

ах + ——ау + dz

N

к

дх

ду

dz

Выражение в скобках есть полный дифференциал потенциала стационарного поля. Следовательно, элементарная работа потенциальной силы такого поля равна взятому с обратным знаком полному дифференциалу от потенциала: ЬА = -dY.

Работу потенциальной силы на конечном участке пути определяют интегрированием:

2 П,

А} 2 = 15/1 = -1 йЛ = — (П2 - П,)= П, - П2.

I п,

Эта работа равна разности потенциалов начального и конечного положений точки приложения силы. Изменяя начало отсчета потенциала, т.е. считая П,-П2 = П, можно записать Л12 = П-0, т.е.

А.2 = П-

Таким образом, можно считать, что в каждой точке пространства потенциальная сила обладает «запасом работы», т.е. при перемещении этой силы в другую точку пространства она производит определенную работу. Поэтому функцию П можно рассматривать как некоторую энергию, зависящую от координат. Ее называют потенциальной энергией. Она определяется как работа силы при перемещении ее точки приложения из данного рассматриваемого положения в положение, где потенциал равен нулю.

В различных технических задачах рассматриваемые потенциальные силы встречаются достаточно часто. Например, сила тяжести является потенциальной силой (рис. 3.40), проекции ее могут быть вычислены как производные функции П = (%. Имеем: Рх = 0; Р = 0;

Сила упругости тоже является потенциальной силой (рис. 3.41). В предположении, что в начале координат сила упругости равна нулю, модуль силы упругости равен:

Р

ЄІ

= к

е1

е1фг77+е.

'еГ

Ее проекции на оси координат имеют вид: Ре1х = -к^гсоьа =

= -V- = ~ке,х реы = -К,гС0Ф = еІу; РеІ7 = -ке1г соьу = -кеІі.

'еГ

еіу

'еі

'ЄІ

'ЄІ

ЄІ

ек

К определению силы тяжести как потенциальной силы

Рис. 3.40. К определению силы тяжести как потенциальной силы

С другой стороны, можно показать, что существует функция П(х,>’,г), частные производные от которой, взятые с обратным знаком, являются проекциями силы на оси координат.

как раз и удовлетворяет этим уело-

Функция П = виям:

К определению силы упругости как потенциальной силы

Рис. 3.41. К определению силы упругости как потенциальной силы

Fx = -ЭП/Эх = е,х Fy = -ЭП/ду = -ке,у Fz = -dU/dz = -kelz,

т.е. сила упругости — это потенциальная сила.

Рассмотрим вывод закона сохранения механической энергии системы, на которую действуют только потенциальные силы. Известно,

п

что

Т2-Т, = У AIS

/'=/? /=/

В случае потенциальных сил имеем:

  • 9 9
  • 1=1

т2-т,=-±( n(2f

или

/=/

+п<;’)+х(п!,?>+п;,'>).

  • • •
  • 1=1

Таким образом: Т2 - 7] =-П(/+/) + П|?+У), где Пи+/) — потенциал всех внешних и внутренних сил системы.

Механические системы, которые находятся только под действием внешних и внутренних потенциальных сил, потенциал которых не зависит от времени явно, называют консервативными. В таких системах сумма кинетической и потенциальной энергий, т.е. полная механическая энергия сохраняет свою величину. Это и есть закон сохранения механической энергии:

Тх + n;?+/) = Т2 + П(/+/) = Е = const. (3.46)

Закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона физики — закона сохранения полной энергии системы.

  • [1] А]2 =|5Л, получим: 1 п
  • [2] А]2 =|5Л, получим: 1 п
  • [3] А]2 =|5Л, получим: 1 п
  • [4] аг — от англ, arm — рука.
  • [5] Ь — от англ, body — туловище.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >