Изотермическое течение газа

На практике достаточно часто встречается изотермическое течение газа в трубах. Чем больше длина газопровода, отнесенная к его диаметру, тем более вероятным является изотермический процесс. Между тем в учебной литературе обычно рассматривается либо адиабатическое течение, либо течение с подводом тепла в общем виде. В учебнике [3] рассмотрены некоторые случаи течения газа в трубе с постоянной температурой.

Рассмотрим установившееся течение вязкого совершенного газа с постоянной температурой в цилиндрической трубе.

Уравнение расхода в трубе постоянного сечения имеет следующий вид:

V] pi = V2 р2 = const. (14.58)

Применяя к элементарному объему газа, ограниченному двумя сечениями на расстоянии dx друг от друга, теорему импульсов, получим уравнение

dp/p + d(V2/2) + X dxd (V2/2) = 0, (14.59)

где А. - коэффициент потерь на трение по длине, зависящий от режима течения, числа Рейнольдса, числа М и относительной шероховатости.

Число Рейнольдса при движении в трубе постоянного диаметра, равное:

Re = V d/v = 4dm/dt/(n d ц)

при изотермическом течении газа будет оставаться постоянным по длине газопровода.

Наши эксперименты и данные, приведенные М. Е. Дейчем [7], свидетельствуют о том, что в первом приближении коэффициент гидравлического трения X можно считать постоянным в дозвуковой области вплоть до числа М=1. Поэтому при интегрировании уравнения (14.59) можно принимать X = const вдоль потока. Отметим, что при выводе уравнения (14.59) принималось равномерное распределение скорости по сечению, так как при течении вязкого газа скорость по длине трубы растет, а при конфузорном течении профиль скорости характеризуется коэффициентами а, мало отличающимися от единицы.

При изотермическом течении газа температура торможения будет монотонно возрастать по длине трубопровода, причем в ресивере температура торможения будет равна термодинамической температуре газа, постоянной во всем газопроводе (рис. 47).

Изменение температуры торможения при изотермическом течении газа

Рис. 47. Изменение температуры торможения при изотермическом течении газа

Обычное понятие температуры торможения в адиабатном потоке связано с термодинамической температурой и скоростью течения известным соотношением, действительным в пределах каждого 1 - го сечения:

*-1

ИТ,; +

Уравнение адиабаты для давлений и температур также справедливо в пределах фиксированного сечения:

Ро,/р = (Г01/Г)‘/‘-1.

Так как вдоль потока параметры газа изменяются по уравнению изотермы, то

Pl/Pl - P2/P2.

Используя уравнение расхода (14.58), легко получить:

с1р = - (Р1V! й)/У2.

Подставляя полученное выражение в (14.59), легко получить дифференциальное уравнение

лШ^-гЦМо.

<1 V2 А>1 V3

После интегрирования в пределах от начального сечения газопровода 1-1 до произвольного будем иметь:

(14.60)

где Т=Ті - термодинамическая температура, постоянная вдоль потока.

Так как скорость звука постоянна вдоль потока, уравнение (14.60) целесообразно переписать в следующей безразмерной форме:

Продифференцировав последнее уравнение по М, считая Mj = const, получим, разрешая относительно dM:

Анализируя это уравнение, приходим к выводу, что в случае изотермического течения при значении М2 < 1/к в цилиндрической трубе скорость вдоль потока возрастает (при с!1>0 и с1М>0), а при значениях М2 > 1/к скорость вдоль потока уменьшается. Следовательно, значение М = 1/к для изотермического течения в трубе является таким же критическим, точнее предельным, как значение М = 1 для адиабатного течения. Перейти через это значение М, которое для к =1,4 (в частности, для воздуха) равно М пр =0,845, сохраняя изотермическое течение, невозможно, так как малейшее отклонение числа М от предельного значения в сторону увеличения меняет знак приращения 6М и возвращает поток вновь к предельному состоянию.

Найдем массовый расход газа при изотермическом течении без потерь, находя скорость течения при изотермическом течении из уравнения Бернулли:

Qm =/Ра

спределяя скорость при изотермическом течении из уравнения Бернулли, получим:

V - yjlRT In р0/ р .

Тогда

Qm =:j==PHPo^P)'

Отметим, что данная формула отличается от аналогичных формул, полученных ранее [3], тем, что расход выражен через параметры торможения, а не через параметры в начальном сечении трубы. При определении расхода, по методу И.А. Чарного, необходимо проводить графическое определение предельных давлений с учетом потерь, причем количественный анализ проделан им лишь для частного случая длинной трубы, когда скоростным напором в начальном сечении и потерями на входе можно пренебречь.

Очевидно, экстремум массового расхода при Т = const и р0= const совпадает с экстремумом функции:

У =-•

х

Дифференцируя, получим

U/RI+IJpL-o

ДГ x2*Jlnx

или

V/ЯДГ =-7=.

