Потенциальная энергия деформации при сдвиге

Закон Гука при сдвиге изображается графически в виде прямой, проходящей через начало координат (рис. 3.4). Как и при растяжении — сжатии, снятие нагрузки возвращает стержень в исходное не-деформированное состояние.

К определению работы (энергии), затрачиваемой на деформирование образца в

Рис. 3.4. К определению работы (энергии), затрачиваемой на деформирование образца в

пределах закона Гука

Д5

Исходя из закона сохранения энергии, потенциальную энергию деформации элемента (см. рис. 3.3, б) находим как работу, совершаемую действующей нагрузкой на деформирование этого элемента в пределах закона Гука. В этом случае потенциальная энергия деформации может быть подсчитана как площадь треугольника под диаграммой нагружения элемента:

(3.4)

где 0 — перерезывающая сила.

Если разделить значение потенциальной энергии деформации элемента на его объем V = Ла, получим удельную потенциальную энергию деформации (У0 элемента при сдвиге:

Дополнительно отметим, что в теории напряженного состояния доказано отсутствие изменения объема тела при сдвиге.

Расчеты элементов конструкций на срез и смятие

Допустим, на тело действуют две равные, параллельные, противоположно направленные силы на очень близком расстоянии (рис. 3.5, а). Изобразим в большем масштабе элемент, заключенный между силами, и рассмотрим его деформацию (рис. 3.5, б). Под действием этих сил элемент перекосится, угол, представляющий изменение изначально прямого угла элемента, можно условно назвать углом сдвига у. Естественно, в данном случае чистого сдвига не будет, так как элемент, кроме того, будет изгибаться. Поскольку мы условились, что силы действуют на весьма близком расстоянии, создаваемые ими моменты будут малы, и ими можно пренебречь.

Деформация сдвига

Рис. 3.5. Деформация сдвига:

а — расчетная схема; б — деформация сдвига элемента; в — часть тела между действующими силами; г — распределение напряжений на плоскости

Рассечем тело плоскостью между действующими силами параллельно им. Одну часть отбросим и из равновесия оставленной части (рис. 3.5, в) найдем, что = Т7. Считая, что касательные напряжения распределены равномерно по площади сечения, получим формулу для их вычислений (рис. 3.5, г):

т=е,/ЧР, (3.6)

или, выражая О через Г, имеем

т = Р/Аср. (3.7)

Пример 3.1. Найти напряжения, возникающие под действием силы Р= 4 кН в стержне диаметром б = 12 мм, поставленном без зазора и соединяющем две пластины (рис. 3.6, а) толщиной 8^8 мм и 82 = 10 мм.

Усилия со стороны листов будут передаваться на стержень так, как указано на рис. 3.6, б.

Если прочность стержня окажется недостаточной, то он может срезаться по границе соединения пластин (рис. 3.6, о). Найдем касательные напряжения:

х = Р/Аср = /у(л^2/4) = 4000Дл0,0122/4) = 35106 Па = 35 МПа.

Деформация сдвига часто сопровождается смятием — местным сжатием материала в зоне контакта соприкасающихся тел, вызванным действием значительного давления в зоне контакта. Из двух соприкасающихся деталей вероятность местного сжатия больше для более мягкого материала. Назовем давление в зоне контакта условно напряжением смятия и обозначим осм.

Считая, что эти напряжения равномерно распределены по площади смятия, получим формулу, позволяющую вычислить напряжение смятия через действующую нагрузку:

<*см = р1Аси > (3-8)

где Асм площадь смятия, условно равная площади проекции поверхности контакта на плоскость, перпендикулярную действующей силе.

Пример 3.2. Определить напряжения смятия, возникающие в пластинах (рис. 3.6, а).

Деформации сдвига и смятия

Рис. 3.6. Деформации сдвига и смятия:

а — конструкция со стержнем; б — расчетная схема; в — площадь смятия в

пластине

Перпендикулярной к действующей силе Сбудет диаметральная плоскость. Верхняя часть стержня контактирует с верхней пластиной толщиной б,, а нижняя — с нижней пластиной толщиной 62. На рис. 3.6, в изображена верхняя часть стержня без головки. В верхней пластине напряжение смятия

осм =/74-м = ^5, = 4000/0,012 0,008 = 42 106 Па = 42 МПа.

В нижней пластине в зоне контакта

стсм = /у2 =4000/0,012 0,01 = 33-106 Па = 33 МПа.

