Работа внешних сил и потенциальная энергия упругой деформации

Внешние силы, приложенные к телу, деформируя его, совершают на вызванных ими перемещениях работу, при этом в теле накапливается энергия деформации — потенциальная энергия, которая после снятия внешней нагрузки возвращает тело к первоначальным размерам.

Если нагружение тела производить медленно, т.е. прикладывать статическую нагрузку, то можно считать, что в любой момент времени тело находится в равновесии. В этом случае работа внешних сил целиком переходит в потенциальную энергию деформации, т.е. IV = и, где В7 — работа внешней силы; и — потенциальная энергия деформации.

Приложим к стержню (рис. 2.43, а) растягивающую силу Р, медленно возрастающую от нуля до конечного значения. До определенных пределов нагружения между приложенной внешней нагрузкой и вызванным ею удлинением стержня существует линейная зависимость. Изобразим эту зависимость графически (рис. 2.43, б).

а) б)

Рис. 2.43. Деформация стержня при растяжении:

а — удлинение стержня; б — зависимость между внешней нагрузкой

и удлинением

Сила Сбудет производить работу на перемещении 5, равном удлинению стержня А/. Найдем элементарную работу с1У, произведенную текущей силой Р на элементарном перемещении с1(А1):

бУ = Р(1{М).

Для того чтобы найти полную работу, совершенную переменной силой /•’на перемещении А/, проинтегрируем записанное выше выражение;

д/ д/

clV = ] Рб(А1) или IV = | Д/(Д/). о о

Исходя из геометрического смысла интеграла, можно сказать, что применительно к рассматриваемому случаю работа силы /•’на перемещении, равном А/, будет численно равна площади заштрихованного треугольника и определится по формуле

IV = РА1/2. (2.17)

Выразим перемещение 8 = А/через внешнюю силу Р:

5 = А1 = Р1/ЕЛ.

Подставив это выражение в (2.9), получим

1У=и = Р21/2ЕЛ. (2.18)

Полная работа, затрачиваемая на разрушение образца, выражается площадью диаграммы растяжения. Следует обратить внимание на то, что на разрыв стержня пластичной стали требуется значительно большая работа, чем в случае более прочной, но менее пластичной стали, хотя разрушающая нагрузка для последней больше (рис 2.44).

Малопластичная стань

Сравнение работ при испытаниях на разрыв стержня из пластичной и малопластичной

Рис. 2.44. Сравнение работ при испытаниях на разрыв стержня из пластичной и малопластичной

стали

В некоторых задачах, для того чтобы исключить влияние размеров, вводят понятие удельной потенциальной энергии и. Под, удельной потенциальной энергией понимается энергия, отнесенная к единице первоначального объема стержня:

и = и/У0,

где У0 начальный объем стержня.

Подставив в последнюю формулу выражение (2.18), для потенциальной энергии деформации получим

и = Р2/2ЕА2 .

В рассматриваемом случае продольная сила подлине стержня не изменяется и равна внешней силе Р, т.е. Nz = Р, откуда

и= И2 / А2 и и = о2/2Е. (2.19)

Потенциальная энергия деформации выражается в единицах работы — джоулях (Дж), удельная потенциальная энергия — в джоулях на кубический метр (Дж/м3).

Формула (2.19) может быть представлена в виде

и = ог/ 2. (2.20)

Входящие в формулу (2.20) величины являются показателями: о — прочности; е — пластичности; и — вязкости. Поэтому в пределах закону Гука формулу (2.20) иногда читают так: вязкость равна половине произведения прочности на пластичность. Примечание: понятие вязкости иногда связывают с величиной деформации.

Анализируя формулы потенциальной энергии деформации, можно сделать следующие выводы.

  • 1. Потенциальная энергия деформации — величина всегда положительная, так как в ее выражение входят квадраты напряжений или продольных сил.
  • 2. Потенциальная энергия деформации стержня, вызванная группой сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных каждой из сил в отдельности. С математической точки зрения это является следствием того, что потенциальная энергия пропорциональна квадрату напряжения или силы, а квадрат суммы не равен сумме квадратов.
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >