Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Гидравлика и гидропневмопривод.Основы механики жидкости и газа

СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В ЖИДКОСТЯХ

Напряжения поверхностных сил

Напряженное состояние жидкости обусловлено массовыми и поверхностными силами (см. раздел 2).

Напряженное состояние жидкости

Рис. 10. Напряженное состояние жидкости

Рассмотрим жидкую движущуюся частицу в виде тетраэдра с вершиной в начале координат (рис. 10). Применяя к этому жидкому объему второй закон Ньютона, получим:

Рр<^+ РпйАп - рх&х - Ру8у - ргдАг = ар&»,

где Г - единичная массовая сила;

рп - напряжение на грани, нормальной направлению п;

рх - напряжение на грани, нормальной оси X;

ру - напряжение на грани, нормальной оси У;

р. - напряжение на грани, нормальной оси Ъ.

Знак “ - “ перед слагаемыми, содержащими напряжения рх> ру и

рг, обусловлен тем, что положительные направления напряжений и

координатных осей X, У и 2 противоположны.

Разделив исходное уравнение на и принимая во внимание,

что = (1/3 )И 8п, при переходе к пределу получим:

рп = рхСОї( х,п)+ ру СОї( у,п)+ рг С05( г,п), (4.1)

где

Спроектируем векторное равенство (4.1) на координатные оси Х,Ум2.

Рпх = Рхх СОхп)+ Рух с°5( У’п)+ Ргх со^ г, п ),

Рпу = Рху с°5( х>п)+ Руу со>( у,п)+ Ру Сг,п), (4.2)

Рт = Рхг СОХ( х>п) + Руг соз( у>п)+ Ргх СО*( *»п )?

Для каждой из проекций используются два индекса: первый определяет ориентацию площади (направление нормали), а второй - координатную ось, на которую проектируется соответствующий вектор. Очевидно, чтор^, Руу и суть нормальные напряжения,

а проекции с разноименными индексами - касательные напряжения

(см., например, для рх на рис. 10 справа).

Записав уравнение моментов, можно доказать теорему о взаимности касательных напряжений:

Рху ~ Рух> Рхг ~ Ргх’ Руг ~ Ргу* (4.3)

Шесть независимых скалярных величин, определяющих напряженное состояние жидкости, образуют симметричный тензор напряжений:

Рхх

Рух

Ргх

П =

Рху

Руу

Рту

(4.4)

Рхг

Руг

Рту

С05( .Х.П ) =

- <&у С05( У,П) =

соя( 1,п) =

Предположим, что все касательные напряжения равны нулю. Это может иметь место в двух случаях: либо если жидкость находится в покое, либо в случае модели идеальной жидкости. Тогда из (4.3) следует

Рпх = Рхх с03( хп)>

Рпу = Руу С™( У *П )>

Рпг = Ргг сох( &п)-

Величины Рпх » рпу и рп2 можно вычислить и из следующих равенств:

Рпх - Рп С°5( ХП )•

Рпу = Рп СО!!( У> П )>

Рпу = Рп с°5( *>п)'

Сопоставляя две серии равенств, получим:

Рп ~ РXX ~ Руу ~ Ри. — ~Р‘ (4.5)

где р - гидродинамическое давление в идеальной жидкости или гидростатическое давление в покоящейся реальной жидкости. Эта величина положительна, так как жидкая среда, как отмечалось ранее, не выдерживает растягивающих напряжений. Давление р отождествляют с термодинамическим давлением, входящим в термическое уравнение состояния. Утверждение о независимости величины давления в покоящейся жидкости от ориентации элементарной площадки называется законом Паскаля.

Совокупность значений давления во всех точках жидкости в данный момент времени образует поле давления р( г ,г).

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >
 

Популярные страницы