Пример 3.3. Найти напряжения среза и смятия в призматической шпонке, соединяющей колесо с валом, если на вал передается враша-

ющий момент М = 450 Н м. Считать, что шпонка наполовину входит в вал, а наполовину — в ступицу колеса (рис. 3.7, а).

Площадь

среза

б)

Рис. 3.7. Шпоночное соединение: а — расчетная схема; б — площади смятия и среза

Площадь смятия

Найдем окружное усилие, передаваемое через шпонку на вал. Известно, что колесо находится в равновесии, следовательно, вращающий момент М уравновешивается моментом реактивной силы /% с которой шпонка действует на колесо, т.е. М = Рс1/2, откуда можно найти усилие Г = 2М/с! = 2-450-0,05 =18000 Н.

Шпонку можно срезать плоскостью на границе между валом и ступицей (заштрихована на рис. 3.7, б). Обычно для шпонки со скругленными торцами в качестве расчетной берется ее длина за вычетом длины скруглений;

/Р=/-А;

тогда

х = /у Д.р = уу/>(/ - Ь) = 18 000/14 10“3 • (63 - 14) • 10_3 =

= 26 106 Па = 26 МПа.

Смятие возможно по боковой плоскости контакта шпонки со ступицей колеса или вала, в этом случае

°С« = /-/Лем = Р/(И- (I- Ь) / 2) = 18 000/(9 10-!. (63 -14) 1 (Г3 / 2) =

= 82 МПа.

Пример 3.4. Определить напряжения, возникающие в головке и в сечениях стержня, нагруженного растягивающей силой Р= 100 кН (рис. 3.8, а).

Смятие'4''

Срез

Конструкция стержня с головкой

Рис. 3.8. Конструкция стержня с головкой: а — расчетная схема; б — площади смятия и среза

На участке от точки приложения силы Fдо его головки стержень испытывает деформацию растяжения

ар = F/Л = f/Tid2 /4 = 100• 103/7Г• 0,032 / 4 = 140• 106 Па = 140 МПа.

Чтобы определить напряжения среза, надо представить, как произошло бы разрушение головки вследствие ее недостаточной прочности на срез. Следует помнить, что срез может пройти по границе между противоположно направленными силами, действующими на головку стержня. На рис. 3.8, б изображена схема действия сил на головку со стороны стержня и реактивных сил со стороны опоры. Площадь среза Аср представляет собой площадь поверхности цилиндра радиуса d/2 и высоты следовательно,

т = F/Acp = F/ndh = 100 103 • 0,03 • 0,014 = 76 • 106 Па = 76 МПа.

По опорному кольцу головки возникают напряжения смятия

асм = F/ACM = F/n(d{ - 2) / 4 = 100 • 103Д(0,042 -0,032)/4 = 180 МПа.

Пример 3.5. Для заклепочного соединения (рис. 3.9, а) определить напряжения среза в заклепках и смятия в листах, выполненных из одного материала.

Расчет основан на предположении, что все заклепки нагружены одинаково, т.е. каждая заклепка несет равную долю нагрузки:

р,=р/1,

где Г] — нагрузка на одну заклепку; і — число заклепок, в данном случае равное 12;

= 90 - 103/і2 = 7,5 103 Н.

Заклепочное соединение

Рис. 3.9. Заклепочное соединение: а — расчетная схема; б — площади смятия и среза

На рис. 3.9, б показана схема сил, действующих на одну заклепку. В случае недостаточной прочности заклепка может разрушиться — срезаться по площади круга:

т = /|/Лсм = /Длг/2/ 4 = 7,5-103/л0,0112 /4 = 80• 106 Па = 80 МПа.

Напряжения смятия вычислим для более тонкого листа, так как напряжения в нем будут большими:

см = /;/ Д.м = /; Д/5, =7,5-103/0,011 0,006 = 115 -106 Па = 115 МПа.

При решении указанных задач следует обратить внимание на тот факт, что напряжения среза и смятия определялись по одной формуле: сила, деленная на площадь. Это объясняется тем, что в обоих случаях было принято одинаковое допущение: и при срезе, и при смятии считалось, что напряжения равномерно распределены по площади среза и смятия. Однако, как можно заметить, сами площади определялись по различным формулам.

Контрольные вопросы

  • 1. Какое напряженное состояние называется чистым сдвигом? Приведите пример.
  • 2. Приведите примеры деталей, испытывающих срез и смятие.
  • 3. Что понимается под условной площадью смятия детали? По каким формулам определяют напряжения при срезе и смятии?
  • 4. Как связаны упругие постоянные изотропного тела при сдвиге?
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >