Нормальные напряжения при чистом изгибе. Потенциальная энергия деформации

Как и при других видах деформации, при изгибе метод сечений позволяет найти величину и направление изгибающего момента и поперечной силы в любом произвольном сечении, но не дает возможности определить закон распределения напряжений по площади сечения.

Для определения этого закона рассмотрим деформацию стержня при изгибе и воспользуемся следующими допущениями.

  • 1. Справедлива гипотеза Бернулли, т.е. сечения, плоские и перпендикулярные к оси стержня до изгиба, останутся плоскими и перпендикулярными к оси после изгиба.
  • 2. Справедлива гипотеза о ненадавливании продольных волокон друг на друга.
  • 3. Справедлива гипотеза линейности деформаций.
  • 4. По ширине сечения напряжения постоянны.

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба — чистый прямой

изгиб стержня прямоугольного поперечного сечения.

На рис. 5.14 изображен стержень, средняя часть которого испытывает чистый изгиб, причем изгибающий момент в пределах этого участка постоянен.

Двухопорная балка с чистым изгибом в средней части

Рис. 5.14. Двухопорная балка с чистым изгибом в средней части: а — расчетная схема; б — эпюра поперечных сил; в — эпюра изгибающих моментов

Нанесем на поверхность стержня в пределах участка чистого изгиба сетку продольных и поперечных прямых (рис. 5.15, а). При изгибе стержня продольные линии изогнутся, а поперечные линии, оставаясь прямыми, повернутся на некоторый угол. Выделим элемент длиной dz и найдем удлинение волокна, находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя. На рис. 5.15, в этот элемент изображен в большем масштабе. Длина дуги ООх равна (11, так как нейтральный слой при изгибе не меняет длины.

Обозначим радиус кривизны изогнутой оси стержня через р. Удлинение волокна АА1 будет равно разности длин дуг АА1 и 00но длина дуги АА1 =(р + у)с/в , а длина дуги 001 = рс/в . Мы предположили, что нейтральный слой, а следовательно, и ось стержня при изгибе лишь искривляются, не меняя первоначальной длинны, т.е. р с/0 = (к-

Найдем относительное удлинение е рассматриваемого волокна:

е = [(р + у)с/ 0 - ру/р.

Деформации балки при чистом изгибе

Рис. 5.15. Деформации балки при чистом изгибе: а — сетка продольных и поперечных прямых до нагрузки; б — сетка продольных и поперечных прямых при чистом изгибе; в — деформации

элемента стержня при чистом изгибе

Допущение о ненадавливании волокон друг на друга позволяет считать, что каждое волокно будет находиться при изгибе в состоянии простого растяжения (или сжатия). В таком случае можно воспользоваться законом Гука и найти напряжение, возникающее в рассматриваемом волокне:

а-Ег = (Е/р)у. (5.1)

Полученная зависимость позволяет сделать очень важный вывод: при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону, т.е. чем дальше удалена точка от нейтрального слоя, тем большие в ней возникнут напряжения а. Расстояние от любой точки поперечного сечения до нейтрального слоя стержня равно расстоянию от этой точки до нейтральной линии сечения. Следовательно, напряжение в какой-либо точке поперечного сечения стержня при изгибе будет пропорционально расстоянию от этой точки до нейтральной (нулевой) линии сечения, а значит, в точках, равноудаленных от нейтральной оси данного сечения, возникают равные по величине напряжения.

В практических расчетах пользоваться полученной формулой неудобно, так как кривизна изогнутого стержня неизвестна.

Выведем формулу, которая позволила бы определить напряжения в каждой точке поперечного сечения через возникающий в сечении изгибающий момент.

Найдем момент внутренних сил относительно нейтральной оси х сечения (рис. 5.16):

Мх =^(<5с1А)у.

А

Внутренние силы в сечении

Рис. 5.16. Внутренние силы в сечении

Используя (5.1), получим

Мх=(Е1рУ<1Л = (Е1р)УЛА.

а л

Интеграл, входящий в это выражение, есть не что иное, как момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной осих:

у2<1А = ]х,

А

тогда

Мх = Е]х/р . (5.2)

Выразив кривизну оси стержня 1/р из (5Л),

1/р = о/Еу,

и подставив ее в (5.2), получим

с = (Мх//х)у. (5.3)

По этой формуле нетрудно вычислить напряжения в любой точке поперечного сечения стержня.

Максимальные напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси сечения:

°тах =(^л Местах-

Отношение ^х/утах называется моментом сопротивления сечения изгибу и обозначается через IV/

К =/х/ У так- (5-4)

Таким образом,

(5.5)

^гпах !^х

Осевой момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности и имеет размерность длины в третьей степени, т.е. единица УХ в СИ — м3.

Установим положение нейтральной оси сечения. Продольная сила, действующая в некотором сечении площади А, равна

А

А

При чистом изгибе = 0, т.е.

|а?//1 = 0, или (?/р)|_)т//1 = 0.

А А

Величина Е/р не равна нулю, если, конечно, радиус кривизны р не равен бесконечности, значит, равен нулю интеграл |ус1А. Но это

А

есть статический момент площади сечения относительно нейтральной оси. Если статический момент площади относительно некоторой оси равен нулю, следовательно, эта ось является центральной. Таким образом, приходим к выводу, что нейтральная ось при чистом изгибе проходит через центр тяжести сечения.

Вернемся к формуле (5.2) и выразим из нее кривизну оси стержня:

1/р = Мх / х. (5.6)

Кривизна изогнутой оси прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жесткости сечения EJX.

Вычислим потенциальную энергию упругой деформации при чистом изгибе. Как и ранее, допустим, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. Энергия, накопленная в элементе стержня, равна работе изгибающего момента Мх на взаимном угловом перемещении двух сечений:

сШ =0,5МХ<№.

Коэффициент 0,5 по-прежнему объясняется пропорциональной зависимостью между Мх и ^0.

Учитывая

<ю=<ь/р=(мх/Е1х)<1г,

получаем

(5.7)

Интегрирование ведется по длине / участка чистого изгиба.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >