Статические моменты плоских сечений

Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до данной оси (рис. 4.2).

Рис. 4.2. К расчету статического

момента

В интегральной форме статические моменты сечения относительно осей х и у, обозначаемые соответственно Я_х и ,5^, могут быть записаны в виде

S_x = J ус/А , S_y = J xdA .

А А

Очевидно, размерность статического момента — м Если положение центра тяжести какой-либо фигуры известно, то статический момент этой фигуры относительно оси будет равен произведению площади всей фигуры на расстояние от центра тяжести до рассматриваемой оси, т.е.

S_x = Ау_с, S_y = Ах_с,

где х_с, у_с — координаты центра тяжести всей фигуры относительно данной оси; А — площадь всей фигуры.

Воспользуемся правилом, по которому статический момент составного сечения относительно оси равен алгебраической сумме статических моментов составных частей сечения относительно той же оси:

S_x — +... + S_x ,

где S], 5* S_x — статические моменты простейших фигур, на которые разбито сложное сечение, относительно оси л:. Но S[. = А_ху_х, Si¹ = А₂у₂,..., S_x = А„у„ ; тогда

S_x=Ay_l+A₂y₂+... + A_ny_n.

С другой стороны, S_x — Ау_с, тогда Ау_с = А_ху_] + А₂у₂ +... + А_пу_п, откуда

Ау_х + А₂у₂ + ... + А_пу„

А

Аналогично можно получить, что

А^Х + А₂х₂ + ... + А_пх_п

Мы получили формулы для определения координат центра тяжести сложного сечения.

Если ось провести через центр тяжести всего сечения или, как говорят, провести центральную ось, то, очевидно, расстояние от центра тяжести до этой оси будет равно нулю; тогда и статический момент сечения относительно этой оси будет равен нулю. Таким образом, статический момент плоского сечения относительно центральной оси равен нулю.