2Mnx

Следовательно, критическое (предельное) отношение давлений будет

Р о

-Рсг

= Ve или = -р = 0,60653.

Тогда максимальный расход можно подсчитать по формуле:

^ ( Ро А РА

4RT 4е 4RT '

Qm [та.с) =----

График зависимости массового расхода от отношения давлений имеет качественно такой же характер, как и при адиабатном течении (рис. 46), но с другим значением (р/ро)кр.

В последних формулах ро-давление торможения газа в ресивере при условии Т = const, Т. е. В ресивере То= Т.

В работе [3] фигурирует давление торможения в первом сечении трубы при температуре торможения Тоь полученной путем адиабатного торможения потока с параметрами Vj и Ti = Т = const Второе расчетное соотношение в этом случае имеет вид:

_Р_

Ро

М

М

1 +

к-1

м

/

На практике чаще известным является давление р0 в ресивере. Связь между давлениями р! и р0 может быть получена из уравнения Бернулли для течения без потерь

или с потерями энергии от сечения 0 - 0 до сечения 1 - 1

2 2

В безразмерном виде

Учитывая формулу (14.58) выражение для определения массового расхода газа при изотермическом истечении можно записать в следующем виде:

Следует отметить, что полученные формулы для массового расхода газа при изотермическом течении включают давление и число М в конечном сечении. Поэтому они верны как для случая течения идеального газа без потерь, так и в случае течения реального газа с потерями. Разумеется, что конечные параметры газа при постоянных параметрах заторможенного газа в этих случаях будут разными.

Критическое (предельное) отношение давлений можно получить путем предельного перехода в формуле адиабатного течения:

Таким же образом из формулы для определения максимального расхода при адиабатном истечении можно получить формулу для изотермического истечения, так как

Ііт

*-и

1

Полученная система уравнений позволяет легко провести расчет газопровода при изотермическом течении совершенного газа.

В последние годы широкое применение получил метод моделирования течений в различных гидравлических устройствах и машинах на воздухе. Преимущества использования воздуха в качестве рабочего тела (при исследовании гидравлических явлений) хорошо известны. Однако ввиду того, что кинематическая вязкость воздуха при нормальных условиях примерно в пятнадцать раз больше кинематической вязкости воды, для выполнения условий равенства чисел Рейнольдса приходится идти на установки с замкнутым контуром и давлением выше атмосферного. В связи с вышеизложенным целесообразно рассмотреть вопрос о возможности увеличения числа Рейнольдса за счет повышения числа Маха до тех пор, пока не начнет сказываться влияние сжимаемости рабочего тела. Ограничимся рассмотрением изотермических течений, так как практика показала, что при моделировании гидравлических трактов на воздухе реализуется этот случай.

Рассмотрим модельную задачу об изотермическом течении газа газа через плоский канал вдоль оси х, величина зазора по оси у Ь=у(х) намного меньше длины канала. Изменением давления по оси у пренебрегаем.

Уравнение неразрывности в этом случае примет следующий

вид:

= 0 (1)

Уравнения движения будут

др Э2УТ

— = и

дх ду2

= 0

др

ду

Плотность газа определяется уравнением состояния Клапейрона-Менделеева

рМ dp М dp

Р-~— и = т1

RT dx RT dx

Интегрируя уравнение неразрывности по высоте канала, получим

ВТ

ЛГЭ^ ^ dV J

hr4,+tw4y

= 0.

После несложных преобразований легко получить следующее уравнение:

j^lvxdy + pyVxdy = 0

Эдг о Эх о

Будем искать решение для скорости в виде Vx = —^у(у-Л).

2р dx'

Тогда можно получить следующее уравнение для давления:

/йЛ2 hx) h3(x)d2p dp h2(x)dh = Q

V

dx) 6 6 Эх2 dx 2 dx

Если h ~ const, то уравнение примет следующий вид:

*]* + ,??-о

Эх J Р Эх2

Обозначив

dp d2 р dz dz — = z, т-т = —= г— 3jc Э*2 tir dp

получим уравнение

г + р—= 0, для которого можно легко получить аналитическое dp

решение в виде

dz

Р = yjpi "U2 ~Pl)X/l Если Р - const, ТО р = Р ~(р - Р2 )Уі и ^ Pl

2 2 Pi ” Р2

Для изотермического течения газа

Э 2 2

U^Pl ~{Р - PlY/i

ур _ Р Рг _ _ dx 2 pi

и эпюра скоростей описывается следующей формулой:

  • ?=__1_рЬр4(у-А)=-
  • 2 2 Pi -Р2
  • 4/2/

y(y-h)

л

Массовый расход можно подсчитать как (2М = рЬУхс1у, где Ь

о

размер щели в направлении, нормальном плоскости чертежа. Тогда

Ом =~

МЬ I

ЯГ 4///

(р - Рг )Ыу - =

М 1

?7 (Р? -

о

Принимая во внимание, что

Р + Рг _

= Р

ИТ 4р1

РоуМ

Рг

ау

И

яг

= Рау Сред

нее значение давления и среднее начение плотности, соответственно, формулы для массового и объемного расходов газа примут следующий вид:

РаV

  • (Р~РгУь и 0АР~РгУь
  • 12 р1 12 р1

Очевидно, что эти формулы будут верны пока скорость газа будет дозвуковой, причем ее максимальное значение реализуется в выходном сечении канала

V = *2 ^2) < а = 4Шт

у тахи *К1Х1 »

6р1р2

где а скорость звука.

Заменим истинное изотермическое течение воздуха течением гипотетической несжимаемой жидкости с плотностью, равной средней плотности воздуха в начальном и конечном сечениях:

Р = (Р1 + Рг)/2.

Тогда коэффициент гидравлических потерь по формуле Дарси - Вейсбаха можно подсчитать как

2ЛрА2 р

где Др - разность полных давлений для входа и выхода из тракта.

Потери давления на трение в трубе на участке длиною бх можно подсчитать по формуле Дарси

бр = Х(бх/0) (рУ2/2).

Интегрируя в предположении X =СОПБ1 от сечения 1 до сечения 2, удаленного от первого на расстоянии 1, получим выражение, приводимое во многих учебниках:

р,2гг = Х(Ш)(ру)2(КТ).

Преобразуем его следующим образом:

(Р1 + Рг) (Р1 - Р2) = Я (1/0) (р,у,) (р2У2) (КТ).

Считая среднее арифметическое и среднее геометрическое значения эквивалентными (при разности давлений 10-20% разница в средних значения меняется от 0,5 до 2%), приходим к расчетной формуле для гипотетической несжимаемой жидкости со средней плотностью:

(Р1 — Р2) = А. (1/0) ((рср уср2/2).

Правомочность предложенной модели течения проверялась для двух случаев. Исследовались местное сопротивление в виде диафрагмы с острой входной кромкой диаметром 6 = 6 мм, размещенной в трубопроводе с внутренним диаметром 0=20 мм, и цельнотянутый трубопровод из хромоникелевой стали длиной 2134±2 мм и диаметром с1 =10 мм. Перед начальным сечением с кольцевым отбором давления был предусмотрен участок для стабилизации течения длиной около 100 калибров.

Для проверки системы измерений были проведены эксперименты по определению коэффициента Дарси к в функции числа Ие для чисел Маха (М<0,2). Результаты экспериментов представлены на рис. 48, где нанесена также кривая, подсчитанная по формуле Блазиуса, на основании которой можно сделать заключение об удовлетворительном состоянии системы измерений.

Зависимость коэффициента Дарси в функции

Рис. 48. Зависимость коэффициента Дарси в функции

числа Рейнольдса Ре для М<0,2

Зависимость коэффициента ? от числа М, подсчитанного по величине отношения давлений в предположении изоэнтропичности, представлена на рис. 49. Режимы испытаний при варьировании числа М выбирались таким образом, чтобы число Рейнольдса оставалось постоянным и равным 6-Ю5.

Зависимость коэффициента местных гидравлических потерь ?от величины числа Маха Ми отношения давлений к

Рис. 49. Зависимость коэффициента местных гидравлических потерь ?от величины числа Маха Ми отношения давлений к

Из рассмотрения зависимостей на рис. 49 можно сделать заключение, что для М<0,7 коэффициент местных гидравлических потерь не зависит от сжимаемости рабочего тела, причем его величина ? = 2,60 в пределах точности измерений совпадает с величной ? для несжимаемой жидкости (по данным И.Е. Идельчика). Для

М>0,7 вплоть до второго критического режима, коэффициент С, являемся слабовозрастающей монотонной функцией. Отличие в величинах коэффициента гидравлических потерь в области второго критического режима не превышает 10%.

0 05 КО М

Рис. 50. Зависимость коэффициента Дарси Л от числа

Маха М при Ре=соп$1=1и

А

0,026 0,024 0022 0020

На рис. 50 представлена зависимость коэффициента Дарси X в функции изоэнтропийного числа’ М при постоянном числе Рейнольдса, равном 105. Потери на трение зависят от сжимаемости рабочего тела, начиная с чисел М>0,3 (Р01/Р2 >1*1). Однако после области интенсивного увеличения коэффициента трения (0,3<М< <0,7) для М > 0,7, вплоть до режима запирания, величина X практически не меняется.

Таким образом, проведенное экспериментальное исследование позволяет установить границу применимости режимов приближенного моделирования гидравлических устройств, включающих в себя местные гидравлические сопротивления и сопротивления трения на сжимаемых рабочих телах.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >